2019-2020年中考数学专题复习训练等腰三角形无答案2

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中考数学专题复习：等腰三角形

中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 下列命题中，属于假命题的是（）A.等腰三角形底边上的高是它的对称轴B.有两个角相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形底边上的中线平分顶角D.等边三角形的每一个内角都等于60∘2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.53. 如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）A.60∘B.30∘C.45∘D.15∘4. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是（）A.48∘B.21∘或69∘C.21∘D.48∘或69∘5. 已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝6. 等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是（）A.25B.12.5C.10D.6.257. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8. 一个角是60∘的等腰三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确9. 以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；①有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；①有两个角为60∘的三角形是等边三角形①三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A.只有①①①B.只有①①①C.只有①①①D.①①①①10. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）A.8B.7C.6D.511. 等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A.30∘B.30∘或150∘C.120∘或150∘D.120∘、30∘或150∘12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )A.140∘B.20∘或80∘C.44∘或80∘D.140∘或44∘或80∘二、填空题13. 等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________.14. 如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________.15. 如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16. 如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18. 从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形.19. 如图，BD//AC,BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：∠D=∠ABC．20. 如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21. 如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD 的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22. （1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来． 25.（2）如图①，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案13.【答案】30∘或150∘14.【答案】115.【答案】416.【答案】−3+3√331617.【答案】30∘或70∘18.证明：选择的条件是：①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；证明：在△BAD和△CDA中，① {∠B=∠C,∠BAD=∠CDA,AD=DA,① △BAD≅△CDA(AAS)，① ∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，① AE=DE，△AED为等腰三角形．19.证明：∵BD//AC，① ∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，① △EDB≅ABC(SAS)，① ∠D=∠ABC20.解：① 四边形ABCD是矩形，① ∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，① ∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，① AE=12DE=2，AD=√3AE=2√3．① DE⊥CE，∠A=90∘，① ∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，① ∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3， ① BE=√3BC=6，① AB=AE+BE=2+6=8，① 矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．21.解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：① AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，① ∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，① ∠BAC+∠CAD=180∘，① ∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，① ∠ACB−∠B=90∘，① ∠ACB=90∘+∠B，① ∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，① ∠B=12(90∘−∠BAC)，① ∠4=∠B+∠AEF，① AE平分∠DAC，① ∠3=∠4=∠B+∠AEF，① ∠BAC+∠3+∠4=180∘，① 2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，① ∠AEF=45∘，① ∠AFE=45∘，① △AEF是等腰直角三角形．22.【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图①．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。

2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形与直角三角形

2020年中考数学人教版专题复习：等腰三角形与直角三角形考点梳理等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例精析典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为 A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 （2019·延安市实验中学初二期末）如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是A ．AD ⊥BCB ．∠B =∠C C ．AB =2BDD ．AD 平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.拓展1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例精析典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．拓展2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例精析典例4如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE =1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键. 拓展3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例精析典例5 下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．拓展4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP 为等边三角形．直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例精析典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠BAC =60°．又AD 平分∠BAC ，∴∠BAD = ∠CAD =30°，∴∠BAD =∠B =30°，∴AD =BD =6，∴CD =12AD =3，故答案为：3．拓展5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例精析典例7cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键拓展6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度. 同步测试1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________.14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，∠=__________．则BAD16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.。

2024年九年级中考数学专题复习训练等腰三角形存在性问题(8)

1、如图，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标.
2、如图,在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C 移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动当P点或Q点到达终点时停止运动，在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t的值.
3、如图,直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一动点，直线PQ 与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标。

5、如图,已知四边形ABCD是矩形，AB=16，BC=12，点E在射线BC上，点F在线段 BD上，且∠DEF=∠ADB.设BE=x,当△DEF为等腰三角形时,求x的值.
x的图象上运动(不与O重合), 7、如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),动点P在y=√3
3
连接AP.过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围.
(2)试问:点P运动的过程中，∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是，请说明理由。

(3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.。

中考数学专题复习专题02 等腰三角形的存在性问题(解析版)

玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点．（1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【解析】试题分析：（1）把B 、C 的坐标代入，解方程组即可得到结论；（2）令y =0，求出A 、B 的坐标，设直线AD 交y 轴于点N ，求出求直线AN 的解析式，与抛物线联立成方程组，解方程组，即可得到D 的坐标；（3）求出直线AM 、AC 的解析式，当x =t 时，表示出HE ，HF ，HP ，得到HE =EF =HF ﹣HE =t +3，FP =243t t ---，由HE +EF ﹣FP =23t +（）＞0，得到HE +EF ＞FP ，再由HE +FP ＞EF ，EF +FP ＞HE ，得到当﹣3＜t ＜﹣1时，线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形．试题解析：解：（1）∵抛物线经过点B 、C ，∴ 10{3b c c ++==-，解得： 2{ 3b c ==-，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-；（2）令y =0，得： 2230x x +-=，解得： 11x =， 23x =- ，∴A （﹣3，0），B （1，0），设直线AD 交y 轴于点N ，∵∠DAB =45°，∴△NAO 是等腰直角三角形，N （0，3），可求直线AN 的解析式为y =x +3，联立223{ 3y x x y x =+-=+，解得： 3{ 0x y =-=或2{ 5x y ==，∴D 的坐标为（2，5）；（3）M （﹣1，﹣4），可求直线AM 的解析式为：y =﹣2x ﹣6，直线AC 的解析式为y =﹣x ﹣3，∵当x =t 时，HE =﹣（﹣t ﹣3）=t +3，HF =﹣（﹣2t ﹣6）=2t +6，HP =﹣（223t t +-）∴HE =EF =HF ﹣HE =t +3，FP =243t t ---， ∵HE +EF ﹣FP =2223433t t t t ++++=+（）（）＞0，∴HE +EF ＞FP ，又HE +FP ＞EF ，EF +FP ＞HE ，∴当﹣3＜t ＜﹣1时，线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形．【名师点睛】本题是二次函数的综合题，难度较大．解答第（2）问的关键是：利用∠DAB=45°，找出直线AN与y轴交点的坐标；解答第（3）问的关键是：用含t的代数式表示出HE，HF，HP，EF的长．【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-110）或P（-1，10）或P（-1，6）或P（-1，53）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x ，由此可得出P 的坐标． ②当CM=MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）． ③当CM=CP 时，因为C 的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM ，因此P 的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；（3）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE =S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF=BO-OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标．【详解】(1)∵抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=-⎩. ∴所求抛物线解析式为：y=−x 2−2x+3； (2)∵抛物线解析式为：y=−x 2−2x+3， ∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(−1,a )，当x=0时，y=3， ∴C(0,3),M(−1,0)∴当CP=PM 时,(−1)2+(3−a)2=a 2,解得a=53， ∴P 点坐标为：151,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；∴当CM=PM 时,(−1)2+32=a 2,解得a =，∴P 点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM=CP 时,由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6， ∴P 点坐标为：P 4 (−1,6).综上所述存在符合条件的点P,其坐标为(1,10)P -或 (1,10)P -- 或P(−1,6)或51,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)过点E 作EF ⊥x 轴于点F,设E(a,−a 2−2a+3)(−3<a<0)∴EF=−a 2−2a+3，BF=a+3，OF=−a ∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF 四边形=⋅++g ()()2211(3)2326()22a a a a a a =+⋅--++--+⋅- 2399222a a =--+23363228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当a=32-时,S 四边形BOCE 最大,且最大值为638. 此时,点E 坐标为315,24⎛⎫-⎪⎝⎭. 类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =--+；（2）BOCE S 四边形最大值为638，点E 坐标为315(,)24-；（3）存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -，或3(101,0)D 或4(4,0)D - 【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式即可得到答案；（2）设2(,23)(30)E a a a a --+-<<，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，利用11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形求出解析式即得到面积的最大值及点E 的坐标；（3）存在，分以点C 、A 为顶点及线段AC 为底边三种情况，分别求出点D 的坐标即可. 【详解】解：（1）由题知：309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴所求抛物线表达式为223y x x =--+ （2）过点E 作EF x ⊥轴于点F 设2(,23)(30)E a a a a --+-<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-，∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形 2211(3)(23)(233)()22a a a a a a =+--++--++•- 2399222a a =--+23363()228a =-++∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638.当32a =-时，2915233344a a --+=-++=此时，点E 坐标为315(,)24-（3）连接AC①当点C 为顶点，CA CB =时，此时CO 为底边的垂直平分线，满足条件的点1D ，与点A 关于y 轴对称， ∴点1D 坐标为(1,0)-②当点A 为顶点，AB AC =时，在Rt ACO ∆中， ∵1OA =，3OC =，由勾股定理得：10AC =以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交x 轴于两点23D D ，，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为2(101,0)D -，3(101,0)D +③当AC 为底边时，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点4D ，即为满足条件的点，设垂直AC 的垂直平分线交y 轴于点P ，过AC 中点Q ， ∵=90AOC BOC PQC ∠∠=∠=o ，BPO CPQ ∠=∠ ∴4ACO OD P ∠=∠ ∴4CPQ CAO D PO ∆∆∆::∴4OD CQ CP OA CO AC ==，106PQ =，5=3CP 4OD OP CQ PQ =，45331010-=，44OD =，点4D 的坐标为(4,0)-综上所述存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -+，或3(101,0)D +或4(4,0)D - 【名师点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，最值问题的确定需将所求问题列出解析式并配方为顶点式，即可得到答案；（3）是图形中存在等腰三角形问题，此类问题需分三种情况进行讨论，依次求出点的坐标. 【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2+3x﹣8；（2）点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）点Q有坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．【详解】（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，得，4a+2b+c=0 64a-8b+c=0 0a+0b+c=-8⎧⎪⎨⎪⎩解得，1a=2b=3c=8⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣，∴抛物线解析式为y＝12x2+3x﹣8；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴y BC＝﹣x﹣8，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝12FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：①如图2﹣1，当BQ＝BF时，由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，﹣解得，m1＝46，m2＝46∴Q1（0，46），Q2（0，46﹣）；②如图2﹣2，当QB＝QF时，由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解题，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；③如图2﹣3，当FB＝FQ时，由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；设直线BF的解析式为y＝kx+b，将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，得8k b=04k b=12⎧⎨⎩﹣＋﹣＋﹣，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴y BF＝﹣3x﹣24，当x＝0时，y＝﹣24，∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，∴点Q有坐标为（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）或（0，0）．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．【解析】【分析】（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；（2）作NQ垂直于x轴于点Q，①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得x N的最小值为6，此时t=3，PN 取最小值为．【详解】（1）设平移后抛物线的解析式，将点A（8，,0）代入，得=，所以顶点B（4,3），所以S阴影=OC•CB=12；（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得，解得：，所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：t＝12（舍去）；当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,故；②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得点N的横坐标为X N=，即t2﹣x N t+36﹣x N=0，由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得x N≥6或x N≤﹣14，又因为0＜x N＜8，所以x N的最小值为6，此时t=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．【名师点睛】本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）点D为OC的中点时，线段EF最长（3）当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形【解析】【分析】（1）由于已知抛物线与x轴交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E（t，-t+3），接着表示出D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的长，再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，从而判断点D是否为OC的中点；（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3）和利用两点间的距离公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可．【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；（2）他猜想正确．理由如下：设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（3，0）代入得，解得，则直线BC的解析式为y=﹣x+3，设E（t，﹣t+3），则D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，当t=时，EF最大，最大值为，此时D点坐标为（0，），所以点D为OC的中点时，线段EF最长；（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2，当CD=CF时，即t2=t2+（﹣t2+2t）2，解得t1=0，t2=2；当FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=；当DC=DF时，即t2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=3；综上所述，当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA所在直线的函数解析式是；（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=2x；（2）当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，(0，5﹣5或(0，﹣8)【详解】解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，所以直线OA的解析式为y=2x；故答案为y=2x；（2）设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），∴平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，当x=﹣2时，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，∴P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，理由如下：当x=0时，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，则Q（0，﹣m2+2m），∵OQ=m2﹣2m，OM=，当OM=OQ2﹣2m，即m2﹣（2m=0，解得m1=0（舍去），m2=2Q点坐标为（0，5﹣；当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时Q点坐标为（0，﹣8）；当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=，∵OQ∥AB，∴∠QOF=∠BAO，∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，∴OF OQAB OA=，即224=4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=34（舍去），综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5﹣0，﹣8）．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±.【详解】（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+；（2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --，过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH=12×4×DF=2×（2384m m --+） =23250233m -++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503．（3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求P A =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论：当P A =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）；当P A =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）．【详解】（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A（﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示． ∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37-，0）．（3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）； ②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．【答案】（1）y＝1 2 -x2＋2x＋3，F(6，-3) （2）①有，t=3；②1425t=，45，1，165【详解】（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）∴C点坐标为（0，3）∵抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C∴3{843cb c=-++=∴3{2cb==∴y＝12-x2＋2x＋3设直线AD的解析式为11y k x b=+∵A(4，0)、D(2，3) ∴111140{23k bk b+=+=∴113{26kb=-=∴362y x=-+2362{1232y xy x x=-+=-++∵F点在第四象限，∴F(6，-3)（2）∵E(0，6) ∴CE=CO连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小.设直线CF的解析式为22y k x b=+∵C(0，3)、F(6，-3) ∴2223{63bk b=+=-∴221{3kb=-=∴3y x=-+当y=0时，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3 ∴t=3 如图1，过M作MN⊥OA交OA于N∵△AMN∽△AEO，∴AM AN MN AE AO EO==13246213t AN MN==∴AN=t，MN=32tI．如图1，当PM=H M时，M在PH的垂直平分线上，∴MN=12PH ∴MN=3322t=∴t=1II．如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=32t，HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，222MN HN MH+=，2223()(42)32t t+-=，22564280t t-+=12t=（舍去），21425t=III．如图3．如图4，当PH=PM时，PM=3，MT=21425t=，PT=BC-CP-BT=42t-在Rt△PMT中，222MT PT PM+=，2223(3)(42)32t t-+-=，25t2-100t+64=01165t=，245t=∴1165t=，45，1，1655．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2）或（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴2点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3 ∴P 1（0，2），P 2（0，3﹣2）； ②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6；（2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE=PD ，点P （m ，-12m 2+2m+6），函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE=|2m-4|，即-12m 2+2m+6+m-6=|2m-4|，解得：m=4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17）故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）213442y x x =--；（2）E 的坐标为（825-5-、（0，﹣4）、（112，54-）；（3）28924，（173，16136-）．【详解】（1）∵二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、C （8，0）两点，∴4240{64840a b a b --=+-=，解得：14{32a b ==-，∴该二次函数的解析式为213442y x x =--；（2）由二次函数213442y x x =--可知对称轴x=3，∴D （3，0），∵C （8，0），∴CD=5，由二次函数213442y x x =--可知B （0，﹣4），设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴80{4k b b +==-，解得：1{24k b ==-，∴直线BC 的解析式为142y x =-，设E （m ，142m -），当DC=CE 时，22221(8)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(8)(4)52m m -+-=，解得1825m =-，2825m =+（舍去），∴E （825-，5-）；当DC=DE 时，22221(3)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(3)(4)52m m -+-=，解得30m =，48m =（舍去），∴E （0，﹣4）；当EC=DE 时，222211(8)(4)(3)(4)22m m m m -+-=-+-，解得5m =112，∴E （112，54-）．综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为（825-，5-）、（0，﹣4）、（112，54-）；（3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标为：，∵△PBD 的面积BOD PFD S S S S ∆∆=--梯形=221131131[4(4)](3)[(4)]342422422m m m m m m ---------⨯⨯=231784m m -+ =2317289()8324m --+，∴当m=173时，△PBD 的最大面积为28924，∴点P 的坐标为（173，16136-）．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+92m+32（1≤m＜3）；（3）线段BM上存在点N（75，165），（2，2），（1+105，4﹣2105）使△NMC为等腰三角形.【详解】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴0933b cc=-++⎧⎨=⎩,解得23 bc=⎧⎨=⎩,∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y=kx+n，则有403k nk n=+⎧⎨=+⎩,解得26 kn=-⎧⎨=⎩,∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6,∵PQ ⊥x 轴，OQ=m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣2m +6）S 四边形ACPQ =S △AOC +S 梯形PQOC =12AO•CO +12（PQ+CO ）•OQ （1≤m ＜3） =12×1×3+12（﹣2m +6+3）•m =﹣m 2+92m +32；（3）线段BM 上存在点N （75，165），（2，2），（，4）使△NMC 为等腰三角形,CM ，CN MN①当CM=NC =解得x 1=75，x 2=1（舍去）此时N （75，165），②当CM=MN =，解得x 1x 2舍去），此时N （1+5，4﹣5）.③当CN=MN 时，=解得x =2，此时N （2，2）．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（2，2﹣2）．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94，当n=32时，PM 最大=94；②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 22（不符合题意，舍），n 32， n 2﹣2n ﹣3=2-42，P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）所求抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++；（2）PAB ∆的面积S 有最大值是278，此时点P 坐标为115(,)24；（3）存在点Q 坐标为(321,0)--或(321,0)或(5,0)或(2,0). 【详解】解（1）Q 点()2,B m 在直线1y x =+上，213m ∴=+=，∴点B 坐标为()2,3，Q 点()1,0A -和点()2,3B 在抛物线22y ax x c =++上，20443a c a c -+=⎧∴⎨++=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩，∴所求抛物线的函数表达式为223y x x =-++；（2）过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交AB 于点N ，设点P 的横坐标为m ，则点P 的坐标为()2,23m m m -++，点N 的坐标为(,1m m +）， Q 点P 是位于直线AB 上方，PN PM MN ∴=-= 223(1m m m -++-+）2=2m m -++. PAB ∴∆的面积PAN PBN S S S ∆=+∆()()21212m m m =⨯-+++ ()()()()()222113222122222m m m m m m m m m +⨯-++-=-++++-=-++ 23127228m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭,302-Q ＜ ∴抛物线开口向下，又12m ＜＜-， ∴当12m =时， PAB ∆的面积S 有最大值，最大值是278. 此时点P 坐标为115,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）存在点Q 坐标为()321,0-或()321,0或()5,0或()2,0.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 3，0），抛物线的对称轴为x 3；（2）点P 303，﹣4）；（3）32．【详解】（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3或x =33A 的坐30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3．（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3，∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）．设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD =P A 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）．当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 34）．综上所述，点P 3034）．。

2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析

2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：22．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（）A.B.C. D.3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（）A. B. C. D.4．下列计算的结果是a 6的为（） A ．a 12÷a 2B ．a 7﹣aC ．a 2•a 4D ．（﹣a 2）35．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<7．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°9．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A→C→B 运动，点Q 从点A 出发以vcm/s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sinB ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（） A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．612．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M ，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M 是______．14．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______.15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC=4AM ，设BD=m ，那么∠ACD 的正切值是______（用含m 的代数式表示）16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在3x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17 ______.18．如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．三、解答题19．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.22．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4(1)求这个二次函数表达式．(2)此函数图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标及△ABC的面积．(3)该函数值y能否取到﹣6？为什么？23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2； ①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．25．解不等式组1531x x x +≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________； (Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．153 14．1215．316． 17．18．20 三、解答题19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【解析】【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出OA OCCD CB=，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：-k0 33mk m+=⎧⎨+=⎩，解得：3k434m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34．联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（97，127）．（3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0）， ∴CD，BC，BD∴CD 2+BC 2＝BD 2， ∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3， ∴OA OC CD CB ==．又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°， ∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ．如图2，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ． ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC ．又∵△AOC ∽△DCB ， ∴△ACQ ∽DCB ，∴AC AQDC DB =AQ=， ∴AQ ＝10，∴点Q 的坐标为（9，0）．综上所述：当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P 的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q 的坐标．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是2．【解析】【分析】（1）根据AC 为⊙O 直径，得到∠ADC ＝∠CBA ＝90°，通过全等三角形得到CD ＝AB ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到NB ＝12MF ＝NF ，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB 是⊙O 的切线；（3）根据垂径定理得到DE ＝GE ＝6，根据四边形ABCD 是矩形，得到∠BAD ＝90°，根据余角的性质得到∠FAE ＝∠ADE ，推出△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质列比例式得到AE ＝，连接OD ，设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ADC ＝∠CBA ＝90°，在Rt △ADC 与Rt △CBA 中，AC ACAD BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CBA ， ∴CD ＝AB ， ∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠CBA ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形；（2）连接OB ，∵∠MBF ＝∠ABC ＝90°， ∴NB ＝12MF ＝NF ， ∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣）2+62＝r2，∴r，∴⊙O的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．21．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；【解析】【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，第10天时销售利润最大.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x 的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．(1)y ＝x 2+4x ﹣1；(3)函数值y 不能取到﹣6；理由见解析. 【解析】【分析】(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c ，求得a 、c 的值即可求得；(2)令y ＝0，解方程求得A 、B 点的坐标，令x ＝0，求得y ＝﹣1，得到C 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△ABC 的面积；(3)把(1)中求得的解析式化成顶点式，求得函数y 的最小值为﹣5，故函数值y 不能取到﹣6．【详解】解：(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c 得48544a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数表达式为y ＝x 2+4x ﹣1； (2)令y ＝0，则x 2+4x ﹣1＝0，解得x∴A(﹣20)，B(﹣0)，令x ＝0，则y ＝﹣1， ∴C(0，﹣1)，∴△ABC 的面积：12AB•OC＝12(﹣ (3)∵y ＝x 2+4x ﹣1＝(x+2)2﹣5， ∴函数y 的最小值为﹣5， ∴函数值y 不能取到﹣6．【点睛】本题考查了抛物线和x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．．【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ），在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ），答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ，得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①BD ；②AC =【解析】【分析】（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；②由AC=AE+CE 可求解．【详解】证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）；（2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；∴BE ＝CE ，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD∴AB ＝2BE ＝，AE ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°∴60BD 1803π︒︒⨯⨯==②∵AC ＝AE+CE∴AC +【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4，故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1，解得：x>12，故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x<≤，故原不等式的解集为：142x<≤，故答案为：14 2x<≤【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元 2．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 3．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（）A.2B.3C.5D.12 4．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①5．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（）A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18B ．36C ．41D ．58o7．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×10118．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线且交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，若AB ＝8cm ，则△DBE 的周长（）A ．B ．cmC ．8cmD ．cm9．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④ 10．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（）A. B. C. D.11．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则Rt ABC ∆的中线CD 的长为（）A.5B.6C.8D.1012．如果方程x 2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为（） A.34 B.35 C.45 D.34或35二、填空题13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。

2019-2020学年九年级数学中考复习第19课时三角形及其全等课后训练试题(无答案)

第19课时三角形及其全等课时作业1．在△ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( )A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°2．如图，点D 、E 分别是△ABC 边BA 、BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为( )A ．2B .43C ．3D .323．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，若∠A ＝54°，∠B ＝46°.则∠CDE 的大小为( )A ．45°B ．40°C ．39°D ．35°4．如图，DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且AC ＝8，BC ＝5，则△BEC 的周长是( )A ．12B ．13C ．14D ．155．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E .若AD ＝3 cm ，则BE 的长为( )A .332 cmB ．4 cmC ．3 2 cmD ．6 cm7．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A ＝60°，则∠BEC 是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．如图，△ABC ≌△DEC ，B ，C ，D 在同一直线上，且CE ＝3 cm ，CD ＝6 cm ，则BD 的长为( )A ．9 cmB ．6 cmC ．3 cmD ．不确定9．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，无法判定△ABC ≌△DEF 的是( )A ．∠A ＝∠DB ．AC ＝DF C ．AB ＝ED D ．BF ＝EC10．如图，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝EF ，FC ∥A B.若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．211．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM .下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BM C.其中正确的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．112．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( )A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB13．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E.若DE＝1，则BC的长为( )A．2＋2 B.2＋3C．2＋3D．314．如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC ≌△DEF，则还需添加的一个条件是______________(只填一个即可)．15．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D；②AC＝DB；③AB＝DC，其中能确定△ABC≌△DCB的是_______(只填序号)．16．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝．17．用三角板作ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是（）A B C D18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DE C.若AB＝6，则CD＝________.19．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD＝________．20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB 与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①21．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.(1)求证：∠C＝∠BAD；(2)求证：AC＝EF.24．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．（3）如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．。

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定(附解析)

2019年中考数学知识点过关培优训练卷：等腰三角形的性质与判定一．选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．80°B．75 C．65°D．60°2．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，点D在BC的延长线上，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A．12 B．10C．8 D．不确定4．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm25．在等腰三角形△ABC（AB＝AC，∠BAC＝120°）所在平面上有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC的面积为10cm2，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6 cm2D．7 cm27．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．①EF＝BE+CF②∠BOC＝90°+∠A③点O到△ABC各边的距离相等④设OD＝m，AE+AF＝mn，正确的结论有（）个．＝n，则S△AEFA．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC 相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（）A．BM+CN＝MN B．BM﹣CN＝MN C．CN﹣BM＝MN D．BM﹣CN＝2MN 9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．910．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF＝（）A．2B．1+C．6 D．3二．填空题11．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若DE＝6cm，AE＝5cm，则AC＝cm．12．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．若AB＝7，AC＝6，那么△AMN的周长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB上的点，BD＝CD＝5，则AD＝．15．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距m．16．如图，已知BD⊥AG，CE⊥AF，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝3，ED ＝2，GC＝5，则△ABC的周长为．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF ＝2，BF＝3，则CE的长度为．18．如图，△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分线交BC于点E，CD⊥AE于点D，若AC＝13，AD＝12，则AB＝．19．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝6，则AC 的长为．20．如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm，∠DPE＝°．三．解答题21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，22．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP 的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：（1）△APM是等腰三角形；（2）PC＝AN．23．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝10cm，∠A＝∠C＝90°，点E、点F分别在边AB、CD上，且EF∥BC，∠DEF＝∠FBC．（1）求证：∠AED＝∠EBF；（2）当∠EBF＝∠FBC时，EF＝cm．24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC延长线上任意一点，过点D作DE∥AB，与AC延长线交于点E．（1）则△CDE的形状是；（2）若在AC上截取AF＝CE，连接FB、FD，判断FB、FD的数量关系，并给出证明．25．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度数；（2）求CN的长．26．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，CD＝4．（1）求BC的长；（2）如图2，若∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．请判断△DEF的形状并证明你的结论．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，填空∠B＝°，∠C＝°；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2①求证：△ANE是等腰三角形；②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．29．如图，已知BD平分∠ABC，AD∥BC，且AC＝AD．（1）求证：△ABD为等腰三角形；（2）判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．30．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．31．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S 的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣20°）＝80°．故选：A．2．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．故选：B．3．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．4．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP ＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC ＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，故选：C．5．解：如图，满足条件的所有点P的个数为2，故选：B．6．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP 和△EBP 中，，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP ＝PE ，∴S △ABP ＝S △EBP ，S △ACP ＝S △ECP ，∴S △PBC ＝S △ABC ＝×10＝5（cm 2），故选：B ．7．解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠ABC ，∠OCB ＝∠ACB ，∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠OBC +∠OCB ＝90°﹣∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝90°+∠A ；故②正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝∠OBE ，∠OCB ＝∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC ＝∠EOB ，∠OCB ＝∠F OC ，∴∠EOB ＝∠OBE ，∠FOC ＝∠OCF ，∴BE ＝OE ，CF ＝OF ，∴EF ＝OE +OF ＝BE +CF ，故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE +S △AOF ＝AE •OM +AF •OD ＝OD •（AE +AF ）＝mn ；故④正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选：D．8．证明：∵ON∥BC，∴∠MO C＝∠OCD∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠DCO，∴∠NOC＝∠OCN，∴CN＝ON，∵ON∥BC，∴∠MOB＝∠OBD∵BO平分∠ABC，∴∠MBO＝∠CBO，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM∵OM＝ON+MN，OM＝BM，ON＝CN，∴BM＝CN+MN，∴MN＝BM﹣CN．故选：B．9．解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB ＝AH ，∵AD ⊥B H ，∴BD ＝DH ，∵DC ＝CA ，∴∠CDA ＝∠CAD ，∵∠CAD +∠H ＝90°，∠CDA +∠CDH ＝90°，∴∠CDH ＝∠H ，∴CD ＝CH ＝AC ，∵AE ＝EC ，∴S △ABE ＝S △ABH ，S △CDH ＝S △ABH ，∵S △OBD ﹣S △AOE ＝S △ADB ﹣S △ABE ＝S △ADH ﹣S △CDH ＝S △ACD ，∵AC ＝CD ＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C ．10．解：如图：过点D 作DM ⊥EF 于点M ，在△BDE 内部过E 、F 分别作∠MEP ＝∠MFP ＝30°，则∠EPF ＝∠FPD ＝∠EPD ＝120°，点P 就是费马点，在等腰Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝，DM ⊥EF ，∴EF ＝DE ＝2∴EM ＝DM ＝1，故cos30°＝，解得：PE ＝，则PM ＝，故DP ＝1﹣，同法可得PF ＝则PD +PE +PF ＝2×+1﹣＝+1．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．解：∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC＝4cm，∵AE＝5cm，∴AC＝AE+EC＝5+6＝11（cm）．故答案为：11．12．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝7，AC＝6，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．13．解：如图：可以画出7个等腰三角形；故答案为7．14．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵BD＝DC，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴AD＝DC＝5，故答案为5．15．解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵C在B地的北偏东30°方向，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝200m．故答案为：200．16．解：∵AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴AB＝BG，AC＝FC．∴AE＝EF，AD＝GD∴ED是△AFG中位线，∴FG＝2ED＝4；∴BG＝AB＝BF+FG＝7，CF＝AC＝CG+FG＝9，＝3+7+9+9＝28．∴C△ABC17．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，∴∠E＝∠BFP，又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE，∴AF＝AE，∴△AEF是等腰三角形．又∵AF＝2，BF＝3，∴CA＝AB＝5，AE＝2，∴CE＝7．18．解：∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠CAD，∵CD⊥AE，∴∠D＝∠B＝90°，∵AC＝13，AD＝12，∴CD＝5，∵∠AEB＝∠CED，∴∠BAE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠DAC，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴AE＝，∵∠BAE＝∠DAC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴，∴＝，∴AB＝，故答案为：．19．解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，DE＝7，CE＝6，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝7，∴AC＝AE+CE＝7+6＝13．故答案为：13．20．解：（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．故答案为8（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．故答案为56．三．解答题（共11小题）21．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．22．证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM＝∠ANM＝90°，∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PAQ＝∠AMN，∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA＝∠ANM＝90°，∴在△PQA与△ANM中，，∴△PQA≌△ANM（ASA）∴AP＝AM，∴△APM是等腰三角形；（2）由（1）知，△PQA≌△ANM，∴AN＝PQ AM＝AP，∴∠AMB＝∠APM∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°∴∠ABM＝∠PBC∵PQ⊥AB，PC⊥BC∴PQ＝PC（角平分线的性质），∴PC＝AN．23．解：（1）∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠DEF＝∠EFB，∴ED∥BF，∴∠AED＝∠EBF；（2）∵EF∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠DFE＝∠C＝∠A＝90°，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠DEF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠FBC，∵∠AED＝∠FBC，∴∠AED＝∠DEF，在△AED与△FED中，，∴△AED≌△FED（AAS），∴AE＝EF，∵∠EBF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠EBF，∴BE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝5，∴EF＝5．故答案为：5．24．解：（1）△CDE是等腰三角形，理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠DCE＝∠CDE，∴△CDE是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）BF＝DF，理由：∵AB∥DE，∴∠A＝∠E，∵AF＝CE，∴AF＝DE，AF+CF＝CE+CF，即EF＝AC＝AB，在△AFB与△EDF中，∴△ABF≌△EDF（SAS），∴BF＝DF．25．解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，又∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，∵∠A＝90°，∴∠B＝×90°＝30°；（2）由（1）得，∠AMN＝∠B＝30°，∠MCN＝∠CMN，∠A＝90°，∴MN＝2AN＝2，MN＝CN，∴CN＝2．26．解：（1）∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠ABD＝∠CBD，∴BC＝CD＝4；（2）△DEF是等边三角形，理由：∵BC＝CD，CF⊥BD，∴BF＝DF，又∵DE⊥AB，∴EF＝BD＝DF，∵∠BDE＝90°﹣∠EBD＝90°﹣×60°＝60°，∴△DEF是等边三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．解：（1）∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，故答案为：36；72；（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，在△ACD中，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝72°，∴∠CAD＝36°，∴∠BAD＝∠CAD＝36°，∵MH⊥AD，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠AEN＝∠ANE＝54°，即△ANE是等腰三角形；②CD＝BN+CE．证明：由①知AN＝AE，又∵BA＝BC，DB＝AC，∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，即CD＝BN+CE．29．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠D＝∠BDC，∴∠ABD＝∠D，∴△ABD为等腰三角形；（2）∠C＝2∠D，理由：∵△ABD为等腰三角形；∴AB＝AD，∵AD＝AC，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝2∠D．30．（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°∵AB∥DE，∴∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠CDE＝30°，∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，即△FCD为等腰三角形；（2）解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，在△DCE和△CAB中，，∴△DCE≌△CAB，（ASA），∴CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°．31．解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．。

2020年九年级中考数学复习等腰三角形练习题

等腰三角形练习基础训练1.若等腰三角形的顶角为70°,则它的底角的度数为()A.30°B.40°C.50°D.55°2.[2019·天水]如图,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(1,)C.(,1)D.(,)3.[2018·福建B卷]如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°4.[2018·雅安]如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,BC=,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为()A.2B.2C.D.5.[2018·凉山州]如图在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN,交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C等于()A.70°B.60°C.50°D.40°6．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O.若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是( )A．60°B．55°C．50°D．40°第7题图7．(2019·天水)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( ) A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)8.如图，在△ABC中，AC＝BC＜A B．若∠1，∠2分别为∠ABC，∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确( )A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2C．∠A＋∠2＜180°D．∠A＋∠1＞180°第8题图第9题图9．(2019·宁夏)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在边AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为( )A．40° B．45°C．55°D．70°10．(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )A．60° B．65°C．75°D．80°11．如图，一副三角尺叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M .如果∠ADF ＝100°，则∠BMD 的度数为( )A ．85°B ．95°C ．75°D ．65°12. 如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB ＝AC ，∠CAD ＝20°，则∠ACE 的度数是( )第12题图A. 20°B. 35°C. 40°D. 70°13. (2019内江)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( )A. 16B. 12C. 14D. 12或1614. 如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE ＝140°，则∠DEF ＝( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°第14题图15. (2019贵阳)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM交AB 于点E .若AE ＝2，BE ＝1，则EC 的长度是( )第15题图A. 2B. 3C. 3D. 516. (2018陕西)如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为( )A. 43 2B. 2 2C. 832 D.3 2第16题图17．(2019·毕节)如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为 °.第17题图第18题图18．(2019·镇江)如图，直线a ∥b ，△ABC 的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若△BCD 是等边三角形，∠A ＝20°，则∠1＝ °.19．(2019·绥化)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A ＝ °.20．(2019·武威)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ .21.[2019·宜宾]如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且点A ,C ,E 在同一直线上,AD 与BE ,BC 分别交于点F ,M ,BE 与CD 交于点N.下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号).①AM=BN ;②△ABF ≌△DNF ;③∠FMC+∠FNC=180°;④=+.22.[2018·嘉兴] 如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 为AC 的中点,DE ⊥AB ,DF ⊥BC ,垂足分别为点E ,F ,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.23.[2019·无锡]如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD相交于点O.求证:(1)△DBC≌△ECB;(2)OB=OC.24.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是等腰三角形,∠BDC=120°,以D为顶点作∠MDN,DM,DN 分别交AB,AC边于M,N两点,且∠MDN=60°,连接MN.试探究BM,MN,CN之间的数量关系,并加以证明.25．(2019·重庆B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.26．(2019·重庆A卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；(2)求证：FB＝FE.27．(2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．(1)如图1，已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．(2)如图2，以点B为圆心，线段AB长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．图1 图228．(2019·攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE.求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；(2)∠BEC＝3∠ABE.29．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到点C(D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E.设∠BAD＝x°，∠AED＝y°.(1)当BD＝AD时，求∠DAE的度数；(2)求y与x之间的关系式；(3)当BD＝CE时，求x的值．备用图提升训练1. 如图，△CDE与△CAB是以C为顶点的等腰三角形，其中CD＝CE，CA＝CB，且∠DCE ＝∠ACB＝120°，A，D，E三点在同一条直线上，连接BE，若CE＝2，BE＝3，则AE的长为________．第3题图2. 数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．答案：等腰三角形练习基础训练1.D2.B3.A[解析]∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵AD ⊥BC ,∴BD=CD ,AD 是BC 的垂直平分线. ∴BE=CE.∴∠EBC=∠ECB=45°. ∴∠ECA=60°-45°=15°.4.C [解析]在△ABC 中,AB=AC ,∠C=72°,所以∠ABC=72°,∠A=36°.因为BC=BD ,所以∠BDC=72°.所以∠ABD=36°.所以AD=BD=BC=.故选C .5.C [解析]由作图可知MN 为线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD ,∠DAB=∠B=25°.∵∠CDA 为△ABD 的一个外角,∴∠CDA=∠DAB +∠B=50°. ∵AD=AC ,∴∠C=∠CDA=50°.故选C .6．B 7.B8.C 9.C 10.D11.A 12. B13. A 【解析】方程x 2－8x ＋15＝0的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.14. C 【解析】∵DE ⊥AC ，∠BDE ＝140°，∴∠A ＝50°，又∵AB ＝AC ，∴∠C ＝180°－50°2＝65°，∵EF ⊥BC ，∴∠DEF ＝∠C ＝65°. 15. D 【解析】由尺规作图步骤可知，CM 为AB 的垂线，即△AEC 为直角三角形，∵△ABC 是等腰三角形，∴AC ＝AB ＝AE ＋BE ＝3，在Rt △AEC 中，CE ＝AC 2－AE 2＝ 5.16. C 【解析】∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在Rt △ACD 中，∵∠C ＝45°，AC ＝8，∴AD ＝AC ·sin45°＝8×22＝42，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝90°－60°＝30°，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠DBE ＝30°，∴∠BAD ＝∠ABE ，∴AE ＝BE ，在Rt △BDE 中，∵∠DBE ＝30°，∴DE ＝12BE ＝12AE ，∵AE ＋DE ＝AD ，∴AE ＋12AE ＝42，∴AE ＝83 2.17． 34 18.40 19.36 20. 85或14.21.①③④ [解析]①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=60°,∴∠ACB +∠BCD=∠ECD +∠BCD , 即∠BCE=∠ACD ,在△BCE 和△ACD 中,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∠BEC=∠ADC,∠CBE=∠CAD,在△DMC和△ENC中,∴△DMC≌△ENC(ASA),∴DM=EN,CM=CN,AD-DM=BE-EN,即AM=BN.②∵∠ABC=60°=∠BCD,∴AB∥CD,∴∠BAF=∠CDF.∵∠AFB=∠DFN,∴△ABF∽△DNF,找不出全等的条件.③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°,∠FBC=∠CAF,∴∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°,∴∠AFB=∠ACB=60°,∴∠MFN=120°.∵∠MCN=60°,∴∠FMC+∠FNC=180°.④∵CM=CN,∠MCN=60°,∴△MCN是等边三角形,∴∠MNC=60°.∵∠DCE=60°,∴MN∥AE,∴==.∵CD=CE,MN=CN,∴=,∴=1-,两边同时除以MN,得=,∴=.故答案为①③④. 22.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.23.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ECB=∠DBC.在△DBC与△ECB中,∴△DBC≌△ECB(SAS).(2)由(1)知△DBC≌△ECB,∴∠DCB=∠EBC,∴OB=OC.24.解:BM+CN=NM.证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE.∵△BDC是等腰三角形,△ABC是等边三角形,∠BDC=120°, ∴∠BCD=∠CBD=30°,则∠ABD=∠ACD=90°,∴∠ABD=∠DCE=90°.在△DCE和△DBM中,BM=CE,∠DBM=∠DCE,BD=DC,∴Rt△DCE≌Rt△DBM(SAS),∴∠BDM=∠CDE,DM=DE.又∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°,∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,∴∠MDN=∠NDE=60°.在△DMN和△DEN中,DM=DE,∠MDN=∠NDE,DN=DN,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE,∴BM+CN=NM.25．(1)解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠C＝42°，∴∠B＝∠C＝42°，∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－42°＝48°.(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD．∴∠BAD＝∠F.∴AE＝FE.26．(1)解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－36°＝54°.(2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.∴∠FBE＝∠FEB．∴FB＝FE.27．(1)证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB．∴∠B＝∠BAP.∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APC＝2∠B．(2)解：根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA．∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B＋∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B．∵∠BAQ＋∠BQA＋∠B＝180°，∴5∠B＝180°.∴∠B＝36°.28．证明：(1)如解图，连接DE.∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE.∴DE＝CE.又∵BD＝CE，∴BD＝DE.∴点D在BE的垂直平分线上．(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE.∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB．又∵∠ADE＝∠DBE＋∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE.又∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE.29．解：(1)当BD＝AD时，∠B＝∠BAD＝30°.∵AB＝AC，∴∠BAC＝120°.∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.(2)由题意可知，∠BAD＋∠DAE＝120°，即x°＋∠DAE＝120°.又∵∠AED＋∠DAE＝180°－∠ADE＝150°，即y°＋∠DAE＝150°.两式相减，得y－x＝30，即y＝x＋30.(3)由题意可知，∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠EDC, 且∠B＝∠ADE＝30°，∴∠BAD ＝∠CDE .又∵∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△DCE (AAS)．∴CD ＝BA ＝AC ．∴△ACD 为等腰三角形，且∠C ＝30°.∴∠DAE ＝75°.∴x ＝∠BAC －∠DAE ＝120°－75°＝45°.提升训练1. 3＋2 3 【解析】如解图，过点C 作CM ⊥AE 于点M ，∵∠DCE ＝∠ACB ＝120°，∴∠BCE ＋∠DCB ＝∠ACD ＋∠DCB ＝120°，∴∠BCE ＝∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE ＝3，∵CD ＝CE ＝2，CM ⊥DE ，∠DCE ＝120°，∴在Rt △CME 中，∠ECM ＝12∠DCE ＝12×120°＝60°，∴ME ＝CE ·sin60°＝2×32＝3，∴DE ＝2ME ＝23，∴AE ＝AD ＋DE ＝3＋2 3.第3题解图2 解：(1)当∠A 为顶角，则∠B ＝50°；当∠A 为底角，若∠B 为顶角，则∠B ＝20°；若∠B 为底角，则∠B ＝80°，∴∠B ＝50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x <180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个．②当0<x <90时，若∠A 为顶角，则∠B ＝(180－x 2)°，若∠A 为底角，则∠B ＝x °或∠B ＝(180－2x )°，当180－x2≠180－2x且180－x2≠x且180－2x≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上①②，当0<x<90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．。

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A B C D P
E D C B A (第1题
) A D
B E 2019-2020年中考数学专题复习训练等腰三角形无答案2
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）
(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个
2．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA =5，则线段PB 的长度为（）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
3．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）
A ．两边之和大于第三边
B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C ．有两个锐角的和等于90°
D ．内角和等于180°
4.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．不能确定第2题图第4题图 5．如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。

线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于
E ，连接BE ，则∠CBE 等于（）
A 、80°
B 、 70°
C 、60°
D 、50°
6．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )
A ．8
B ．7
C ． 4
D ．3
7．如左下图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（）
A.100°
B.80°
C.70°
D.50°
8．如右下图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（）
A ．BC ＝2BE
B ．∠A ＝∠EDA
C ．BC ＝2A
D D ．BD ⊥AC
第7题第8题
C
9如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是为等腰三角形．．．．．
，则点C 的个数是（）第13题图
B ．7
C ．8
D ．9
1070°，则另外两个内角的度数是（）
C ．55°，55°或70°，40°
D ．以上都不对11ABC 的边AB 上一点P ，作P
E ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．不能确定 12．已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩
则此等腰三角形的周长为（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．5或4
13．如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（）
（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小
14．如图所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD
交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连结OC 、FG ，则下列结论：①AE＝BD ②AG ＝BF ③FG∥BE ④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
15．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A ．40°
B ．80°
C ．100°
D ．100°或40°
二、填空题
1．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________。

（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD ，
③AB+BD ＝AC+CD ④AB-BD ＝AC-CD
（第2题） E
D
C
B
A …… 图③图②图①
B A 第9题 D 1
D 5 D 2 D 3 D 4
D 0 C
A B C D P E F G C
A 10P E F B
2．如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∠A =30°，∠ACB =80°，则∠BCE = °．
3．（等腰△ABC 的两边长分别为2和5，则第三边长为．
4．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图
②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
5．做如下操作：在等腰三角形ABC 中,AB = AC ,AD 平分∠BAC , 交BC 于点D .将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换,所得的
像与△ACD 重合.
对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线
和高互相重合.
由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上).
第5题第7题第8题 6．已知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3，则最短的一条串位线长为．
7．如图,等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E
是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .
8．如图：已知AB =10，点C 、D 在线段AB 上且AC =DB =2； P 是线段CD 上的动点，分别以AP
、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是________．
9．如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB ，
垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为点D 2；又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为点D 3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D n -1D n 的长为_ _（n 为正整数）．
10．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=900,直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ．给出以下四个结论：
①BE=AF,②Ｓ△EPF 的最小值为2
1,③tan ∠PEF=33，④Ｓ四边形AEPF =１.当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论始终正确是．（将正确的命题序号全部写上）
三、解答题
1．如图，BCD ACB ∆∆和都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 边上一点。

（1）求证：△ACE ≌△BCD ；
（2）若AD=5，BD=12，求DE 的长。

压轴题：如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？。