二次根式的乘除ppt课件
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2 二次根式的乘除第1、2课时PPT课件(华师大版)
9．算式 x3＋3x2＝－x x＋3成立的条件是( C )
A．x＜0 B．x≤0 C．－3≤x≤0 D．x 为任意实数
10．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 12 cm，那么此直
角三角形斜边长是( B )
A．3 2 cm B．3 3 cm C．9 cm D．27 cm
11．设 a＝ 2，b＝ 3，用含 a，b 的式子表示 0.54，
4．等式 x＋1· x－1＝ x2－1成立的条件是( A )
A．x≥1 B．－1≤x≤1 C．x≤－1 D．x≤－1 或 x≥1
5．下列式子正确的是( D )
A.
219＝ 2×
1 9
B. （－9）×（－4）＝ －9× －4＝(－3)×(－2)＝6 C. x2＋y2＝ x2＋ y2＝x＋y D. （－7）2×6＝7 6
18．小强在计算机课上设计了一幅长 140π cm，宽 35π cm 的矩形图
片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．
解：设圆的半径为 r cm，则 140π× 35π＝πr2， ∴70π＝πr2，∴r＝ 70，即圆的半径为 70 cm
19．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
解：－xyz2 3y
16．比较大小： (1)5 3与 6 2；
解：(1)5 3＞6 2
(2)－3 5与－4 3； (2)－3 5＞－4 3
(3)2 27， 17与12 62. 解：2 27＜12 62＜ 17
17．先化简，再求值：a2－2a2－ab2＋b b2÷(1b－1a)，其中 a＝2 130，b＝－5 425. 解：化简得原式＝12ab，当 a＝2 130，b＝－5 425时，原式＝－25 3
解：a a2－a 1＝ a＋a2－a 1，
A．x＜0 B．x≤0 C．－3≤x≤0 D．x 为任意实数
10．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 12 cm，那么此直
角三角形斜边长是( B )
A．3 2 cm B．3 3 cm C．9 cm D．27 cm
11．设 a＝ 2，b＝ 3，用含 a，b 的式子表示 0.54，
4．等式 x＋1· x－1＝ x2－1成立的条件是( A )
A．x≥1 B．－1≤x≤1 C．x≤－1 D．x≤－1 或 x≥1
5．下列式子正确的是( D )
A.
219＝ 2×
1 9
B. （－9）×（－4）＝ －9× －4＝(－3)×(－2)＝6 C. x2＋y2＝ x2＋ y2＝x＋y D. （－7）2×6＝7 6
18．小强在计算机课上设计了一幅长 140π cm，宽 35π cm 的矩形图
片，他还想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助他求出该圆的半径．
解：设圆的半径为 r cm，则 140π× 35π＝πr2， ∴70π＝πr2，∴r＝ 70，即圆的半径为 70 cm
19．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
解：－xyz2 3y
16．比较大小： (1)5 3与 6 2；
解：(1)5 3＞6 2
(2)－3 5与－4 3； (2)－3 5＞－4 3
(3)2 27， 17与12 62. 解：2 27＜12 62＜ 17
17．先化简，再求值：a2－2a2－ab2＋b b2÷(1b－1a)，其中 a＝2 130，b＝－5 425. 解：化简得原式＝12ab，当 a＝2 130，b＝－5 425时，原式＝－25 3
解：a a2－a 1＝ a＋a2－a 1，
《二次根式的乘除》课件
《二次根式的乘除》ppt课 件
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
在此添加您的文本16字
根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
在此添加您的文本16字
例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
在此添加您的文本16字
先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
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根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
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例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
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先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
《二次根式的乘除》PPT精选教学课件
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
3、商的算术平方的性质：
a b
4、逆运算
a （ａ≥０，ｂ＞０） b
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算 术平方根
a a ( a≥０，ｂ＞０) b b 算术平方根的商等于商的算术平方根
例1、计算： （1） 5 20 1 （2） 2 2 5 6 48 （3） 3
二次根式相乘除，先按照法则进行运算， 如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
1.计算：
(1) 7 1 (3) 6
·
14 ; 7 2 1 ; 8
3 12
24 (2) ; 2 6
·
（4） 45 - 5
-3
例 计算:
(1) 15 ( 5 · 27);
( 2) 24 ab 3 a.
学习目标：
1、了解二次根式的乘除法法则，会运用法则 化简二次根式。 2、会根据法则进行二次根式的运算，进一步 提高学生的运算能力。 3、学会独立思考并能与同学交流。
复习提问
1、积的算术平方根的性质：
ab a b
2、逆运算：
(a 0, b 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
=10
5 （4） 5
(1) 5 · 20 5 × 20 100
1 1 1 10 3 （2） 2 2 5 2 5 2 10 6 6 3 3 48 48 (3) 16 4 ; 3 3
5 （4） 5
25 5
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人教版 八年级 数学 下册 第十六章 16.2 二次根式的乘除法课件(共16张PPT)
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
二次根式相除,实际上就是把被开方数相
除,而根号不变．
请计算下列各式
32 (1)
2
3 4 1 7
5 10
如果根号前有系数，就把 系数相除，仍作为二次根号 前的系数。
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
a b a2c b2c （a＞b＞0）
6u2 10u3v （u＞0）
1）：课本：Page 10-11 1.2.3.4.8 课上完成
2）：课本：Page 11 5.6.7.10.11 课下完成
0.4 10
3 2 23
2 32
1 8 2
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相乘,实际上就是把被开方数 相乘,而根号不变．
逆用乘法法则： ab a • b(a 0,b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积．
请计算下列各式
12
a3 a 0
225
逆用除法法则：a a (a 0,b 0) bb
2a 3b ?
2a 2a • 3b 6ab 6ab
3b 3b • 3b ( 3b)2 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘 以同一个适当的代数式，（目的：使分母不 含根号）.
将下列各式分母有理化:
5
4 9
2
2
3 2
====
9 25 3 5
16 9
4 9 9 25
思考：根据上述结果，我们是否能得出 一个结论呢？ 提示：是否可以将其推广到一般情况呢？
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相除,实际上就是把被开方数相
除,而根号不变．
请计算下列各式
32 (1)
2
3 4 1 7
5 10
如果根号前有系数，就把 系数相除，仍作为二次根号 前的系数。
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
除法法则：a a (a 0,b 0) bb
a b a2c b2c （a＞b＞0）
6u2 10u3v （u＞0）
1）：课本：Page 10-11 1.2.3.4.8 课上完成
2）：课本：Page 11 5.6.7.10.11 课下完成
0.4 10
3 2 23
2 32
1 8 2
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
二次根式相乘,实际上就是把被开方数 相乘,而根号不变．
逆用乘法法则： ab a • b(a 0,b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积．
请计算下列各式
12
a3 a 0
225
逆用除法法则：a a (a 0,b 0) bb
2a 3b ?
2a 2a • 3b 6ab 6ab
3b 3b • 3b ( 3b)2 3b
把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘 以同一个适当的代数式，（目的：使分母不 含根号）.
将下列各式分母有理化:
5
4 9
2
2
3 2
====
9 25 3 5
16 9
4 9 9 25
思考：根据上述结果，我们是否能得出 一个结论呢？ 提示：是否可以将其推广到一般情况呢？
乘法法则： a • b ab(a 0,b 0)
《二次根式的乘除》课件
1 除法中的除数
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
人教版八年级(初二)数学下册 16.2 二次根式的乘除 第二课时 PPT教学课件
解:解法1: 3= 5
35=
35××55=
1552= 1552= 515；
解法2:
3= 5
3× 5×
5= 5)
155(2=
15 5
.
探究新知
.
(2)3 2； 27
解:3 2= 27
332×2 3=
32 32×
= 3
2= 3
2× 3×
3= 3
36.
(3) 8 . 2a
解:
8= 2a
8∙ 2a∙
22aa=42aa=2aa
学习重难点
学习重点：二次根式除法法则的理解、运用和逆运用. 学习难点：发现规律，探索二次根式的除法法则.
回.顾复习
1.二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质是怎样的？ 2.计算:(1) 16× 12； 解:原式= 16× 12= 8=2 2.
回.顾复习
(2) 16× 8 ； 解:原式= 42×4×2=8 2.
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1.理解 a ＝ b
a b
(a≥0，b>0),并能利用它进行计算和化简.
2.利用逆向思维,得出
a b
＝
a (a≥0，b>0),并运用它进行解题和 b
化简.
3.掌握用从特殊到一般的方法,解决数学问题.
4.通过合作探究,激发求知欲,了解类比思想.
拓展应用
1.等式 x−3= x+1
xx−+13成立的x的取值范围在数轴上可以表示为( B )
A．
B．
C．
D．
2.下列式子中，为最简二次根式的是( B )
《二次根式的乘除(1)》ppt课件
2
a a ( a 0 ) 化简
对应练习
化简：
1 64121 82 112
2 225 152 15
8 11 88
3 4y
温馨提示：
22 y 2 y
4bc ac
4 16ab2c3 42 b2c2ac
将被开方数因数（式）分解，凑出平方数（式） 。 结果得是最简二次根式或整式。
a、b必须都是非负数！
一般地,对于二次根式的乘法法则:
a b ab (a≥0,b≥0)
拓展: 1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则
x y z xyz( x 0, y 0, z 0)
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
a b c d ac bd (b 0, d 0)
(3) 4a
3
(1) 12 4 3
22 3 22 3 2 3
2
(2) 2715 9 3 3 5 9 5 9 5
(3) 4a3 22 a 2 a 2a a
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能地分解成几个平方数（式） 2.应用 ab a b 3.将平方项应用
2 3
2
3
2 a b b
2
2a b b 2ab b
2
想一想？
( 4) ( 9) ( 4) ( 9)
成立吗？为什么？
ab a b (a 0, b 0)
( 4 ) ( 9 ) 36 6
(4) (9)
(4)
(9)
学科网
1.什么叫二次根式？
形如 a (a 0)式子叫做二次根式。
二次根式的性质:
a a ( a 0 ) 化简
对应练习
化简：
1 64121 82 112
2 225 152 15
8 11 88
3 4y
温馨提示：
22 y 2 y
4bc ac
4 16ab2c3 42 b2c2ac
将被开方数因数（式）分解，凑出平方数（式） 。 结果得是最简二次根式或整式。
a、b必须都是非负数！
一般地,对于二次根式的乘法法则:
a b ab (a≥0,b≥0)
拓展: 1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则
x y z xyz( x 0, y 0, z 0)
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
a b c d ac bd (b 0, d 0)
(3) 4a
3
(1) 12 4 3
22 3 22 3 2 3
2
(2) 2715 9 3 3 5 9 5 9 5
(3) 4a3 22 a 2 a 2a a
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能地分解成几个平方数（式） 2.应用 ab a b 3.将平方项应用
2 3
2
3
2 a b b
2
2a b b 2ab b
2
想一想？
( 4) ( 9) ( 4) ( 9)
成立吗？为什么？
ab a b (a 0, b 0)
( 4 ) ( 9 ) 36 6
(4) (9)
(4)
(9)
学科网
1.什么叫二次根式？
形如 a (a 0)式子叫做二次根式。
二次根式的性质:
新人教版《二次根式的乘除》课件公开课PPT
n（n2－1）＋n n2－1
＝
综设上AE所的述长,符为合m,条△件AD的E点的P面只积有为一S个,求,其S关坐于标m为的(2函,-2数√(关"3系" )式). ,并写出自变量m的取值范围;
"(i∴)当△四C边DE形的C最DM大N面是积平为行" 四"8边1"形/",8∵" M,此向时下A平E=移m4=个"9单" /"位2"得"N,B,∴E=NA的B-坐A标E=为" ("39+"n/,"n2-"2).,
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)．
示为( B ) ②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
解：由题意，得：①甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可 知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200×12＝2 400(元)． 知识点四 列一元一次不等式解应用题
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3.5 ；
解：原式＝
14 2
(2)
4 15
；
解：原式＝35 5
(3)
27 3x
；
(4) 16x3＋32x2 (x＞0).
解：原式＝3x x
解：原式＝4x x＋2
∴(的2)A函点B数E=从9关9,O点系．CA式=(出9绵,.并发写阳,沿出x中轴自向变考点量Bm)运等的动取式(值点范E与围xx点; － ＋A,B31不重＝合),过点xxE作－ ＋直31线l平成行立于B的C,交xAC的于点取D.设值AE范的长围为在m,△数AD轴E的上面积可为S表,求S关于m