一元二次方程知识点整理
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一、 一元二次方程的定义1. 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 二、 一元二次方程的解1. 方程解的含义解题方法：将方程的根带入方程求出参数.三、 解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）1. 直接开平方法：适用于)0()()0(22≥=+≥=b b a x a a x 或形式的方程. 2. 配方法：2222244)2(0)0(0a ac b a b x b c x a b x a c bx ax -=+⇒=++⇒≠=++. 注意：用配方法解方程时必须注意在方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.3. 公式法：a ac b b x ac b c bx ax 24040222-±-=≥-=++时当. 4. 因式分解法：将一元二次方程化简成一般式后，把等号左边的多项式进行因式分解，再根据“如果，0=ab ，那么00==b a 或”进行求解.注意：利用因式分解法解方程时,将方程的一边分解因式而方程的另一边必须化为零;四、 判别式与一元二次方程解的个数的关系1. 一元二次方程解与判别式的关系：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况可由根的判别式△=ac b 42-的值来决定,它的值与一元二次方程的根的关系是:①042>-ac b ⇔方程有两个不等的实数根.②042=-ac b ⇔方程有两个相等的实数根.③042<-ac b ⇔方程没有实数根.五、 一元二次方程的应用题（增长率、面积、握手、传染）1. 增长率问题：设a 为原量，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则nx a b )1(+=.2. 面积问题：先通过平移变换，再根据面积公式列出方程.3. 握手问题：n 个人见面，任意两人都要握手一次，一共握手2)1(-n n 次. 4. 传染问题：一人感染，一人传染x 人，第一轮：1＋x ；第二轮：1＋x ＋x （1＋x ）.六、 根与系数的关系1. 根与系数的关系：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x 则a cx x a b x x ==+2121-，.注意：使用根与系数的关系时需要先检验△。
初三数学一元二次方程知识点
初三数学一元二次方程知识点一元二次方程知识点概述一、一元二次方程的定义一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一般形式为：\[ ax^2 + bx + c = 0 \]其中，\( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是已知的实数，且 \( a \neq 0 \)。
二、解的性质1. 判别式：\[ \Delta = b^2 - 4ac \]- 当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有两个相等的实数根（重根）。
- 当 \( \Delta < 0 \) 时，方程没有实数根，有一对共轭复根。
2. 根与系数的关系- 和的关系：\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)- 积的关系：\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)三、解法1. 配方法- 将方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 通过配方，转化为 \( (x + h)^2 = k \) 的形式，进而求得方程的根。
2. 公式法- 使用一元二次方程的求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]其中，\( \Delta = b^2 - 4ac \)。
3. 因式分解法- 当方程能够分解为两个一次因式的乘积，即 \( (mx + n)(px + q) = 0 \)，可以通过设置 \( mx + n = 0 \) 和 \( px + q = 0 \) 来求解。
4. 完全平方法- 类似于配方法，但适用于更广泛的情况，通过将方程左边变为完全平方的形式求解。
四、实际应用1. 面积问题- 利用一元二次方程解决实际问题中的面积最值问题。
2. 速度与加速度问题- 在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体在一定加速度下的速度变化。
3. 几何图形的对称性- 通过一元二次方程分析抛物线的对称性等几何特性。
一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点归纳一、一元二次方程的概念：1、含有1个未知数；2、未知数最高次数是2；3、必须整式方程（分母不能含有未知数）4、形式：）（002≠=++a c bx ax5、二次项：2ax ；一项：bx ；常数项 ：c6、二次项系数：0≠a ；一次项系数 ：b （全体实数）；常数项 ：c （全体实数）二、解方程的方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（1）02=+c ax c ax —=2 a c x —=2 ac x -±= （2）02=+bx ax 0=+）（b ax x a b x x -==210； （3）p n mx =+2)（ p n mx ±=+ n p mx —±= mn p x -±=（4）0)()(=+++b ax N b ax M 0)(=++b ax N M ）（（5）02=++n mx x n m m mx x -=++222)2()2( 44)2(22n m m x —=+ 4422n m m x —±=+ 242m n m x --±= （6）)0(02≠=++a c bx ax ）（ac b b x 422-=∆∆±-=三、一元二次方程根的判别式——ac b 42-=∆1、一元二次方程根的情况： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∆⎪⎩⎪⎨⎧==∆≠>∆≥∆（无解））（有两个相等实数根：）：（有两个不相等实数根（有两个实数根）00002121x x x x 2、规律：（1）当0<ac 时，必定0>∆，即一元二次方程有两个不相等实数根（2）当c=0时，ab x x -==210；，即一元二次方程有一根为0 （3）当b=0时，ac x —±=，即一元二次方程两根互为相反数 （4）当a=c 时，一元二次方程两根互为倒数四、一元二次方程的“根”（1）“根”：代入原方程使得左右两边相等的未知数的值（2）韦达定理：a b x x -=+21；a c x x =21；cb x x —=+2111； 2122122212x x x x x x —）（+=+ ；212212214)(x x x x x x —）（+=-五、配方法的应用（1）解一元二次方程（2）讨论∆（3）讨论恒值（4）平方的非负性六、应用题（1）“围栏”问题①设宽为x ；利用周长用x 的代数式表示长（注意：有围墙与无围墙区别） ②利用矩形面积公式列出并列出方程③结合实际，列出关于长、宽取值范围的不等式组，解得x 的取值范围（2）“边框问题”（挖角）（3）“挖路问题”（平移计算）（4）平均增长率：n x a M )1(+=（M ：后量；a ：现量；x ：增长率；n ：经过次数）（5）“握手”问题——单循环：2)1(-n n ；双循环：）（1-n n （6）直角三角形问题（7）“黄金分割”：215-=x （8）多边形的对角线条数：2)3(-n n （9）利润问题：调价幅度与销量增减成比例关系①设调价为x ；根据题意得，销量增幅：kx②调价后单价=原售价±调价；调价后销量=原销量±销量增幅调价后总收入=调价后单价×调价后销量③进货量=调价后销量④总成本=单成本×进货量5调价后总利润=调价后总收入-总成本（2）①单利润=单售价—单成本②总利润=单利润×销量。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复考点1：一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程。
一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）。
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程，两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
解法为x1=-a+√b，x2=-a-√b。
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b2-4ac))/2a（b2-4ac≥0）。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。
理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
因式分解的方法有提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2-4ac＜0，则方程无解。
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。
这类方程的解法和性质是中学数学的重要内容，以下是一元二次方程的主要知识点：1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
2. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）。
3. 一元二次方程的解：满足方程的未知数的值。
4. 判别式：Δ=b²-4ac，用于判断一元二次方程的根的情况。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即一个重根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
5. 根的求法：- 直接开平方法：当Δ≥0时，可以通过开平方得到方程的根；- 配方法：将方程转化为完全平方的形式，然后开方求解；- 因式分解法：将方程左边因式分解，然后解出x的值；- 公式法：使用求根公式x=(-b±√Δ)/2a求解方程的根。
6. 根与系数的关系：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁和x₂，则有x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
7. 一元二次方程的应用：一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，如物理中的运动学问题、工程中的优化问题等。
8. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标和对称轴与判别式和系数有关。
9. 一元二次方程的分类讨论：在解决实际问题时，需要根据判别式的值对方程的根进行分类讨论。
10. 一元二次方程的转化思想：在解决复杂问题时，可以将一元二次方程转化为一元一次方程或更简单的形式来求解。
以上是一元二次方程的主要知识点，掌握这些内容对于解决相关问题至关重要。
一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念:等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意:（1）一元二次方程必须是一个整式方程；(2）只含有一个未知数；(3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：（1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
(2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，是b的平方根,当时，,，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型:（1）的解是；（2)的解是；（3）的解是.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为的形式。
（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
(二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式；(4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程知识点
方程两边都除以二次项系数
★移项：二次项，一次项移到等号左边，
常数项移到等号的未知数的代数式）2=非负数
★利用直接开平方法求解。
★公式法：一元二次方程 a x²+ b x + c=0
（a、b、c为常数且a≠0）
注：用公式解一元二次方程时，一定先
将 方程化为一般形式，在确定a、b、c
C 叫做常数项。
利用平方根定义直接
★直接开平方法：
开平方求一元二 次 方程的解的方法，叫
形式:（含有未知数的做代直数接式开）平2=方非法负. 数
解的形式
★配方法：
通过完配全成平完方全式平：方式的方
法得a²到±2了a一b+元b²二=(次a±方b程)²的
★将二次项系数化为根 的1，方：这法叫种做解配一方元法二。次方程
=0 含有未知 含有未知
令 每个数因代式数等式于零数，代得数到式两个一元一次
=0 =0 方程，含分有别未解知这两个一元含一有次未方知程，
得到的数解代是数原式方程的解数，代数式 这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法。
★一元二次方程 a x²+b x+c=0（a≠ 0） x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
的值。
先计算△=b²-4ac，再带入公式。
★△=b²-4ac＞0 ★△=b²-4ac＝0 ★△=b²-4ac≥0
★△=b²-4ac＜0
△=b²-4ac
一元二次方程有两 个不相等的实数根
一元二次方程有两个 相等的实数根
一元二次方程有实数 根
一元二次方程没有实 数根
★因式分解法： 一元二次方程的一边为0，而另一边 易于分一解元成二两次个方一程次a因x²式+ 积b x的+形c=式0，
一元二次方程所有知识点总结
一元二次方程所有知识点总结以下是一元二次方程的所有知识点总结：
1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
2. 一元二次方程的解的判别式：Δ = b^2 - 4ac。
根据Δ的大小，可以得出一元二次方程的根的
情况：
a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数根。
3. 一元二次方程的求根公式：x = (-b ±√Δ) / 2a。
根据Δ的值，可以使用求根公式求得方程的根。
4. 一元二次方程与一元一次方程的关系：一元一次方程是一元二次方程在a = 0的特殊情况。
5. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
6. 一元二次方程的顶点坐标：顶点的横坐标为 x = -b / 2a，纵坐标为 y = f(x)。
7. 一元二次方程的轴对称线：轴对称线的方程为 x = -b / 2a，即方程的顶点横坐标的值。
8. 一元二次方程的平移：在一元二次方程的一般形式中，通过将方程的a、b、c分别替换为 a
+ h、b + h、c + h，可以实现平移抛物线。
9. 一元二次方程与因式分解：一元二次方程可以通过将其因式分解为二次项的平方来求解。
10. 一元二次方程的实际应用：一元二次方程在物理、经济、几何等领域中有广泛的应用，如
求解自由落体问题、优化问题等。
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一元二次方程
一、本节导 本节中我们要注意一元二次方程成立的条件，填空题最青睐这的知识。
其
次就是根与系数的关系（韦达定理） 、判别式，求根公式，这些需要我。
本节
有
配套 二、知识要点 1、定义： 只含有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的方程叫做一元二次方。
一元二 次方程的标准式： ax 2+bx+c=0 （a ≠0） 2 其中： ax 叫做二次项， bx 叫做一次项 ， c 叫做常数项 a 是二次项系数， b 是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为 0）： 2 “△”读作德尔塔，在一元二次方程 ax +bx+c=0 （a ≠0）中△ =b 2 -4ac △=b 2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即： x 1,x 2 2 △=b
-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即： x 1=x 2 2 △=b -4ac<0 <====> 方程没有实数根。
注：“<====> ”
是
双
向
推
导
，也
就
是
说
上
面
的
规
律
反
过
来
也
成
立
，
诉我们方 程
没
有
实
数
根
，
我
们
便
可
△ <0
3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为 0; △≥ 0 ），韦达定理。
2 ax +bx+c=0 （a ≠0）中，设两根为 x 1,x 2,那么有： 因为： ax 2+bx+c=0 （a ≠0）化二次项系数为 1 可得 ，
所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。
5、一元二次方程的求根公式：
注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。
三、经验之谈：
对于韦达定理的文字描述希望同学们能理解，试着把二次项系数化1来观察一下。
求根公式也要牢记于心，使用很广泛。
***。