2016年高考数学一轮复习名师名校精品教案一模考前专项训练
专题80 参数方程-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(教师版)
专题八十 参数方程【考纲解读】1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程． 【重点知识梳理】一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【高考考点突破】考点一、参数方程和普通方程的互化 例1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.【变式探究】已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.【方法技巧】参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点二、直线的参数方程例1、设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，由此解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得 t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2 α，两边同除以cos 2 α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 【方法技巧】1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【变式探究】已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．考点三、极坐标与参数方程的综合应用规律例3、 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cosθ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a ＞0)，⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a ＞0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1， t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t (t 为参数)，若以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；(2)若M (x ，y )是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值．(2)可设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋22cos θy ＝－12＋22sin θ(θ为参数)，即M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，－12＋22sin θ，则x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 由于θ ∈R ，则x ＋y 的最大值为1. 【真题感悟】1.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .【答案】522．【2015高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .4.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=． （I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +-=；（II ）()3,0． 【解析】（I）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22+x y =，所以(22+3x y =.(II)设1(32P +，又，则|PC |==，故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0. 1．（2014·福建卷） (Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． (Ⅱ)解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，解得－25≤a ≤2 5.2．（2014·重庆卷）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．【答案】53．（2014·辽宁卷）选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．【高考押题】1．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．(2)方法一：直线AF 2的斜率k ＝0－31－0＝－3，倾斜角是120°.设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则根据正弦定理得ρsin60°＝1sin 120°－θ ，即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.方法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程 ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.2．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 答案 (1)A (0,0)，B (22，7π4)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎨⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)3．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．答案(1)m＝2(2)(x＋28)2＋(y－28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆4．已知圆ρ＝2，直线l：ρcosθ＝4，过极点作射线交圆于A点，交直线l于B点，直线l与极轴的交点为N.(1)求AB中点M的轨迹的极坐标方程；(2)判断△OMN能否为等边三角形，并说明理由．答案(1)ρ＝2cosθ＋1(2)△OMN不可能为等边三角形5．已知直线l ：ρsin(θ－π4)＝4和圆C ：ρ＝2k ·cos(θ＋π4)(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.(1)求圆心C 的直角坐标； (2)求k 值． 答案 (1)C (22k ，－22k ) (2)k ＝－16．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长．7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．8．直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.9．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ)－43|2，其中tan φ＝12. 当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，15＋43即点P到直线l的距离的最大值为2.：。
2016届高考数学理科一轮复习同步训练6-6算法与程序框图
第6讲 算法与程序框图A 级训练(完成时间：10分钟)1.下面框图属于( )Q ⊂P 1→P 1＝P 2→P 2＝P 3→…→得到一个明显成立的条件A ．流程图B ．结构图C ．程序框图D ．工序流程图2.将两个数a ＝8，b ＝17交换，使a ＝17，b ＝8，下面语句正确一组是( ) A ．a ＝bb ＝a B ．c ＝bb ＝aa ＝c C ．b ＝aa ＝b D ．a ＝cc ＝bb ＝a3.(2013·广东)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 7 .4.下面的程序语句输出的结果S 为( )i ＝1WHILE i<8 S ＝2]A ．17B ．19C ．21D ．23 5.(2014·江苏)下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 5 .6.(2013·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为 9 .7.下面程序框图表示的算法具有什么样的功能？B 级训练(完成时间：17分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )] (2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．402.[限时2分钟，达标是( )否( )] (2014·北京)当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．7B ．42C ．210D ．8403.[限时2分钟，达标是( )否( )](2014·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ＞12？B ．s ＞35？C ．s ＞710？D ．s ＞45？4.[限时2分钟，达标是( )否( )] (2013·课标Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的S 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]5.[限时2分钟，达标是( )否( )]执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 －1 .6.[限时2分钟，达标是( )否( )]阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为 5 .7.[限时5分钟，达标是( )否( )]根据下面的要求，求满足1＋2＋3＋…＋n ＞500的最小的自然数n .(1)下面是解决该问题的一个程序，但有3处错误，请找出错误并予以更正； i ＝1S ＝1n ＝0DoS ＝S ＋i i ＝i ＋1n ＝n ＋1Loop While S>500输出 n ＋1(2)画出执行该问题的流程图．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )] (2014·广东江门一模)执行如图的程序框图，输出的S ＝ 3 .2.[限时4分钟，达标是( )否( )](2014·广东韶关一模)已知实数x∈[0,10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为________．第6讲算法与程序框图【A级训练】1．A解析：本题的图形表示一个动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．程序框图是流程图的一种．流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤．它是由图形符号和文字说明构成的图示． 2.B解析：先把b的值赋给中间变量c，这样c＝17，再把a的值赋给变量b，这样b＝8，把c的值赋给变量a，这样a＝17.3．7解析：当i＝1时，s＝1＋1－1＝1；当i＝2时，s＝1＋2－1＝2；当i＝3时，s＝2＋3－1＝4；当i＝4时，s＝4＋4－1＝7；当i＝5时，退出循环，输出s＝7.4．A解析：经过第一次循环得到S＝5，i＝3；经过第二次循环得到S＝9，i＝5；经过第三次循环得到S＝13，i＝7；经过第四次循环得到S＝17，i＝9；此时i＝9，不满足循环的条件i＜8，执行输出S＝17.5．5解析：由算法流程图可知：第一次循环：n＝1,2n＝2<20，不满足要求，进入下一次循环；第二次循环：n＝2,2n＝4<20，不满足要求，进入下一次循环；第三次循环：n＝3,2n＝8<20，不满足要求，进入下一次循环；第四次循环：n＝4,2n＝16<20，不满足要求，进入下一次循环；第五次循环：n＝5,2n＝32>20，满足要求，输出n＝5.6．9解析：程序在运行过程中各变量的变化如下表示：是否继续循环a b循环前1 2第一圈是3 2第二圈是5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9.7．解析：根据分支结构中：满足a＞b时，M＝a，不满足条件时，不执行操作，即M＝b，可知M表示a，b两个数中最大值，故程序的功能是找出两个数的最大值．【B级训练】1．B解析：由题意，得S＝0，n＝1；S＝0＋2＋1＝3<15，n＝2；S＝3＋22＋2＝9<15，n＝3；S＝9＋23＋3＝20，n＝4，因为20≥15，因此输出S.2．C解析：程序框图的执行过程如下：m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；k＝k－1＝4＜5，输出S＝210.3．C解析：第一次执行循环：s＝1×910＝910，k＝8，s＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，结束循环，而选项A 和B 都满足条件，故排除A 和B.4．A 解析：由判断框中的条件为t <1，可得函数分为两段，即t <1与t ≥1.故分段函数的解析式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t (t <1)4t －t 2(t ≥1). 如果输入的t ∈[－1,3]，画出此分段函数在t ∈[－1,3]时的图象，则输出的S 属于[－3,4]．故选A.5．－1 解析：第1次循环，S ＝－1，k ＝2；第2次循环，S ＝12，k ＝3；第3次循环，S ＝2，k ＝4； 第4次循环，S ＝－1，k ＝5；不满足k ＜5，退出循环，输出的结果为－1.6．5 解析：经过第一次循环得到s ＝2，n ＝1； 经过第二次循环得到s ＝5，n ＝2； 经过第三次循环得到s ＝10，n ＝3； 经过第四次循环得到s ＝19，n ＝4； 经过第五次循环得到s ＝36，n ＝5； 经过第六次循环得到s ＝69，n ＝6；因为输出的结果不大于37，所以n 的最大值为4，所以i 的最大值为5. 7．解析：(1)错误1：S ＝1，改为S ＝0； 错误2：While ，改为Until ；错误3：输出 n ＋1，改为Print n ； (2)流程图如图：【C 级训练】1．3 解析：由程序框图得：第一次运行S ＝1·log 23，k ＝3；第二次运行S ＝1·log 23·log 34，k ＝4；第三次运行S ＝1·log 23·log 34·log 45，k ＝5；…直到k ＝8时，程序运行终止，此时S ＝1·log 23·log 34…log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4…lg 8lg 7＝log 28＝3.2.12解析：设实数x ∈[0,10]，经过第一次循环得到x ＝2x ＋1，n ＝2；经过第二循环得到x ＝2(2x ＋1)＋1，n ＝3；经过第三次循环得到x ＝2[2(2x ＋1)＋1]＋1，n ＝3，此时输出x ，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥47得x ≥5，由几何概型得到输出的x 不小于47的概率为P ＝10－510＝12.。
专题66 排列与组合-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)
专题66 排列与组合【考情解读】1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.【重点知识梳理】1．排列与组合的概念2.(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质考点一典型的排列问题【例1】3名女生和5名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？(3)如果女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？【规律方法】(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．【变式探究】 用0，1，2，3，4，5这6个数字．(1)能组成多少个无重复数的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?考点二 组合应用题【例2】 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【规律方法】组合问题常有以下两类题型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．【变式探究】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考点三 排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有2个盒不放球，共有几种放法？【规律方法】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．【变式探究】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24 D ．2A 26(2)(2014·浙江卷)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．【真题感悟】1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
2016届高考数学(理)大一轮复习同步训练第3章《三角函数、解三角形》课时作业26(新课标版)
课时作业26 三角函数高考热点追踪一、选择题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A2．已知向量a ＝(2，sinx)，b ＝(cos 2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：f(x)＝2cos 2x ＋2sinxcosx ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 答案：B3．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210B.210C.3210 D.7210解析：由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 答案：A4．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π2，则f(x)的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：依题意，得f(x)＝cosx ＋3sinx ＝2sin(x ＋π6)，当0≤x<π2时，π6≤x＋π6<2π3，f(x)的最大值是2. 答案：B5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c(b ＋2c)，若a ＝6，cosA ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17 B.15 C.152D ．3解析：∵b 2＝c(b ＋2c)，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c)·(b－2c)＝0，∴b ＝2c. 又a ＝6，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bcsinA ＝12×4×2×1－782＝152. 答案：C6．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．2，π3B.12，π3 C ．2，π6D.12，π6解析：由CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数图象可以看成是由y ＝sin2x 的图象向左平移而来，故可知φω＝φ2＝π6，故φ＝π3.答案：A 二、填空题7．(2014·山东卷)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为______． 解析：原式＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. ∴周期T ＝2π2＝π.答案：π8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________.解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C<π，因此角C ＝2π3.答案：2π39．已知函数y ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． 解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12. 当a>0时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12，y 取得最大值为12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a<0时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1，y 取得最大值为－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.答案：2或－1 三、解答题10．(2014·北京卷)如右图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B) ＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3tanA·tanB－(tanA ＋tanB)＝3，且c ＝ 3.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由3tanA·tanB－(tanA ＋tanB)＝3， 得3tanA·tanB－3＝tanA ＋tanB ， 所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB1－tanAtanB ＝－ 3.在△ABC 中，A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3及正弦定理，得a sinA ＝b sinB ＝3sinπ3＝2，可得a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，所以a ＋b ＋c ＝2(sinA ＋sinB)＋3＝2[sinA ＋sin(2π3－A)]＋3＝3cosA ＋3sinA ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.因为0<A<2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin(A ＋π6)≤1，所以a ＋b ＋c 的取值范围为(23，33]．1．已知函数f(x)＝4sin(x 3＋π6)，f(3α＋π)＝165，f(3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.6365解析：由f(3α＋π)＝165，得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165，即4sin(α＋π2)＝165，所以cos α＝45，又α∈[0，π2]，所以sin α＝35.由f(3β＋5π2)＝－2013，得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013，即sin(β＋π)＝－513，所以sin β＝513.又β∈[0，π2]，所以cos β＝1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.答案：D2．已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的一段图象如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是f(x)的图象上一个最低点，C 在x 轴上，若内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S 满足12S ＝b 2＋c 2－a 2，将f(x)的图象向左平移一个单位得到g(x)的图象，则g(x)的表达式为( )A ．g(x)＝cos π2xB ．g(x)＝－cos π2xC ．g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12 D ．g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12 解析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足． 由已知，12S ＝b 2＋c 2－a 2， 即12×12bcsin ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 2，∴3sin ∠BAC ＝b 2＋c 2－a22bc ＝cos ∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝13.∴AD ＝3，即34T ＝3，T ＝4，2πω＝4，ω＝π2，f(x)＝sin π2x.将f(x)的图象向左平移一个单位得到g(x)＝sin π2(x ＋1)的图象，即g(x)＝cos π2x ，故选A.答案：A3．如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA ，OB ，再修建一长度为AB 的围栏，围栏的造价与AB 的长度成正比．现已知墙角AOB 的度数为120°，当△AOB 的面积为3时，就可起到保护作用．则当围栏的造价最低时， ∠ABO ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：只要AB 的长度最小，围栏的造价就最低．设OA ＝a ，OB ＝b ，则由余弦定理得AB 2＝a 2＋b 2－2abcos120°＝a 2＋b 2＋ab≥2ab＋ab ＝3ab(当且仅当a ＝b 时取等号)，又S △AOB ＝12absin120°＝3，所以ab ＝4.故AB 2≥12，即AB 的最小值为2 3.由a ＝b 及3ab ＝12，得a ＝b ＝2.由正弦定理得sin ∠ABO ＝asin120°AB ＝223×32＝12.故∠ABO ＝30°，故选A.答案：A4．将函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到g(x)的图象，已知g(x)的部分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点F(0,1)，与x 轴相交于点P ，Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为π2.(1)求函数g(x)的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，g(A)＝1，且b ＝5，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意可知g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ.由于S △MPQ ＝12·2·|PQ|＝π2，则|PQ|＝T 2＝π2，∴T ＝π，即ω＝2.又由于g(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝1， 且－π2<φ－π2<π2，则φ－π2＝π6，∴φ＝2π3.即g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g(A)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1,2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，则2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 由余弦定理得b 2＋c 2－2bccosA ＝a 2＝5， ∴5＝b 2＋c 2－bc≥bc.∴S △ABC ＝12bcsinA≤534，当且仅当b ＝c ＝5时，等号成立，故S △ABC 的最大值为534.。
【金版教程】2016高考(新课标)数学(理)大一轮复习试题：解答题专项训练2
解答题专项训练(二)1. [2015·深圳模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 解：(1)由已知得2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)解法一：由已知b 2＝ac 及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.解法二：由已知b 2＝ac 及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12， 解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°， 故sin A sin C ＝34.2. [2015·河南中原名校联考]已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)试说明函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象经过怎样的变换得到．解：(1)f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＋(1＋cos2x )＝ 32sin2x ＋12cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由题意得2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)先把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点向右平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到y ＝sin(2x ＋π6)＋32的图象．3. [2014·辽宁高考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c . 已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.4. [2015·郑州质量预测]如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD →·AC →＝0，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求cos C .解：(1)因为AD →·AC →＝0，所以AD ⊥AC ，所以sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ， 即cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ，即AD 2－8AD ＋15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3.由于AB >AD ，所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，由正弦定理可知BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，又由cos ∠BAD ＝223可知sin ∠BAD ＝13， 所以sin ∠ADB ＝AB sin ∠BAD BD＝63， 因为∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝π2＋∠C ，所以sin ∠ADB ＝cos C ， 所以cos C ＝63.5. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：(1)由图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1.函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，由2πω＝π解得ω＝2.由f (－π12)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin(φ－π6)＝－1， 故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－π3(k ∈Z )， 又因|φ|<π，所以φ＝－π3. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 故g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＋1＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π3＋1＝2sin2x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋2＝2sin2x ＋2sin2x cos 2π3－2cos2x sin 2π3＋2 ＝sin2x －3cos2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2. 设t ＝2x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，故sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是[]2－3，4.6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C2＋c cos 2A2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)a cos 2C2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . 由正弦定理，得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， 所以sin A ＋sin C ＝2sin B . 由正弦定理，得a ＋c ＝2b ， 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理，得42＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 所以(a ＋c )2－3ac ＝16.由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16，解得ac ＝16， 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin60°＝4 3.7. [2015·潍坊质检]已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．解：(1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1， ∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0， 则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π， ∴2C －π6＝π2，C ＝π3.∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， ∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.8. [2014·湖南高考]如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长． 解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC .于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0<α<π3，于是由(1)知， cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α ＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ， 故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.。
2016高考数学一轮单元复习精品练习：空间几何体 Word版含答案解析
高考数学一轮单元复习精品练习：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为( )A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30° 【答案】C2．体积为的球的内接正方体的棱长为( )A ．2B ．2C ． 3D ． 5【答案】B3．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．20 【答案】A4．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //【答案】A5．已知空间四边形OABC 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =( )A ．c b a 213221+-B ．212132++-C ．212121-+D ．213232-+ 【答案】B6．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ． 6B ． 8C ． 16D ． 24【答案】D7．一个几何体的表面展开平面图如图．该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？( )A ．前；程B ．你；前C ．似；锦D ．程；锦【答案】A8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm 【答案】B9．在空间直角坐标系中，已知定点(1,2,1)A -,(2,2,2)B .点P 在z 轴上，且满足||||PA PB =，则P 点的坐标为( )A ．()3,0,0B ．()0,3,0C ．()0,0,3D ．()0,0,3-【答案】C10．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为( )A ．1:(2 -1) B ．1:2 C ．1: 2 D ．1:4 【答案】A11．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11D ABC 的距离为( )A ．21B ．42C ．22D ．23 【答案】B12．有下列命题(1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；(2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；(3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；(4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知圆柱M的底面半径与球O的半径相同，且圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比＝【答案】814．已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若AP=2PB，则|PD|的值是【答案】315．空间四点O（0,0,0）,A（0,0,3）,B（0,3,0）,C（3,0,0）,O点到平面ABC的距离为【答案】316．Rt△ABC的斜边在平面α内，直角顶点C是α外一点，AC、BC与α所成角分别为30°和45°.则平面ABC 与α所成锐角为 .【答案】60°三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置，并说明理由；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【答案】(1) O在AD的13处且离D点比较近.理由是：∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD，又∵BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，∴BC＝DO，又∵AD＝3BC，∴点O的位置满足ODAD＝13，即在AD的13处且离D点比较近．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，∴AB⊥平面PAD，∵PD 平面PAD∴AB⊥PD.又∵PA⊥PD，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.又∵PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.18．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．求证：(1）PB ∥平面AEC ；(2）平面PCD ⊥平面PAD ．【答案】（1）连BD ，AC 交于O 。
高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元 函数与导数(理科2016年) Word
数 学B 单元 函数与导数 B1 函数及其表示5．B1 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．5． 令3－2x －x 2≥0可得x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为． 11．B1、B4 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.B2 反函数5．B2 已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________． 5．log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞) 将点(3，9)的坐标代入函数f (x )的解析式得a ＝2，所以f (x )＝1＋2x ，所以f －1(x )＝log 2(x －1)，x ∈(1，＋∞)．B3 函数的单调性与最值14．B3，B12 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.13．B3、B4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32） 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B4 函数的奇偶性与周期性11．B1、B4 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间 因为f (x )的周期为2，所以f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f(12)＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25.15．B4、B12 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.14．B4 已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f －52＋f (1)＝________．14．－2 因为f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)． 因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )， 所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f 12＝412＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 9．B4 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，fx ＋12＝fx －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．29．D ∵当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，∴f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．又∵当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (1)＝－f (－1)．又∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝(－1)3－1＝－2，∴f (6)＝－f (－1)＝2. 13．B3、B4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．13.（12，32） 由f (x )是偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，∴2|a －1|<2，即|a －1|<12，∴12<a <32.18．B3，B4 设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数．下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题18．D f (x )＝[f （x ）＋g （x ）]＋[f （x ）＋h （x ）]－[g （x ）＋h （x ）]2.对于①，因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f (x )不一定为增函数，同理g (x )，h (x )不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f (x )是以T 为周期的函数，同理可得g (x )，h (x )也是以T 为周期的函数，所以②为真命题．B5 二次函数 B6 指数与指数函数5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln aln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.6．B6 已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．A b ＝425＝245<243＝a ，c ＝523>423＝243＝a ，故b <a <c .12．B6、B7 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．12．4 2 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b＝aa，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B7 对数与对数函数5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．8．B7，B8，E1 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c8．C 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为bc －1<ac－1，此时－1<c －1<0，根据幂函数性质，该不等式不成立；选项C 中的不等式可以化为a b >log a clog b c＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .9．B7，E6 设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)9．A 不妨设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中0<x 1<1<x 2.由l 1，l 2分别是点P 1，P 2处的切线，且f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x，0<x <1，1x ，x >1，得l 1的斜率k 1＝－1x 1，l 2的斜率k 2＝1x 2.又l 1与l 2垂直，且0<x 1<x 2，所以k 1·k 2＝－1x 1·1x 2＝－1⇒x 1·x 2＝1，l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1①，l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2②，则点A 的坐标为(0，1－ln x 1)，点B 的坐标为(0，－1＋ln x 2)， 由此可得|AB |＝2－ln x 1－ln x 2＝2－ln(x 1·x 2)＝2.联立①②两式可解得交点P 的横坐标x P ＝2－ln （x 1x 2）x 1＋x 2＝2x 1＋x 2，所以S △PAB ＝12|AB |·|x P |＝12×2×2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1≤1，当且仅当x 1＝1x 1，即x 1＝1时，等号成立．而0<x 1<1，所以0<S △PAB <1，故选A.12．B6、B7 已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．12．4 2 设t ＝log a b ，则log b a ＝1t .∵a >b >1，∴0<t <1.由t ＋1t ＝52，化简得t 2－52t＋1＝0，解得t ＝12，故b ＝a ，所以a b＝aa，b a ＝(a )a ＝a 12a ，则a ＝12a ，即a 2－4a ＝0，得a ＝4，b ＝2.B8 幂函数与函数的图像7．B8，B12 函数y ＝2x 2－e |x |在的图像大致为( )图127．D 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x.令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.8．B7，B8，E1 若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c8．C 根据幂函数性质，选项A 中的不等式不成立；选项B 中的不等式可化为bc －1<ac－1，此时－1<c －1<0，根据幂函数性质，该不等式不成立；选项C 中的不等式可以化为a b >log a clog b c＝log c b log c a ＝log a b ，此时a b >1，0<log a b <1，故此不等式成立；选项D 中的不等式可以化为lg c lg a <lg c lg b ，进而1lg a >1lg b，进而lg a <lg b ，即a <b ，故在已知条件下选项D 中的不等式不成立．12．B8 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则（x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m12．B 由f(－x)＝2－f(x)得f(x)的图像关于点(0，1)对称，∵y＝x ＋1x ＝1＋1x 的图像也关于点(0，1)对称，∴两函数图像的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(x i ，y i )和(x′i ，y′i )均满足x i ＋x′i ＝0，y i ＋y′i ＝2，∴＝0＋2·m2＝m.B9 函数与方程19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.15．B9 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．15．(3，＋∞) 画出函数f (x )的图像如图所示，根据已知得m >4m －m 2，又m >0，解得m >3，故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)．B10 函数模型及其应用 B11 导数及其运算21．B11，B12，E8 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a ）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈[12，＋∞).B12 导数的应用14．B3，B12 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．14．①2 ②(－∞，－1) 由(x 3－3x )′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，作出函数y ＝x 3－3x 和y ＝－2x 的图像，如图所示．①当a ＝0时，由图像可得f (x )的最大值为f (－1)＝2.②由图像可知当a ≥－1时，函数f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >a 3－3a ，所以a <－1.17．G1、G7、B12 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图15所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？图1517．解：(1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)． 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1. 因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21， 所以2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数；当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．19．B6、B9、B12 已知函数f (x )＝a x ＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 19．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，于是2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以m ≤[f （x ）]2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．而[f （x ）]2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且[f （0）]2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a －ln a ln b.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a xln a ＋b xln b )′＝a x(ln a )2＋b x (ln b )2， 从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，于是g x 02<g (0)＝0，又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在区间x 02，log a 2上存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b ＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．B8，B12 函数y ＝2x 2－e |x |在的图像大致为( )图127．D 易知该函数为偶函数，只要考虑当x ≥0时的情况即可，此时y ＝2x 2－e x.令f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x，则f ′(0)<0，f ′(1)>0，则f ′(x )在(0，1)上存在零点，即f (x )在(0，1)上存在极值，据此可知，只能为选项B ，D 中的图像．当x ＝2时，y ＝8－e 2<1，故选D.21．B12 已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.21．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点．(ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a2(b －2)＋a (b －1)2＝a （b2－32b ）>0， 故f (x )存在两个零点．(iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0， 从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.15．B4、B12 已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．15．y ＝－2x －1 设x >0，则－x <0.∵x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，∴f (－x )＝ln x －3x ，又∵f (－x )＝f (x )，∴当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，∴f ′(x )＝1x－3，即f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x －1.21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A . 21．B11，B12，E8 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a，此时，当x ∈（0，12a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈（12a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．(2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又s (1)＝0，所以当x >1时，s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f （12a ）<f (1)＝0，而g （12a ）>0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈[12，＋∞).16．B12 若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．16．1－ln 2 曲线y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(其中x 1为切点横坐标)，曲线y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1·x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(其中x 2为切点横坐标)． 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 21．B12 (1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0. (2)证明：当a ∈．由(1)知，f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0. 当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e x ax a ＋2，于是h (a )＝e x a x a ＋2.由e xx ＋2′＝（x ＋1）e x（x ＋2）2>0(x >0)，可知y ＝exx ＋2(x >0)单调递增， 所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e x x ＋2单调递增，对任意λ∈（12，e24]，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈.综上，当a ∈.10．B12 若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 310．A 由函数图像上两点处的切线互相垂直，可知函数在这两点处的导数之积为－1，经检验，选项A 符合题意．20．B12，B14 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增， 若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a）（x ＋2a）.(i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(ii)当a ＝2时，2a＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1.当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞2时，f (x )在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈． 设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )． 由g ′(x )＝x －1x≥0， 可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号． 又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x4. 设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在上单调递减． 因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )＞0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )＜0. 所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减． 由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )＞g (1)＋h (2)＝32，即f (x )＞f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．B12 设函数f (x )＝(x －1)3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1＋2x 0＝3； (3)设a >0，函数g (x )＝|f (x )|，求证：g (x )在区间上的最大值不小于14.20．解：(1)由f (x )＝(x －1)3－ax －b ，可得f ′(x )＝3(x －1)2－a . 下面分两种情况讨论：(i)当a ≤0时，有f ′(x )＝3(x －1)2－a ≥0恒成立，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(ii)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1＋3a 3或x ＝1－3a3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：（1＋3a3，＋∞）.(2)证明：因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a >0，且x 0≠1.由题意，得f ′(x 0)＝3(x 0－1)2－a ＝0，即(x 0－1)2＝a 3，进而f (x 0)＝(x 0－1)3－ax 0－b ＝－2a 3x 0－a 3－b .又f (3－2x 0)＝(2－2x 0)3－a (3－2x 0)－b ＝8a 3(1－x 0)＋2ax 0－3a －b ＝－2a 3x 0－a3－b ＝f (x 0)，且3－2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)＝f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1＝3－2x 0， 所以x 1＋2x 0＝3.(3)证明：设g (x )在区间上的最大值为M ，max{x ，y }表示x ，y 两数的最大值．下面分三种情况讨论：(i)当a ≥3时，1－3a 3≤0<2≤1＋3a3，由(1)知，f (x )在区间上单调递减，所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f (2)|，|f (0)|}＝max{|1－2a －b |，|－1－b |}＝max{|a －1＋(a ＋b )|，|a －1－(a ＋b )|}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋（a ＋b ），a ＋b ≥0，a －1－（a ＋b ），a ＋b <0， 所以M ＝a －1＋|a ＋b |≥2.(ii)当34≤a <3时，1－23a 3≤0<1－3a 3<1＋3a 3<2≤1＋23a 3.由(1)和(2)知f (0)≥f （1－23a 3）＝f （1＋3a 3），f (2)≤f （1＋23a 3）＝f （1－3a3）， 所以f (x )在区间上的取值范围为， 因此M ＝max{|f(1＋3a 3)|，|f (1－3a3)|＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2a 93a －a －b ，2a 93a －a －b ＝ max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 93a ＋（a ＋b ），2a 93a －（a ＋b ）＝2a 93a ＋|a ＋b |≥29×34×3×34＝14. (iii)当0<a <34时，0<1－23a 3<1＋23a 3<2，由(1)和(2)知f (0)<f (1－23a3)＝f (1＋3a 3)，f (2)>f (1＋23a 3)＝f (1－3a3). 所以f (x )在区间上的取值范围为，因此M ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝max{|－1－b |，|1－2a －b |}＝max{|1－a ＋(a ＋b )|，|1－a －(a ＋b )|}＝1－a ＋|a ＋b |>14.综上所述，当a >0时，g (x )在区间上的最大值不小于14.03“复数与导数”模块(1)已知i 为虚数单位．若复数z 满足(z ＋i)2＝2i ，求复数z .(2)求曲线y ＝2x 2－ln x 在点(1，2)处的切线方程． 解：(1)设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，由题意得a 2－(b ＋1)2＋2a (b ＋1)i ＝2i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故z ＝1或z ＝－1－2i. (2)由于(2x 2－ln x )′＝4x －1x，则曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3.因此，曲线在点(1，2)处的切线方程为y ＝3x －1. B13 定积分与微积分基本定理 B14 单元综合18．B14 设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e－1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 18．解：(1)因为f (x )＝x ea －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1， 解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．21．B12、B14、B7 设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)，其中α＞0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )；(2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .21．解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)，因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g （1－α4α）＝－（α－1）28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)或α>15.(i)当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.(ii)当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)> g （1－α4α）.又|g (1－α4α)|－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α>0，所以A ＝|g (1－α4α)|＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A . 当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A ，所以|f ′(x )|≤2A .15．B14 在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 15．②③ ①设点A 的坐标为(x ，y )，则其“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，故A ′的“伴随点”的横坐标为－x x 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得纵坐标为－y ，故点A ′的“伴随点”是(－x ，－y )，故①错误．②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P 的伴随点P ′的坐标为(sin θ，－cos θ)，即P ′cos θ－π2，sin θ－π2，所以点P ′也在单位圆上，故②正确． ③设曲线C 上点A 的坐标为(x ，y )，则其关于x 轴对称的点A 1(x ，－y )也在曲线C 上，点A 的“伴随点”为A ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”为A ′1⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A ′与A ′1关于y 轴对称，故③正确．④取y ＝1这条直线，则A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)都在直线上，这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，而A ′，B ′，C ′三个点不在同一直线上，故④错误．下面给出严格证明：设点P (x ，y )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，P 点的“伴随点”为P ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y x 2＋y 2，y 0＝－x x 2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ －yx 2＋y 20，y ＝ x 0x 20＋y 20.将其代入直线l 的方程可得A－y 0x 20＋y 20＋B x 0x 20＋y 20＋C ＝0， 化简得－Ay 0＋Bx 0＋C (x 20＋y 20)＝0.当C ＝0时，C (x 20＋y 20)＝0，P ′的轨迹是一条直线；当C ≠0时，C (x 20＋y 20)不是一个常数，P ′的轨迹不是一条直线． 所以，直线的“伴随曲线”不一定是一条直线．20．B12，B14 已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．20．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )>0，f (x )单调递增， 若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3（x －2a）（x ＋2a）.(i)当0<a <2时，2a>1. 当x ∈(0，1)或x ∈（2a，＋∞）时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ∈（1，2a）时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(ii)当a ＝2时，2a＝1，在区间(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． (iii)当a >2时，0<2a<1.当x ∈（0，2a）或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，＋∞）上单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞2时，f (x )在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－（1－1x －2x 2＋2x 3）＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈． 设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．。
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数学思想专项训练(一) 函数与方程思想
一、选择题
1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．
2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞，则a 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．－1
2
D.12
解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－1
2是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1
＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1
a
，所以a ＝－2，故选B.
3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 2
1＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的
最大值为( )
A ．600
B ．500
C ．400
D ．200
解析：选B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即
99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝⎛⎭⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝⎛⎭⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫S 2252－4×109⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.
4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )
A ．(－∞，－2]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒
大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＞0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＋(x －2)2
＞0，
4(x －2)＋(x －2)2
＞0，
解得x ＜－2或x ＞2. 5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 2
9＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线
上，且OA ·
OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( ) A ．18 B ．15 C ．10
D.15
2
解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2 .又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2
x A x P ＝48，解得x P
＝48(1＋k 2)x A ＝169＋25k 25(1＋k 2)
＝16
5 9＋25k 2(1＋k 2)
2，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2
＝t －925，则x P ＝165t ⎝⎛⎭
⎫t ＋16252＝
16
5×25
t
t 2＋162＋32t
＝80
1
t ＋162
t
＋32
≤80×
164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝7
25
时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.
6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8
a 7
＜－
1，则( )。