人教版八年级下册19.2特殊的平行四边形
19.2 特殊平行四边形 (第3课时)19.2.2菱形(菱形的性质)
证明：因为四边形ABCD是菱形， 证明：因为四边形ABCD是菱形， ABCD是菱形 所以AB=AD 菱形的四条边都相等）。 AB=AD（ 所以AB=AD（菱形的四条边都相等）。 ABD中 在△ABD中， 又因为BO=DO BO=DO， 又因为BO=DO， B 所以AC⊥BD AC平分 BAD。 AC⊥BD， 平分∠ 所以AC⊥BD，AC平分∠BAD。 同理： AC平分 BCD； 平分∠ 同理： AC平分∠BCD； BD平分 ABC和 ADC。 平分∠ BD平分∠ABC和∠ADC。
矩形
两组对边 分别平行 平行 四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 邻边相等 叫做菱形
AB=BC 四边形ABCD是菱形 是菱形 四边形 ABCD
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 如何利用折纸、剪切的方法， 确地剪出一个菱形的纸片？ 确地剪出一个菱形的纸片？
他是这样做的： 他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？ 打开即可 你知道其中的道理吗？ 你知道其中的道理吗
D O A C B
菱形的性质Leabharlann 菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质； ）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； ）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直， ）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角； 并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形。 ）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形。
?
1.已知菱形的周长是12cm， 1.已知菱形的周长是12cm，那 已知菱形的周长是12cm 3cm 么它的边长是______. 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中 ABC＝60度 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 菱形ABCD 60度 BAC＝ 60度 则∠BAC＝_______. B
矩形说课稿
人教版八年级下册《矩形》说课稿泰来县平洋镇中心学校赵文钰各位领导,你们好:我给大家说课的题目是《矩形》。
一、教材分析:《矩形》是人教版数学八年级下册第19章四边形19.2<特殊的平行四边形>的第一节课,这是四边形部分十分重要的一节内容,主要体现在知识技能和思想方法两个方面.从知识技能上讲,它是借助于四边形的不稳定性,又是在平行四边形基础上的扩充,也为下一步研究正方形打基础,在教材中起到承上启下的作用,同时,它还是进一步培养学生简单的推理能力、发挥图形迁移能力。
从思想方法上,通过从平行四边形到矩形的演变,渗透了运动学,即从量变到质变的观点。
另外,本节课的内容还渗透着转化、对比的数学思想,重在训练学生的逻辑思维能力和分析、归纳、总结的能力,因此,这节课无论在知识上,还是在对学生能力上都起着非常重要的作用。
二、学情分析:学生已经学习了四边形,掌握了平行四边形性质、判定和证明的一些方法,积累了一定的学习经验,即按“边、角、对角线”的思路进行学习。
根据学生知识结构和心理特征,可以通过类比的方法进一步观察、操作、感知其图形演变,以合作交流的方式突破重点和解决难点。
对策:1、注意问题情境的教学。
2、使用启发诱导的方法。
3、贯彻循序渐进的原则。
三、三维目标、重点、难点:知识与技能:了解什么是矩形,理解并掌握矩形的性质及直角三角形的性质。
过程与方法:经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生逻辑推理意识、掌握数学思维方式。
情感、态度、价值观:养成严谨的推理能力,以及自主合作精神,并形成良好的学习习惯和浓厚的学习兴趣。
教学重点:矩形的概念和性质。
教学难点:矩形性质的灵活应用。
我认为,加强概念教学是突破难点的关键。
它的根据:教材的地位和作用及教学目标和学生的实际情况。
四、教学方法和手段:(1)教学方法:因为《新课程标准》提倡学生主动参与、乐于探究、交流合作的学习方式。
所以,根据本课的内容和初三学生的特点以及目标教学的要求,我采用边启发、边分析、边推理,层层设疑,讲练结合的要求。
19.2特殊的平行四边形(矩形的定义及性质)
我们已经学习了平行四边形的定义、 性质和判定定理。大家回忆一下！
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 推论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理2：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四 定理3： 边形。 QQ：907948768 飞鱼工作室制作
且相等
邻角互补
平分
中心对称 图形
对边平行 四个角是 矩形 且相等 直角
A D O B C A
对角线互相 中心对称图 平分且相等 形，也是轴 对称图形
D O
B
C
作业
习题19.2
1 ，4，9题
预习矩形的判定定理
B C
A
D
探 究
我们根据平行四边形的性质来探究矩形的性质。
A O D
B
C
性质定理1：矩形的四个角都是直角
性质定理2：矩形的对角线相等
探 究
如图，在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O.根据 矩形的性质，我们知道， AO = CO = BO = DO = 1 1 2 AC = 2 BD，又AO为 △ABD的中线，因此，我 们得到直角三角形的一个 性质： 推论：
B
C O
OA = AB = 4 cm 矩形的对角线长AC = BD = 2OA = 8 cm
这节课我们学习了矩形的性质，矩形都有哪 些性质？
性质定理1：矩形的四个角都是直角 性质定理2：矩形的对角线相等 推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
对比记忆
边 角 对角线 对称性
平行 对边平行 对角相等， 对角线互相 四边形
19.2 特殊的平行四边形—菱形(1)
1 2
BD平分∠ABC、 BD平分∠ABC、∠ADC 平分
A
O
5 6 3 4 7 8
D
C
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O ABCD的对角线AC 相交于点 如图。 如图。
第十九章
平行四边形
19.2 特殊的平行四边形
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
19.2.2 菱形的性质
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级下册
两次， 将一张矩形的纸对折两次，然后 沿图中的虚线剪下， 沿图中的虚线剪下，得到一个直角三 角形，打开即得到一个四边形。 角形，打开即得到一个四边形。
1.菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD的边 1.菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD的边 菱形ABCD的周长是20cm,则菱形ABCD 长是 5cm ； 2.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ） 2.下面性质中菱形有而矩形没有的是（ 下面性质中菱形有而矩形没有的是 （A）邻角互补 （B）四个角都为直角 （C）对角线相等 （D）对角线互相垂直
A O B C D
∴AC⊥BD，AC平分∠ ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 平分
同理： AC平分 BCD； 平分∠ 同理： AC平分∠BCD； BD平分 ABC和 平分∠ BD平分∠ABC和∠ADC
菱形是特殊的平行四边形，既具有平行四边 的平行四边形， 形的所有性质，又具有自己的特殊性质：
19.2平行四边形的定义、性质(1)
练习2：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD， 垂足分别为E、F. 求证：∠BAE＝∠DCF。 A E F D
B
C
A
4 1 3
D
B
2
C
平行四边形的性质
平行四边形的对边平行；
AB∥CD，AD∥BC
∵四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的对边相等；
∵四边形ABCD是平行四边形 AB CD; AD BC
平行四边形的对角相等；
∵四边形ABCD是平行四边形 A C; B D
练习 ：
解： 四边形ABCD是平行四边形 AB CD; AD BC
AB 8, CD 8(m) 又 AB BC CD AD 36 AD BC 10(m)
例2：
• 如图，已知在□ ABCD中，E是BC的中点， 连结DE并延长，交AB的延长线于点F， • 求证：BF=CD．
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
1
2
3
4
5
两组对边分别平行，是平行四边形的 一个主要特征。
平行四边形的定义
A
Ｄ
B
Ｃ
1.定义: 有两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形。 2.记作: ABCD 3.读作：平行四边形ABCD 4.几何语言: ∵ AB∥CD AD∥BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形
1．已知： ABCD中，∠A=100°，你能求出 其他各角的度数吗？说说你的理由． A 变题1、 ABCD中，∠A比∠B大 30 ∘， 则 ∠A＝＿＿，∠D＝＿＿. B
D
C
中，如果∠A的外角是 50°，那么 变题2、 ABCD 平行四边形的每个内角是多少度？
19.2 特殊平行四边形 (第2课时)19.2.1矩形(矩形的判定)
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形 已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 ， 。 求证：四边形 是矩形。 求证：四边形ABCD是矩形。 A 是矩形 ， 证明: 证明 因为 AB=CD, BC=BC, AC=BD，
B D
C
矩形的判定方法： 矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 对角线相等且互相平分的四边为四边形ABCD是平行四边形， 因为四边形 是平行四边形， 是平行四边形 AC=BD， ， （或OA=OC=OB=OD） ）
方法1： 方法 ：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2： 方法 ：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 方法3： 方法 ：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？ 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； ）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； ）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形 ）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； ）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； ）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； ）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； ）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 ）一组邻边垂直， 矩形。 矩形。
19.2平行四边形的定义、性质(2)
1.请同学们根据以下描述作图 步骤一：请任意作两条平行线。
A B
步骤二：请在其中一条直线上任找 C D A、B两点。 步骤三：过A、B两点作两条平行线，与另外一条直线分别交 于C、D两点。能得到什么结论？
2.有两条直线平行，你能画图表示出一条直线上的点 到另一条直线的距离吗？那么这一条直线上所有的 点到另一条直线的距离呢？他们有什么关系？ 推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。 推论2：平行线间的距离处处相等。
变式：学校买了4棵树，准备栽在花园里，已经栽了 三棵（如图），现在学校希望这四棵树能够组成一 个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里呢？ 请你在图中画出可能的位置．
A
B
C
例3 ：如图，在□ABCD中，∠C的平分线交AB于点E 交DA延长线于点F，且AE=5cm，EB=5cm， 求□ABCD的周长．
复习
B
A D
C
定
义
两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四 边形。其不相邻的两个顶点连成的线段叫 它的对角线。 平行四边形ABCD, 记为“□ABCD”, 读作 “平行四边形ABCD”, 其中线段AC, BD称 为对角线。 1.平行四边形的两组对边分别平行;
表示方法
性
质
2.平行四边形的对边相等，
3.平行四边形的对角相等， 相邻两角互补。
课外作业： 1、学校有一个三角形的花坛，顶点处各有一个石 柱，现在想把花坛的面积扩大一倍，而不移动石柱， 请你设计一个改建方案。
例题分析：
例1如图，AB∥CD，DF∥BE，AE∥CF ；图中有几个 平行四边形？将它们表示出来，并说明理由。
A
F
D
B
E C
19.2.1特殊的平行四边形
19.2特殊的平行四边形19.2.1矩形1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线平分2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（ ） A.26 B.13 C.8.5 D.6.53.矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5,12,cm BC cm =则△ABO 的周长为等于 .4. 如图所示，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） A.34 B.33 C.24D.８5. 如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 ．6.已知矩形的周长为40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长 的差为8cm ，则较大的边长为 .7. 如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于E ，CF BD ⊥于F 。
求证BE=CF 。
8. 如图所示，E 为□ABCD 外，AE ⊥CE,BE ⊥DE ， 求证：□ABCD 为矩形9.已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．∵ S △PBC +S △PAD =12BC ·PF+12AD ·PE=12BC （PF+PE ）=12BC ·EF=12S 矩形ABCDA BCDEF第4题图C又∵ S △PAC +S △PCD +S △PAD =12S 矩形ABCD ∴ S △PBC +S △PAD = S △PAC +S △PCD +S △PAD ．∴S △PB C =S △PA C +S △P CD ．请你参考上述信息，当点P 分别在图2、图3中的位置时，S △PB C 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．10. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：EO =FO(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.图2。
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19.2特殊的平行四边形
1．已知：AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件是___________________． 2.若四边形ABCD 为平行四边形，请补充条件 使得四边形ABCD 为菱形． 3.如图1，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ， 若对角线 AC =6cm ，则周长= ，面积= 。
4.如图2，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠BAD =120°，则AC= ,BD= , 面积= 。
5.如图3，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C
重合）且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是
图1 图2 图3
6. 已知：如图3，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，∠AEO ．
7. 如图4，四边形ABCD 是菱形. 对角线AC=8㎝，DB=6㎝，DH ⊥AB 与H. DH= 。
8．如图5，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE DC ∥交BC 于点E ，若
8AD cm ，则OE 的长为 cm ．
图3 图4
9．已知如图，菱形ABCD 中，∠ADC =120°，AC =123㎝， （1）求BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积， （3）写出A 、B 、C 、D 的坐标.
10.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且 DP =OC ，连结
B A D
C
O
A B
C
D
A
B
D
C
O
H
图5
A
B
D
C
E
A
B
C
O
D
CP ，试判断四边形CODP 的形状．并证明。
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？ 如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？
10.以△ABC 的边AB 、AC 为边作等边△ABD 和 等边△ ACE ，四边形ADFE 是平行四边形．
① 当∠BAC 等于 时， 四边形ADFE 是矩形；
② 当∠BAC 等于 时， 平行四边形ADFE 不存在；
③ 当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形、正方形．
11.如图1：正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足M ，AM 交BD 于点F ． ①求证OE =OF ；
②如图2所示，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥EB 的延长线于点M ，交DB 的延长线于
A
O
D
P
B C
P
C
D
O
B
A
图二
B C
A
E
F D
A B
D C O
P 图一
点F ，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由
A
B
C D O F E
M
图1
A
B
C D
F
E
M O
图2。