质数,整除,倍数与约数二
数学竞赛专项训练-整除、质数、合数、倍数、约数【精选】
数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数数学竞赛专项训练第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13末三位与末三位以前的数相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。
92x 75y 求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.75y ∵328＋＝567，∴x=392x 例2已知五位数能被12整除，求x 1234x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋能被3整除时，x=2，5，8x 当末两位能被4整除时，＝0，4，84x x ∴＝8x 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
六年级奥数.数论.质数、合数、约数、倍数
知识框架质数与合数一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
要特别记住： 0和 1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。
最小的质数是 2。
合数有无限多个。
最小的合数是 4。
常用的 100 以的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、 83、89、97，共计 25个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点 .⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3， 7或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q 能够整除p，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p 就为质数 .例如： 149很接近144 12 12 ，根据整除的性质 149不能被 2、3、5、7、11整除，所以 149是质数.常用质数整理： 101、 103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、 179、 181、 191、 193、 197、 1993、 1997、1999、 2003、 401、223、 2011、 2017．约数、公约数与最大公约数概念（1）约数 :在正整数围约数又叫因数 ,整数a能被整数b 整除，a叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数；(2)公约数 :如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；(4)0 被排除在约数与倍数之外1.求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．22例如：231 3 7 11 ， 252 22 32 7 ，所以(231,252) 3 7 21；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 3 9 6 ，所以(12,18) 2 3 6；32辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数． (如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的 )．例如，求 600和 1515的最大公约数：1515 600 2L 315；600 315 1L 285；315 285 1L 30 ；285 30 9L 15；30 15 2L 0；所以 1515和 600的最大公约数是15．2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；b即为所求．a4.约数、公约数最大公约数的关系( 1)约数是对一个数说的；(2)公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数四、倍数的概念与最小公倍数1.倍数 :一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数1)公倍数 :在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
倍数与约数的概念
倍数与约数的概念倍数和约数是数学中常用的概念，它们在数学运算以及解决实际问题中起着重要的作用。
本文将对倍数与约数的概念进行介绍，并探讨它们的应用。
一、倍数的概念倍数是指一个数可以被另一个数整除，即一个数乘以另一个数的结果是另一个数的倍数。
我们来具体解释一下：1.1 正整数倍数在正整数中，一个数若可以被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的倍数。
例如，2是4的倍数，因为4可以被2整除。
通常用“数A是数B的倍数”来表示。
1.2 零和负整数倍数除了正整数外，零和负整数也可以有倍数的概念。
零的倍数是任何数，因为任何数乘以0都等于0。
同样地，一个负整数的倍数也是一个整数。
例如，-3是6的倍数，因为6乘以-3等于-18。
二、约数的概念约数是指一个数可以被另一个数整除的数，即一个数除以另一个数的结果是整数的因数。
我们来具体解释一下：2.1 正整数约数一个正整数若可以被另一个正整数整除，那么这个正整数就是另一个正整数的约数。
例如，2是4的约数，因为4除以2等于2。
同样地，4也是自身的约数。
2.2 零和负整数约数除了正整数外，零和负整数也可以有约数的概念。
零的约数是任何非零整数，因为任何非零整数除以0都无法得到一个整数。
同样地，一个负整数的约数也是一个整数。
例如，-3是6的约数，因为6除以-3等于-2。
三、倍数与约数的关系倍数与约数是互相关联的概念。
一个数的倍数一定是它的约数，而一个数的约数不一定是它的倍数。
例如，8的倍数包括1、2、4、8，它们都可以整除8，因而是8的约数；而12的约数包括1、2、3、4、6、12，其中只有4和6是12的倍数。
可以看出，一个数的约数通常会比其倍数多。
四、倍数与约数的应用倍数与约数的概念在数学运算和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：4.1 数论倍数与约数是数论中的基础概念，通过研究倍数与约数的性质，可以推导出一系列重要的数学结论，如素数、最大公约数、最小公倍数等。
倍数与约数的关系
倍数与约数的关系倍数与约数是数学中常常涉及到的概念。
在数学中，我们经常遇到需要计算某个数的倍数或者约数的情况。
倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数是指能够整除某个数的数。
本文将详细探讨倍数与约数之间的关系以及它们在数学中的应用。
一、倍数的概念倍数是指一个数可以被另一个数整除，即一个数是另一个数的倍数。
例如，2是4的倍数，因为4可以被2整除。
同样地，10是5的倍数，因为5可以被10整除。
换句话说，如果存在整数k，使得k乘以另一个数n等于某个数m（kp = m），那么我们可以称m是n的倍数，同时也可以称n是m的约数。
二、约数的概念约数是指能够整除某个数的数，即一个数可以被其他数整除的因子。
例如，4的约数有1、2和4，因为这些数能够整除4。
同样地，10的约数有1、2、5和10，因为它们能够整除10。
我们可以发现，一个数的约数有限个，且包括1和它本身。
另外，任意两个数的约数之积即为它们的倍数。
三、倍数与约数之间存在着密切的关系。
具体来说，一个数n的约数都是n的倍数，同时，n的倍数一定是n的约数。
这是因为如果一个数n是另一个数m的倍数，即存在整数k，使得nk = m，那么n肯定能够整除m，即n是m的约数。
同样地，如果一个数d是另一个数n的约数，即存在整数k，使得dk = n，那么d肯定能够被n整除，即d 是n的倍数。
四、倍数与约数的应用倍数与约数在数学中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在因数分解中。
因数分解是指将一个数表示为若干个素数的乘积的过程。
在因数分解中，我们需要找到一个数的所有约数，然后将约数进行分解，直到不能再分解为止。
这样可以得到该数的因数分解式。
另一个应用是在最大公约数和最小公倍数的求解中。
最大公约数是指两个或多个数中最大的能够同时整除这些数的数，最小公倍数是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的数。
通过寻找两个数的约数，我们可以求解它们的最大公约数和最小公倍数。
在实际生活中，倍数与约数的概念也有很多应用。
掌握倍数与约数的概念
掌握倍数与约数的概念倍数和约数是数学中常见且重要的概念，它们在数学运算和问题解决中起到关键作用。
本文将详细介绍倍数和约数的定义、特性以及它们在实际问题中的应用。
一、倍数的定义与特性倍数是指一个数可以被另一个数整除，被整除的数称为倍数，而整除的数称为倍数的基数。
例如，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是这个数的倍数。
例如，6是3的倍数，因为6能够被3整除。
1.1 倍数的定义：对于两个整数a和b，如果存在整数c，使得b = ca，那么b就是a的倍数，a称为b的因数或除数。
1.2 倍数的特性：(1) 任何一个整数都是它本身的倍数；(2) 一个整数的倍数还是整数；(3) 如果a是b的倍数，b是c的倍数，则a也是c的倍数；(4) 0是任何整数的倍数。
二、约数的定义与特性约数是指可以整除某个数的所有因数，也可以说是某个数的正因数。
例如，一个数的约数包括1和它本身。
约数在数学中具有重要的性质和应用，下面将详细介绍约数的定义和特性。
2.1 约数的定义：对于两个整数a和b，如果存在整数c，使得a = bc，那么a就是b的约数，b称为a的倍数。
2.2 约数的特性：(1) 任何一个整数都是1和它本身的约数；(2) 如果a是b的约数，b是c的约数，则a也是c的约数；(3) 如果a是b的约数，且b是a的约数，则a = b。
三、倍数与约数的关系倍数和约数是互相关联的。
对于一个数来说，它的所有约数都是它的倍数，而它的所有倍数也都是它的约数。
例如，对于数8来说，它的倍数包括1、2、4和8，而它的约数也包括1、2、4和8。
四、倍数与约数的应用倍数和约数在实际问题中有广泛的应用，尤其是在数论和代数中。
以下是倍数和约数的几个常见应用：4.1 因数分解：通过找到一个数的所有约数，可以将它表示为若干个质数的乘积，这就是因数分解。
4.2 最大公约数和最小公倍数：通过求两个数的约数，可以得到它们的最大公约数和最小公倍数，这在求解最简分数和计算公式的化简中非常常见。
质数与合数整除和余数
小学奥数知识清单15、质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分析质因数的标准表示形式：其中a 1、a 2、a 3……a 1都是合数N 的质因数约数个数：P=(r 1＋1)×(r 2＋1)×(r 3＋1)×……×(r n ＋1) 所有约数的和：例如20、 1988有多少个约数？1988所有约数的和是多少 互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
解：1998=2×3×3×3×37 =21×33×37约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16（个）约数和：（20+21)( 30+31+ 32+33)( 370+371)= 456016、约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：（1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
（2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
（3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
（4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：（1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
数字的倍数与约数的关系
数字的倍数与约数的关系数字是我们日常生活中不可或缺的一部分，我们经常要进行数字的运算和操作。
其中，倍数和约数是数字与数字之间的一种特殊关系。
在这篇文章中，我们将探讨数字的倍数与约数之间的关系，以及它们在数学中的应用。
一、倍数与约数的定义倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数则是指能够整除某个数的数。
具体而言，如果一个数a能够被另一个数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
例如，4是2的倍数，2是4的约数。
二、倍数与约数的关系倍数与约数之间存在着密切的关系。
具体而言，一个数的约数都是它的倍数，而一个数的倍数并不一定都是它的约数。
例如，数1的所有倍数都是1本身，而数1只有一个约数1。
在数学中，我们常常使用倍数和约数来进行问题的求解和证明，这是因为它们能够帮助我们理解和解决很多与数字相关的数学难题。
三、倍数和约数在数学中的应用1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个数，而最小公倍数则是指两个或多个数公有的倍数中最小的一个数。
通过求解最大公约数和最小公倍数，我们可以简化分数、化简代数式、求解同余方程等数学问题。
例如，在分数运算中，我们常常需要找到分子分母的最大公约数，然后将分子分母化简为最简形式。
2. 素数的判断素数是指只能被1和它本身整除的数。
而素数的约数只有1和它本身，所以素数的倍数只有它本身。
因此，我们可以通过判断一个数的倍数来确定它是否为素数。
如果一个数的倍数超过了2个，那么这个数一定不是素数。
利用倍数和约数的关系，我们可以提高素数的判断效率，减少不必要的计算。
3. 数论证明和问题求解数论是研究整数性质、整数关系以及整数运算的学科。
在数论中，倍数和约数是重要的研究对象。
通过分析倍数和约数的性质，我们可以进行数论证明和问题求解。
例如，利用倍数的概念，我们可以证明奇数的平方一定是奇数；通过约数的性质，我们可以证明两个互质的数不可能有公共约数等。
总结：数字的倍数与约数之间存在着紧密的联系。
数的整除与分解质因数知识点总结
数的整除与分解质因数知识点总结一、整除与倍数1.定义：整数a除以整数b（b≠0），如果得到的商是整数且没有余数，就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.倍数与约数：-如果数a能被数b整除，a是b的倍数，b是a的约数（或因数）。
-每个数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
3.判断整除的规律：-个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
-个位上是0或5的数都能被5整除。
-一个数各位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除。
-一个数各位数上的和能被9整除，则这个数能被9整除。
-末两位数能被4整除的数能被4整除，末两位数能被25整除的数能被25整除。
-末三位数能被8整除的数能被8整除，末三位数能被125整除的数能被125整除。
二、分解质因数1.定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
2.步骤：-从最小的质数开始，依次判断能否整除给定的合数，若能整除则除，直到无法整除为止。
-重复以上步骤，直到最终得到的因数都是质数为止。
三、公约数与公倍数1.公约数：几个数共有的约数称为公约数。
2.最大公约数：几个数共有的约数中最大的一个称为最大公约数。
3.公倍数：几个数的公有倍数称为公倍数。
4.最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个称为最小公倍数。
四、互质数与素数1.互质数：互质数是只有1为它们的最大公约数的两个数。
2.素数（质数）：只有1和它本身两个约数的数称为素数或质数。
3.分解质因数：每个合数都可以用几个质数相乘的形式表示，这个过程叫做分解质因数。
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一、选择题(每小题4分，共40分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在题后的括号内．)
1．在自然数1，2，3，…，2009中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是 ( )
(A)668 (B)669 (C)670 (D)672
2．在1，2，3，…，100这100个数之间添“+”，“一”号，使组成算式后的代数和为4150．则“+”号最多可添 ( )
(A)92个 (B)93个 (C)94个 (D)95个
3．2010减去它的
12，再减去剩余数的13，再减去剩余数的14，…，依此类推，一直到减去剩余数的12010
，则最后剩余的数是 ( ) (A) 12010 (B) 11005
(C)2 (D)1 4．已知55432
(21)a b c d ex f x x x x x =++++++，则a b c d e f -+-+-的值为
( ) (A) -1 (B)1 (C)243 (D)-243
5．某商场有甲、乙、丙三种商品，小明若购买甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购买甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则小明购买甲、乙、丙各1件共需 ( )
(A)6元 (B)8元 (C)9元 (D)10元
6．满足20091(2)
x x +=-的所有整数解的个数是 ( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)无数个 7．3
3333333(1)(1)(1) (1)
(1)(1)(1)...(1)310024310024----++++的值最接近于 ( )
(A)12 (B)23 (c)35 (D)58
8．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙 数”，问所有小于2010的美妙数的最大公约数是 ( )
(A)30 (B)45 (C)60 (D)75
9．有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A ，2，3，4，…，J ，Q ，K 的顺序排列．小明把按上述顺序排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉， 把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 ( )
(A)梅花2 (B)方块6 (C)红桃J (D)黑桃K
10．23个彼此不相等的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数的最大可能值是
( )
(A)15 (B)17 (C)21 (D)23
二、填空题(每小题4分，共40分)
11．甲、乙、丙三名同学在一起讨论问题，甲说：“乙、丙两人的年龄之和是27．”乙说：“甲、丙两人的年龄之和是28．”丙说：“甲、乙两人的年龄之和是29．”则甲、乙、丙三人的年龄分别是_____________．
12．a ，b 是1至100这100个自然数中两个不同的数，a 除以3的余数为m ，b 除以4的余数为n ，当m+2n=3时，ab 的最大值是_____________．
13．定义一种符号“△”的运算法则为a △b=
22a b a b ++，则(1△2)△3=_____________． 14．已知32
6ax b x x -++能被(x —1)(x 一3)整除，则20a+32b= _____________． 15．已知四位数2m08能被17整除，则m=_____________．
16．已知z 、y 、z 为互不相等的正整数，且1111x y z
++=，则z+y+z=_____________． 17．已知有五个有理数，且每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4．这五个数中最小的数是_____________．
18．已知正整数n 小于100，且满足236
n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，其中[x]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有 _____________个．
19．一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到这串数的第1000个数为止，共有_____________ 个偶数．
20．一旅游团队乘汽车外出旅游，要求每辆汽车的游客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；若有一辆汽车空着开走，则所有游客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，则该旅游团队有_____________名游客．
三、解答题(本大题共3小题，共40分．要求：写出推算过程．)
21．(本题满分10分)
甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，它们分别从直径AB 两端同时相向起跑．第一次相遇时离A 点100米，第二次相遇时离B 点60米，求圆形跑道的总长．
22．(本题满分15分)
两个代表团从甲地乘车前往乙地，每车可乘35人．两代表团
各坐满若干辆车后，第一个代表团剩下的15人与第二个代表团剩下的成员正好又坐满一辆车．会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念．如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片?
23．(本题满分15分)
已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数．”试问：上述定理中整数n的最大可能值是多少? 并证明你的结论．。