21.1一元二次方程第一节练习题
人教版九年级上册数学课后基础练习：21.1一元二次方程(包含答案)
21.1一元二次方程一、填空题1．（2019·资阳）a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．2．关于x 的方程（m-1）x 2+（m+1）x+3m-1=0，当m_________时,是一元一次方程;当m_________时,是一元二次方程.3．（2018·南充）若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为______． 4．一元二次方程290x -=的解是__ ．5．（2019·湖南中考模拟）在等腰ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，已知3,a b =和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，则ABC ∆的周长是__________． 6．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．7．若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0，则m 的值是__________．8．已知x =2是关于x 的一元二次方程20x bx c +-=的一个根，则b 与c 的关系是__________．(请用含b 的代数式表示c )9．当m __________时，关于x 的方程()2220m x x -+-=是一元二次方程.二、单选题10．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．213x +=B ．22x y +=C ．2324x x +=D ．211x x+= 11．已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）A ．当a≠±1时，原方程是一元二次方程。
B ．当a≠1时，原方程是一元二次方程。
C ．当a≠-1时，原方程是一元二次方程。
D ．原方程是一元二次方程。
12．（2019·遂宁）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-13．（2019·兰州）1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2- B ．3- C ．4 D ．6-14．若关于x 的方程()2230m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．2m ≠B ．2m =C ．2m >D ．0m ≠15．已知n 是方程2210x x --=的一个根，则2367n n --=（ ）A．10-B．7-C．6-D．4-三、解答题16．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．17．（2019·湖北中考模拟）已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣3x2＝2，求k的值．18．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？19．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为；（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为；（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为．参考答案1．82．=1 ≠13．124．x 1＝3，x 2＝﹣3．5．375或76．3 −2 -47．48．42c b =+9．2≠10．C 11．A 12．D 13．A 14．A 15．D 16．917．解（1）△＝（﹣2k ）2﹣4（k 2﹣k ﹣1）＝4k+4＞0， ∴k ＞﹣1；（2）∵1212322x x x x k -=⎧⎨+=⎩， ∴1231212k x k x +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵x 1•x 2＝k 2﹣k ﹣1， ∴14（3k+1）（k ﹣1）＝k 2﹣k ﹣1，∴k 1＝3，k 2＝﹣1，∵k ＞﹣1，∴k ＝3．18．解关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程，理由如下：21220m m m +=+≠⎧⎨⎩ ，解得m=1，m=1时,关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程 19．解：对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）， （1）当a+b+c=0时，x=1；（2）当a-b-c=0时，x=-1；（3）当4a-2b+c=0时，x=-2.。
人教版九年级数学上册 第二十一章练习题含答案
人教版九年级数学上册 第二十一章练习题含答案21.1一元二次方程一、选择题1．若n 是方程x 2+mx+n=0的根，n≠0，则m+n 等于（ ）A ．－12B ．12C ．1D ．－12．下列叙述正确的是（ ）A ．形如ax 2+bx+c=0的方程叫一元二次方程B ．方程4x 2+3x=6不含有常数项C ．(2）x)2=0是一元二次方程D ．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为03．下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①x 2=0 ②ax 2+bx+c=0 x 2－2+a －x=0 ⑤(m－1)x 2+4x+2m =0 ⑥1x +1x =13⑧(x+1)2=x 2－9A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4．如果(a －1)x 2＋ax ＋a 2－1＝0是关于x 的一元二次方程，那么必有（ ）A ．a≠0B ．a≠1C ．a≠－1D ．a ＝±－15．已知方程(x ＋m)(x －4)＝0和方程x 2－2x －8＝0的两根分别相等，则m 等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－26．方程 -12x 2+4x =3 的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为（ ） A ．－6 B ．6 C ．12 D ．－127．下列哪一个选项是一元二次方程（ ）A ．10x=9B ．2(y-1)=3yC ．2x 2-3x+1=0D ．2120x x-=8．方程x 2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是））A B ． C D ．19．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2430x x -+=B ．20ax bx c ++=C ．220x x -+=D ．223250x xy y --= 10．方程（m+2）m x +mx-8=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m=2±B ．m=2C ．m=-2D ．m ≠2±二、填空题11．已知x=2是关于x 的一元二次方程x 2）4x+m=0的一个根，则m=__________）12．已知m 是方程x 2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m 2﹣2017m+220181m ++3的值等于_____． 13．请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为1；②有一个根为﹣2．则你构造的一元二次方程是_____．14．方程(x–3)2+5=6x 化成一般形式是________，其中一次项系数是________.15．如果(a+2)x 2+4x+3=0是一元二次方程，那么a 所满足的条件为___________.三、解答题16．先化简，再求值：211(1)21+1m m m m m m --÷-+++，其中m 是关于x 的一元二次方程2330x x +-=的根17．把关于x 的方程()()()23x x x -=化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.18．一元二次方程()2(1)10a x b x c -+-+=化为一般形式后为22310x x --=，试求a b c+的值． 19．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）2(5)36x -=；（2）3(1)2(1)y y y +=+．20．观察以下方程：①237150x x --=；②221090x x +-=；③2560x x ++=；④243110x x -+=，解答下列问题： ()1上面的四个方程有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示出这个特点；()2请你写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式．21．根据题意列出方程,化为一般式,不解方程.(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求这两正方形的边长.(2)2014年某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.面对下半年市场竞争激烈,超市采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装利润为1 000元,那么每件童装应降价多少元?22．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？23．）））））））(1)若n(n ≠0)是关于x ）））x 2+mx −2n =0的根，求m +n ）））(2)已知x ，y 为实数，且y =2√x −5+3√5−x −2，））））【参考答案】1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A. 10．B 11．412．202013．2x 2﹣8＝014． x 2–12x+14=0 –1215．a≠）216．211,325m m --++17．22690x x 二次项22x ，二次项系数2；一次项6x -，一次项系数6-；常数项9-18．32-19．（1）210110x x --=，1，10-，11- （2）2320y y +-=，3，1，2-20．()1一次项系数为奇数21n +（n 是整数）；()()22210ax n x c +++=．21．）1）10x 2+6x -52=0））2）3x 2-90x-200=0.22．223．）1）-2））2）1621.2解一元二次方程一．选择题1．解一元二次方程（x -1）2=2（x -1）最适宜的方法是（ ）A ．直接开平方B ．公式法C ．因式分解法D ．配方法2．利用配方法解一元二次方程x 2-6x+7=0时，将方程配方为（x -m ）2=n ，则m 、n 的值分别为（ ）A ．m=9，n=2B ．m=-3，n=-2C ．m=3，n=0D ．m=3，n=23．一元二次方程x 2-6x+5=0的两根分别是x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ）A ．5B ．-5C ．6D ．-64．关于x 的方程x 2-mx+6=0有一根是-3，那么这个方程的另一个根是（ ）A ．-5B ．5C ．-2D ．25．设方程x 2+x -2=0的两个根为α，β，那么α+β-αβ的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．36．一元二次方程（2x+1）（2x -1）=8x+15的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．如果a 、b 是关于x 的方程（x+c ）（x+d ）=1的两个根，那么（a+c ）（b+c ）等于（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．c 28．已知关于x 的一元二次方程x 2-2（k -1）x+k 2+2=0的两个实数根为x 1和x 2，设t=，则t 的最大值为（ ）A ．-4B ．4C ．-6D ．69．关于x 的一元二次方程ax 2+5x+3=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0 D．a≥10．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或011．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}=4．因此，max{-2，-4}=-2；按照这个规定，若max{x，−x}＝，则x的值是（）A．-1B．-1或C．D．1或12．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x-3）（x-6）=0的实数根是3或6，x2-3x+2=0的实数根是1或2，3：6=1：2，则一元二次方程（x-3）（x-6）=0与x2-3x+2=0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2-16=0与x2=25B．（x-6）2=0与x2+4x+4=0C．x2-7x=0与x2+x-6=0D．（x+2）（x+8）=0与x2-5x+4=0二．填空题13．一元二次方程（x+1）2=x+1的根是．14．若关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有实数根，则a的最大整数值是．15．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为．16．若关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值为．17．设m、n是方程x2+x-1001=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．三．解答题18．解下列方程：（1）（y-2）（y-3）=12；（2）4（x+3）2=25（x-1）2；（3）2x2+3x-1=0（请用配方法解）．19．已知：关于x的一元二次方程x2+mx=3（m为常数）．（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．20．已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23=24，求k的值．21．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，的值．22．已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且，求实数k的值．参考答案1-5：CDACC 6-10:ABDAC 11-12:BC13、14、-115、16、±217、100018、19、（1）证明：x2+mx-3=0，∵a=1，b=m，c=-3∴△=b2-4ac=m2-4×1×（-3）=m2+12，∵m2≥0，∴m2+12＞0，∴△＞0，∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为-1.520、：（1）k≥2．（2）k=3．21、（1）k的取值范围为k＞-1；（2）1．22、：（1）k≤3．（2）k=-3．21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．某市一楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米7220元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．4.875%B．5%C．5.4%D．10%2．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（）A．11B．12C．13D．143．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（）A．196（1﹣2x）＝100B．196（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝196D．100（1+x）2＝1964．为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（）A．1000（1﹣2x）＝640B．1000（1﹣x）2＝640C．1000（）2＝640D．1000（1﹣）2＝6405．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640C．x（50﹣）﹣50×20＝8640D．（x﹣20）（50﹣）＝86406．某种服装的成本在两年内从300元降到243元，那么平均每年降低成本的百分率为（）A．5%B．10%C．15%D．20%7．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（）A．4m或10m B．4m C．10m D．8m8．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中正确的是（）A．23（1+a%）2＝40B．23（1﹣a%）2＝40C．23（1+2a%）＝40D．23（1﹣2a%）＝409．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）A．2＝x2B．2＝x2C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．210．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为（）A．8或24B．16C．12D．16或12二．填空题11．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有人．12．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为cm．13．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为米．14．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：．15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为．（化用一般式表示）三．解答题16．某果农2017年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2019年年收入增加到7.2万元，求平均每年年收入的增长率．17．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？18．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？19．受新型冠状病毒的影响，口罩成为最紧缺的物资之一，因此在2020年初．星星服装厂快速转型生产一次性医用口罩和N95口罩．一次性医用口罩和N95口罩的成本分别为1元/个、8元/个．星星服装厂3月份共生产两种口罩80万个并售完，其中N95口罩单个售价是一次性医用口罩单个售价的12倍，一次性医用口罩的销售额为90万元，N95口罩的销售额为360万元．（1）3月份星星服装厂两种口罩的单个售价分别是多少元？（2）由于国内口罩不再紧缺，而国外疫情逐渐爆发，从4月份起，星星服装厂将生产的口罩全部远销国外．因为将口罩出口销售，所以一次性医用口罩和N95口罩每个的成本均增加50%．4月份该厂生产并销售一次性医用口罩50万个，N95口罩25万个，两种口罩的总利润为425万元，一次性医用口罩和N95口罩的单个售价之比为1：6，5月份两种口罩的单个成本与4月份相同，总利润比4月份增加了25万元，一次性医用口罩的单个售价比4月份增加1元，N95口罩的单个售价比4月份降低a%，同时一次性医用口罩和N95口罩的数量与3月份相比，分别增加a%、a%．求a的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意可得：8000（1﹣x）2＝7220，解得：x1＝＝5%，x2＝（不合题意舍去），故选：B．2．【解答】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），依题意，得：x（x﹣1）＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．3．【解答】解：设两次降价的百分数都为x，根据题意，得：196（1﹣x）2＝100，故选：B．4．【解答】解：设该店冬装原本打x折，依题意，得：1000（）2＝640．故选：C．5．【解答】解：设房价定为x元，由题意得：（x﹣20）（50﹣）＝8640．故选：D．6．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后每件300（1﹣x）元，第二次降价后每件300（1﹣x）2元，由题意得：300（1﹣x）2＝243解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意舍去）所以平均每次降价的百分率为：10%．故选：B．7．【解答】解：∵与墙垂直的边为xm，∴与墙平行的边为（28﹣2x）m．依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x2﹣14x+40＝0，解得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8．故选：C．8．【解答】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%＝23（1+a%）；当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%＝23（1+a%）2．∴23（1+a%）2＝40．故选：A．9．【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：2＝x2，故选：B．10．【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，依题意，得：x（28﹣x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16．∵P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，∴x2＝16不合题意，舍去，∴x＝12．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：设该群一共有x人，依题意有x（x﹣1）＝156，解得：x＝﹣12（舍去）或x＝13，答：这个群一共有13人．故答案为13．12．【解答】解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，展开得：x2﹣75x+900＝0，解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．故答案是：15．13．【解答】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，依题意得：（30+4x+24+4x）x＝80整理得：4x2+27x﹣40＝0解得x1＝﹣8（舍去），x2＝．故答案为：．14．【解答】解：设这个小组的同学共有x人，则每人送（x﹣1）张贺卡，根据题意得：x（x﹣1）＝78．故答案为：x（x﹣1）＝78．15．【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0．故答案为：x2﹣x﹣56＝0．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：设平均每年年收入的增长率为x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：平均每年年收入的增长率为20%．17．【解答】解：设银边的宽为xcm，依题意，得：（12+2x）（8+2x）﹣12×8＝12×8，整理，得：x2+10x﹣24＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．答：银边的宽应该是2cm．18．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．19．【解答】解：（1）设3月份星星服装厂生产一次医用口罩x万个，则生产N95口罩（80﹣x）万个，依题意，得：＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴＝＝1.5，1.5×12＝18（元）．答：3月份星星服装厂生产的一次医用口罩的单个售价为1.5元，生产的N95口罩的单个售价为18元．（2）设4月份星星服装厂生产的一次医用口罩的单个售价为y元，则生产的N95口罩的单个售价为6y元，∵4月份两种口罩的总利润为425万元，∴[y﹣（1+50%）×1]×50+[6y﹣（1+50%）×8]×25＝425，∴y＝4，6y＝24．又∵5月份总利润比4月份增加了25万元，∴[4+1﹣（1+50%）×1]×60（1+a%）+[（1﹣a%）×24﹣（1+50%）×8]×（80。
21.1一元二次方程的解法和练习题
21.1 一元二次方程的解法1. 一元二次方程的定义形如)0( 02≠=++a c bx ax 的方程叫做一元二次方程。
两个要点：一是未知数的最高次数为2，二是2次项的系数不为0，一定要同时满足！ 【例】方程2253)1(x x x =-+-是不是一元二次方程？解：原方程的完全平方展开，整理得04=-x ，所以原方程不是一元二次方程。
说明：判断一个方程是不是一元二次方程，就把它所有的项都移动到方程左边，然后整理合并到最简，再根据一元二次方程的两个要点去判断。
【例】方程053)()2(=+-++x x n m n 是关于x 的一元二次方程，求m 和n 的值。
解：因为x 的最高次数是2次，所以22=+n ，解得0=n ；又因为x 的2次项的系数不为0，所以0≠+n m ，即00≠+m ，解得0≠m 。
【练习1】1、下列哪些方程是一元二次方程？1）022=x2）765432x x +=-3）5122=-xx4）0152=++x x2、方程053)3()4(=+-++x x s t 是关于x 的一元二次方程，且6=-t x ，求s 和t 的值。
2. 直接开平方法直接开平方法的原理是，如果)0( ,2≥=a a x ，则a x ±=。
这正是平方根的定义！对于形如0)(2=++d c bx a 的关于x 的方程，解答步骤示例如下：【例】解方程：010)13(22=--x解： 351 513 513 5)13( 10)13(222±=±=±=-=-=-x x x x x 说明：注意这里的符号±，因为正数都有两个平方根！【练习2】 1、解下列方程0142=-x 2)3(2=-x ()512=-x ()162812=-x3. 因式分解法因式分解法的原理是，如果0))((=++c x b x a ，且0≠a ，则0=+b x 或0=+c x ，我们就解得b x -=或c x -=。
数学人教版九年级上册21.1一元二次方程同步训练(解析版)
2019-2019 学年数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程同步训练一、选择题1.( 2 分 ) 方程 2x2﹣3x﹣5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 3、2、5B. 2、3、5C. 2、﹣ 3、﹣5 D.﹣2、3、52. ( 2 分 ) 以下方程中，必定是对于x 的一元二次方程的是（）A. ax2+bx+c=0B. ﹣3（x+1）2=2（x+1）C. x2﹣x（x﹣3）=0D.3. ( 2 分 ) 已知对于 x 的方程 x2﹣mx+3=0 的解为﹣ 1，则 m 的值为（）A. ﹣4B. 4C﹣.2 D. 24. ( 2 分 ) 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建相同宽的道路（图中暗影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．假如设小道宽为，依据题意，所列方程正确的选项是（）．A. B.C. D.5.( 2 分 ) 已知 a 是方程 x2﹣3x﹣1=0 的一个根，则代数式﹣ 2a2+6a﹣3 的值是（）A. ﹣5B.﹣6C.﹣12﹣2D.﹣ 12+26.( 2 分 ) 已知 a﹣b+c=0，则一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是（）A. 1B. ﹣2 C. 0D﹣.17.( 2 分 ) 若对于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣3m+2=0 的常数项为 0，则 m 等于（）A. 0B. 1C. 2D.1或28. ( 2 分 ) 若对于 x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是 x=2，则 2020+2a ﹣b 的值是（）A.2019B.2019C.2020D.20229.(2分 ) 若是对于 x 的一元二次方程，则 a 的值是（）A. 0B. 2C. -2D.2±10.( 2 分 ) 跟着居民经济收入的不停提升以及汽车业的迅速发展，家用汽车已愈来愈多地进入一般家庭，抽样检查显示，截止 2019 年末某市汽车拥有量为 16.9 万辆．己知 2019 年末该市汽车拥有量为 10 万辆，设 2019 年末至2019 年末该市汽车拥有量的均匀增加率为 x，依据题意列方程得（）A.10（1+x）2=16.9B.10（1+2x）=16.9C.10（1﹣x）2=16.9D.10（1﹣2x）=16.9二、填空题11.(4分 )把一元二次方程化为一般形式为：________，二次项为： ________，一次项系数为： ________，常数项为：________。
人教版九年级数学上册：一元二次方程同步练习 (含答案)
第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。
一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。
人教版九年级数学上册作业设计 21.1 一元二次方程
7．(2016·连云港)已知关于 x 的方程 x2＋x＋2a－1＝0 的一个根 1
是 x＝0，则 a＝__2__． 8．已知 a 是一元二次方程 x2－3x＋1＝0 的一个根，求 a＋1a－2 的值． 解：把 x＝a 代入方程得 a2－3a＋1＝0，显然 a≠0，∴a－3＋1a＝ 0，∴a＋1a－2＝1
解：∵a是x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0，∴a2－a＝1， a2－1＝a.∴－a3＋2a＋2018＝－a3＋a＋a＋2018＝－a(a2－1)＋a＋ 2018＝－(a2－a)＋2018＝－1＋2018＝2017
17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发 送一条信息，这样共有756条消息； (2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数； (3)把一块面积为54 cm2的长方形纸片的一边剪下5 cm，另一边剪下 2 cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长； (4)一个直角三角形的斜边长是17 cm，两直角边之差为7 cm，求较 短直角边长．
九年级上册人教版数学
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2__的整式方程 叫做一元二次方程．
练习 1：下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是( D ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋1x＝2 D．x2－x－2＝0
Байду номын сангаас
2．一元二次方程的一般形式为_____ax_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_) _____． 练习2：将一元二次方程x2－3x＝1化成一般形式是_x_2_－__3_x_－__1_＝__0_ ，其二次项系数是___1___． 3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的__解____，也叫做一元二次方程的____根___． 练习3：已知x＝－1是一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根，则m 的值是___1___．
人教版数学九年级上册 第21章 21.1---21.3练习题
人教版数学九年级上册第21章21.1---21.3练习题含答案21.1一元二次方程一．选择题1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011B．2015C．2019D．20202．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．3D．﹣13．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣3＝0B．x2﹣2y＝0C．＝﹣3D．x2＝04．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．5．已知x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．0或46．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和37．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣18．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a＜0C．a≠0D．a≤19．将关于x的一元二次方程x（x+2）＝5化成一般式后，a、b、c的值分别是（）A．1，2，5B．1，﹣2，﹣5C．1，﹣2，5D．1，2，﹣5 10．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2019的值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021二．填空题11．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．m是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，则代数式11+6m﹣m2的值是．13．若x＝2是一元二次方程x2+x+c＝0的一个解，则c2＝．14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的一个根是0，则a的值是．15．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则2a2﹣5a﹣2+的值为．三．解答题16．已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．17．已知方程x2﹣bx+3＝0的一个根是1，求b的值和方程的另外一个根．18．已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．19．若m是一个一元二次方程x|a+1|﹣x﹣5＝0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．2．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．3．【解答】解：A、是一元一次方程，故A不合题意；B、是二元二次方程，故B不合题意；C、是分式方程，故C不合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意．故选：D．4．【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．5．【解答】解：因为x＝﹣2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，所以4﹣2m+4＝0解得m＝4．故选：B．6．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．7．【解答】解：由方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0，得，解得m＝3，故方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝3．故选：B．8．【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．9．【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，则a，b，c的值分别是1，2，﹣5，故选：D．10．【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2019＝a（a2+a）+a2+2019＝a+a2+2019，＝1+2019＝2020，故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：由题意，得|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．【解答】解：∵a是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，∴a2﹣6a﹣5＝0，整理得，a2﹣6a＝5，∴11+6m﹣m2＝﹣（m2﹣6m）+11，＝﹣5+11，＝6．故答案为：6．13．【解答】解：依题意，得22+2+c＝0，解得，c＝﹣6，则c2＝（﹣6）2＝36．故答案为：36．14．【解答】解：根据题意知，x＝0是关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+2a﹣3＝0的根，∴a2+2a﹣3＝0，解得，a＝﹣3或a＝1，∵a﹣1≠0，∴a≠1．故答案是：﹣3．15．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a2﹣5a﹣2+＝2（3a﹣1）﹣5a﹣2+＝a+﹣4＝﹣4＝﹣4＝3﹣4＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．17．【解答】解：把x＝1代入x2﹣bx+3＝0得1﹣b+3＝0，解得b＝4，方程化为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，所以x1＝1，x2＝3，即方程的另一个解为3．18．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，即m2＝m+3，∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m+3﹣m）＝3×＝3×2＝6．19．【解答】解：（1）根据题意得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3；（2）∵m是一个一元二次方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣5＝0，∴m2﹣m＝521.2解一元二次方程一、选择题（共12题）1、一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝32、一元二次方程x2-2x-1=0配方后可化为（）A.(x-1)2= 2B.(x-1)2= 1C.(x + 1)2= 1D.(x -1)2=03、方程的解是（）A．x1=2，x2= 3 B．x1=2，x2=1 C．x=2 D．x=3 4、若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠05、方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2 B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根6、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=07、一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定8、关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A． B． C． D．09、关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a 的值为 ( )A.2B.0C.1D.2或010、若是关于x的一元二次方程的一个解，的值是A． 17 B． 1026 C． 2018 D． 405311、已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±112、一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 ( )A.12B.9C.13D.12或9二、填空题（共5题）1、已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为______．2、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．3、关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．4、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是_____．5、定义新运算“※”，规则：a※b=ab﹣a﹣b，如1※2=1×2﹣1﹣2=﹣1，若x2+x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1※x2= ．三、解答题（共4题）1、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．2、关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．（1）求m的取值范围．（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.3、关于x的一元二次方程kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0).(1)求证:无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;(2)要使得方程的两个实数根都是整数,求整数k可能的取值.4、阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6 ③显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此时两个方程有一相同根x=1．∴当k=﹣6时，有一相同根x=1；当k=6时，有两个相同根是﹣1和7.聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根．参考答案一、选择题1、D;2、A.;3、A;4、B;5、D;6、B;7、B;8、A;9、B;10、B;11、C;12、A;二、填空题1、 22、 k＞0且k≠1.3、 04、 a＞﹣1且a≠﹣且a≠且a≠﹣5、0，三、解答题1、解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．2、（1）m≤3.25．（2）m=-3.3、解:(1)证明:∵kx2-(2k-2)x+(k-2)=0(k≠0),∴Δ=[-(2k-2)]2-4k(k-2)=4>0,∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根.(2)由求根公式可求得x1=1,x2=1-,要使得方程的两个实数根都是整数,则整数k为2的因数,∴k=±1或k=±2.4、解：设相同实根是a 则a2+ka﹣1=0，a2+a+k﹣2=0，相减得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根和．若k≠1，则a==1，即相同实根是x=1，代入方程，得12+k×1﹣1=0，k=0综上当k=0或k=1时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．一个矩形的长比宽多2，面积是99，则矩形的两边长分别为（）A．9和7B．11和9C．1+，﹣1+D．1+3，﹣1+32．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．173．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．50×30﹣50x﹣30x+2x2＝800B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800D．（50﹣x）（30﹣2x）＝8004．如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22B．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22C．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22D．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×225．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（）A．x（49+1﹣x）＝200B．x（49﹣2x）＝200C．x（49+1﹣2x）＝200D．x（49﹣1﹣2x）＝2006．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）7．如表是一张月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个数（如1，2，8，9），如果圈出的四个数中的最小数与最大数的积为308，那么这四个数的和为（）12345 678910111213141516171819202122232425262728293031A．68B．72C．74D．768．如图是某公司去年8～12月份生产成本统计图，设9～11月每个月生产成本的下降率都为x，根据图中信息，得到x所满足的方程是（）A．30（1﹣x）2＝15B．15（1+x）2＝30C．30（1﹣2x）4＝15D．15（1+2x）2＝309．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2B．x2+82＝（x﹣3）2C．x2﹣82＝（x﹣3）2D．x2+8＝（x﹣3）210．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（）A．6B．﹣C．﹣2D．5﹣5二．填空题11．某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是．（用含x的代数式表示）12．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过秒钟后，P，Q两点间距离为4厘米．13．如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为x米．根据题意，可建立关于x的方程是．14．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为m．15．如图，在足够大的空地上有一段长为3米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了16米木栏．所围成的矩形菜园的面积为14平方米，则所利用旧墙AD的长为．三．解答题16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？17．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．18．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？若设每个支干长出x个小分支．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，填表：①主干的数目为；②从主干中长出的支干的数目为；（用含x的式子表示）③又从上述支干中长出的小分支的数目为；（用含x的式子表示）（Ⅱ）完成问题的求解．19．如图①，用一块长100cm，宽80cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，可以做成如图②所示的底面积为4800cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），则x（x﹣2）＝99，解得x＝11，（舍去负值）．则x﹣2＝9，答：矩形的两边长分别为11和9，故选：B．2．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），答：x为14，故选：A．3．【解答】解：依题意，得：（50﹣2x）（30﹣x）＝800，故选：C．4．【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22．故选：B．5．【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，故选：C．6．【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．7．【解答】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，由题意得：x（x+8）＝308，解得：x1＝14，x2＝﹣22（不合题意，舍去），14+8＝22，则四个数为：14，15，21，22，14+15+21+22＝72，故选：B．8．【解答】解：设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：30（1﹣x）2＝15，故选：A．9．【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，故选：C．10．【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：50+×4＝50+25＝75，∴该方程的正数解为﹣×2＝5﹣5．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，故答案为：100（1+x）2．12．【解答】解：设t秒后PQ＝4，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵∠B＝90°，∴PB2+BQ2＝PQ2，∴（6﹣t）2+（2t）2＝（4）2，解得t＝或2（舍弃）．答：秒后PQ间的距离为4，故答案为：．13．【解答】解：设无门的那边长为x米，则平行于墙的一面长为120+3﹣2x＝123﹣2x，∴工地面积为x（123﹣2x）＝2000．故答案为x（123﹣2x）＝2000．14．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，依题意，得：x（20﹣3x+2）＝40，整理，得：3x2﹣22x+40＝0，解得：x 1＝，x2＝4．当x＝时，20﹣3x+2＝12＞11，不合题意，舍去；当x＝4时，20﹣3x+2＝10，符合题意．故答案为：4．15．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（16﹣2x）米，依题意得：x（16﹣2x）＝14，解得：x1＝1，x2＝7．当x＝1时，16﹣2x＝14＞3，不合题意舍去；当x＝7时，16﹣2x＝2．答：所利用旧墙AD的长为2米．故答案为：2米．三．解答题16．【解答】解：（1）设经过x秒后，AP＝CQ，则AP＝xcm，CQ＝（10﹣2x）cm，依题意，得：x＝10﹣2x，解得：x＝．答：经过秒后，AP＝CQ．（2）设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则BP＝（8﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（8﹣y）×2y＝15，化简，得：y2﹣8y+15＝0，解得：y1＝3，y2＝5．答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．17．【解答】解：（1）设第一周销售红心柚x千克．则沙田柚（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心柚400千克；（2）根据题意得：12（1﹣a%）×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%），∴a1＝45，a2＝0（舍去）．答：a的值为45．18．【解答】解：（Ⅰ）①根据题意得主干的数目为1；②从主干中长出的支干的数目为小x；③又从上述支干中长出的小分支的数目为x2；（Ⅱ）设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），答：每个支干长出9个小分支．19．【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，则长方形盒子的底面为长（100﹣2x）cm，宽为（80﹣2x）cm的长方形，依题意，得：（100﹣2x）（80﹣2x）＝4800，化简，得：x2﹣90x+800＝0，解得：x1＝10，x2＝80（不合题意，舍去）．答：截去的小正方形的边长为10cm．。
人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入》专项练习题-附带答案
人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入》专项练习题-附带答案【例题精讲】【例1】已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+>即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =-2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意；当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 【例2】关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根．【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．【例3】已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求：（1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a是方程2202010x x -+=的一个根220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =---4040240403a a =--- 5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a =+- 211a a+=-2020111a a -+=-20201=- 2019=．【题组训练】一．公共根（共15小题）1．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 则a 的值是 2 ．【解答】解：方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 (1)10a x a ∴+++= (1)(1)0a x ∴++=解得 1x =- 当1x =-时 2112a x x =-=+=．故答案是：2．2．若方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则200()a b +的值是多少？【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 两方程完全一样 不合题意； 当01x =时 1a b +=- 则200()1a b +=． 答：200()a b +的值是1．3．若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则( ) A ．a b =B ．0a b +=C ．1a b +=D ．1a b +=-【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 方程可能有两个公共根 不合题意； 当01x =时 1a b +=-． 故选：D ．4．若关于x 的方程：2230x x --=和210x mx ++=有且只有一个公共根 则m = 2或103- ． 【解答】解：解方程2230x x --=得11x =- 23x = 把1x =-代入210x mx ++=得110m -+= 解得2m =；把3x =代入210x mx ++=得9310m ++= 解得103m =- 综上所述 m 的值为2或103-． 故答案为：2或103-． 5．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为 3 ．【解答】解：设公共实数根为t则20at bt c ++= 20bt ct a ++= 20ct at b ++= 三式相加得2()()0a b c t a b c t a b c ++++++++= 即2()(1)0a b c t t ++++= 因为22131()024t t t ++=++>所以0a b c ++=所以原式333a b c abc++=223()()a b a ab b c abc+-++=23()[()3]a b a b ab c abc++-+=23(3)c c ab c abc --+=3abcabc= 3=．故答案为3．6．已知关于x 的一元二次方程220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根 则m = 3- ．【解答】解：220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根2222x mx x x m ∴++=++有一个实数根 1x ∴=把1x =代入220x mx ++=得： 3m =-．故答案为：3-．7．有三个方程：①2650x x -+=；②2250x -=；③550(0)ax a b bx a b --+=+≠ 它们的公共根是( ) A ．5B ．5-C ．1D ．以上都不是【解答】解：2650x x -+= (5)(1)0x x --= 50x -=或10x -= 15x ∴= 21x =把15x = 21x =代入②③ 5x =能使方程左右相等∴它们的公共根是5故选：A ．8．已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+> 即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =- 2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意； 当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠ 1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 9．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根； （3）若方程①和②有一个公共根a ．求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等实数根 102k ∴+≠且△10= 即2(2)4(1)(1)02kk +-+⨯-= 则(2)(4)0k k ++= 解此方程得12k =- 24k =-而20k +≠ 4k ∴=-当4k =-时 方程②变形为：2750x x -+= 解得1x 2x =； （2）△2222(21)4(23)41213(23)40k k k k k =+++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根（3）设a 是方程①和②的公共根 2(1)(2)102ka k a ∴+++-=③2(21)230a k a k ++--=④由(③-④)2⨯得22(1)44ka k a k =---⑤ 由④得：2(21)23a k a k =-+++⑥ 将⑤、⑥代入 原式2242352(1)44423(21)6955ka ak k a a k a k ak k k a k a =+-++=---+--++++=． 10．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根a 求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等的实数根 ∴11020k ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩ 则2k ≠- △222214(2)4(1)(1)4442682kb ac k k k k k k =-=+-+⨯-=++++=++则(2)(4)0k k ++= 2k ∴=- 4k =- 2k ≠-4k ∴=-；（2）△22222(21)41(23)44181241213(23)40k k k k k k k k =+-⨯⨯--=++++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根∴2(1)(2)102k a k a +++-=③ 2(21)230a k a k ++--=④∴③2⨯得：2(2)(24)20k a k a +++-=⑤⑤+④得：2(3)(45)25k a k a k +++-=代数式222(42)35(3)(45)25a a k a a k a k a k =+-++=+++-=．故代数式的值为5．11．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设0x 是它们的一个公共实数根则2000ax bx c ++= 2000bx cx a ++= 2000cx ax b ++=． 把上面三个式子相加 并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>所以0a b c ++=．于是222333333()3()3a b c a b c a b a b ab a b bc ca ab abc abc abc+++-+-+++====故选：D ．12．是否存在某个实数m 使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共的实根？如果存在 求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在 请说明理由． 【解答】解：假设存在符合条件的实数m 且设这两个方程的公共实数根为a 则 222020a ma a a m ⎧++=⎨++=⎩①②①-② 得(2)(2)0a m m -+-= (2)(1)0m a --= 2m ∴= 或1a =．当2m =时 已知两个方程是同一个方程 且没有实数根 故2m =舍去； 当1a =时 代入②得3m =-把3m =-代入已知方程 求出公共根为1x =． 故实数3m =- 两方程的公共根为1x =．13．关于x 的方程2230x x +-=和22240x x m m +++=有公共根 则m 的值为 1-或3- ．【解答】解：设公共解为t根据题意得222230240t t t t m m ⎧+-=⎨+++=⎩①②②-①得2430m m ++= 解得11m =- 23m =-． 故答案为1-或3-．14．若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根 则常数m 的值是 2- ． 【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t 则210t mt ++=① 20t t m ++=②①-②得(1)1m t m -=-如果1m = 那么两个方程均为210x x ++= △2141130=-⨯⨯=-< 不符合题意； 如果1m ≠ 那么1t =把1t =代入① 得110m ++= 解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．15．方程270x ax ++=和270x x a --=有一个公共根 则a 的值是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：设该公共根为x b = 由题意可知：270b ab ++= 270b b a --= (7)70a b a ∴+++= 70a +≠ 1b ∴=-1x ∴=-代入270x x a --= 178a =+=故选：B ．二．整数根（共15小题）16．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 则下列说法正确的是( )A ．p 是正数 q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-<C ．q 是正数 p 是负数D ．22(2)(2)8p q -+->【解答】解：设方程20x px q ++=的两根为1x 、2x 方程20y qy p ++=的两根为1y 、2y ． 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 120x x q ∴⋅=> 120y y p ⋅=>故选项A 与C 说法均错误 不符合题意；关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 240p q ∴- 240q p -2222(2)(2)44448(p q p q q p p ∴-+-=-++-+>、q 不能同时为2 否则两个方程均无实数根）故选项B 说法错误 不符合题意；选项D 说法正确 符合题意； 故选：D ．17．关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m +--=≠有两个不相等的正整数根 则整数m 的值为1- ．【解答】解：由题意可知：△2(3)4(3)m m =--⨯-2269(3)0m m m =++=+x ∴=1x ∴=或3x m=-由题可知：1m =- 故答案为：1-18．已知：关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=． （1）求方程有实数根的实数m 的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正整数根 求出此时m 的整数值． 【解答】 解：（1）由题意可知：0m ≠ △2(2)?8m m =+ 244?8m m m =++ 2?44m m =+2(?2)m =∴△0故0m ≠ 方程总有实数根； （2）2(2)20mx m x -++= (1)(2)0x mx ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根 1m ∴=．19．关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．20．已知关于x 的一元二次方程220x mx n -+=．（1）若此方程总有两个相等的实数根 求n 的值．（用含m 的代数式表示）；（2）当2m =时 此方程有两个不相等的整数根 写出一个满足条件的n 的值 并求此时方程的根．【解答】解：（1）根据题意得△2440m n =-= 所以2n m =；（2）当2m =时 原方程变形为240x x n -+= 方程有两个不相等的根∴△2440n =->即4n <当0n =时 方程变形为240x x -= 方程有两个整数根 即10x = 24x =．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)mx m x m ---=≠． （1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根 求整数m 的值． 【解答】（1）证明：0m ≠ △2(2)4(2)m m =--⨯- 2448m m m =-++ 244m m =++2(2)0m =+∴方程一定有实数根；（2）2(2)2m m x m-±+=11x ∴= 22x m=-当整数m 取1± 2±时 2x 为整数 方程有两个不相等的整数根∴整数m 为1- 1 2．22．已知关于x 的方程2220x x m ++-=有两个整数根 且m 为正整数 则符合条件的所有正整数的和是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：根据题意得△224(2)1240m m =--=-解得3mm 为正整数m ∴为1、2、3当1m =时 △8= 所以方程的根为无理数 不合题意舍去； 当2m =时 方程化为220x x += 方程有两个整数解； 当3m =时 方程化为2210x x ++= 方程有两个相等整数解； 所以符合条件的所有正整数m 的和为235+=． 故选：B ．23．已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的正整数根 则m 的值为( )A ．2B ．1C D ．2或1【解答】解：方程2(2)20mx m x -++=是一元二次方程 0m ∴≠2(2)20mx m x -++= (2)(1)0mx x ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根∴21m ≠ 2m是正整数 1m ∴=．故选：B ．24．已知二次多项式25x ax a -+-． （1）当1x =时 该多项式的值为 4- ；（2）若关于x 的方程250x ax a -+-= 有两个不相等的整数根 则正数a 的值为 ． 【解答】解（1）当1x =时 25154x ax a a a -+-=-+-=- 故答案为4-；（2）设1x 2x 是方程两个不相等的整数根 则12x x a += 125x x a =-． a ∴ 5a -均为整数∴△222()4(5)420(2)16a a a a a =---=-+=-+为完全平方数设22(2)16(a t t -+=为整数 且0)t则22(2)16a t --=-．于是 (2)(2)16a t a t ---+=- 由于2a t -- 2a t -+奇偶性相同 且22a t a t ---+ ∴2424a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2822a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2228a t a t --=-⎧⎨-+=⎩解得24a t =⎧⎨=⎩或15a t =-⎧⎨=⎩（舍去）或55a t =⎧⎨=⎩经检验2a = 5a =符合要求 2a ∴=或5a =故答案为2或5．25．已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-= （1）求证：无论k 取何值 此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根 求正整数k 的值；（3）若一元二次方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=满足12||3x x -= 求k 的值． 【解答】解：（1）证明：当10k += 即1k =-时 原方程为440x --= 解得：1x =-；当10k +≠ 即1k ≠-时 △222(31)4(1)(22)69(3)0k k k k k k =--+-=-+=-∴方程有实数根．综上可知：无论k 取何值 此方程总有实数根． （2）方程有两个整数根 113(3)12(1)k k x k -+-∴==-+ 213(3)2(1)422(1)11k k k x k k k ----===-++++ 且1k ≠-2x 为整数 k 为正整数1k ∴=或3k =．（3）由（2）得11x =- 2421x k =-++ 且1k ≠- 1244|||1(2)||1|311x x k k ∴-=---+=-=++解得：3k =-或0k =经检验3k =-或0k =是原方程的解． 故k 的值为3-或0．26．求正整数k 使得关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根． 【解答】解：方程2343410x x k -+-=至少有1个正整数根∴△2344(341)11601360k k =--=-正整数k 可能取值为1 2 3 4 5 6 7 8 只有当1k =时 11x = 233x =∴正整数k 的值是1．27．已知关于x 的一元二次方程23610x x k -+-=有实数根 k 为负整数． （1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根 求出它的根．【解答】解：（1）根据题意 得△2(6)43(1)0k =--⨯- 解得2k -． k 为负整数 1k ∴=- 2-．（2）当1k =-时 不符合题意 舍去；当2k =-时 符合题意 此时方程的根为121x x ==． 28．已知关于x 的方程2(3)30(0)ax a x a +--=≠． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根 求整数a 的值． 【解答】解：（1）0a ≠∴原方程为一元二次方程．∴△22(3)4(3)(3)a a a =--⨯⨯-=+．2(3)0a +．∴此方程总有两个实数根．（2）解原方程 得11x =- 23x a=．此方程有两个负整数根 且a 为整数 1a ∴=-或3-． 11x =- 23x a=． 3a ∴≠-． 1a ∴=-．29．已知关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=． （1）试说明方程根的情况；（2）求证：当1m ≠时 原方程总有一个不变的整数根为1．【解答】（1）解：当1m =时 原方程化为220x -+= 此时方程的根为1x =． 当1m ≠时△22244(1)(1)44440m m m m m =--+=-+=>∴当1m ≠时 此方程有两个不相等的实数根综上所述 当1m =时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=的根为1x =；当1m ≠时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=有两个不相等的实数根； （2）证明：由求根公式 得222(1)m x m ±=-11x ∴= 212111m x m m +==+-- ∴无论m 取何值 方程总有一个不变的整数根为1．30．已知：关于x 的方程：2(2)2(1)10m x m x m ---++=． （1）m 取何值时 方程有两个实数根？（2）是否存在正整数m 使方程的根均为整数？若存在 请求出它的整数根；若不存在 请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得20m -≠且△2[2(1)]4(2)(1)0m m m =----⨯+ 解得3m 且2m ≠；故当3m 且2m ≠时 方程有两个实数根； （2）存在由（1）知3m 且2m ≠m 为正整数 1m =或3当1m =时 方程为220x -+= 无整数解 故1m =舍去； 当3m =时 方程为2440x x -+= 解得122x x ==； 综上 当3m =时 使方程的根122x x ==均为整数． 三．整体思想（共12小题）31．若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 则224a a +的值是 6 ． 【解答】解：a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 2230a a ∴+-= 223a a ∴+=22242(2)236a a a a ∴+=+=⨯= 故答案为：6．32．若a 为方程2240x x +-=的解 则2368a a +-的值为( ) A ．4B ．2C ．4-D ．12-【解答】解：a 为方程2240x x +-=的解 2240a a ∴+-= 224a a ∴+=223683(2)83484a a a a ∴+-=+-=⨯-= 故选：A ．33．m 是方程210x x +-=的根 则式子2222020m m ++的值为( ) A ．2018B ．2019C ．2021D ．2022【解答】解：m 是方程210x x +-=的根 210m m ∴+-=即21m m +=222220202()2020220202022m m m m ∴++=++=+=． 故选：D ．34．若a 是方程210x x --=的一个根 则322020a a -++的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2019D ．2019-【解答】解：a 是方程210x x --=的一个根21a a ∴-= 21a a -+=-32222020(1)202020202019a a a a a a a ∴-++=--++=-++=． 故选：C ．35．若a 是2270x x --=的一个根 则221a a -+的值是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：a 是2270x x --=的一个根 2270a a ∴--= 227a a ∴-= 221718a a ∴-+=+=．故选：D ．36．若关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 则一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为( ) A ．2017B ．2020C ．2019D ．2018【解答】解：对于一元二次方程2(1)(1)20a x b x -+-+= 设1t x =- 所以220at bt ++=而关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 所以220at bt ++=有一个根为2019t = 则12019x -= 解得2020x =所以一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为2020x =． 故选：B ．37．已知a 是方程220150x x +-=的一个根 则22211a a a---的值为( ) A ．2014B ．2015C ．12014D ．12015【解答】解：a 是方程220150x x +-=的一个根 220150a a ∴+-=∴22211a a a--- 21(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a +=-+-+- 21(1)(1)a a a a a --=+-21a a =+ 12015=． 故选：D ．38．已知a 是方程210x -+=的一个根．则221a a +的值为( )A ．4B ．6C ．D ．【解答】解：把x a =代入方程210x -+= 得210a -+=所以21a +=则222211()22826a a a a +=+-=-=-=． 故选：B ．39．若x 是方程2310x x ++=的解 则11x x -=+ 2- ． 【解答】解：21(1)11111x x x x x x x x +-+--==+++ x 是方程2310x x ++=的解231x x ∴=--∴原式3111x x x --+-=+2(1)1x x +=-+ 2=-．故答案为：2-．40．已知实数a 是元二次方程2202110x x -+=的根 求代数式22120202021a a a +--的值为1- ．【解答】解：a 是方程2202110x x -+=根 2202110a a ∴-+= 220211a a ∴=-∴原式2021112021120202021a a a -+=---1a a =--1=-．故答案是：1-．41．若m 是方程210x x +-=的一个根 则代数式3222022m m ++的值为 2023 ． 【解答】解：m 是方程210x x +-=的一个根 210m m ∴+-= 21m m ∴=-+32(1)(1)21m m m m m m m m ∴=-+=-+=--++=-3222022212(1)2022212220222023m m m m m m ∴++=-+-++=--++=． 故答案为：2023．42．已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求： （1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a 是方程2202010x x -+=的一个根 220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =--- 4040240403a a =---5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a=+- 211a a+=-第 21 页 共 22 页2020111a a -+=- 20201=- 2019=．第22页共22页。
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一元二次方程第一节
一、课前预习 (5分钟训练)
1.关于x 的方程（k －2）x ∣k ∣－3=0是一元二次方程，则k 的值为( )
A.±2
B.2
C.－2
D.－1
2.绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为900 m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？如果设其长为x 米，那么所列的方程是( )
A.x(10+x)=900
B.x(10－x)=900
C.x 2－10x+900=0
D.x 2－10x －900=0
3.一元二次方程x 2－4=0的根为( )
A.x=2
B.x=－2
C.x 1=2,x 2=－2
D.x=4
4.方程（x+4）2=2x －3化为一般式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________。
二、课中强化(10分钟训练)
1.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( )
2x 2－3
2x=0 ，x x 1 =2x －1， x 2－3y=0 ， x 2－x 2(x 2+1)－3=0； A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.已知关于x 的方程（k+3）x 2－3kx+2k －1=0,它一定是( )
A.一元二次方程
B.一元一次方程
C.一元二次方程或一元一次方程
D.无法确定
3.方程（x －1）（x+3）=12化为ax 2+bx+c=0形式后，a,b,c 的值为( )
A.1，－2，－15
B.1，－2，－15
C.1，2，－15
D.－1，2，－15
4.如果a 的值使x 2+4x+a=(x+2)2－1成立，那么，a 的值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
5.关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0，当m__________时,是一元二次方程；当m=_________时是一元一次方程。
6.关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是____________。
7.列方程解应用题：两连续偶数的积是120，求这两个数。
设其中一个较大的偶数为x ，可列方程为____________,化为一般式为____________。
三、课后巩固(30分钟训练)
1.方程3x 2－4=－2x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为
( )
A.3，－4，－2
B.3，2，－4
C.3，－2，－4
D.2，－2，0 2.若方程（m －1）x 2+m x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )
A.m≠1
B.m≥0
C.m≥0且m≠1
D.m 为任意实数
3.若x=1－m
1是方程mx －2m+2=0的根,则x －m 的值为( ) A.0 B.1 C.－1 D.2
4.关于x 的一元二次方程(a －1)x 2+x+a 2－1=0的一个根是0,则a 的值为( )
A.1
B.－1
C.1或－1
D.
21 5.px 2－3x+p 2－p=0是关于x 的一元二次方程，则( )
A.p=1
B.p ＞0
C.p≠0
D.p 为任意实数
6.关于x 的方程mx 2－3x=x 2－mx+2是一元二次方程的条件是____________。
7.以下各方程:①2x 2－x －3=0 ②
4y －y 2=0 ③x 3－x 2=1 ④t 2=0 ⑤x 2－y －1=0 ⑥2
1x －3=0,其中不是一元二次方程的是___________(只需填序号即可)。
8.若x=1是一元二次方程ax 2=bx+2的一个根，则a －b 的值为____________.
9.使分式2
42+-x x 的值等于零的x 是____________. 10.学校中心大草坪上准备建两个完全相同的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，请你给出它的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项。