椭圆弦长的求法练习

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18直线与椭圆的位置关系及弦长问题1

5x12 9 y12 45 2 2 5x2 9 y2 45
两式相减得：（ 5 x x2 ）（ 9 y y2 ） 0
2 1 2 2 1 2
kMN
5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9
y1 y2 5 x1 x2 5 x1 x2 9 y1 y2 9
5 x 9 y 14 0
小结ห้องสมุดไป่ตู้
1、弦长的计算方法：
弦长公式：
|AB|=
1 k · （x1 x 2） 4 x1 x 2
2 2
=
（适用于任何曲线） 1 1 2 · （y1 y2） 4 y1 y2 k
2、中点弦问题的处理方法：（点差法）
设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．
练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A(1,1)为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
解 :(2)5 1 9 1 45 A(1,1)在椭圆内。
2 2
设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2
y
y=x +3
相关点法
A (x0,y0)
M (x,y)
O
B(6,0) x
例3、在圆 x y 4 上任取一点P,过点P 作X轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ y
2 2
相关点法
即：利用中间变量
o
P
M

弦长公式

弦长公式若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)]([)(b kx b kx x x +-++-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++= 同理：|AB|=122121224)(||11y y y y y y k-+-+ 特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?P48第7题例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长解：设),(),,2211y x B y x A （由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得， 2383209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长解：设 ),(),,2211y x B y x A （联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122122y x x y 得03462=-+x x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x 3112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （联立方程:⎩⎨⎧+==mx y x y 242得0)44(422=+-+m x m x 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+4122121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x k AB4-=∴m例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上解：B A 、关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k1=∴AB k设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （联立方程⎩⎨⎧+-=+=32x y bx y 化简得032=-++b x x 121-=+∴x x AB ∴中点)21,21(b M +--在直线0=+y x 上 1=∴b 022=-+∴x x则 ⎩⎨⎧-=-=+212121x x x x238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式作业：（1）过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB ，求α的值（2）已知椭圆方程1222=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积。

高中数学椭圆秒杀技巧弦长

高中数学椭圆秒杀技巧弦长引言椭圆作为高中数学中的一个重要的曲线，对于很多学生来说是一个相对陌生的概念。

然而，在解题过程中，理解和掌握椭圆的性质和技巧是至关重要的。

本文将介绍高中数学椭圆秒杀技巧之弦长。

什么是椭圆在了解椭圆的弦长之前，首先需要了解什么是椭圆。

椭圆是平面上的一条封闭曲线，其定义是到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。

椭圆的形状取决于焦点之间的距离和离心率。

椭圆的弦长公式在椭圆上，弦是任意两点之间的线段，可以是水平的，也可以是斜的。

椭圆的弦长公式可以通过以下步骤推导而来：1.设椭圆的方程为：$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a和b分别是x轴和y轴上的半长轴。

2.假设弦的两个端点分别是(x1,y1)和(x2,y2)。

3.根据直线的斜率公式，可以得到直线的斜率：$k = \\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

4.将直线的斜率带入椭圆的方程，可以得到：$\\frac{x_1^2}{a^2} +\\frac{y_1^2}{b^2} = 1$和$\\frac{x_2^2}{a^2} + \\frac{y_2^2}{b^2} = 1$。

5.将上述两个方程相减，并整理得：$\\frac{y_2^2-y_1^2}{b^2} =\\frac{x_2^2-x_1^2}{a^2}$6.根据两点距离公式，可以得到弦的长度：$d = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

7.带入步骤5的结果，可以得到弦的长度公式：$d =\\sqrt{a^2(k^2+b^2)}$。

椭圆弦长实例为了更好地理解椭圆的弦长公式，我们举一个实例来演示计算过程。

假设有一个椭圆，其方程为$\\frac{x^2}{16} + \\frac{y^2}{9} = 1$。

已知椭圆上有两个点A(4, 3)和B(2, -3)，我们要求解弦AB的长度。

椭圆过原点的弦长

椭圆过原点的弦长椭圆是一个很有趣的几何图形，它在数学和工程中都有着广泛的应用。

首先，让我们来了解一下椭圆的基本性质。

椭圆是一个闭合曲线，其定义是到两个固定点的距离之和为常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的长轴长度。

当椭圆的焦点位于原点时，我们可以通过椭圆的参数方程来求解过原点的弦长。

椭圆的参数方程通常表示为：x = acos(t)。

y = bsin(t)。

其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t是参数。

对于过原点的弦，我们可以取椭圆上的两点，假设它们的参数分别为t1和t2，且满足t1<t2。

那么这两点连线的长度可以通过参数方程计算得出：d = sqrt((acos(t2) acos(t1))^2 + (bsin(t2) bsin(t1))^2)。

这里的sqrt表示平方根。

这就是过原点的椭圆弦长的计算公式。

除了参数方程，我们还可以通过椭圆的标准方程来求解过原点的弦长。

椭圆的标准方程通常表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

我们可以将过原点的弦表示为x = rcos(θ)，y = rsin(θ)，其中r是过原点的弦的长度，θ是弦与椭圆长轴的夹角。

将这个方程代入椭圆的标准方程中，然后解出r即可得到过原点的弦长。

最后，还有一种方法是利用椭圆的焦点与弦的性质来求解过原点的弦长。

根据椭圆的性质，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数。

利用这个性质，我们可以得到过原点的弦长。

综上所述，我们可以通过椭圆的参数方程、标准方程以及椭圆的性质来求解过原点的椭圆弦长。

这些方法可以帮助我们全面地理解和计算椭圆的弦长。

希望这些信息能够对你有所帮助。

2.2.2椭圆简单几何性质(第4课时)(直线与椭圆的弦长公式)

解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一
条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
2、若P(x,y)满足大值、最小值.
解：
,求
的直的最
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条
二、弦长公式
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公式：
其中
、
可以由韦达定理求得
例：已知斜率为1的直线L过椭圆交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未知数，得到二元一次方程；
(3)韦达定理；
为：
一、直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
回忆：直线与圆的相交弦长弦长公式：
椭圆的简单几何性质
(第四课时)
弦长公式Байду номын сангаас
要点·疑点·考

第100课--弦长问题

第100课弦长问题基本方法：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识.弦长公式：12AB x =-=12y y =-=抛物线焦点弦公式：已知抛物线()220y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于,A B 两点，设点()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB x x p =++.一、典型例题1.若直线(:2l y kx k =->与抛物线24x y =交于,A B 两点，且8AB =，求k的值.答案：k =解析：由224y kx x y=-⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2480x kx -+=，∵直线与抛物线交于两点，∴216320k ∆=->，解得22k >.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,8x x k x x +==，由题意得8AB ===，解得23k =，又k>，∴k =2.已知椭圆:Γ2212x y +=，过椭圆Γ的左焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆Γ于,A B 和,C D ，求11AB CD+的值.答案：见解析解析：易知()1,0F -，①当直线AB （或CD ）与x轴重合时，2AB a ==，22b CD a ==，则11AB CD +==AB （或CD ）与x 轴不重合时，不妨设()():10AB y k x k =+≠，则()1:1CD y x k =-+，将()1y k x =+代入221x y +=整理得：()2222124220k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+，∴AB =22112k k +=+，将1k -代换k 可得22221111212k k CD k k ++==++⋅；∴221121k AB CD k ++=++2222123311k k k k ++==++由①②可知，11AB CD +=.二、课堂练习1.已知曲线22:12516x y C +=，求过点()3,0且斜率为45的直线被C 所截线段的长度.答案：415解析：过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()2231x x -+=，即2380x x --=.∴12123,8x x x x +=⋅=-，∴线段AB 的长度为415B A ===.∴直线被C 所截线段的长度为415.2.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，若6AB =，求FM 的值.答案：3解析：抛物线的焦点为()1,0，设直线l 的方程为()1y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立()214y k x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得()2222240k x k x k -++=，12242x x k ∴+=+；由抛物线的定义可知12624x x AB p +=-=-=，故k =则线段AB 的中点坐标为()2,k ，线段AB 的垂直平分线的方程为()12y k x k -=--，令0y =，得4x =，3FM ∴=.三、课后作业1.已知抛物线2:12C y x =，直线:3l y kx =-过抛物线C 的焦点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，求,A B 两点间的距离.答案：24解析：由题知(3,0)F ，代入直线l 的方程得1k =，∴l 的方程为3y x =-，联立方程2312y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y 得21890x x -+=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则1218x x +=.∵AB 过焦点F ，∴12||624AB x x =++=.2.已知椭圆C ：221x y +=的左、右焦点分别为21,F F ，过点2F 作直线交椭圆C 于,M N 两点，若1234F F M π∠=，求弦长MN .答案：423MN =解析：因为1234F F M π∠=，所以直线MN 的倾斜角为4π或34π，当直线MN 的斜率tan 14k π==时，直线MN 的方程为1y x =-，联立22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得2340x x -=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12124,03x x x x +==，所以MN ===.由椭圆的对称性可知，当直线MN 的斜率tan 14k 3π==-时，423MN =.综上所述，423MN =.3.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且2AF FB = ，求弦长AB .答案：92AB =解析：由题意得焦点()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得2440y my --=，因为直线l 与抛物线交于,A B 两点，所以216160m ∆=+>.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-①.由2AF FB = 可得()()11221,21,x y x y --=-，所以122y y -=②，由①②消去12,y y 可得218m =，所以()21212924442AB x x m y y m =++=++=+=.即弦AB 的长为92.。

《椭圆的弦长公式》专题

鸡西市第十九中学高二数学组 1 《椭圆的弦长公式》专题

2018年（）月（）日班级姓名

从善如登,从恶如崩。——《国语》两点间距离公式：|AB|＝x1－x22＋y1－y22 完全平方公式： (a+b) 2＝ ① 完全平方公式： (a-b) 2＝ ② ①-②，得：

问题：设直线l：y＝kx＋m交椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22 ＝

＝＝同理可得|P1P2|＝|y1－y2|·1＋1k2 (k≠0). 鸡西市第十九中学高二数学组

2 1.已知椭圆2212521xy，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,AB两点，求AB.

2.已知直线y=2x-5与圆x2+y2=25相交于A，B两点，求AB 3.已知直线y=x+2与椭圆92x+2y=1相交于A，B两点，求AB 4.已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A．32 B．23

C.303 D.326

5.过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________. 鸡西市第十九中学高二数学组

3 6.已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点. (1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度； (2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.

7.已知动点P与平面上两定点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率的积为定值－12. (1)试求动点P的轨迹方程C； (2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝423时，求直线l的方程.

8.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C. (1)写出C的方程； (2)设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点，k为何值时OA→⊥OB→？此时|AB|的值是多少？鸡西市第十九中学高二数学组

椭圆的弦长与中点弦问题

2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质第六课时椭圆的弦长与中点弦问题【学习目标】会用代数方法解决椭圆的弦长和中点弦问题；【重难点】重点：椭圆的弦长和中点弦问题难点：会求椭圆的弦长和中点弦【学习过程】复习引入：1、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆有三种位置关系：相交，相切，相离。

2、直线与椭圆位置关系的判断方法——代数法设直线方程为m kx y +=与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 联立，消去y 得关于x 的一元二次方程)0(02≠=++A C Bx Ax 。

1、⇔>∆0直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。

2、⇔=∆0直线与椭圆有一个公共点⇔直线与椭圆相切，3、⇔<∆0直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离。

讲授新课：知识点一：直线与椭圆相交弦长的求法1、椭圆的弦：直线与椭圆相交，直线被椭圆所截得的线段，叫做椭圆的弦。

当直线过椭圆的焦点时，所截得的弦称为“焦点弦”。

2、弦长公式：设直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则弦长2122124)(1||x x x x k AB -++=2122124)(11y y y y k-++= 例1 （新课程导学P19例2）斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F ，交椭圆于B A ,两点，求||AB 。

练习：（新课程导学P20跟踪训练2-1）过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为知识点二：椭圆的通径垂直于长轴的焦点弦，叫做椭圆的通径，其长为ab 22知识点三：中点弦问题解决中点弦问题的基本方法——点差法。

点差法：设出交点坐标，代入椭圆方程，整体作差求直线的方程。

例2 （新课程导学P20例3）已知椭圆193622=+y x 和点)2,4(P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于B A ,两点。

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椭圆课时作业(1)

1.若直线20xym与椭圆22194xy （1）相交；（2）相切；（3）相离，求实数m。

2.已知直线l过椭圆22154xy的一个焦点F，交椭圆于点A、B，若直线l的倾斜角为3，
求弦AB的长。

3.已知斜率为1的直线l过椭圆2214xy的右焦点，交椭圆于点A、B，求弦AB的长。
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4.已知斜率为1的直线L过椭圆2214xy
的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。

5.求椭圆2244xy截直线yxt所得的最大弦长？
6.已知椭圆1222yx的左右焦点分别为21,FF,若过点1F)2,0(及P的直线交椭圆于
BA,
两点,求△2ABF的面积.
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7.已知椭圆C:22221(0)xyabab的一个顶点为(2,0)A，离心率为22.直线
(1ykx）
与椭圆C交于不同的两点M,N.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当△AMN得面积为103时，求k的值.

8.设椭圆C: 2222xy1ab (a>b>0)过点(0,4)，离心率为35.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.
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