八年级数学下册16.2、2、二次根式的加减第4课时
人教版八年级下册_16.2二次根式乘除(教案)
1.教学重点
-核心乘法法则：掌握√a * √b = √(a * b)，并能够应用于简化表达式和解决实际问题。
b.二次根式除法法则：理解√a / √b = √(a / b)，并能正确应用于题目中。
c.乘除混合运算：能够灵活运用乘除法则解决√a * √b / √c等形式的复合运算。
3.培养学生数学运算和数据分析能力：在二次根式乘除运算过程中，培养学生准确进行数学运算，并能对运算结果进行分析和判断。
4.培养学生合作交流和反思总结能力：通过小组讨论、课堂提问等形式，促进学生合作交流，培养学生自我反思和总结的能力。
本节课将重点关注学生在以上核心素养方面的培养，使他们在掌握知识的同时，提高综合素养。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式乘除的基本概念。二次根式乘除是指将两个或多个二次根式进行乘法或除法运算。它在数学运算中具有重要地位，帮助我们简化表达式，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式乘除在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
举例：计算2√3 * √6 / √2 + √5。学生应先进行乘除运算，得到6√2 / √2，然后简化为6 + √5。
教师应采取有效教学方法，如通过直观演示、逐步引导、例题讲解等，帮助学生突破以上难点，确保学生理解透彻。
人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除课标解读素材 (新版)新人教版
最新Word 欢送下载二次根式的乘除课标解读1.上一节引入了二次根式概念，研究二次根式的性质.由算术平方根的意义可知，，，…都是实数.当a取某个非负数值时，就是这个非负数的算术平方根，也是一个实数.既然是实数，就应该可进行四那么运算，那么其运算满足怎样的运算法那么？如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？就是我们要讨论的问题.2.由于二次根式的乘除比二次根式的加减运算简单，而且二次根式的加减要以二次根式的乘除作为根底，特别是最简二次根式.我们要先探究二次根式的乘除并了解最简二次根式的概念.3.?课标?要求“了解〞最简二次根式的概念，就是要求学生通过运算结果的比较，归纳出有些二次根式有两个特点：一是被开方数不含分母；二是被开方数中不含开得尽方的因数或因式.同时要求在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.4.二次根式的乘除法运算法那么，考虑到学生的年龄特征和认知水平，要从二次根式的实例出发，先让学生计算，发现结果的规律，由特殊到一般地归纳出二次根式的乘除法法那么，从而理解二次根式乘除法法那么的合理性，在此根底上，运用乘除法法那么进行二次根式的乘除运算，同时，在进行二次根式的乘法运算时，要用到积的算术平方根的性质，教学时要注意提醒学生注意，并注意使运算简单.5.二次根式的乘除法运算法那么的逆运算，可以用于二次根式的化简.在化简过程中，主要还要用到积的算术平方根的性质，在化简时，一般要先将被开方数进行因数分解，然后将能开得尽方的因数或因式开出来.6.?课标?的要求将本章的学习对象限定在“根号下为数的二次根式〞.为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高运算能力，也为今后的学习打下必要的根底，教材在正文中设置了“选学例题〞，采用举例的方式，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式〞的运算.7.本节内容要更加注重运算能力的培养，具体地落实在运算技能的训练上.8.鉴于“探索、发现、归纳，然后定义，再运用〞是解决代数问题的根本过程，教材中乘除法法那么都是采用从特殊到一般的归纳方式得出的；本章内容与实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很多相通之处，教学中应引导学生充分体会代数问题的根本思想和根本研究方法.。
人教版八年级数学下册全册集体备课教案
目录第十六章二次根式16.1 二次根式/2第1课时二次根式的概念/2第2课时二次根式的性质/416.2 二次根式的乘除/6第1课时二次根式的乘法/6第2课时二次根式的除法/8第3课时最简二次根式/1016.3 二次根式的加减/12第1课时二次根式的加减/12第2课时二次根式的混合运算/14 第十七章勾股定理17.1 勾股定理/17第1课时勾股定理/17第2课时勾股定理的应用(1)/19 第3课时勾股定理的应用(2)/21 17.2 勾股定理的逆定理/23第1课时勾股定理的逆定理(1)/23 第2课时勾股定理的逆定理(2)/25 第十八章平行四边形18.1 平行四边形/2818.1.1 平行四边形的性质/28第1课时平行四边形的性质(1)/28 第2课时平行四边形的性质(2)/30 18.1.2 平行四边形的判定/32第1课时平行四边形的判定(1)/32 第2课时平行四边形的判定(2)/34 18.2 特殊的平行四边形/3618.2.1 矩形/36第1课时矩形的性质/36 第2课时矩形的判定/3818.2.2 菱形/40第1课时菱形的性质/40第2课时菱形的判定/4218.2.3 正方形/44第十九章一次函数19.1 函数/4719.1.1 变量与函数/47第1课时变量/47第2课时函数/4919.1.2 函数的图象/5119.2 一次函数/5419.2.1 正比例函数/5419.2.2 一次函数/56第1课时一次函数/56第2课时求一次函数的表达式/59 19.2.3 一次函数与方程、不等式/61 19.3 课题学习选择方案/63第二十章数据的分析20.1 数据的集中趋势/6720.1.1 平均数/6720.1.2 中位数和众数/7020.2 数据的波动程度/7220.3 课题学习体质健康测试中的数据分析(略)/73教材典题变式/74第十六章二次根式主题二次根式课型新授课上课时间教学内容16.1二次根式;16.2二次根式的乘除;16.3二次根式的加减.教材分析二次根式是在学生学习过有理式(包括整式和分式)的基础上,进一步学习最基本的,也是最常用的无理式(无理式还包括n次根式).学习本章不仅是为以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容打下必要的基础,而且也是为继续学习高中数学提供了知识准备.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).(3)掌握·=,=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,并进行计算.(2)利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(3)利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本章的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经历探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点重点:1.二次根式(a≥0)是一个非负数;()2=a(a≥0);=a(a≥0)及其运用.2.二次根式加减乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.难点:1.对(a≥0)是一个非负数的理解;对等式()2=a(a≥0)及=a(a≥0)的理解及应用.2.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.知识结构课题二次根式课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解二次根式的概念,并利用(a≥0)的意义解答具体题目.2.过程与方法提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题.3.情感、态度与价值观通过本节的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点重点:二次根式的概念.难点:利用“(a≥0)”解决具体问题.教学活动设计二次设计课堂导入问题1:你能用带有根号的式子填空吗?(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为 m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与落下的高度h(单位:m)满足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,则t= .问题2:上面得到的式子分别表示什么意义?有什么共同特征?探索新知合作探究自学指导教师引导学生思考上面的问题,用算术平方根表示结果,可以进行适当的评价,帮助学生实现从数的算术平方根过渡到用含有字母的式子表示算术平方根.学生自己总结得出二次根式的概念.合作探究小组合作,探究以下例题:【例1】下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:,,,(x>0),,,-,,(x≥0,y≥0).分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.【例2】当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以x-2≥0,才有意义.续表探索新知合作探究【例3】当x是多少时,+在实数范围内有意义?分析:使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0.教师指导1.易错点:(1)(a≥0)表示a的算术平方根,它是一个非负数,即≥0.(2)从形式上看,二次根式必须有二次根号.(3)二次根式(a≥0)中a可以表示数、单项式、多项式以及符合条件的一切代数式.2.归纳小结:(1)形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.(2)要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.3.规律方法:当a>0时,表示a的算术平方根,因此>0;当a=0时,表示0的算术平方根,因此=0.所以(a≥0)是一个非负数.当堂训练1.下列式子中,是二次根式的是( )(A)-(B)(C)(D)x2.当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?3.已知a,b为实数,且+2=b+4,求a,b的值.板书设计二次根式的概念1.二次根式的定义2.二次根式有意义的条件教学反思课题二次根式课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解(a≥0)是一个非负数和()2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.过程与方法通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出(a≥0)是一个非负数,用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题.3.情感、态度与价值观通过本节的学习培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重难点重点:(a≥0)是一个非负数;()2=a(a≥0)及其运用.难点:用分类思想的方法导出(a≥0)是一个非负数;用探究的方法导出()2=a(a≥0).教学活动设计二次设计课堂导入等于什么?我们不妨取a的一些值,如2,-2,3,-3,…分别计算对应的a2的值,看看有什么规律:==2;==2;==3;==3;…你能概括一下的值吗?探索新知合作探究自学指导思考:(a≥0)是一个什么数呢?阅读课本后,根据算术平方根的意义填空: ()2= ;()2= ;()2= ;()2= ;2= ;2= ;得出二次根式的性质:()2=a(a≥0).合作探究小组合作,探究以下例题【例1】计算:(1)()2;(2)(2)2.探究:根据算术平方根的意义填空:= ;= ;= ;= .通过计算我们可以得到=2,=0.1,=,=0.一般地,根据算术平方根的意义:=a(a≥0).续表探索新知合作探究【例2】化简(1);(2).教师指导1.易错点:与要注意平方与开方的先后顺序.当先开方时,要求a≥0;当先平方时,a取任何实数都能使二次根式有意义.2.归纳小结:二次根式的性质(1)≥0(a≥0).(2)=a(a≥0).(3)=|a|=3.规律方法:当a是负数时,=-a,当a是非负数时,=a,所以在化简时,要注意把被开方数转化成一个数的平方的形式.当堂训练1.数a没有算术平方根,则a的取值范围是( )(A)a>0 (B)a≥0 (C)a<0 (D)a=02.(-)2= .3.把下列非负数写成一个数的平方的形式:(1)5;(2)3.4;(3);(4)x(x≥0).板书设计二次根式的性质1.二次根式的性质1:=a(a≥0);2.二次根式的性质2:=a(a≥0).教学反思课题二次根式的乘除课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能理解·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简.2.过程与方法发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.3.情感、态度与价值观通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识.教学重难点重点:·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0)及它们的运用.难点:发现规律,导出·=(a≥0,b≥0).教学活动设计二次设计课堂导入1.上节课我们学习了什么是二次根式以及二次根式的特点,现在,我们一起来复习一下这些基本的知识吧.(引导学生复习基本知识)2.在有理数的运算中,我们学习了加、减、乘、除四则运算,那么,在我们学习了二次根式之后,大家有没有考虑过,两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算?怎样运算?让我们从研究乘法开始.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试理解二次根式的乘法法则:一般地,对二次根式的乘法规定为·=.(a≥0,b≥0)合作探究1.小组合作,探究以下等式:=·(a≥0,b≥0)根据这个式子,我们可以利用它对二次根式进行化简.思考这样一个问题,=×成立吗?为什么?2.通过例题,小组可以总结出化简二次根式的一般步骤:(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.(2)应用=·(a≥0,b≥0)(3)应用=a(a≥0)化简3.例题探究(小组合作)【例1】若·=成立,试化简|x-4|+|x|. 【例2】已知是不大于20的整数,求整数x的值.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:在应用二次根式的乘法法则运算时,易忽略被开方数取非负数这个条件.2.归纳小结:(1)二次根式的乘法:·=(a≥0,b≥0).(2)积的算术平方根的性质:积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即:=·(a≥0,b≥0).3.规律方法:(1)两个二次根式相乘,等于被开方数相乘,根指数不变.(2)被开方数a,b可以是非负的数字、字母或代数式.(3)此性质可推广到多个非负因数的情况.当堂训练1.若直角三角形两条直角边的边长分别为 cm和 cm,那么此直角三角形斜边长是( )(A)3 cm (B)3 cm (C)9 cm (D)27 cm2.自由落体的公式为s=gt2(g为重力加速度,它的值为10 m/s2),若物体下落的高度为720 m,则下落的时间是.3.一个底面为30 cm×30 cm长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,铁桶的底面边长是多少厘米?板书设计二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0)2.积的算术平方根:=·(a≥0,b≥0)教学反思课题二次根式的乘除课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)会进行简单的二次根式的除法运算.(2)使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算. 2.过程与方法引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法,解决数学问题.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重难点重点:会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简,会进行简单的二次根式的除法运算.难点:二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.教学活动设计二次设计课堂导入计算下列各题,观察有什么规律?(1)= ;= .(2)= ;= .;.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成以下活动1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的?2.观察下面的例子,并计算:==；=类似地,再举几个例子,然后由这些特殊的例子,得出:=(a≥0,b>0)合作探究小组合作,探究以下例题【例1】计算:(1);(2)÷.【例2】化简:(1);(2).续表探索新知合作探究小组讨论,类比上节课内容,把=反过来,就得到=(a≥0,b>0),利用它就可以进行二次根式的化简.教师指导1.易错点:公式中a必须是非负数,b必须是正数,式子才成立.若a,b都是负数,虽然>0,有意义,但和在实数范围内无意义.当b=0时,无意义.2.归纳小结:(1)商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件).(2)会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.3.规律方法:(1)意义:两个二次根式相除,等于被开方数相除,根指数不变.(2)被开方数a可以是非负的数字、字母或代数式,b可以是正的数字、字母或代数式.(3)商要化成最简二次根式.(4)运算中可以运用分式性质约分.当堂训练1.计算÷÷的结果是( )(A)(B)(C)(D)2.已知x=3,y=4,z=5,那么÷的最后结果是.3.计算题:(1)9÷3×;(2)a2·b÷.板书设计二次根式的除法1.二次根式的除法运算=(a≥0,b>0)2.商的算术平方根=(a≥0,b>0)教学反思课题二次根式的乘除课时第3课时上课时间教学目标1.知识与技能理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式化成最简二次根式.2.过程与方法通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.3.情感、态度与价值观鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点重点:最简二次根式的运用.难点:会判断一个二次根式是否是最简二次根式.教学活动设计二次设计课堂导入请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)1.计算(1),(2),(3).2.现在我们来看本章引言中的问题:如果两个电视塔的高分别是h1 km,h2 km,那么它们的传播半径的比是.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试得到最简二次根式概念:若二次根式有如下两个特点:1.被开方数不含分母;2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.合作探究小组合作,探究以下例题.【例1】 (1)3;(2);(3).【例2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2.5 cm,BC=6 cm,求AB的长.续表探索新知合作探究教师指导1.易错点:将根号内指数大于或等于2的因式移到根号外时,要注意字母的取值范围.2.归纳小结:最简二次根式的两个特点:(1)被开方数不含分母.(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.当堂训练1.化简的结果是( )(A)- (B)(C)(D)2.化简= .(x≥0)3.a化简二次根式后的结果是.板书设计最简二次根式1.最简二次根式的概念2.化简二次根式教学反思课题二次根式的加减课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能掌握同类二次根式的概念;掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.2.过程与方法经历探索二次根式加减法法则的过程,理解掌握二次根式的加减法法则.3.情感、态度与价值观经历探索二次根式加减法法则的过程,类比的数学思想方法.教学重难点重点:掌握二次根式的加减法法则,并能够利用法则进行有关计算.难点:类比合并同类项的法则得出二次根式加减法法则的推导过程.教学活动设计二次设计课堂导入1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求?(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.问题:现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板?探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成课本习题.合作探究我们可以利用已学知识或已有经验来分组讨论、交流,看看+到底等于什么?小组展示讨论结果.教师引导验证:①设=a,类比合并同类项的方法计算.②学生思考,得出先化简,再合并的解题思路-=-5=-4可由这两道题目总结出方法.先化简,再合并-+=-5+2=3-5学生观察并归纳:二次根式化为最简二次根式后,被开方数相同的能合并.【例1】计算:(1)+; (2)-.分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并.【例2】计算:(1)2-6+3;(2)(+)+(-).续表探索新知合作探究探究注意点1.教师出示问题,指定学生板演,其他学生先独立完成,小组内讨论交流,教师巡视指点迷津.2.计算过程中,提示学生二次根式的加减与整式的加减相比较,强调哪些二次根式能合并,哪些不能合并.3.学生先自主、对于有困难的同学可以合作完成.教师指导1.易错点:把二次根式被开方数中能开得尽方的因数分解并开出来,或把被开方数的分母开出来,化成最简二次根式后再进行加减运算,注意不是被开方数相同的二次根式不能合并.2.归纳小结:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,找出被开方数相同的二次根式,然后把被开方数相同的二次根式分别合并.3.方法规律:二次根式的加减和整式的加减很相似,前者是合并被开方数相同的二次根式,后者为合并同类项.当堂训练1.以下二次根式:①;②;③;④中,与是同类二次根式的是( )(A)①和②(B)②和③(C)①和④(D)③和④2.计算5-3-7+9= .3.计算:(1)+(-);(2)(+)--.板书设计二次根式的加减1.二次根式的加减2.例题教学反思课题二次根式的加减课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系,在比较中求得方法,并能熟练地进行二次根式的混合运算.2.过程与方法(1)对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较,要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.(2)通过引导,在多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法.3.情感、态度与价值观通过独立思考与小组讨论,培养良好的学习态度,以及自我意识,并且注重培养学生的类比思想.教学重难点重点:混合运算的法则,明确三级运算的顺序,运算律的合理使用.难点:灵活运用因式分解、约分等技巧,使计算简便.教学活动设计二次设计课堂导入如果梯形的上、下底边长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少?毛毛是这样算的:梯形的面积:(2+4)×=(+2)×=×+2×=+2=2+6(cm2).他的做法正确的吗?由此可以看出,二次根式混合运算的依据是实数的运算律.探索新知合作探究自学指导自学课本,尝试完成以下问题【问题1】你能类比单项式与多项式乘除法则计算出下列各式吗?(1)(2-);(2)(-)÷.【问题2】你能根据多项式乘以多项式的方法计算(-2)(2-)吗? 【问题3】你能说出整式的乘法公式吗?你能根据公式计算吗?合作探究可以利用已学知识或已有经验来分组讨论、交流,根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的方法解决.(1)(2-)=4-(2)(-)÷=-=3-根据多项式相乘的方法进行.(-2)(2-)=6--4+4=10-5整式的乘法法则和公式仍然适用(-2)(+2)=-=-5=3+8-4=11-4.续表探索新知合作探究【例1】计算:(1)(+)×;(2)(4-3)÷2.分析:二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律.【例2】计算:(1)(+3)(-5);(2)(+)(-).探究注意点学生先独自思考,再小组合作,然后再到黑板板书其余学生分组练习.与老师一起分析、总结,交流.掌握运算的规律和方法教师指导1.归纳小结:二次根式的混合运算顺序为:先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先去括号,计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.在计算过程中,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,有时还需要逆用公式,这样可以简化计算过程.2.方法规律:在进行二次根式的化简时,要求分母中不含二次根式,而去掉分母中的二次根式的方法就是分母有理化,分母有理化的根据是分式的基本性质.当堂训练1.计算:(1)(-)2×(5+2);(2)(-)2+(+)2;(3)(2+3)(2-3).2.已知a=,b=,求的值.板书设计二次根式的混合运算1.二次根式的四则运算2.运用乘法公式和运算律进行计算教学反思第十七章勾股定理主题勾股定理课型新授课上课时间教学内容17.1勾股定理;17.2勾股定理及其逆定理.教材分析本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用,教材从实践探索入手,给学生创设学习情境,接着研究直角三角形的勾股定理,介绍勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用.勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质,反映了直角三角形三边之间的数量关系.在理论和实践上都有广泛的应用.勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法.在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中,勾股定理知识将得到更重要的应用.教学目标1.知识与技能(1)体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理,会运用勾股定理解决相关问题.(2)掌握勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),会运用勾股定理逆定理解决相关问题.(3)运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.过程与方法经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.3.情感、态度与价值观感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情.教学重难点重点:1.探索勾股定理并掌握勾股定理;2.直角三角形的判定方法(勾股定理的逆定理);3.勾股定理及其逆定理的应用.难点:1.从多个角度(代数、几何)探究勾股定理;2.勾股定理逆定理的应用;3.在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型.知识结构课题勾股定理课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程.2.过程与方法通过观察、归纳、猜想和验证勾股定理,体验由特殊到一般的探索数学问题的方法和数形结合的思想.3.情感、态度与价值观(1)通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.(2)对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究,对学生进行爱国主义教育.教学重难点重点:探索和证明勾股定理.难点:用拼图的方法证明勾股定理.教学活动设计二次设计课堂导入勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理.早在1955年,希腊发行了一张邮票,图案由三个棋盘排列而成.这个图案是对数学上一个非常重要定理的说明.在我国,人们称它为勾股定理或商高定理;在欧洲,人们称它为毕达哥拉斯定理.如图,我们可以发现,两个较小的正方形与较大的正方形正好围成一个直角三角形,两个较小正方形的面积和等于较大的正方形的面积,如果设较小的两个正方形的边长为a和b,你能表示较大的正方形的边长吗?试试看!探索新知合作探究自学指导自学课本,了解勾股定理的发展史及相关知识.合作探究让学生叙述课本23页猜想、画图,并说出已知、求证.命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边.求证:a2+b2=c2.到目前为止,对这个命题的证明方法已有几百种.探究我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的.提问:拼接后的图形是否是由原4个直角三角形和小正方形没有重叠、没有空隙地拼成的?拼接后的图形是什么图形?由此得到a2+b2=c2.小结:这种证法是面积证法.图形割补拼接后,只要没有重叠、没有空隙,面积不会改变.续表探索新知 合作探究 小组尝试探究下面的证法:做八个全等的直角三角形和分别以a,b,c 为边长的三个正方形.拼成如下两个图形: 提问:①这两个图形分别是什么图形? ②这两个图形的面积相等吗?③如何利用这两个图形证明a 2+b 2=c 2? 教师指导1.易错点:(1)勾股定理存在于直角三角形中,运用勾股定理必须具备“直角”的条件;(2)运用勾股定理要注意哪个角是直角,由此确定哪条边是斜边,抓住“斜边的平方等于两直角边的平方和”. 2.归纳小结: 勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a 2+b 2=c 2. 3.方法规律:(1)无论求斜边,还是求直角边,最后都要开平方.开平方时,由于边长为正,所以取算术平方根;(2)勾股定理是直角三角形的一条重要性质,它由一个角是直角作“因”,三边的数量关系作“果”,体现了由“形”到“数”的转化,是数形结合思想的一个典范. 当堂训练 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c= ;②若a=15,c=25,则b= ;③若c=61,b=60,则a= ;④若a ∶b=3∶4,c=10则S Rt △ABC = . 2.一个直角三角形的两边长分别为3 cm 和4 cm,则第三边的长为 . 3.已知,如图在△ABC 中,AB=BC=CA=2 cm,AD 是边BC 上的高.求①AD 的长;②△ABC 的面积.板书设计 勾股定理 1.勾股定理2.勾股定理的证明3.利用勾股解决问题教学反思。
八年级数学下册二次根式(全章)习题及答案(含答案)
二次根式16.1 二次根式：1. 有意义的条件是 。
2. 当__________3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =+成立的条件是 。
12. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）15. 若23a ，则）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -16. 若A ==（ ）A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a +17. 若1a≤）A. (1a-B. (1a-C. (1a-D. (1a-18.=x的取值范围是（）A. 2x ≠ B. 0x≥ C. 2x D. 2x≥19.）A. 0B. 42a- C. 24a- D. 24a-或42a-20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()2311223224==-==∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421.2440y y-+=，求xy的值。
22. 当a取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x24. 已知2310x x -+=25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。
16.2 二次根式的乘除1. 当0a ≤，0b__________=。
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除教学设计
-鼓励学生提问：在教学过程中，鼓励学生提出疑问，通过师生互动，及时解答学生的困惑。
-关注学生情感：在教学过程中，关注学生的学习情绪，通过积极反馈和鼓励，增强学生的自信心。
-评估学习效果：通过定期的测验和课堂表现，评估学生对二次根式乘除的掌握情况，并根据评估结果调整教学策略。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.回顾导入：首先，带领学生回顾上一节课的内容，即二次根式的概念和性质，通过提问方式检验学生对二次根式的基本理解。
-提问：“同学们，上一节课我们学习了二次根式，那么二次根式有哪些性质呢？请举例说明。”
-通过学生的回答，自然过渡到本节课的内容。
2.情境导入：创设一个与二次根式乘除相关的实际情境，如计算矩形草坪的面积和体积，引导学生思考如何解决这类问题。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，认识到数学在日常生活和未来职业中的重要性。
-通过二次根式乘除在实际生活中的应用案例，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.培养学生的耐心和毅力，面对复杂的二次根式乘除问题不退缩，勇于尝试和探索。
-教师应鼓励学生面对困难时保持积极态度，引导他们通过不同方法解决问题。
-讲解：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(b \neq 0\)）的推导过程，解释分母有理化的方法。
3.二次根式的合并与化简：通过具体例子，讲解如何合并同类二次根式和化简复杂二次根式。
-讲解：合并同类二次根式的步骤，以及如何将复杂二次根式化简为最简形式。
3.能够理解并运用二次根式的性质，如合并同类二次根式。
-学生能够将含有相同根指数的二次根式进行合并，如\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)。
沪科版八年级数学下册《【教案】 二次根式的加减》
教
学
过
程
教
学
过
程
学习目标（2分钟左右）
1.掌握同类二次根式的概念；
2.掌握二次根式的加减法法则，并能够利用法则进行有关计算。
出示自学提纲。（10分钟左右）
自学课本第10～11页，解决以下问题：
1.已知，△ABC的三边长分别是AC= m,BC= m,AB= m,那么△ABC的周长L等于多少呢？
2.如何计算 ？
3,。类比合并同类项的法则，你能总结二次根式的加减法的法则吗？
4.例4计算：
；
合作探究，解决疑难（15分钟左右）
（1）△ABC的周长L等于 。
（2）我们发现 、 都不是最简二次根式，分别化简：
= ， = ， = 。(几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。)
沪科版八年级数学下册
第4课时二次根式的加减
教学
目标
知识与能力：掌握同类二次根式的概念；掌握二次根式的加减法法则，并能够利用法则进行有关计算。
过程与方法：经历探索二次根式加减法法则的过程，理解掌握二次根式的加减法法则。
情感态度价值观：经历探索二次根式加减法法则的过程，类比的数学思想方法。
重难点
重点：掌握同类二次根式的概念；掌握二次根式的加减法法则，并能够利用法则进行有关计算。
1、下列计算是否正确，为什么？
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷
2、计算：⑴ ；⑵ ；
⑶ ；
⑷
课堂小结（2分钟）
1.什么是同类二次根式？
几个二次根式化为最简二次根式以后，被开方数相同。
2.怎样进行二次根式的加减法运算？一化、二找、三合并。
人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》
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考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
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考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
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考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
3－
2）＝
3
－ 2.
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考向探究
第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算