北师大版必修二数学2.1直观图

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2021_2022学年新教材高中数学第6章立体几何初步§2直观图学案含解析北师大版必修第二册 (1)

§2 直观图学习任务核心素养1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．(重点)2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以与简单组合体的直观图．(难点)1．通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于斜二测画法的相关计算，培养学生数学运算素养．美术与数学有着千丝万缕的联系，在美术图中，空间图形或实物在画板上既要有立体感，又要表现出各主要局部的位置关系和度量关系．空间图形或实物如何在画板上表示出来？如何反映它们的主要特征呢？这就是空间几何体的直观图，画好空间几何体的直观图应首先从水平放置的平面图形入手．阅读教材，结合上述情境回答如下问题：问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时习惯画成什么？为什么？问题3：水平放置的平面图形中的线段在直观图中长度不变吗？知识点1 平面图形直观图的画法1.相等的角在直观图中还相等吗？[提示] 不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．1.如下关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的答案是( )A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直B[选项A错误，水平放置的正方形的直观图一定是平行四边形；选项B正确；选项C错误，两条相交直线的直观图仍然是相交直线；选项D错误，两条垂直的直线的直观图不一定垂直．]知识点2 空间图形直观图的画法(斜二测画法)步骤(1)在的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平平面．(3)图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段．(4)图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半．(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．2.空间几何体的直观图是唯一的吗？[提示] 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不一样．2.思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，假如∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，如此在直观图中，∠A＝45°.( )(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( )(3)建立z轴的一般原如此是让z轴过空间图形的顶点．( )[提示](1)错误．∠A也可能等于135°.(2)错误．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变．(3)正确．[答案](1)×(2)×(3)√类型1 水平放置的平面图形的直观图【例1】(教材北师版P201例1改编)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．[解](1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，如此三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．[跟进训练]1．画一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图(尺寸自定).[解] (1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy ，再建立坐标系x ′O ′y ′，其中∠x ′O ′y ′＝45°.(2)描点．如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y 轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且D ′C ′＝DC .(3)连线．连接B ′C ′，A ′D ′.(4)成图．如图③，四边形A ′B ′C ′D ′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图．类型2 空间几何体的直观图【例2】(教材北师版P 202例2改编)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．[解](1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的局部改为虚线)，就得到长方体的直观图．空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．[跟进训练]2．画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．[解] (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝32.连接BC，CA，如此△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的局部画成虚线，如此三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．类型3 直观图的相关计算【例3】如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．x轴平行的线段AB＝2，和y轴平行的线段CD＝4，那么用斜二测画法画出线段AB，CD 的直观图A ′B ′和C ′D ′的长度分别是什么？[提示] A ′B ′＝2，C ′D ′＝2.2.如下列图，水平放置的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，其直观图A ′B ′C ′D ′的面积是多少？[提示] 由斜二测画法可知，矩形ABCD 的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ＝12×2×22×4＝22．3.建立平面直角坐标系xOy →画原图形OABC →计算平行四边形OABC 的周长和面积[解] 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′＝1 cm ；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝22cm ；在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ，A ，B ，C 各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC 为平行四边形，OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3 cm ，∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8 cm ，面积为S ＝1×22＝22cm 2.把例3中的正方形O ′A ′B ′C ′换为如下列图的等腰直角三角形A ′B ′O ′，假如O ′B ′＝1，求原三角形ABO 的面积．[解]直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2.由直观图复原为平面图形的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段复原时长度不变，平行于y ′轴的线段复原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的24倍．[跟进训练]3．△ABC 是正三角形，且它的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D ．616a 2D [如图①，建立如下列图的平面直角坐标系xOy .如图②，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法知：A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，过C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于D ′，如此C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.]1．根据斜二测画法的规如此画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，如此∠x ′O ′y ′与∠x ′O ′z ′的度数分别为( )A ．90°，90°B ．45°，90°C ．135°，90°D ．45°或135°，90°D [根据斜二测画法的规如此，∠x ′O ′y ′的度数应为45°或135°，∠x ′O ′z ′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.]2．如下列图为某一平面图形的直观图，如此此平面图形可能是如下图中的( )A [由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直，应当选A.]3．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，可能是下面的( )C [正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，应当选C.]4．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，如此其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm 2.52[该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.]△ABC 的直观图如下列图，如此原△ABC 的面积为______．9 [由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何画水平放置的平面图形的直观图？[提示] 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2.用斜二测画法画直观图时应注意哪些问题？[提示] 用斜二测画法画直观图时要紧紧把握住“一斜〞、“二测〞两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半〞．。

北师大版数学高二教学设计第二章 1 流程图 (4)

流程图三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，进一步认识程序框图．(2)通过具体实例，了解工序流程图．2．过程与方法能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．3．情感、态度与价值观在使用流程图过程中，发展学生条理性思考，提高学生表达能力和逻辑思维能力．重点难点重点：学会绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．难点：绘制简单实际问题的流程图．课堂探究课堂探究一流程图【问题导思】1．展示算法步骤的直观图示称为流程图，除此之外，流程图是否还有其他形式？【提示】有，由一些图形符号和文字说明构成的图示都称为流程图．2．你能举出几个流程图的实例吗？【提示】实验室工作流程图，阅览室阅读流程图等．由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图，流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．例1有三个整数a，b，c，由键盘输入，输出其中最大的数，画出其算法流程图．【思路探究】写出算法→画出流程图【自主解答】算法如下：第一步：输入a，b，c；第二步：若a＞b且a＞c，则输出a，否则，执行第三步；第三步：若b＞c，输出b，否则，执行第四步；第四步：输出c.根据以上步骤可以画出如图所示的算法流程图．方法总结1．程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示算法的图形，能清楚地展现算法的逻辑结构，具有直观、形象的特点．2．程序框图要基于它的算法，在对一个算法作了透彻分析的基础上再设计流程图，在设计流程图的时候要分步进行，把一个大的流程图分解成若干个小的部分，按照顺序结构、条件结构、循环结构来局部安排，最后再把各部分之间进行组装，从而完成完整的程序框图．变式训练把“三个整数a，b，c”改为“两个整数a，b”，其他不变，试画出算法流程图．【解析】算法流程图如图：课堂探究二工序流程图例2在工业中由黄铁矿制取硫酸大致经过三个程序：造气、接触氧化和SO3的吸收．造气即黄铁矿与空气在沸腾炉中反应产生SO2和矿渣，矿渣作废物处理，SO2再经过净化处理；接触氧化是SO2在接触室中反应产生SO3和SO2，其中SO2再循环接触反应；吸收阶段是SO3在吸收塔内反应产生硫酸和废气．请据上述简介，画出制备硫酸的流程图．【思路探究】划分工序→明确工序之间的关系→画工序流程图【自主解答】按照工序要求，可以画出下面工序流程图：方法总结画工序流程图的步骤：(1)从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理的工作或工序的划分．(2)明确各工作或工序之间的关系．即①衔接关系，各工作或各工序之间的先后顺序．②平等关系，各工作或各工序之间可以独立进行，根据实际情况，可以安排它们同时进行．③交叉关系，一次工作或工序进行时，另外一些工作或工序可以穿插进行．(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．(4)开始时流程图可以画得粗疏，然后再对每一框进行逐步细化．特别地：在程序框图中允许有闭合回路，而在工序流程图中不允许有闭合回路．变式训练2想沏壶茶喝，当时的情况是：开水没有，烧开水的壶要洗，沏茶的壶和茶杯要洗，茶叶已有，问应如何进行？(各工序所需时间分别为：洗水壶1分钟，洗茶壶、茶杯2分钟，烧开水15分钟，取茶叶1分钟，沏茶1分钟)【解析】方案一洗好水壶，灌入凉水，放在炉子上，打开煤气．待水烧开后，洗茶壶、茶杯，取茶叶，沏茶，用流程图表示为：洗水壶→烧开水→洗茶壶、茶杯→取茶叶→沏茶方案二合并可以同时进行的流程，即洗水壶，烧开水同时洗茶壶、茶杯，取茶叶，水烧开沏茶，用流程图表示为：洗水壶→烧开水，洗茶壶、茶杯，取茶叶→沏茶探究三流程图的应用例3以下是某基金公司的客服热线的服务内容和流程图．某人在该基金公司建立了账户并购买了基金，但忘记了基金账户，他想通过客服热线查询自己的基金账号，应如何操作？拨通客服热线账户查询2身份证号登录1输入6位查询密码分红查询3交易确认查询2账户份额查询1基金代码查询4基金账号查询5基金账号登录2直销交易1身份证号登录1输入8位交易密码申购2认购1赎回3转换4基金账号登录2净值查询3上一开放日净值1历史净值2人工服务0客服代表接听1语音留言2投诉1咨询2【思路探究】客服热线查询通常都是用流程图的形式给出各种业务的操作方式，另外也可以根据语音提示来完成操作．【自主解答】他要查询自己的基金账号，可如下操作：拨通客服热线⇒按2号键进行账户查询⇒按1号键用身份证号登录⇒输入6位查询密码⇒按5号键查询基金账号．方法总结阅读流程图，从中获取相应信息是流程图应用的主要体现，通过分析流程图，可以知道某项工作如何解决、有哪些步骤、需要注意哪些问题，因此可以整体上把握问题解决的流程，并且还可以进行优化．方法总结程序框图及其画法：(1)程序框图是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确表示算法的图形，能清楚的展现算法的逻辑结构，具有直观、形象的特点．(2)程序框图要基于它的算法，在对一个算法作了透彻分析的基础上再设计流程图，在设计流程图的时候要分步进行，把一个大的流程图分解成若干个小的部分，按照顺序结构、条件结构、循环结构来局部安排，最后再把各部之间进行组装，从而完成完整的程序框图．1．流程图表示一种动态的过程或过程性的活动．2．绘制流程图要搞清各过程间的关系，流程线上的箭头标识动态的方向；流程图通常一个起点，一个或多个终点．3．程序框图是流程图的一种，画程序框图要使用标准的符号，选用合适的逻辑结构，直观表示各算法步骤．当堂训练1．流程图描述动态过程，关于其“终点”的描述中，较为恰当的是()A．只允许有一个“终点”B．只允许有两个“终点”C．可以有一个或多个“终点”D．可以无“终点”【解析】流程图可以有一个或多个终点，选C.【答案】 C2．要描述一个工厂生产某种产品的步骤，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】工序流程图是描述产品生产工序的框图．【答案】 B3．进入互联网时代，发电子邮件是必不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是()A．a→b→c→d→e→fB．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→fD．b→a→c→d→f→e【解析】根据发电子邮件实际操作的顺序可知选C.【答案】 C4．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图4－1－3所示，从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．图4－1－3【解析】这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．【答案】 3。

北师大版高中数学必修2同步测试题：第1章第2节直观图(斜二测画法)(含答案解析)

《空间几何体的直观图（斜二测画法）》同步测试题1.作出水平放置的正六边形的直观图2.作出水平放置的等边三角形的直观图3.作出水平放置的正五边形的直观图4.作出水平放置的直角梯形的直观图5.（1）作出长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的长方体的直观图；（2）作出底面半径为1cm ，高为3cm 的圆柱和圆锥的直观图6.已知斜二测画法得到的直观图A B C '''∆是正三角形,画出原三角形的图形．同步练习1、关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135°2、下列说法正确的是（）A ．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形C ．矩形的直观图可能是梯形D ．正方形的直观图可能是平行四边形3、如右图所示，该直观图表示的平面图形为（））A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．正三角形 4、下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A ．1B ．2C ．3D ．45、下列结论正确的有①相等的线段在直观图中仍然相等。

②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。

③矩形的直观图是矩形。

④圆的直观图一定是圆。

⑤角的水平放置的直观图一定是角。

6、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（）A ． 90,90B ． 90,45C ． 90,135D ． 45或 90,135 7、、一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（）（第3题图）A ．46B ．43C ．23D ．26 8、水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．29、如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a) cmD ．4a cm10、已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 11、一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4cm,1cm,2cm,1.6cmB ．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC ．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD ．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm12、如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形13、利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．14、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于．15、如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．16、水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．17、在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的投影长度总和是________．18、已知等边△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为616，则等边△ABC 的面积是多少？19、一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．① ②。

第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)

小结
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探
提
新你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
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课
作
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主
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探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3，提
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新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作探究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图课
作
时
探形．
分
究
层
释疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结

2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件第一章§2

栏目导引
第一章
立体几何初步
3．立体图形的直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z 轴的是z′轴,平面x′O′y′水平平面表示___________,平面y′O′z′ 和x直立平面 ′O′z′表示___________．平行于z轴的线段，在直观图长度都不变．平行性和______ 中________
D′F′＝2.5.
(5)连线成图(擦去辅助线)(如图)．
栏目导引
第一章
立体几何初步
【名师点评】 (1)斜二测画法可根据意义记为“斜”“二测”，即“斜” ——轴成 45° 角；“二测”——横不变，纵减半． (2)解决此类问题的步骤是建系 → 定点 → 连线 → 成图 . (3)画直观图时，选择不同的坐标系，图形的画法可能不同，所以选取恰当的坐标系原点，能使整个作图变得简便，若点所在的线段不与坐标轴平行，则寻找平行于坐标轴或在坐标轴上的线段，根据平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度减半的原则画出．
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z轴的平行线,并
在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝ FF′＝3 cm.
栏目导引
第一章
立体几何初步
(4)成图．依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，
E′F′，F′A′，并加以整理，即得底面边长为2 cm，高为3 cm的正六棱柱的直观图．如图所示．
栏目导引
第一章
立体几何初步
【名师点评】
(1)用斜二测画法画空间几何体的直观图的画
法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不
变，长度变，横竖不变，纵折半． (2)画空间图形直观图的主要步骤为： ①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图．

《直观图》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

《直观图》教学设计教材分析:三视图的直观图是空间几何体的重要的起始课，是学习立体几何的基础之一．学好三视图的直观图有利于培养学生空间想象能力、几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，为高中的后续学习打下基础．因此将从投影的角度加深对三视图概念的理解和会画简单几何体的三视图作为本节课的重点.可以培养学生的直观感受能力、作图能力、空间想象能力，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，所以在人们的日常生活中有着重要义，所以直观图也不可忽视.教学目标：【知识与能力目标】1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.2.通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力.【过程与方法】学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.【情感态度与价值观】1.提高空间想象力与直观感受能力，培养探究精神和意识；2.体会对比转化在学习中的作用，以及化归的数学思想方法；3.感受几何作图在生产活动中的应用.教学重难点：【教学重点】空间几何体直观图的画法--斜二测画法：能由直观图想出其对应的几何体，并能由几何体的三视图画出其直观图，顺利由三视图到空间几何体再到直观图的互化.【教学难点】用斜二测画法画空间几何值的直观图时，如何选择合适的坐标系.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：三视图能从细节上刻画空间几何体的结构，我们可以得到一个精确的几何体，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，且作图方法比较复杂，又不易度量.那么有没有一种画法，既能对空间几何体整体刻画，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图.因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.二、新课探究：1. 斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．注：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．2.立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在z轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．3.已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．第二步：利用斜二测画法画出直观图．当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．三、知识应用：题型一画出几何体的直观图例1．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．【答案】22解:四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．【设计意图】斜二测画法的作图技巧：1．在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2．在原图中平行于x轴和y轴的线段在直观图中仍然平行于x'轴和y'轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；'''垂直的z'轴，平行于z' 3．画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面x O y轴的线段长度保持不变．题型二确定直观图与实际的图形的关系例2. 已知正角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ＇B ＇C ＇的面积为（）A ．234aB ．238aC ．268aD ．2616a 【答案】D解：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ＇B ＇C ＇的边长及夹角求解．如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图．由图（2）可知，A ＇B ＇=AB =a ，13''24O C OC a ==，在图（2）中作C ＇D ＇⊥A ＇B ＇于D ＇，则26''''28C D C a ==． ∴2'''1166''''22816A B C S A B C D a a a ∆=⋅=⨯⨯=．【设计意图】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．教学反思：培养学生的直观感受能力、作图能力、空间想象能力.只有会画图才对认识图、理解立体关系能有更深的体会与感觉，才能更好地增加空间想象能力.。

(北师大版)数学必修二课时作业：1.2直观图(含答案)

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课时提升作业(二)直观图一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·绍兴高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中，底面ABCD的直观图一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【解析】选D.底面ABCD是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.2.(2018·亳州高一检测)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选C.直观图中有一条边与y′轴平行，两条边与x′轴平行，所以该图形为直角梯形.3. (2018·锦州高一检测)如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为( )A.2B.4C.2D.4【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果.【解析】选D.因为等腰Rt△C′A′B′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2，因为平面图形与直观图的面积的比为2∶1，所以原平面图形的面积是2×2=4.4.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.5.(2018·榆林高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )【解析】选A.直观图中正方形的边长为1，故对角线长为，所以在原图中一对角线的长为2.【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________.【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为=3，故周长为(1+3)×2=8.答案：86.(2018·银川高一检测)如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为( )A.2B.4C.2D.4【解析】选D.因为直观图与原图形中边OB长度不变，S原图形=2S直观图，所以有·OB·h=2××2·O′B′，所以h=4.二、填空题(每小题4分，共12分)7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m，10 m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______________.【解析】根据斜二测画法规则求解.答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm8.(2018·聊城高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.答案：5cm9.已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A′B′C′，且∠A′=90°，A′B′=(如图)，则△ABC的面积是________.【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC，如图所示，其中BC=B′C′=2，AB=2A′B′=2，∠ABC=90°，所以S△ABC=×2×2=2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018·济宁高一检测)用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD中，取AB，AD所在边为x轴、y轴，相交于O点(O与A重合)；画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°，如图②.(2)在x′轴上取点A′(A′与O′重合)，B′使A′B′=AB，在y′轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作D′C′平行于x′轴，且等于A′B′的长.(3)去掉辅助线，连接C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图.11.(2018·丽水高一检测)有一棱柱，其底面为边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试画出此棱柱的直观图.【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm，在y轴上画PQ=cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·佛山高一检测)下列说法正确的是( )A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图是平行四边形【解析】选D.对于A.若两条直线中一条平行于x轴，一条平行于y轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A 错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B，C错.2.(2018·北京高一检测)一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( )A.8B.8C.4D.4【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为∶4解答.【解析】选A.S直观图=×4×4×=4.由=，得S原图=8.【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________.【解析】S原图=×4×4×=4，由=，得S直观图=4×=.答案：3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A′B′=6，A′D′=2，则图形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选C.将直观图还原如图所示，AB=A′B′=6，AE=2A′E′=4，DE=D′E′=2，DC=6，则在Rt△ADE中，AD==6，所以四边形ABCD为菱形.【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD，忘了判断AD与AB的关系得四边形ABCD为平行四边形而出错. 4.(2018·宿州高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC⊥DC，原平面图形的面积为( )A.1+B.2+C.2+D.1+【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A作AE⊥BC于E.【解析】选C.过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意知DC∥AE，AD∥EC，所以四边形ADCE为矩形.所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为××2=2+.二、填空题(每小题4分，共12分)5.(2018·蚌埠高二检测)△ABC的面积为10，以它的一边所在直线为x轴画直观图后，其直观图的面积为__________.【解析】如图所示为△ABC的原图形和直观图.作A′D′⊥B′C′于D′，则A′D′为直观图B′C′边上的高，易求得A′D′=AO，所以S△A′B′C′=S△ABC=×10=.答案：6.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等.答案：(3)三、解答题 (每小题12分，共24分)7.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图.【解析】画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(如图(2)).(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=AE，B′C′=BC；在y′轴上截取O′D′=OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴以及O′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图(3)).8.画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm，8cm，高为4cm的正四棱台).【解题指南】先画出上、下底面(正方形)的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.【解析】(1)画下底面，画x轴，y轴，使∠xOy=45°，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=8cm.在y轴上取线段GH，使得GH=EF，GH的中点为O，再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图.(2)画z轴.三轴相交于点O，使z轴与x轴成90°.(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，则∠x′O1y′=45°.建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中画出上底面的直观图A1B1C1D1.(4)再连接AA1，BB1，CC1，DD1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).关闭Word文档返回原板块。

新教材2023版高中数学第北师大版必修第二册：直观图课件

(3)已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成__平__行____于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持原长度 __不__变____；平行于 y 轴的线段长度为原来的__一__半____．
(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．
3．水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知 A′C′＝3， B′C′＝2，则 AB 边上的中线的实际长度为________．
解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝ 90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB 边上的中线为 2.5.
答案：2.5
题型一画水平放置的平面图形的直观图 ——自主完成用斜二测画法画水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图(尺寸自定)．
解析：(1)如图 a，在等腰梯形 ABCD 中，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，OE(E 为 DC 中点)所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy.在图 b 中画出相应的坐标系 x′O′y′，并使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图 b 中以 O′为线段 A′B′中点在 x′轴上取 A′B′＝AB，在
状元随笔 (1)画立体图形的直观图的思路是将其转化为画平面
图形的直观图． (2)在要求不太严格的情况下，画立体图形的直观图时，长度和角
度可灵活选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示． (3)画图时要紧紧把握：一斜——在已知图形中垂直于 x 轴的线段，
在直观图中与 x′轴成 45 °或 135 °角；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于 x 轴、z 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的一半．

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安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第43 课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：第12周
集体备课个人空间
一、课题：2.1直观图
二、学习目标
1、通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，
提高学生识图和画图的能力；
2、培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法.
三、教学过程
【温故知新】
认真阅读课本第7页-第12页，完成下列问题
1、什么是斜二测画法？这种画法的规则是什么？
（1）
（2）
（3）
2、如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？
3、探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别
是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
4、用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不
同？并总结画几何体的直观图的步骤.
【导学释疑】
例1、画水平放置的正六边形的直观图
例2 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.
【巩固提升】
1、关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）
A.原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变
B.原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的
21 C.在画与直角坐标系x O y 对应的x ′O′y ′时，∠x ′O′y ′必须是45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
2、利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是___________.
【检测反馈】
1、一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（）
A.62
B.64
C.3
D.都不对
2、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）
A.2221+
B.2
21+ C.21+ D.22+ 3、根据图14所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状.
反
思栏。