山东省平邑县高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解和坐标表示导学案新人教A版4 精
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A必修4 (1)1
【解析】 (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表 示相同．
(2)错误．以 A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等． (3)正确．由平面向量坐标的概念可知． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
教材整理 2 平面向量的坐标运算 阅读教材 P96“思考”以下至 P97 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_) _，即两个向量 和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_(_x_1－__x_2_，__y_1_－__y2_)___，即两个向量 差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_(_λx_，__λ_y_)__，即实数与向量的积的坐标等于
A．(0，－7)
B．(0,7)
C．(－1,3)
D．(12，－1)
【解析】 3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2)
＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7)．
【答案】 B
2．已知 A(3,1)，B(2，－1)，则B→A的坐标是( )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
【解析】 B→A＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．
5)＝(1,3)，所以xy＋－25＝＝13，， 解得xy＝＝－8，1， 所以点 B 的坐标为(－1,8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)．
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的交 点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12，所以 B 23，12. x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】 如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是( )A.AB →＝OB →－OA →B.BD →＝AD →－AB →C.AD →＝AB →＋BD →D.AB →＝AC →＋CB →2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ，j 作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，__________对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标，y 叫做向量a 在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝______，j ＝______，0＝______.【做一做2】 已知基向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，m ＝4i －j ，则m 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(－4,1)C ．(4，－1)D ．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】 平面直角坐标系中，任意向量m 的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →，则BD →＝AD →－AB →是正交分解．2．(1)相同 单位 基底 (2)有且只有一 (x ，y )x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)【做一做2】 C3．(x ，y ) 坐标 一一对应【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m 的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a ；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB →，该向量的起点是A ，终点是B .②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量a ＝(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一 求向量的坐标【例1】 如图所示，已知点M (1,2)，N (5,4)，试求MN →的坐标．分析：用基底i 和j 表示MN →＝x i ＋y j ，则(x ，y )是MN →的坐标．反思：向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．题型二 由向量共线求参数值【例2】 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，求实数k 的值．反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa ＋μb ＝0(a ，b 不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三 平面向量的正交分解及坐标表示【例3】 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】 解：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则MN →＝4i＋2j ，所以MN →的坐标是(4,2)．【例2】 解：∵向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，即(k －2λ)a ＝(kλ－1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －2λ＝0，kλ－1＝0k2＝2. ∴k ＝± 2.【例3】 解：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．1．已知a ＝(3,2x －1)，b ＝(y ＋1，x )，且a ＝b ，则xy ＝________.2．如图所示，向量MN u u u u r 的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a |＝4，|b |＝3，a ，b 如图所示，求它们的坐标．答案：1．2 ∵a ＝b ，∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩解得x ＝1，y ＝2，则xy ＝1×2＝2.2．(2，－3)3．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝22a 2＝|a |sin 45°＝22b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.∴b 1＝|b |cos 120°＝32-，b 2＝|b |sin 120°＝332. ∴a ＝(2222，b ＝33322⎛- ⎝.。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量 ， 若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向 量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解 不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位 向量， 而向量a与i的夹角为30，且 a 4， 以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共 线向量， 那么对于这一平面内的 任意向量a,
有且只有 一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向 量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
[精品课件]高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算课件
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【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
2
22
4
类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
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高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
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2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】
知识回顾：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么
对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2；使得 给定基底，分解
形式惟一. λ1，λ2由a
，1e ，2e 唯一确定
2. 向量的夹角:已知两个非零向量a 、b
，作a A O =，b B O =，则∠AOB＝θ，叫向量a 、b
的夹角，
当θ= ，a 、b 同向；当θ= ，a 、b 反向（同向、反向通称平行）；
当θ= °，称a 与b 垂直，记作a
⊥b 。
新知梳理：
由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个 的向量。
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
a
=x i +y j ………○
1 我们把),(y x 叫做向量a
的（直角）坐标，记作
a
=(x,y)………○
2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a
在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a
相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，i =(1,0) j =(0,1)，0=(0,0).
3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对
应的。
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA =a
，则
点A 的位置由a
唯一确定.
设OA =x i +y j ，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.
对点练习：
1. 如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a
|=4，以向量i 、j 为基底，
向量a
=_________
2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O ，终点A 落在直线x y 上，且模长为1的向量OA 的坐标是___________
【合作探究】
典例精析：
例1：请写出图中向量OA ,OB ,BC 的坐标
变式1：请在平面直角坐标系中作出向量a 、b ，其中a =（1,-3）、b =（-3，-1）.
例2:如图所示，用基底i 、j 分别表示向量a
、b 、c 、d 并求出它们的坐标。
变式2：已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，34||=，0
60=∠xOA ，求向量的坐标
【课堂小结】
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。
将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。
【当堂达标】
1、已知力F 在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力F 的实际大小是__________，若水平方向为x 轴的正方向，竖直方向为y 轴的正方向，则力的坐标表示是______________
2、若y x +=，（i ，为单位向量），则OA 的坐标（x ，y ）就是____的坐标，即若=（x ，y ），则点A 的坐标就是_______________。
3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量,,AC CB OC 的坐标。
【课时作业】
1．设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且
42OA i j =+， 34OB i j =+，则△OAB 的面积等于（ ）
A 、15
B 、10
C 、7.5
D 、5
2、在平面直角坐标系中，A （2,3），B(-3,4)，如图所示，x 轴，y 轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是__________ ①OA =2i +3j ;②OB =3i +4j ;
③AB =-5i +j ;④BA =5i -j .
3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC 为等腰梯形，BC ‖OA ，OC=6，0
60=∠AOC ，则用坐标表示下列向量：=_______________；=______________；
=______________；=______________；
4.在直角坐标系xoy 中，向量,,a b c 的方向如图所示，且||2,||3,||4a b c ===，分别写出他们的坐标。
5.如图，已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，||43OA =0
60xoA ∠=，求向量OA 的坐标。
【延伸探究】
在平面直角坐标系中，A （1,1），B （
-2,4），则向量
O
c
b
a
030
045 030
y
x
O
x
A
y。