江苏省淮安市淮阴区淮阴中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

江苏省淮安市淮阴区淮阴中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( ) A ．1B ．2C ．4D ．82．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．12m <<B ．31 2m <<C ．322m << D ．12m <<且32m ≠3．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．B ．6C ．D ．124．若双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．35．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=7．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．148．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．13C ．12D ．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1B C D ．210．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．D ． 11．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2B CD 12．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,2B ．1(0,]2C ．1,1)D ．1[,1)2二、填空题13．若双曲线221y x m-=m =__________．14．已知x ,y 满足y =3y x +的取值范围是_____.15．已知点1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且122F PF π∠=．若△12PF F 的面积为9，则b =_______16．曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数 a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△FPF 的面积大于a ．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题17．已知平面上的三点(52)P ，、1(60)F -， 、2(60)F ， . （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y x = 的对称点分别为P ' 、1F ' 、2F ' ，求以1F ' 、2F ' 为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.18．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率2e =，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ,且2PF =. (1)求椭圆的方程;(2)点(),Q x y 在椭圆上，求x 的最大值.19．已知椭圆22173x y +=.(1)椭圆的左右焦点为1F ,2F ,点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围; (2)倾斜角为锐角的直线l 过点()1,0M 交椭圆于A ，B 两点，且满足2AM MB =,求直线l 的方程.20．已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．22．已知双曲线C 的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，离心率e =顶点到渐近线(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上一点，A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,,23AP PB λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求AOB ∆面积的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求出p 的值，再根据抛物线的简单性质即可得到． 【详解】由228y px x ==，知p ＝4，而焦点到准线的距离就是p ． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题． 2．C 【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果. 【详解】22112x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆 120m m ∴->->，解得：322m <<故选：C 【点睛】本题考查根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于基础题. 3．C 【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C 【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算. 4．B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 考点：双曲线的标准方程和定义． 5．D 【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是by x a=2b a =①，抛物线2y =的准线是x =c =2227a b c +==②，由①②联立解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩程为22143x y -=．故选D ．考点：双曲线的标准方程． 6．B 【分析】根据已知可得b a =，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则2b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②由①②解得a ＝2，bC 的方程为22145x y -=.故选：B. 【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题. 7．C 【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.故选C. 【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题. 8．D 【分析】把x c =-代入椭圆方程求得P 的坐标，进而根据1230F F P ∠=，推断出22b a c =，整理220e +=，解得e 即可． 【详解】已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得把x c =-代入椭圆方程，解得P 的坐标为（﹣c ，2b a ）或（﹣c ，﹣2ba），∵1230F F P ∠=，∴23tan 302b ac ==，即)2222aca c ==-220e +-=，∴e或e． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题． 9．B 【解析】因为c e a ==所以c =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222()2{41y k x a x y a a =-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k ax x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x a x -=⋅-，即2133x x a -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k = B10．C 【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c ．因为12·0MF MF =所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以,c a c b <<，所以2222<=-c b a c ，所以22222122c c a e a <∴=< ，所以2(0,2e ∈ ，故选C ． 【点睛】求离心率的值或范围就是找,,a b c 的值或关系．由12·0MF MF =想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．再由点M 在椭圆的内部，可得,c a c b <<，因为a b < ．所以由c b <得2222<=-c b a c ，由,a c 关系求离心率的范围．11．A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 12．D 【解析】解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等 |FA|=222222222222,[,][,]1{{11,21(0,1)[,1)2a b c PF a c a c c cb ac a c cac c b ac c cac c a c a c c ac c a ca a e e -=∈-+∈-+-≤≤+≤-≤-∴∴+≥-≤-≥∈∴∈于是，即13．2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.14．0,5⎡⎢⎣⎦【分析】将已知方程整理为()22104x y y +=≥，可得其图象为半椭圆；将3y x +转化为半椭圆上的点与()3,0-连线的取值范围；由图象可知下底限为0，上限为直线与半椭圆相切的时候；假设切线方程，联立后利用0∆=求得切线斜率，从而得到所求的范围. 【详解】由y =()22104x y y +=≥，则其图象为如下图所示的半椭圆3yx +可看做半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率 当如图所示的过()3,0-的直线l 与椭圆相切时，设直线():3l y k x =+，0k > 与椭圆方程联立得：()222241243640k x k x k +++-=()()4225764413640k k k ∴∆=-+-=，解得：k =∴半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦ 3y x ⎡∴∈⎢+⎣⎦故答案为：0,5⎡⎢⎣⎦【点睛】本题考查根据直线与椭圆的位置关系求解参数范围的问题，关键是能够明确所求式子的几何意义为曲线上的点与定点连线的斜率，利用数形结合的方式确定临界值，从而求得结果.15．3 【分析】利用椭圆的标准方程定义及其三角形面积计算公式、勾股定理即可得出． 【详解】 解：122F PF π∠=,12PF F ∆的面积为9，设1||PF m =，2||PF n =．则22221924m n a mn m n c +=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩可得：224364c a +=， 即2229a c b -==， 解得3b =． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．②③ 【解析】 试题分析：设，依题意，则，化简可得：，由，则曲线C 不过坐标原点，①错误；把曲线方程中的，原方程不变，所以曲线C 关于坐标原点对称正确；又方程原型 则，，令，可得或，可知当时，取得最大值，此时，△F 1PF 2的面积不大于考点：1.直接法求轨迹方程；2.对称的判断方法；3.面积的最大值；17．（1）221459x y += （2）2212016x y -=.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出a =2229b a c =-=，进而可得椭圆的标准方程；（2）点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '， 、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为2222111y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ，由双曲线定义得''1122a P F P F =-=''得1a =从而可得22211116b c a =-=，进而可得'1F 、'2F为焦点且过点P ' 的双曲线的标准方程.试题解析：（1）由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为22221x ya b+=（0a b >> ） 其半焦距6c =由椭圆定义得122a PF PF =+=∴a =∴22245369b a c =-=-=故椭圆的标准方程为221459x y += .（2）点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ， 关于直线y x = 的对称点分别为()25P '， 、()'106F -， 、()'206F ， .设所求双曲线的标准方程为 2222111y x a b -= （10a > ，10b > ）其半焦距16c = ， 由双曲线定义得''1122a P F P F =-''==∴1a =，∴222111362016b c a =-=-= ，故所求的双曲线的标准方程为 2212016x y -=.18．（1）221168x y +=（2）【分析】（1）由题意可知PF 为半通径，得到22b a=，由离心率和椭圆,,a b c 的关系构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）利用椭圆参数方程表示出Q 点坐标，则利用辅助角公式可将所求式子化为4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由正弦型函数值域可求得所求式子的最大值.【详解】 （1）PF 为椭圆的半通径 22b a∴=又椭圆离心率2c e a ==，222a b c =+ 4a ∴=，b c ==∴椭圆的方程为221168x y +=（2）设4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，则4cos 4sin 4x πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()maxx +=【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、利用椭圆参数方程求解最值的问题；本题中求解最值的关键是能够利用参数方程将所求式子转化为三角函数式的形式，进而利用三角函数的知识来求解最值.19．（1）[]1,3-（2）:l y x =【分析】 （1）设)Pθθ，利用平面向量数量积的坐标运算可整理得到2124cos 1PF PF θ⋅=-，由余弦函数的值域可求得12PF PF ⋅的取值范围；（2）由2AM MB =可利用B 点横纵坐标表示出A 点坐标，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程可求得B 点坐标；利用两点连线斜率公式求得直线l 斜率后，利用点斜式得到直线方程. 【详解】（1）由椭圆方程知：()12,0F -，()22,0F设)Pθθ则()12,PF θθ=-，()22,PF θθ=222127cos 43sin 4cos 1PF PF θθθ∴⋅=-+=-20cos 1θ≤≤ 214cos 13θ∴-≤-≤，即12PF PF ⋅的取值范围为[]1,3-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,AM x y =--，()221,MB x y =-由2AM MB =得：()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩ 1212322x x y y =-⎧∴⎨=-⎩ ()2232,2A x y ∴--由,A B 两点在椭圆上可得：()22222222324173173x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：225214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩52B ⎛∴ ⎝⎭ ∴直线l斜率145712k ==-∴直线l方程为：)1y x =-，即y x =- 【点睛】本题考查椭圆中的向量问题的求解，涉及到平面向量数量积的取值范围的求解、直线方程的求解问题；求解平面向量数量积的关键是能够灵活应用椭圆的参数方程，将问题转化为三角函数的值域求解问题.20．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，44+ 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． ∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = =2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =． ∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为44OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.21．（1）m <或m >；（2）2.（1）可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，从而可知有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；（2）令1t m=，可 将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：（1）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，由，消去y ，得，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②．由①②得m <或m >；（2）令 1(t m =∈⋃，则22AB t =+，且O 到直线AB的距离为21t d +=，设AOB ∆的面积为()S t ，∴1()2S t AB d =⋅=≤当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆ . 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.22．（1）2214y x -=（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）由顶点到渐近线距离、离心率和双曲线,,a b c 的关系可构造方程求得,a b ，进而得到双曲线方程；（2）假设,,A P B 三点坐标，利用AP PB λ=可表示出P 点坐标，代入双曲线方程整理可得12x x ；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得sin AOB ∠，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于λ的函数，利用对号函数的性质即可求得所求取值范围. 【详解】（1）由双曲线方程可知其渐近线方程为ay x b=±，顶点坐标()0,a ± ∴顶点到渐近线距离ab d c ===由2222ab c c e a c a b⎧=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴双曲线C 的方程为：2214yx -=（2）由（1）知：双曲线渐近线方程为2y x =±设()00,P x y ，()11,2A x x ，()22,2B x x -，其中1>0x ，20x < 则()0101,2AP x x y x =--，()2020,2PB x x x y =---由AP PB λ=得：()()0120012022x x x x y x x y λλ⎧-=-⎪⎨-=--⎪⎩ 1201201221x x x x x y λλλλ+⎧=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩()()()()2212122241411x x x x λλλλ-+∴-=++，整理可得：()21214x xλλ+=-设2AOB θ∠=tan 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭111tan cot 2tan 2θπθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭sin θ∴=cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ∴==又1OA ===，2OB ===()21212115411sin 22222522AOBS OA OB x x x x λθλλλ∆+⎛⎫∴==-⨯=-==++ ⎪⎝⎭当1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1y λλ=+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增 min 12λλ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，max 1110333λλ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 823AOB S ∆∴≤≤即AOB ∆面积的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查双曲线方程的求解、双曲线中三角形面积取值范围的求解问题；求解三角形面积取值范围的关键是能够利用某一变量将所求面积表示为关于该变量的函数的形式，进而利用函数求值域的方法求得所求范围.。