高一数学人教A必修一 课件 第一章 集合与函数概念 1.3.1.2
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高一数学人教A版必修1第一章1.1集合的概念课件(共15张PPT)
４、集合的分类
（1）有限集： 含有有限个元素的集合 （2）无限集： 含有无限个元素的集合
不含任何元素的集合
叫做空集记作 。
自然数（非负整数）即用以计量事物的件数
５、常用数集及其或表记示事法物次序的数，是用数字0，1，2，3，
4，……所表示的数 有理数是整数和分数的统称或除无
由数组成的集合叫数集
限不循环小数以外的实数。
表示方法：
一般采用大写英文字母A，B，C，…表示集合 小写英文字母a，b，c,… 表示集合的元素.
２、元素与集合的关系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，
.
记作aA，
读作a属于A.
元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
议一议
小组合作探究——集合元素的特征：
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
食品筐
面包 面粉 汉堡 果冻 薯片
文具筐
彩笔 水笔 橡皮 裁纸刀 尺子
讨论
以上哪些是整体？哪些是个体？ 整体
食品筐
文具筐
面包 面粉 汉堡 果冻 薯片
个体
彩笔 水笔 橡皮 裁纸刀 尺子
１、 集合与元素的定义
由某些确定的对象组成的整体叫做集合（简称集） 组成集合的对象叫做这个集合的元素．
说出由我们班的同学组成的集合是由哪些元素组成？
➢3、集合中元素的特征；
谢谢观看欢迎指导
(1)你所在班级中的全体同学；班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合
(2)班级中比较高的同学；因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合 (3)班级中身高超过178 cm的同学；因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个
高一数学(人教A版)必修一课件：1-1-3-1并集、交集
2.进行集合的交、并运算注意三点
(1)意义化：分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形． (2)直观化：借助数轴、Venn 图等将有关集合直观地表示出来． (3)求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．运算 时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题，勿忘对所求 数值进行合理取舍．
[解] (1)∵A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，∴A∪B＝{0,1,2,3}∪{1,2,4}＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{0,1,2,3}∩{1,2,4}＝ {1,2}． (2)∵A＝{x|－1<x≤3}， B＝{x|x≤0 或 x≥52}． 把集合 A 与 B 都表示在数轴上，如下图．
A∪B＝R 能得出什么结论？这一关系在数轴上怎样体现？这说明 A、B 中元素满足怎样的 条件？
提示：A∪B＝R 可知 A∪B 包含了所有的实数，体现在数轴上则 A∪B 可将整个数轴覆盖．由此知 a< －1 且 a＋8≥5.
[解] 在数轴上标出集合 A、B，如图．
要使 A∪B＝R，则aa＋<－8≥1，5， 解得－3≤a<－1. 综上可知：a 的取值范围为－3≤a<－1.
的集合.
4.交集运算性质
Байду номын сангаас
A∩B＝B∩A， A∩A＝ A ，
A∩∅＝ ∅ ， A⊆B⇔A∩B＝ A .
Venn 图表示
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合 M＝{直线}与集合 N＝{圆}无交集．( √ ) (2)两个集合的并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大．( × ) (3)若 A∩B＝C∩B，则 A＝C.( × ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知集合 M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则 M∪N＝_{_1_,_2_,3_,_4_}. (2)集合 M＝{x|x>1}，N＝{x|x≤4}，则 M∩N＝__{_x_|_1_<_x_≤__4_}_. (3)设 M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪P＝_{_1_,_4_,7_,_9_}.
(1)意义化：分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形． (2)直观化：借助数轴、Venn 图等将有关集合直观地表示出来． (3)求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．运算 时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题，勿忘对所求 数值进行合理取舍．
[解] (1)∵A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，∴A∪B＝{0,1,2,3}∪{1,2,4}＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{0,1,2,3}∩{1,2,4}＝ {1,2}． (2)∵A＝{x|－1<x≤3}， B＝{x|x≤0 或 x≥52}． 把集合 A 与 B 都表示在数轴上，如下图．
A∪B＝R 能得出什么结论？这一关系在数轴上怎样体现？这说明 A、B 中元素满足怎样的 条件？
提示：A∪B＝R 可知 A∪B 包含了所有的实数，体现在数轴上则 A∪B 可将整个数轴覆盖．由此知 a< －1 且 a＋8≥5.
[解] 在数轴上标出集合 A、B，如图．
要使 A∪B＝R，则aa＋<－8≥1，5， 解得－3≤a<－1. 综上可知：a 的取值范围为－3≤a<－1.
的集合.
4.交集运算性质
Байду номын сангаас
A∩B＝B∩A， A∩A＝ A ，
A∩∅＝ ∅ ， A⊆B⇔A∩B＝ A .
Venn 图表示
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合 M＝{直线}与集合 N＝{圆}无交集．( √ ) (2)两个集合的并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大．( × ) (3)若 A∩B＝C∩B，则 A＝C.( × ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知集合 M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则 M∪N＝_{_1_,_2_,3_,_4_}. (2)集合 M＝{x|x>1}，N＝{x|x≤4}，则 M∩N＝__{_x_|_1_<_x_≤__4_}_. (3)设 M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪P＝_{_1_,_4_,7_,_9_}.
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值
f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．
人教版高中数学必修一集合与函数概念ppt课件
集合与函数概念
内容与课时（13课时）
1.1.1 1.1.2 1.1.3
1.2.1 1.2.2 1.3.1 1.3.2
集合的含义与表示 集合间的基本关系 集合的基本运算 小结与复习 函数的概念 函数的表示法 单调性与最大（小）值 奇偶性 小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
集 合
一、知识结构
含义与表示
集合
基本关系
基本运算
二、目标定位
集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可 以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程是将 集合作为一种语言来学习，学会使用最基本的集合语言表 示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。
标准与大纲比较
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
集合间 集与交集的含义，会求两个简单集 理解子集、补集、交集、并 合的并集与交集。 集的概念； ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集。 ③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示 对理解抽象概念的作用。
《大纲》:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法； 《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在具体情境 中”“体会”、“了解”、“理解”含义；重视使用Venn图
集合的 含义与 表示
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属 理解集合的概念； 于”关系。 了解属于的意义； ② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描 掌握有关的术语和符号，并 述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作 会用它们正确表示一些简单的 用。 集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集。 ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了解包含、相等关系的意义； 了解空集和全集的意义；
内容与课时（13课时）
1.1.1 1.1.2 1.1.3
1.2.1 1.2.2 1.3.1 1.3.2
集合的含义与表示 集合间的基本关系 集合的基本运算 小结与复习 函数的概念 函数的表示法 单调性与最大（小）值 奇偶性 小结与复习
约1课时 约1课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时
集 合
一、知识结构
含义与表示
集合
基本关系
基本运算
二、目标定位
集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可 以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程是将 集合作为一种语言来学习，学会使用最基本的集合语言表 示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。
标准与大纲比较
内容 《标准》目标表述 《大纲》目标表述
集合间 集与交集的含义，会求两个简单集 理解子集、补集、交集、并 合的并集与交集。 集的概念； ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定 子集的补集。 ③ 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示 对理解抽象概念的作用。
《大纲》:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法； 《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在具体情境 中”“体会”、“了解”、“理解”含义；重视使用Venn图
集合的 含义与 表示
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属 理解集合的概念； 于”关系。 了解属于的意义； ② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描 掌握有关的术语和符号，并 述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作 会用它们正确表示一些简单的 用。 集合。
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集。 ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 了解包含、相等关系的意义； 了解空集和全集的意义；
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
高一数学必修一 第一章综合 教学课件PPT
(3)无序性是指任意改变集合中元素的排列次序，它们仍
然表示同一个集合．
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
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2．解读集合表示的三种方法 集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和 图示法，其中图示法包括 Venn 图法和数轴法两种． (1)列举法是把集合的元素Байду номын сангаас一列举出来，并用花括 号“{ }”括起来表示集合的方法． 使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素 不能重复． (2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法． 使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字 母或用字母表示的元素符号)，准确说明该集合中元 素的特征．
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
6．求函数定义域的注意点 (1)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零； ②偶次根式中被开方式非负；③x0 中 x≠0；④解 析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意 义的自变量的取值集合的交集．
(3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合 实际．
课题导入
回顾所学知识
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必修1 第一章 集合与函数概念
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第一章 综合复习课
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
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独立自学
1.第一章中我们主要学习了哪两块知识？ 2.集合的性质有哪些？我们研究了函数
的哪些性质？
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
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引导探究一 知识点梳理
1．集合中元素特征的认识 确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征． (1)确定性是指一个对象 a 和一个集合 A，a∈A 和 a∉A 必 居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据． (2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同 的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答 含参集合问题时，互异性是一个不可或缺的检验工具．
然表示同一个集合．
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必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
2．解读集合表示的三种方法 集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和 图示法，其中图示法包括 Venn 图法和数轴法两种． (1)列举法是把集合的元素Байду номын сангаас一列举出来，并用花括 号“{ }”括起来表示集合的方法． 使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素 不能重复． (2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法． 使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字 母或用字母表示的元素符号)，准确说明该集合中元 素的特征．
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6．求函数定义域的注意点 (1)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零； ②偶次根式中被开方式非负；③x0 中 x≠0；④解 析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意 义的自变量的取值集合的交集．
(3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合 实际．
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第一章 综合复习课
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1.第一章中我们主要学习了哪两块知识？ 2.集合的性质有哪些？我们研究了函数
的哪些性质？
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引导探究一 知识点梳理
1．集合中元素特征的认识 确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征． (1)确定性是指一个对象 a 和一个集合 A，a∈A 和 a∉A 必 居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据． (2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同 的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答 含参集合问题时，互异性是一个不可或缺的检验工具．
高一数学(人教A版)必修1课件：1-1-2 集合间的基本关系
通过以上所学，完成下面练习． (1)写出 N，Z，Q，R 之间的包含关系，并用 Venn 图表 示．
[解析] N Z Q R，用 Venn 图表示如图所示．
(2)判断下列两个集合之间的关系： A＝{x|x 是 4 与 10 的公倍数，x∈N*}， B＝{x|x＝20m，m∈N*}． [答案] A＝B
(2)当B是A的子集即B⊆A或真子集B A时，要特别注意B ＝∅的情况，不要遗漏，否则会丢解．
②若B≠∅，则B＝{－4}或B＝{0}，此时方程x2＋2(a＋ 1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1.经验证知B＝ {0}满足条件．
综上可知所求实数a的值为a＝1或a≤－1.
判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}； (3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是 四边形}，D＝{x|x是正方形}； (4)M＝{x|x＝n2，n∈Z}，N＝{x|x＝12＋n，n∈Z}．
①a⊆M； ②M⊇{a}； ③{a}∈M; ④{∅}∈{a}； ⑤2a∉M； 其中正确的关系式共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
规律总结：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集 合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合 中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与 “真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨 认，以避免因疏忽而出错．
第一章 集合与函数概念
第一章
1.1 集 合
第一章
1．1.2 集合间的基本关系
课前自主预习
温故知新 1．用适当的符号(∈，∉)填空： (1)1 ∈ {x|x2－3x＋2＝0}； (2)0 ∈ N； (3)a ∈ {a，b，c，d}； (4)2 ∉ {x|x2－2＝0}； (5) 3 ∉ {x|x≤ 2}； (6){1} ∈ {{1},2,3}．
高一数学 人教A版必修1 1-1 集合 课件
x≠3，
(2)①根据集合中元素的互异性，可知x≠x2－2x， 即 x2－2x≠3，
x≠0 且 x≠3 且 x≠－1. ②因为 x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，所以 x＝
－2.当 x＝－2 时，x2－2x＝8，此时三个元素为 3，－2,8， 满足集合的三个特性．
探究3 集合中元素的特性与集合相等 例 3 已知集合 A 有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集 合 B 也有三个元素 0,1，x. (1)若－3∈A，求 a 的值； (2)若 x2∈B，求实数 x 的值； (3)是否存在实数 a，x，使 A＝B.
(2)∵6－6 x∈N，x∈N，∴6x≥－6 0x≥，0， 即6x≥－0x>，0， ∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5. 当 x 分别为 0,3,4,5 时，6－6 x相应的值分别为 1,2,3,6， 也是自然数，故填 0,3,4,5.
拓展提升 1.常用数集之间的关系
集实R数有数 Q 理集整分数数集集Z自负然整数数集集N正 {0}整数集N*
无理数集
2．判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判 断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是 由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断 该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明 确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪 些条件．
(3)显然 a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能 a－3 ＝0，或 2a－1＝0.
若 a－3＝0，则 a＝3，A 中三个元素分别为 0,5,10. 若 2a－1＝0，则 a＝12，A 中三个元素分别为 0，－52， 54.所以 A≠B. 故不存在这样的实数 a，x.
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数 学 第一章 集合与函数概念
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第 2 课时 函数的最大值、最小值
数 学 第一章 集合与函数概念
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学案·新知自解
数 学 第一章 集合与函数概念
必修1
学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．
利用函数的单调性求最值 多维探究型
求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解析： 任取 2≤x1<x2≤5. 则 f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1， ∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1)，
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解析： y＝－|x－1|＋2＝3x－＋x1，，xx≥<11，， 图象如图所示．
由图象知，函数 y＝－|x－1|＋2 的最大值为 2，没有最小值，所以其值域 为(－∞，2]．
数 学 第一章 集合与函数概念
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数 学 第一章 集合与函数概念
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[归纳升华]
图象法求最值的一般步骤
数 学 第一章 集合与函数概念
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1．已知函数 y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况， 并写出值域．
数 学 第一章 集合与函数概念
答案： C
数 学 第一章 集合与函数概念
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2．函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
数 学 第一章 集合与函数概念
必修1
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[归纳升华] 函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)， 最小值为 f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)， 最小值为 f(a)．
[提醒] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有 最值.
3．函数 y＝ax＋1(a>0)在区间[1,3]的最大值为 4，则 a＝________. 解析： ∵a>0，∴函数 y＝ax＋1 在区间[1,3]上是增函数， ∴ymax＝3a＋1＝4，解得 a＝1.
答案： 1
数 学 第一章 集合与函数概念
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教案·课堂探究
数 学 第一章 集合与函数概念
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图象法求函数的最值 自主练透型
x2，－1≤x≤1，
已知函数 f(x)＝1x，x>1.
求 f(x)的最大值、最小值．
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解析： 作出函数 f(x)的图象(如图)．由图象可知，当 x＝±1 时，f(x)取最 大值为 f(±1)＝1，当 x＝0 时，f(x)取最小值 f(0)＝0，故 f(x)的最大值为 1，最 小值为 0.
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解析： (1)∵函数 f(x)＝2－3x 在[－2,3]上是减函数， ∴函数 f(x)＝2－3x 的最小值为 f(3)＝2－3×3＝－7， 最大值为 f(－2)＝2－3×(－2)＝8. (2)设 x1，x2 是区间[3,5]上的两个任意实数且 x1<x2. 则 f(x1)－f(x2)＝2x－1＋x11－x22－＋x12＝2－3xx11－2x－2x2.
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∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是减函数， ∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2， f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝54.
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函数的最大值与最小值
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[化解疑难] 1．求函数最值应注意的问题 求函数的最大(小)值时，通常要先确定函数的单调性，同时要注意函数的 定义域． 2．函数的值域与最大(小)值的区别 (1)函数的值域是一个集合，函数的最值属于这个集合．即 M 首先是一个 函数值，它是值域的一个元素． (2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值.
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2．(1)函数 f(x)＝2－3x，当 x∈[－2,3]时，f(x)的最小值为________，最大 值为________．
(2)已知函数 f(x)＝x2＋－1x，x∈[3,5]，求函数 f(x)的最大值和最小值．
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解析： 函数 f(x)＝1x是反比例函数，当 x∈(0，＋∞)时，函数图象下降， 所以在[1，＋∞)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在[1，＋∞]上的最大值，函数 在[1，＋∞)上没有最小值．故选 A.
答案： A
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1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分
别是( )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
解析： 由图象知点(1,2)是最高点，故 ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点， 故 ymin＝f(－2)．
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第 2 课时 函数的最大值、最小值
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1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．
利用函数的单调性求最值 多维探究型
求函数 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解析： 任取 2≤x1<x2≤5. 则 f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1， ∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1)，
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解析： y＝－|x－1|＋2＝3x－＋x1，，xx≥<11，， 图象如图所示．
由图象知，函数 y＝－|x－1|＋2 的最大值为 2，没有最小值，所以其值域 为(－∞，2]．
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[归纳升华]
图象法求最值的一般步骤
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1．已知函数 y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况， 并写出值域．
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答案： C
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2．函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
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[归纳升华] 函数的最值与单调性的关系：
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)， 最小值为 f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)， 最小值为 f(a)．
[提醒] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有 最值.
3．函数 y＝ax＋1(a>0)在区间[1,3]的最大值为 4，则 a＝________. 解析： ∵a>0，∴函数 y＝ax＋1 在区间[1,3]上是增函数， ∴ymax＝3a＋1＝4，解得 a＝1.
答案： 1
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图象法求函数的最值 自主练透型
x2，－1≤x≤1，
已知函数 f(x)＝1x，x>1.
求 f(x)的最大值、最小值．
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解析： 作出函数 f(x)的图象(如图)．由图象可知，当 x＝±1 时，f(x)取最 大值为 f(±1)＝1，当 x＝0 时，f(x)取最小值 f(0)＝0，故 f(x)的最大值为 1，最 小值为 0.
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解析： (1)∵函数 f(x)＝2－3x 在[－2,3]上是减函数， ∴函数 f(x)＝2－3x 的最小值为 f(3)＝2－3×3＝－7， 最大值为 f(－2)＝2－3×(－2)＝8. (2)设 x1，x2 是区间[3,5]上的两个任意实数且 x1<x2. 则 f(x1)－f(x2)＝2x－1＋x11－x22－＋x12＝2－3xx11－2x－2x2.
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∴f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是减函数， ∴f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2， f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝54.
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函数的最大值与最小值
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2．(1)函数 f(x)＝2－3x，当 x∈[－2,3]时，f(x)的最小值为________，最大 值为________．
(2)已知函数 f(x)＝x2＋－1x，x∈[3,5]，求函数 f(x)的最大值和最小值．
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解析： 函数 f(x)＝1x是反比例函数，当 x∈(0，＋∞)时，函数图象下降， 所以在[1，＋∞)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在[1，＋∞]上的最大值，函数 在[1，＋∞)上没有最小值．故选 A.
答案： A
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1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分
别是( )
A．f(－2)，0
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
解析： 由图象知点(1,2)是最高点，故 ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点， 故 ymin＝f(－2)．