八年级数学下册《平行四边形》专项练习
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(含答案解析)

一、选择题1.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在对角线BD 上,且∠BAE =22.5°,EF ⊥AB ,垂足为F ,则EF 的长为( )A .4﹣2B .2﹣4C .1D 2A解析:A【分析】 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD =∠ADB =45°,再求出∠DAE 的度数,根据三角形的内角和定理求∠AED ,从而得到∠DAE =∠AED ,再根据等角对等边的性质得到AD =DE ,然后求出正方形的对角线BD ,再求出BE ,最后根据等腰直角三角形的直角边等于2 【详解】解:在正方形ABCD 中,∠ABD =∠ADB =45°,∵∠BAE =22.5°,∴∠DAE =90°﹣∠BAE =90°﹣22.5°=67.5°,在△ADE 中,∠AED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠DAE =∠AED ,∴AD =DE =4,∵正方形的边长为4,∴BD =2∴BE =BD ﹣DE =2﹣4,∵EF ⊥AB ,∠ABD =45°,∴△BEF 是等腰直角三角形,∴EF =22BE =22×(2﹣4)=4﹣2. 故选:A .【点睛】本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线平分一组对角,等角对等边的性质,正方形的对角线与边长的关系,等腰直角三角形的判定与性质,根据角的度数的相等求出相等的角,再求出DE=AD 是解题的关键,也是本题的难点.2.如图,在等腰直角ABC 中,AB BC =,点D 是ABC 内部一点, DE BC ⊥,DF AB ⊥,垂足分别为E ,F ,若3CE DE =, 53DF AF =, 2.5DE =,则AF =( )A .8B .10C .12.5D .15C解析:C【分析】 根据比例关系设DF=x ,可判断四边形DEBF 为矩形,根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ,再根据AB BC =,列出方程,求解即可得出x ,从而得出AF .【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥,90DEB DFB ∴∠=∠=︒,∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠ABC=90°,∴四边形DEBF 为矩形,∴BF=DE=2.5,DF=EB ,设DF=3x ,则EB=3x ,∵53DF AF =,∴AF=5x ,AB=5x+2.5,∵3CE DE =,∴CE=7.5,∴CB=7.5+3x ,∵AB=CB ,∴5x+2.5=7.5+3x ,解得x=2.5,∴512.5AF x ==,故选:C .【点睛】本题考查矩形的性质和判定,等腰三角形的定义,一元一次方程的应用.能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键.本题主要用到方程思想.3.如图,在ABC 中,D ,E 分别是,AB AC 的中点,12BC =,F 是DE 的上任意一点,连接,AF CF ,3DE DF =,若90AFC ∠=︒,则AC 的长度为( )A.4 B.5 C.8 D.10C解析:C【分析】根据三角形中位线定理求出DE,根据题意求出EF,根据直角三角形的性质计算即可.【详解】解:∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=12BC=6,∵DE=3DF,∴EF=4,∵∠AFC=90°,E是AC的中点,∴AC=2EF=8,故选:C.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.4.如图,在菱形ABCD中,对角线BD=4,AC=3BD,则菱形ABCD的面积为()A.96 B.48 C.24 D.6C解析:C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答.【详解】解:∵BD=4,AC=3BD,∴AC=12,∴菱形ABCD的面积为12AC×BD=11242⨯⨯=24.故选:C.【点睛】本题主要考查菱形的性质,利用对角线求面积的方法,在求菱形的面积中用得较多,需要熟练掌握.5.如图,己知四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确..的是()A.若AB AD=,则平行四边形ABCD是矩形B.若AB AD=,则平行四边形ABCD是正方形C.若AB BC⊥,则平行四边形ABCD是矩形D.若AC BD⊥,则平行四边形ABCD是正方形C解析:C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案.【详解】解:A、若AB=AD,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;B、若AB=AD,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;C、若AB⊥BC,则▱ABCD是矩形,选项说法正确;D、若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;故选:C.【点睛】此题考查了菱形,矩形,正方形的判定方法,对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.6.菱形的一个内角是60︒,边长是3cm,则这个菱形的较短的对角线长是()A.3cm2B33cm2C.3cm D.33cm C解析:C【分析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°,可判断较短对角线与两边组成等边三角形,根据等边三角形的性质可求较短的对角线长.【详解】解:因为菱形的四边相等,当一个内角是60°,则较短对角线与两边组成等边三角形.∵菱形的边长是3cm,∴这个菱形的较短的对角线长是3cm.故选:C.【点睛】此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定,解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形.7.下列命题中,正确的命题是()A.菱形的对角线互相平分且相等B.顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是C .矩形的对角线互相垂直平分D .顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析:B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可.【详解】解:A. 菱形的对角线互相平分,但不相等,该命题错误;B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形,该命题正确;C. 矩形的对角线互相平分,但是不垂直,该命题错误;D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形,该命题错误;故选:B .【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质,掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键.8.如图,在平行四边形ABCD 中,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E ,连接AE .添加一个条件,使四边形AEBD 是菱形,这个条件是( )A .BAD BDA ∠=∠B .AB DE =C .DF EF =D .DE 平分ADB ∠D解析:D【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ,得到AD=BE ,推出四边形AEBD 是平行四边形,再逐项依次分析即可.【详解】解:在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠DAB=∠EBA ,∵点F 是AB 的中点,∴AF=BF ,∵∠AFD=∠BFE ,∴△ADF ≌△BEF ,∴AD=BE ,∵AD ∥BE ,∴四边形AEBD 是平行四边形,A 、当BAD BDA ∠=∠时,得到AB=BD ,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合B、AB=BE时,无法判定四边形AEBD是菱形,故该选项不符合题意;C、DF=EF时,无法判定四边形AEBD是菱形,故该选项不符合题意;∠时,四边形AEBD是菱形,故该选项符合题意;D、当DE平分ADB故选:D.【点睛】此题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定及性质,菱形的判定,熟记平行四边形的性质是解题的关键.9.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,E是边AD上一动点,将△CDE沿CE 折叠,得到△CFE,则△BCF面积的最大值是()A.8 B.83C.16 D.163A解析:A【分析】由三角形底边BC是定长,所以当△BCF的高最大时,△BCF的面积最大,即当FC⊥BC 时,三角形有最大面积.【详解】解:在菱形ABCD中,BC=CD=AB=4又∵将△CDE沿CE 折叠,得到△CFE,∴FC=CD=4由此,△BCF的底边BC是定长,所以当△BCF的高最大时,△BCF的面积最大,即当FC⊥BC时,三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是11448BC FC=⨯⨯=22故选:A.【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质,掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键.10.矩形不一定具有的性质是()A.对角线互相平分B.是轴对称图形C.对角线相等D.对角线互相垂直参考答案D解析:D【分析】根据矩形的性质即可判断.【详解】解:∵矩形的对角线线段,四个角是直角,对角线互相平分,∴选项A、B、C正确,故选:D.【点睛】本题考查矩形的性质,解题的关键是记住矩形的性质.二、填空题11.如图,EF过ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若ABCD的OE ,则四边形EFCD的周长为_____.周长为19, 2.5145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解:在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析:14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等,进而易得AE=CF,故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF,根据已知求解即可.【详解】解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD互相平分∴AO=OC,∠DAC=∠ACB,∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF,OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=19 2.52+×2 =14.5. 故答案为:14.5.【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明,将所求线段转化为已知线段是解题的关键.12.己知菱形ABCD 的边长是3,点E 在直线AD 上,DE =1,联结BE 与对角线AC 相交于点M ,则AM MC的值是______.或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解:∵菱形ABCD 的边长是 解析:23或43【分析】 首先根据题意作图,注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上,然后由菱形的性质可得AD ∥BC ,则可证得△MAE ∽△MCB ,根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案.【详解】解:∵菱形ABCD 的边长是3,∴AD=BC=3,AD ∥BC ,如图①:当E 在线段AD 上时,∴AE=AD -DE=3-1=2,∴△MAE ∽△MCB , ∴23MA AE MC BC ==; 如图②,当E 在AD 的延长线上时,∴AE=AD+DE=3+1=4,∴△MAE ∽△MCB , ∴43MA AE MC BC ==. ∴MA MC 的值是23或43. 故答案为23或43.【点睛】此题考查了菱形的性质,相似三角形的判定与性质等知识.解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况,小心不要漏解.13.如图,在四边形ABCD 中,150ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠,过A 点作//AE BC 交BD 于点E ,EF BC ⊥于点F 若6AB =,则EF 的长为________.3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF【详解】解:过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB= 解析:3【分析】过点A 作AM ⊥CB ,交CB 延长线于点M ,根据题意可知,∠ABM=30°,可求AM=3,再利用平行四边形的性质,求出EF .【详解】解:过点A 作AM ⊥CB ,交CB 延长线于点M ,∵150ABC ∠=︒,∴∠ABM=30°,∴AM=12AB=12×6=3, ∵AM ⊥CB ,EF BC ⊥,∴AM ∥EF ,∵//AE BC ,∴四边形AMFE 是平行四边形,∵AM ⊥CB ,∴四边形AMFE 是矩形,∴EF=AM=3,故答案为:3..【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定,恰当的作辅助线,构造特殊的直角三角形是解题关键.14.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF.若38CDF∠=︒,则EFD∠的度数是_________.64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解:∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析:64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数,继而求出∠BFD的度数,根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD,即可得出结论.【详解】解:∵ABCD是矩形,∴∠DCF=90°,∵∠CDF=38°,∴∠CFD=52°,∴∠BFD=180°-52°=128°,∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成,∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°.故答案为:64°.【点睛】本题考查的是矩形折叠问题,掌握轴对称的性质是关键.15.如图,B,E,F,D四点在一条直线上,菱形ABCD的面积为2120cm,正方形AECF 的面积为250cm ,则菱形的边长为___cm .13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解:连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1 解析:13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可.【详解】解:连接AC ,BD 交于点O ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AO=CO ,BO=DO ,∵正方形AECF 的面积为50cm 2, ∴12AC 2=50, ∴AC=10cm ,∴AO=CO=5cm ,∵菱形ABCD 的面积为120cm 2, ∴12×AC×BD=120, ∴BD=24cm ,∴BO=DO=12cm , ∴22AB AO BO +25144+, 故答案为13. 【点睛】本题考查正方形的性质,菱形的性质,关键是根据正方形和菱形的面积进行解答. 16.如图,矩形ABCD 中,10AD =,14AB =,点E 为DC 上一个动点,把ADE 沿AE 折叠,点D 的对应点为D ,若D 落在ABC ∠的平分线上时,DE 的长为_____.5或【分析】连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点MCD于点N作D′P⊥BC交BC于点P先利用勾股定理求出MD′再分两种情况利用勾股定理求出DE【详解】解:如图连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点解析:5或10 3【分析】连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P,先利用勾股定理求出MD′,再分两种情况利用勾股定理求出DE.【详解】解:如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上,∴MD′=PD′,设MD′=x,则PD′=BM=x,∴AM=AB-BM=14-x,又折叠图形可得AD=AD′=10,∴x2+(14-x)2=100,解得x=6或8,即MD′=6或8.在Rt△END′中,设ED′=a,①当MD′=6时,AM=14-6=8,D′N=10-6=4,EN=8-a,∴a2=42+(8-a)2,解得a=5,即DE=5,②当MD′=8时,AM=14-8=6,D′N=10-8=2,EN=6-a,∴a2=22+(6-a)2,解得103a=,即103DE=.故答案为:5或10 3.【点睛】本题主要考查了折叠问题,解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的.17.平行四边形的两条对角线长分别为6和8,其夹角为45︒,该平行四边形的面积为_______.【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解:如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足 解析:122 【分析】 画出图形,证明四边形EFGH 是平行四边形,得到∠EHG=45°,计算出MG ,得到四边形EFGH 的面积,从而得到结果.【详解】解:如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 、F 、G 、H 分别是各边中点,过点G 作EH 的垂线,垂足为M ,AC=6,BD=8,可得:EF=HG=12AC=3,EH=FG=12BD=4,EF ∥HG ∥AC ,EH ∥FG ∥BD , ∴四边形EFGH 是平行四边形,∵AC 和BD 夹角为45°,可得∠EHG=45°,∴△HGM 为等腰直角三角形,又∵HG=3,∴MG=233222=, ∴四边形EFGH 的面积=MG EH ⋅=62,∴平行四边形ABCD 的面积为122,故答案为:122.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是根据题意画出图形,结合图形的性质解决问题.18.如图,在Rt ABC △中,90A ︒∠=,2AB =,点D 是BC 边的中点,点E 在AC 边上,若45DEC ︒∠=,那么DE 的长是__________.【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF=CF根据三角形中位线定理得到DF=AB=1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解:过D作DF⊥AC于F∴∠DFC=∠A=90°∴AB∥DF解析:2【分析】过D作DF⊥AC于F,得到AB∥DF,求得AF=CF,根据三角形中位线定理得到DF=12AB=1,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解:过D作DF⊥AC于F,∴∠DFC=∠A=90°,∴AB∥DF,∵点D是BC边的中点,∴BD=DC,∴AF=CF,∴DF=12AB=1,∵∠DEC=45°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=2DF=2,故答案为:2.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,平行线的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键.19.如图,在平行四边形ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD 于点E,AB=8,EF=1,则BC长为__________.15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析:15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=8,同理可得DE=DC=8,再由EF的长,即可求出BC的长.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=8,AD=BC,∴∠AFB=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBC,则∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=8,同理可证:DE=DC=8,∵EF=AF+DE-AD=1,即8+8-AD=1,解得:AD=15;故答案为:15.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证出AF=AB是解决问题的关键.20.在长方形ABCD中,52AB=,4BC=,CE CF=,CF平分ECD∠,则BE=_________.【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析:7 6【分析】延长CF,交EA的延长线于点G,连接EF,过点F作FH⊥CE于点H,过点E作EM⊥CF于点M,由题意易得FH=FD,FH=EM,EC=EG,进而可得△CDF≌△CME,然后可得CM=CD=52,由勾股定理可得BG=3,设BE=x ,则有EC=EG=3+x ,最后利用勾股定理可求解. 【详解】解:延长CF ,交EA 的延长线于点G ,连接EF ,过点F 作FH ⊥CE 于点H ,过点E 作EM ⊥CF 于点M ,如图所示:∵四边形ABCD 是矩形,4BC =,52AB =∴BC=AD ,52AB DC ==,AB ∥DC ,∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ,∵CF 平分∠ECD ,∴∠DCF=∠ECF ,DF=FH ,∴∠G=∠ECF ,∴EC=EG ,∴△ECG 是等腰三角形,∴CM=MG ,∵CE=CF ,∴△ECF 是等腰三角形, ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线, ∴FH=EM=DF ,∴Rt △CDF ≌Rt △CME (HL ),∴52CM DC ==, ∴CG=5,∴在Rt △CBG 中,223BG CG CB -=,设BE=x ,则有EC=EG=3+x ,在Rt △CBE 中,222BC BE CE +=,∴()22243x x +=+, 解得:76x =,∴76BE =; 故答案为76. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理,熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键.三、解答题21.在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,点D 是AB 的中点,点E 是直线BC 上一点(不与点B ,C 重合),连结CD ,DE .(1)如图①若90CDE ∠=︒,求证:A E ∠=∠.②若BD 平分CDE ∠,且24E ∠=︒,求A ∠的度数.(2)设()45A αα∠=>︒,DEC β∠=,若CD CE =,求β关于α的函数关系式,并说明理由.解析:(1)①见解析;②22°;(2)1452βα=+︒或1452βα=-+︒,见解析 【分析】 (1)①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==,再根据等腰三角形的性质,由等角的余角相等,即可证明结论;②设DBC x ∠=︒,则24BDE x ∠=︒-︒,根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可;(2)分情况讨论,当点E 在线段BC 上,或当点E 在线段BC 的延长线上,由等腰三角形的性质即可求出结果.【详解】(1)①证明:∵90ACB ∠=︒,∴90A ABC ∠+∠=︒,∵点D 是AB 的中点,∴AD DC BD ==,∴DCB ABC ∠=∠.∵90CDE ∠=︒,∴90E DCB ∠+∠=︒,∴A E ∠=∠;②解:设DBC x ∠=︒,则24BDE x ∠=︒-︒,∵BD 平分CDE ∠,∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒.∵DB DC =,∴DCB DBC x ∠=∠=︒,∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒,解得68x =,∴906822A ∠=︒-︒=︒;(2)①如图,当CD CE =时,∴CDE CED β∠=∠=.∵A α∠=,AD DC =,∴ACD α∠=,∴90DCB α∠=︒-,∴290180βα+︒-=︒,得1452βα=+︒;②如图,当CD CE =时∴CDE E β∠=∠=,∴290βα=︒-,得1452βα=-+︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线的性质,解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理.22.如图,在四边形ABCD 中,//AB CD ,90A ∠=︒,16cm AB =,13cm BC =,21cm CD =,动点N 从点D 出发,以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回,动点M 从点A 出发,在线段AB 上,以每秒1cm 的速度向点B 运动,点M ,N 分别从点A ,D 同时出发.当点M 运动到点B 时,点N 随之停止运动,设运动时间为t (秒). (1)当t 为何值时,四边形MNCB 是平行四边形.(2)是否存在点N ,使NMB △是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t 的值,若不存在,请说明理由.解析:(1)5秒或373秒;(2)存在,163秒或72秒或685秒 【分析】 (1)由题意已知,AB ∥CD ,要使四边形MNBC 是平行四边形,则只需要让BM=CN 即可,因为M 、N 点的速度已知,AB 、CD 的长度已知,要求时间,用时间=路程÷速度,即可求出时间;(2)使△BMN 是等腰三角形,可分三种情况,即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ;可利用等腰三角形及直角梯形的性质,分别用t 表达等腰三角形的两腰长,再利用两腰相等即可求得时间t .【详解】解:(1)设运动时间为t 秒.∵四边形MNCB 是平行四边形,∴MB=NC ,当N 从D 运动到C 时,∵BC=13cm ,CD=21cm ,∴BM=AB-AM=16-t ,CN=21-2t ,∴16-t=21-2t ,解得t=5,当N 从C 运动到D 时,∵BM=AB-AM=16-t ,CN=2t-21∴16-t=2t-21,解得t=373,∴当t=5秒或373秒时,四边形MNCB是平行四边形;(2)△NMB是等腰三角形有三种情况,Ⅰ.当NM=NB时,作NH⊥AB于H,则HM=HB,当N从D运动到C时,∵MH=HB=12BM=12(16-t),由AH=DN得2t=12(16−t)+t,解得t=163秒;当点N从C向D运动时,观察图象可知,只有由题意:42-2t=12(16-t)+t,解得t=685秒.Ⅱ.当MN=MB,当N从D运动到C时,MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t,BM=16-t,∵MN2=t2+122,∴(16-t)2=122+t2,解得t=72(秒);Ⅲ.当BM=BN,当N从C运动到D时,则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t,∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+(16-2t)2,∴(16-t)2=122+(16-2t)2,即3t 2-32t+144=0,∵△<0,∴方程无实根,综上可知,当t=163秒或72秒或685秒时,△BMN 是等腰三角形. 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质,特别应该注意要全面考虑各种情况,不要遗漏.23.如图,在四边形ABCD 中//AD BC ,5cm AD =,9cm BC =,M 是CD 的中点,P 是BC 边上的一动点(P 与B ,C 不重合),连接PM 并延长交AD 的延长线于Q .(1)试说明不管点P 在何位置,四边形PCQD 始终是平行四边形.(2)当点P 在点B ,C 之间运动到什么位置时,四边形ABPQ 是平行四边形?并说明理由.解析:(1)见解析;(2)PC=2时【分析】(1)由“ASA”可证△PCM ≌△QDM ,可得DQ=PC ,即可得结论;(2)得出P 在B 、C 之间运动的位置,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论.【详解】解:(1)∵AD ∥BC ,∴∠QDM=∠PCM ,∵M 是CD 的中点,∴DM=CM ,∵∠DMQ=∠CMP ,DM=CM ,∠QDM=∠PCM ,∴△PCM ≌△QDM (ASA ).∴DQ=PC ,∵AD ∥BC ,∴四边形PCQD 是平行四边形,∴不管点P 在何位置,四边形PCQD 始终是平行四边形;(2)当四边形ABPQ 是平行四边形时,PB=AQ ,∵BC-CP=AD+QD ,∴9-CP=5+CP ,∴CP=(9-5)÷2=2.∴当PC=2时,四边形ABPQ 是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形判定和性质,熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键.24.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.已知:四边形ABCD 是平行四边形,且,AB BC <求作:菱形ABEF ,使点E 在BC 上,点F 在AD 上.作法:①作BAD ∠的角平分线,交BC 于点E ;②以A 为圆心,AB 长为半径作弧,交AD 于点F ;③连接EF .则四边形ABEF 为所求作的菱形.根据小明设计的尺规作图过程(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)求证四边形ABEF 为菱形.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)根据要求画出图形即可.(2)利用平行四边形的判定,菱形的判定解决问题即可.【详解】解:解:()1如图所示.()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中,//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形.,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形.【点睛】本题考查作图-复杂作图,平行四边形的判定和性质,菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.25.如图,在▱ABCD 中,AB =12cm ,BC =6cm ,∠A =60°,点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动,同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动,用t 表示移动的时间(0≤t ≤6).(1)当t 为何值时,△PAQ 是等边三角形?(2)当t 为何值时,△PAQ 为直角三角形?解析:(1)t =2;(2)t =3或65t =. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质,列出关于t 的方程,进而即可求解.(2)根据△PAQ 是直角三角形,分两类讨论,分别列出方程,进而即可求解.【详解】解:(1)由题意得:AP =2t (米),AQ =6-t (米).∵∠A =60°,∴当△PAQ 是等边三角形时,AQ =AP ,即2t =6-t ,解得:t =2,∴当t =2时,△PAQ 是等边三角形.(2)∵△PAQ 是直角三角形,∴当∠AQP =90°时,有∠APQ =30°,即AP =2AQ ,∴2t =2(6-t ),解得:t =3(秒),当∠APQ =90°时,有∠AQP =30°,即AQ =2AP ,∴6-t =2·2t ,解得65t =(秒),∴当t =3或65t =时,△PAQ 是直角三角形. 【定睛】 本题主要考查等边三角形的性质,直角三角形的定义以及平行四边形的定义,熟练掌握等边三角形的性质,直角三角形的定义,列出方程,是解题的关键.26.如图,在△ABC 中,AB =AC ,DE 垂直平分AC ,CE ⊥AB ,AF ⊥BC ,(1)求证:CF =EF ;(2)求∠EFB 的度数.解析:(1)证明见解析;(2)EFB 45∠=︒【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质及CE ⊥AB 得出△ACE 是等腰直角三角形,再由等腰三角形的性质得出∠ACB 的度数,由AB=AC ,AF ⊥BC ,可知BF=CF ,CF=EF ; (2)根据三角形外角的性质即可得出结论.【详解】∵DE 垂直平分AC ,∴AE=CE ,∵CE ⊥AB ,∴△ACE 是等腰直角三角形,∠BEC=90°,∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF ,即F 是BC 的中点,∴Rt △BCE 中,EF=12BC=CF ; (2)由(1)得:△ACE 是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠ACE=45°,又∵AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=()11804567.52︒-︒=︒, ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°,∵CF=EF ,∴∠CEF=∠BCE=22.5°,∵∠EFB 是△CEF 的外角,∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,斜边的中线等于斜边的一半,三角形的外角性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键,同时要熟悉直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半.27.如图,菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上,连接CF .(1)求证:∠HEA =∠CGF ;(2)当AH =DG 时,求证:菱形EFGH 为正方形.解析:(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)连接GE ,根据正方形对边平行,得∠AEG=∠CGE ,根据菱形的对边平行,得∠HEG=∠FGE ,利用两个角的差求解即可;(2)根据正方形的判定定理,证明∠GHE=90°即可.【详解】证明:(1)连接GE ,∵AB ∥CD ,∴∠AEG=∠CGE ,∵GF ∥HE ,∴∠HEG=∠FGE ,∴∠HEA=∠CGF ;(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴∠D=∠A=90°,∵四边形EFGH 是菱形,∴HG=HE ,在Rt △HAE 和Rt △GDH 中,AH DG HE HG =⎧⎨=⎩, ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ,∴∠AHE=∠DGH,∵∠DHG+∠DGH=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°,∴∠GHE=90°,∴菱形EFGH为正方形.【点睛】本题考查了正方形的性质和判定,菱形的性质,平行线的性质,熟记正方形的性质和判定是解题的关键.28.如图,在方格纸中,点A,B,P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点图形.(1)在图甲中画出一个三角形,使BP平分该三角形的面积.(2)在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形,使AP平分该四边形的面积.解析:(1)画图见解析;(2)画图见解析.【分析】△即为所求;(1)连接AP延长至D点,使AP=DP,再连接BD,ABD(2)作EP平行且相等于AB,连接AE,四边形ABPE即为所求.【详解】(1)作图如下,连接AP延长至D点,使AP=DP,再连接BD,△即为所求,ABD=,AP DP∴和BDPABP△是等底同高的两个三角形,∴BP平分ABD△三角形的面积;(2)作图如下,作EP平行且相等于AB,连接AE,四边形ABPE即为所求,AB平行且相等于EP,∴四边形ABPE为平行四边形,∴AP为ABCD的对角线,∴AP平分ABCD的面积.【点睛】本题考查学生的作图能力,涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识,根据题意作出图像是解题的关键.。
人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》练习题(含答案)

人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》练习题(含答案)1.如图,▱ABCD中,CG⊥AB于点G,∠ABF=45°,F在CD上,BF交CG于点E,连接AE,AE⊥AD.(1)若BG=1,BC=,求EF的长度;(2)求证:AB﹣BE=CF.2.如图,在矩形ABCD中,过BD的中点O作EF⊥BD,分别与AB、CD交于点E、F.连接DE、BF.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)若M是AD中点,联结OM与DE交于点N,AD=OM=4,则ON的长是多少?3.如图,平行四边形ABCD中,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF为平行四边形;(2)若AB=6cm,BC=10cm,∠B=60°,①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,点E是BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF,(1)求证:AE=CE;(2)求证:四边形ABDF是平行四边形;(3)若AB=2,AF=4,∠F=30°,则四边形ABCF的面积为.5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别过点C、D作CF∥BD,DF∥AC,连接BF交AC于点E.(1)求证:△FCE≌△BOE;(2)当△ADC满足什么条件时,四边形OCFD为菱形?请说明理由.6.(1)如图1,四边形ABCD是正方形,G是BC上的任意一点,DE⊥AG,BF⊥AG,垂足分别为点E,F.求证:DE2+BF2=AB2(2)在图1的基础上,若过点C作CH⊥DE,垂足为点H,连接AH,CF,如图2.求证:四边形AFCH为平行四边形.7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,对角线AC、BD交于点O,BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若DC=2,AC=4,求OE的长.8.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,F是AC中点,AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线,延长DF交AN于点E,连接CE.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)填空:①若BC=AB=4,则四边形ABDE的面积为.②当△ABC满足时,四边形ADCE是正方形.9.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为1cm/s,运动时间为t秒,0≤t≤5.(1)AE=,EF=(2)若G,H分别是AB,DC中点,求证:四边形EGFH是平行四边形.(3)在(2)条件下,当t为何值时,四边形EGFH为矩形.10.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠ADB=30°,BD=12,求AD的长.11.如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作▱ECFG.(1)证明▱ECFG是菱形;(2)若∠ABC=120°,连接BD、CG,求∠BDG的度数;(3)若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中点,求DM的长.12.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.13.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,DE∥BC且DE=BC,∠ABD=90°,E为AD 的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.14.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC.BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AE=5,OE=3,求线段CE的长,15.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,E为边BC上一点,且EC=AD,连接AC.(1)求证:四边形AECD是矩形;(2)若AC平分∠DAB,AB=5,EC=2,求AE的长,参考答案1.解:(1)∵CG⊥AB,BG=1,,∴.∵∠ABF=45°,∴△BGE是等腰直角三角形,∴EG=BG=1,∴EC=CG﹣EG=3﹣1=2,∵在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABF=45°,CG⊥AB,∴∠CFE=∠ABF=45°,∠FCE=∠BGE=90°,∴△ECF是等腰直角三角形,∴EF==2;(2)证明:过E作EH⊥BE交AB于H,∵∠ABF=45°,∠BEH=90°,∴△BEH是等腰直角三角形,∴,BE=HE,∴∠BHE=45°,∴∠AHE=180°﹣∠BHE=180°﹣45°=135°,由(1)知,△BGE和△ECF都是等腰直角三角形,∴∠BEG=45°,CE=CF,∴∠BEC=180°﹣∠BEG=180°﹣45°=135°,∴∠AHE=∠CEB,∵AE⊥AD,∴∠DAE=90°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=90°+∠EAB,由(1)知,∠FCE=90°,∴∠BCD=∠FCE+∠BCG=90°+∠BCG,∵在平行四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD,∴90°+∠EAB=90°+∠BCG,∴∠EAB=∠BCG,即∠EAH=∠BCE,在△△EAH和△BCE中,∴△EAH≌△BCE(AAS),∴AH=CE=CF,∴AB﹣BE=AB﹣BH=AH=CF,即AB﹣BE=CF.2.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠DFO=∠BEO,∵∠DOF=∠EOB,OD=OB,∴△DOF≌△BOE(AAS),∴DF=BE,∴四边形BEDF是平行四边形,∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.(2)解:∵DM=AM,DO=OB,∴OM∥AB,AB=2OM=8,∴DN=EN,ON=BE,设DE=EB=x,在Rt△ADE中,则有x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,∴ON=.3.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥ED,∴∠FCD=∠GCD,∵G是CD的中点,∴CG=DG,在△FCG和△EDG中,∴△CFG≌△EDG(ASA),∴FG=EG,∴四边形CEDF是平行四边形;(2)①解:当AE=7时,平行四边形CEDF是矩形,理由是:过A作AM⊥BC于M,∵∠B=60°,AB=6,∴BM=3,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CDA=∠B=60°,DC=AB=6,BC=AD=10,∵AE=7,∴DE=3=BM,在△MBA和△EDC中,,∴△MBA≌△EDC(SAS),∴∠CED=∠AMB=90°,∵四边形CEDF是平行四边形,∴四边形CEDF是矩形,故答案为:7;②当AE=4时,四边形CEDF是菱形,理由是:∵AD=10,AE=4,∴DE=6,∵CD=6,∠CDE=60°,∴△CDE是等边三角形,∴CE=DE,∵四边形CEDF是平行四边形,∴四边形CEDF是菱形,故答案为:4.4.(1)证明:∵点E是BD的中点,∴BE=DE,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBE,在△ADE和△CBE中∴△ADE≌△CBE(ASA),∴AE=CE;(2)证明:∵AE=CE,BE=DE,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵DF=CD,∴DF=AB,即DF=AB,DF∥AB,∴四边形ABDF是平行四边形;(3)解:过C作CH⊥BD于H,过D作DQ⊥AF于Q,∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形,AB=2,AF=4,∠F=30°,∴DF=AB=2,CD=AB=2,BD=AF=4,BD∥AF,∴∠BDC=∠F=30°,∴DQ=DF==1,CH=DC==1,∴四边形ABCF的面积S=S平行四边形BDFA+S△BDC=AF×DQ+=4×1+=6,故答案为:6.5.(1)证明:∵CF∥BD,DF∥AC,∴四边形OCFD是平行四边形,∠OBE=∠CFE,∴OD=CF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OB=CF,在△FCE和△BOE中,,∴△FCE≌△BOE(AAS);(2)解:当△ADC满足∠ADC=90°时,四边形OCFD为菱形;理由如下:∵∠ADC=90°,四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OC=OD,∴四边形OCFD为菱形.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAE=90°,∵DE⊥AG,BF⊥AG∴∠AED=∠BFA=90°,∴∠BAF+∠ABF=90°∴∠DAE=∠ABF,在△ADE与△BAF中,∴△ADE≌△BAF(AAS)∴DE=AF,在Rt△ABF中,∵AF2+BF2=AB2,∴DE2+BF2=AB2;(2)同理可得:△ADE≌△DCH(AAS),∴DE=CH又∵由(1)可得:DE=AF,∴CH=AF,∵CH⊥DE,DE⊥AG∴∠CHE=∠AED=90°,∴CH∥AF,∴四边形AFCH为平行四边形.7.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AD=AB,∵AB=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形;(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB=OD,OA=OC=AC=2,在Rt△OCD中,由勾股定理得:OD==4,∴BD=2OD=8,∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,∵OB=OD,∴OE=BD=4.8.证明:∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠MAC,∵∠MAC=∠B+∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠MAE=∠B,∴AN∥BC,∵F为AC的中点,D为BC的中点,∴FD∥AB,∴四边形ABDE为平行四边形,∴AE=BD∵BD=CD,∴AE=CD,∴四边形ADCE为平行四边形,∵AB=AC,点D为BC中点,∴AD⊥AE,∴∠DAE=90°,∴四边形ADCE为矩形;(2)①解:∵AB=AC,D是BC中点,F是AC中点,∴DF∥AB,由(1)知AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∵BC=AB=4,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABD=60°,∵D为BC的中点,∴∠ADC=90°,BD=2,∴,∴四边形ABDE的面积为BD×AD=2×=4,故答案为:4;②解:答案不唯一,如当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∵D为BC的中点,∴AD=DC,∵四边形ADCE为矩形,∴四边形ADCE为正方形.故答案为:∠BAC=90°.9.(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∴AC===5,由题意得:AE=CF=t,∴EF相遇前为:EF=AC﹣AE﹣CF=5﹣2t;EF相遇后为:EF=AE+CF﹣AC=2t﹣5;故答案为:t,5﹣2t或2t﹣5;(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°,∴AC===5,∠GAF=∠HCE,∵G、H分别是AB、DC的中点,∴AG=BG,CH=DH,∴AG=CH,∵AE=CF,∴AF=CE,在△AFG与△CEH中,,∴△AFG≌△CEH(SAS),∴GF=HE,同理:GE=HF,∴四边形EGFH是平行四边形.(3)解:如图所示,连接GH,由(2)可知四边形EGFH是平行四边形∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点,∴GH=BC=4,∴当EF=GH=4时,四边形EGFH是矩形,分两种情况:①AE=CF=t,EF=5﹣2t=4,解得:t=0.5.②AE=CF=t,EF=5﹣2(5﹣t)=4,解得:t=4.5即:当t为0.5秒或4.5时,四边形EGFH为矩形10.证明:(1)∵AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD,又∵BD平分∠ABF,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,同理:AB=BC,∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形;(2)∵四边形ABCD是菱形,BD=12,∴AC⊥BD,OD=OB=BD=6,∵∠ADB=30°,∴cos∠ADB=,∴AD=.11.解:(1)证明:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,又∵四边形ECFG是平行四边形,∴四边形ECFG为菱形;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,∠BCF=120°由(1)知,四边形CEGF是菱形,∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°,∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,∵EG∥DF,∴∠BEG=120°=∠DCG,∵AE是∠BAD的平分线,∴∠DAE=∠BAE,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=CD,∴△BEG≌△DCG(SAS),∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,∴∠BGD=∠CGE,∵CG=GE=CE,∴△CEG是等边三角形,∴∠CGE=60°,∴∠BGD=60°,∵BG=DG,∴△BDG是等边三角形,∴∠BDG=60°;(3)如图2中,连接BM,MC,∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形,又由(1)可知四边形ECFG为菱形,∠ECF=90°,∴四边形ECFG为正方形.∵∠BAF=∠DAF,∴BE=AB=DC,∵M为EF中点,∴∠CEM=∠ECM=45°,∴∠BEM=∠DCM=135°,在△BME和△DMC中,∵,∴△BME≌△DMC(SAS),∴MB=MD,∠DMC=∠BME.∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,∴△BMD是等腰直角三角形.∵AB=6,AD=8,∴BD=10,∴DM=BD=5.12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,∴∠A=90°,AD=BC=6,AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF,在△BOE和△DOF中,,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形;(2)∵四边形BEDF为菱形,∴BE=DE DB⊥EF,又∵AB=8,BC=6,设BE=DE=x,则AE=8﹣x,在Rt△ADE中,62+(8﹣x)2=x2∴,∴,∴∴,∴EF=2OE=.13.(1)证明:∵DE∥BC,DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴四边形BCDE是菱形;(2)解:连接AC.∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴AB=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,在Rt△ACD中,∵AD=2,∴CD=1,AC=.14.解:(1)∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴▱ABCD是菱形;(2)∵四边形ABCD是菱形∴AO=CO,且CE⊥AB∴AC=2OE=6在Rt△ACE中,CE==15.解:(1)证明:∵AD∥BC,EC=AD,∴四边形AECD是平行四边形.又∵∠D=90°,∴四边形AECD是矩形.(2)∵AC平分∠DAB.∴∠BAC=∠DAC.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∴∠BAC=∠ACB.∴BA=BC=5.∵EC=2,∴BE=3.∴在Rt△ABE中,AE===4.。
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(答案解析)

一、选择题1.如图,菱形ABCD 中,50A ∠=︒,则ADB ∠的度数为( )A .65︒B .55︒C .45︒D .25︒A解析:A【分析】 由菱形得到AB=AD ,进而得到∠ADB=∠ABD ,再由三角形内角和定理即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 为菱形,∴AD=AB ,∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°,故选:A .【点睛】本题考查了菱形的性质,菱形的邻边相等,属于基础题,熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键.2.如图,在平行四边形ABCD 中,DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==,则平行四边形ABCD 的周长是( )A .16B .18C .20D .24C解析:C【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行,内错角相等求出∠CDE=∠CED ,再根据等角对等边的性质可得CE=CD ,然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度,再求出▱ABCD 的周长.【详解】解:∵DE 平分∠ADC ,∴∠ADE=∠CDE ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,BC=AD=6,AB=CD ,∴∠ADE=∠CED ,∴∠CDE=∠CED ,∴CE=CD ,∵AD=6,BE=2,∴CE=BC-BE=6-2=4,∴CD=AB=4,∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20.故选:C .【点睛】本题考查了平行四边形对边平行,对边相等的性质,角平分线的定义,等角对等边的性质,熟练掌握平行四边形的性质,证明CE=CD 是解题的关键.3.如图,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,45EAF ∠=︒,已知6AD =(正方形的四条边都相等,四个内角都是直角),2DF =.则AEF 的面积AEF S =( )A .6B .12C .15D .30C解析:C【分析】 延长CD 到G ,使DG=BE ,连接AG ,易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ,BAE=DAG ∠∠ , 证AFG AEG △≌△,所以 GF=EF ,设BE=DG=x ,则EF=FG=x+2,在ECF Rt △中,利用勾股定理得222462x x 解得求出x ,最后求AGF S △问题即可求解.【详解】解:延长CD 到G ,使DG=BE ,连接AG ,在正方形ABCD 中,AB=AD ,90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒,ADG ABE(SAS)∴△≌△,,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠,45EAF ∠=︒ ,45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ,GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒,GAF=EAF ∴∠∠,又AF=AF ,AFG AEG ∴△≌△(SAS),EF=FG ∴,设BE=DG=x ,则EC=6-x ,FC=4,EF=FG=x+2,在ECF Rt △中,222=FC CE EF +,()()22246=2x x ∴+-+,解得,x=3, GF=DG DF=2+3=5∴+,AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522∴⨯⨯△△, 故选:C .【点睛】 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,正确构造辅助线,证三角形全等是解决本题的关键.4.如图,在平行四边形ABCD 中,100B D ︒∠+∠=,则B 等于( )A .50°B .65°C .100°D .130°A解析:A【分析】 根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解.【详解】 解:□ABCD 中,∠B =∠D ,∵∠B +∠D =100°,∴∠B =12×100°=50°, 故选:A .【点睛】本题考查了平行四边形的性质,主要利用了平行四边形的对角相等是基础题.5.如图,已知正方形1234A A A A 的边长为1,延长12A A 到1B ,使得1212B A A A =,延长23A A 到2B ,使得2323B A A A =,以同样的方式得到34,B B ,连接1234,,,B B B B ,得到第2个正方形1234B B B B ,再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ,……,则第2020个正方形的边长为( )A .2020B .2019(5)C .2020(5)D .20205B解析:B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长,从而发现数字的规律求解【详解】解:由题意可得:第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意,以此类推,215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选:B .【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索,题目难度不大,正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键.6.在菱形ABCD 中,∠ABC=60゜,AC=4,则BD=( )A .3B .23C .33D .43D解析:D【分析】 根据菱形的性质可得到直角三角形,利用勾股定理计算即可;【详解】如图,AC 与BD 相较于点O ,∵四边形ABCD 是菱形,4AC =,∴AC BD ⊥,2AO =,又∵∠ABC=60゜,∴30ABO ∠=︒,∴24AB AO ==,∴224223BO =-=,∴243BD BO ==;故选D .【点睛】本题主要考查了菱形的性质,结合勾股定理计算是解题的关键.7.如图,在平行四边形ABCD 中,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E ,连接AE .添加一个条件,使四边形AEBD 是菱形,这个条件是( )A .BAD BDA ∠=∠B .AB DE =C .DF EF =D .DE 平分ADB ∠D解析:D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ,得到AD=BE ,推出四边形AEBD 是平行四边形,再逐项依次分析即可.【详解】解:在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠DAB=∠EBA ,∵点F 是AB 的中点,∴AF=BF ,∵∠AFD=∠BFE ,∴△ADF ≌△BEF ,∴AD=BE ,∵AD ∥BE ,∴四边形AEBD 是平行四边形,A 、当BAD BDA ∠=∠时,得到AB=BD ,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合题意;B 、AB=BE 时,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合题意;C 、DF=EF 时,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合题意;D 、当DE 平分ADB ∠时,四边形AEBD 是菱形,故该选项符合题意;故选:D .【点睛】此题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定及性质,菱形的判定,熟记平行四边形的性质是解题的关键.8.如图,已知在正方形ABCD 中,E 是BC 上一点,将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ,延长EF 交AB 于点G ,连接DG .现有如下4个结论:①AG =GF ;②AG 与EC 一定不相等;③45GDE ∠=︒;④BGE △的周长是一个定值.其中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4C解析:C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ,根据角的平分线的意义求∠GDE ,根据GE=GF+EF=EC+AG ,确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义,得△DEC ≌△DEF ,∴EF=EC ,DF=DC ,∠CDE=∠FDE ,∵DA=DF ,DG=DG ,∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ,∴AG=FG ,∠ADG=∠FDG ,∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12(∠ADF+∠CDF ) =45°, ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ,GE=GF+EF=EC+AG ,∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ,是定值,∴正确的结论有①③④,故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化,直角三角形的全等及其性质,角的平分线,三角形的周长,熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9.如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O ,正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ,OM 与CD 相交于点E ,OQ 与BC 相交于点F ,且满足DE CF ,则两个正方形重合部分的面积为( )A .212aB .214aC .218a D .2116a B 解析:B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ,BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°,可证△DOE ≌△COF (AAS ),利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可. 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ,∴∠DOC=∠MOQ=90°,∴∠DOE+∠EOC =90º,∠EOC+∠COF=90º,∴∠DOE=∠COF ,又AC ,BD 是正方形ABCD 的对角线,∴∠ODE=∠OCF=45°,∵DE CF =,∴△DOE ≌△COF (AAS ),∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ,∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形, ∴S 四边形FOEC =214a . 故选择:B .【点睛】 本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,掌握正方形的性质,全等三角形的判定与性质是解题关键.10.如图,Rt Rt ABC BAD △≌△,BC 、AD 交于点E ,M 为斜边的中点,若CMD α∠=,AEB β∠=.则α和β之间的数量关系为( )A .2180βα-=︒B .60βα-=︒C .180αβ+=︒D .2βα=A 解析:A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证CM DM AM BM ===,继而证明()AMC BMD SSS △≌△,解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠,最后根据三角形内角和180°定理,分别解得αβ、与CAM ∠的关系,整理即可解题.【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点,11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ,Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠,AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选:A .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.二、填空题11.如图,在ABC 中,10AB AC ==,D 为CA 延长线上一点,DE BC ⊥交AB 于点F .若F 为AB 中点,且12BC =,则DF =__________.8【分析】过点A 作AM ⊥BC 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N 证明△AFN ≌△BFE 得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解:∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90解析:8【分析】过点A 作AM ⊥BC ,过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ,证明△AFN ≌△BFE ,得出AN=BE=3,再利用勾股定理解答即可.【详解】解:∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∵DE BC ⊥,∴∠C+∠BFE=90,∠B+∠BFE=90°,∵∠BFE=∠AFD ,∠B=∠C ,∴∠BFE=∠AED=∠CDE ,∴AD=AF ,过点A 作AM ⊥BC ,在△ABC 中,∵AB=AC ,∴M 为BC 的中点,∴BM=12BC =6, 在Rt △ABM 中,AM=2222106AB BM -=-=8∵F 为AB 中点,FE ⊥BC , ∴FE 为△ABM 的中位线,BF=AF=12AB =5, ∴AD=AF=5,BE=132BM =, 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ,∵AF=BF ,∠AFN=∠BFE ,∠ANF=∠BEF=90°,∴△AFN ≌△BFE ,∴AN=BE=3,在Rt △AND 中,DN=2222534AD AN -=-=,∵AD=AF ,AN ⊥DF ,∴DF=2DN=8.故答案为:8.【点睛】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质的运用,平行线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,正确作出辅助线是解题的关键.12.如图,在菱形ABCD 中,6AC =,5AB =,点E 是直线AB ,CD 之间任意一点,连接AE ,BE ,DE ,CE ,则EAB 和ECD 的面积之和是______.12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析:12【分析】连接BD,根据菱形对角线的性质,利用勾股定理计算BD的长,根据两平行线的距离相等,所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半,再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论.【详解】如图,连接BD交AC于O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=12AC=12×6=3,∵AB=5,由勾股定理得:224AB OA-=,∴BD=2OB=8,∵AB∥CD,∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离,∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形=12×12×AC×BD=168=124⨯⨯. 故答案为:12. 【点睛】 本题考查菱形的性质,三角形的面积,平行线的性质,熟知平行线的距离相等,得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键.13.如图,在长方形纸片ABCD 中,12AB =,5BC =,点E 在AB 上,将DAE △沿DE 折叠,使点A 落在对角线BD 上的点A '处,则AE 的长为______.【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析:103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长,再根据折叠可得AD=A′D=5,进而得到A′B 的长,再设AE=x ,则A′E=x ,BE=12-x ,再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程,解出x 的值,可得答案.【详解】解:∵AB=12,BC=5,∴AD=5,∴22125+=13,根据折叠可得:AD=A′D=5,∴A′B=13-5=8,设AE=x ,则A′E=x ,BE=12-x ,在Rt △A′EB 中:(12-x )2=x 2+82,解得:x=103. 故答案为:103. 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点,能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键.14.如图,EF 过ABCD 对角线的交点O ,交AD 于E ,交BC 于F ,若ABCD 的周长为19, 2.5OE =,则四边形EFCD 的周长为_____.145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解:在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析:14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等,进而易得AE=CF,故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF,根据已知求解即可.【详解】解:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD互相平分∴AO=OC,∠DAC=∠ACB,∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF,OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2×2=14.5.故答案为:14.5.【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明,将所求线段转化为已知线段是解题的关键.15.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=12,BD=16,点P为边BC上一点,且P 不与写B、C重合.过P作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,连结EF,则EF的最小值等于__________.48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析:4.8【分析】连接OP ,由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====,再根据勾股定理解得10BC =,继而证明四边形OEPF 为矩形,得到FE OP =,根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时,OP 有最小值,最后根据三角形面积公式解题即可.【详解】连接OP ,四边形ABCD 是菱形,12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形,FE OP ∴=当OP BC ⊥时,OP 有最小值,此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8,故答案为:4.8.【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.16.如图,平面直角坐标系中,已知点()9,9A ,点B 、C 分别在y 轴、x 轴上,AB AC ⊥且AB AC =,若B 点坐标为()0,a ,则OC =______(用含a 的代数式表示).18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC(SAS)得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析:18-a.【分析】过A作AE⊥y轴于E,AD⊥x轴于D,构造正方形AEOD,再证△AEB≌△ADC(SAS),得BE=CD,由EB=EO-BO=9-a,可求CD=9-a,求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可.【详解】过A作AE⊥y轴于E,AD⊥x轴于D,A,∵点()9,9AE=AD=OE=OD=9,∠ADO=90º,四边形AEOD为正方形,⊥,∠EAD=90°,∵AB AC∴∠EAB+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAE=∠CAD,=,AE=AD,∵AB AC∴△AEB≌△ADC(SAS),∴BE=CD,∵EB=EO-BO=9-a,∴CD=9-a,OC=OD+CD=9+9-a=18-a,故答案为:18-a.【点睛】本题考查正方形的判定与性质,三角形全等判定与性质,掌握正方形的判定方法与性质,三角形全等判定的方法与性质是解题关键.17.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF.若38CDF∠=︒,则EFD∠的度数是_________.64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解:∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析:64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数,继而求出∠BFD的度数,根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD,即可得出结论.【详解】解:∵ABCD是矩形,∴∠DCF=90°,∵∠CDF=38°,∴∠CFD=52°,∴∠BFD=180°-52°=128°,∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成,∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°.故答案为:64°.【点睛】本题考查的是矩形折叠问题,掌握轴对称的性质是关键.18.如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若1DE=,则BF的长为__________.【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x 在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=(-2)2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可得EF2=(2-x )2+12从而得到关于 解析:51-【分析】连接FE ,根据题意得CD=2,AE=5,设BF=x ,则FG=x ,CF=2-x ,在Rt △GEF 中,利用勾股定理可得EF 2=(5-2)2+x 2,在Rt △FCE 中,利用勾股定理可得EF 2=(2-x )2+12,从而得到关于x 方程,求解x 即可.【详解】解:连接EF ,如图,∵E 是CD 的中点,且CE=1∴CD=2,DE=1∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=DA=2∴2222215AD DE +=+设BF=x ,由折叠得,AG=AB=2,FG=BF=x ,∴52,在Rt △GFE 中,2222252)EF FG GE x =+=+在Rt △CFE 中,CF=BC-BF=2-x ,CE=1∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+∴222252)(2)1x x +=-+解得:=51x ,即51,51【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理.折叠问题主要是抓住折叠的不变量,在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键.19.如图,点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点,连结AE ,并延长AE 与DC 的延长线交于点F ,若AB AE =,50F ∠=︒,则D ∠=______︒.65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解:如图所示∵四边形解析:65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°,进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°,利用平行四边形对角相等得出即可.【详解】解:如图所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠F=∠BAE=50°,.∵AB=AE,∴∠B=∠AEB=65°,∴∠D=∠B=65°.故答案是:65.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质,熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键.20.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=135°,AD=42,AB=8,作对角线AC的垂直平分线EF,分别交对边AB、CD于点E和点F,则AE的长为_____.【分析】连接CE过点C作交AB的延长线于点H设AE=x则BE=8-xCE=AE=x在根据勾股定理即可得到x的值【详解】如图:连接CE过点C作交AB的延长线于点H平行四边形ABCD中设AE=x则BE=解析:20 3【分析】连接CE,过点C作CH AB,交AB的延长线于点H,设AE=x,则BE=8-x,CE=AE=x,在根据勾股定理,即可得到x的值.【详解】如图:连接CE ,过点C 作CH AB ⊥,交AB 的延长线于点H ,平行四边形ABCD 中,135,2ABC AD ∠=︒=45,2CBH BC ∴∠=︒=90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ,则BE=8-x ,EF 垂直平分AC ,CE AE x ∴==, 在Rt CEH 中,222CH EH EC +=,()222484x x ∴+-+=, 解得:203x =, AE ∴的长为203, 故答案为:203. 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质,勾股定理以及线段垂直平分线的性质,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理求解.三、解答题21.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E ,F 分别在BD 和DB 的延长线上,且DE BF =,连接AE ,CF .(1)求证:E F ∠=∠;(2)连接AF ,CE ,当BD 平分ABC ∠时,四边形AFCE 是什么特殊四边形?请说明理由.解析:(1)见解析;(2)四边形AFCE 是菱形,理由见解析【分析】(1)根据四边形ABCD 是平行四边形,可以得到AD=CB ,AD ∥BC ,从而可以得到∠ADE=∠CBF ,然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ,从而得出结论;(2)根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质,可以证明▱ABCD 是菱形,从而可以得到AC ⊥BD ,然后即可得到AC ⊥EF ,再根据题目中的条件,可以证明四边形AFCE 是平行四边形,然后根据AC ⊥EF ,即可得到四边形AFCE 是菱形.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=CB ,AD ∥BC ,∴∠ADB=∠CBD ,∴∠ADE=∠CBF ,在△ADE 和△CBF 中,AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF (SAS ),∴∠E=∠F ;(2)当BD 平分∠ABC 时,四边形AFCE 是菱形,理由:∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD=∠CBD ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA=OC ,OB=OD ,AD ∥BC ,∴∠ADB=∠CBD ,∴∠ABD=∠ADB ,∴AB=AD ,∴平行四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∴AC ⊥EF ,∵DE=BF ,∴OE=OF ,又∵OA=OC ,∴四边形AFCE 是平行四边形,∵AC ⊥EF ,∴四边形AFCE 是菱形.【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.22.如图,在四边形ABCD 中,//AB CD ,90A ∠=︒,16cm AB =,13cm BC =,21cm CD =,动点N 从点D 出发,以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回,动点M 从点A 出发,在线段AB 上,以每秒1cm 的速度向点B 运动,点M ,N 分别从点A ,D 同时出发.当点M 运动到点B 时,点N 随之停止运动,设运动时间为t (秒). (1)当t 为何值时,四边形MNCB 是平行四边形.(2)是否存在点N ,使NMB △是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t 的值,若不存在,请说明理由.解析:(1)5秒或373秒;(2)存在,163秒或72秒或685秒 【分析】 (1)由题意已知,AB ∥CD ,要使四边形MNBC 是平行四边形,则只需要让BM=CN 即可,因为M 、N 点的速度已知,AB 、CD 的长度已知,要求时间,用时间=路程÷速度,即可求出时间;(2)使△BMN 是等腰三角形,可分三种情况,即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ;可利用等腰三角形及直角梯形的性质,分别用t 表达等腰三角形的两腰长,再利用两腰相等即可求得时间t .【详解】解:(1)设运动时间为t秒.∵四边形MNCB是平行四边形,∴MB=NC,当N从D运动到C时,∵BC=13cm,CD=21cm,∴BM=AB-AM=16-t,CN=21-2t,∴16-t=21-2t,解得t=5,当N从C运动到D时,∵BM=AB-AM=16-t,CN=2t-21∴16-t=2t-21,解得t=373,∴当t=5秒或373秒时,四边形MNCB是平行四边形;(2)△NMB是等腰三角形有三种情况,Ⅰ.当NM=NB时,作NH⊥AB于H,则HM=HB,当N从D运动到C时,∵MH=HB=12BM=12(16-t),由AH=DN得2t=12(16−t)+t,解得t=163秒;当点N从C向D运动时,观察图象可知,只有由题意:42-2t=12(16-t)+t,解得t=685秒.Ⅱ.当MN=MB,当N从D运动到C时,MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t,BM=16-t,∵MN2=t2+122,∴(16-t)2=122+t2,解得t =72(秒);Ⅲ.当BM=BN ,当N 从C 运动到D 时,则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ,∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+(16-2t )2,∴(16-t )2=122+(16-2t )2,即3t 2-32t+144=0,∵△<0,∴方程无实根,综上可知,当t=163秒或72秒或685秒时,△BMN 是等腰三角形. 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质,特别应该注意要全面考虑各种情况,不要遗漏.23.如图,平行四边形ABCD 中,,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠,交于DC 边上点P , 2.5AD =.(1)求线段AB 的长.(2)若3BP =,求ABP △的面积.解析:(1)5;(2)6【分析】(1)证出AD=DP=2.5,BC=PC=2.5,得出DC=5=AB ,即可求出答案;(2)根据平行四边形性质得出AD ∥CB ,AB ∥CD ,推出∠DAB+∠CBA=180°,求出∠PAB+∠PBA=90°,在△APB 中求出∠APB=90°,由勾股定理求出AP ,从而求得△ABP 的面积.【详解】解:(1)∵AP 平分∠DAB ,∴∠DAP=∠PAB ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∵AB ∥CD ,∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形,∴AD=DP=2.5,同理:PC=CB=2.5,即AB=DC=DP+PC=5;(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥CB ,AB ∥CD ,∴∠DAB+∠CBA=180°,又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ,∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠CBA )=90°, 在△APB 中,∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA )=90°;在Rt △APB 中,AB=5,BP=3,∴AP=2253-=4,∴△APB 的面积=4×3÷2=6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,勾股定理等知识点的综合运用.24.如图,菱形ABCD 中,60B ∠=︒,点E ,F 分别在BC 和CD 上,BE CF =,求证:AE AF =.解析:证明见解析.【分析】连接AC ,证ABE ACF ≌即可【详解】证明:连接AC ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AB BC CD AD ===,AC 平分BCD ∠.∵60B ∠=︒,∴ABC 是等边三角形,∴AB AC =,60∠=∠=∠︒=B BCA ACF . ∴在ABE △与ACF 中,AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴ABE ACF ≌.∴AE AF =.【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,证明三角形全等是解此题的关键. 25.已知:平行四边形ABCD 中,点M 为边CD 的中点,点N 为边AB 的中点,联结AM 、CN .(1)求证:AM ∥CN ;(2)过点B 作BH AM ⊥,垂足为H ,联结CH .求证:△BCH 是等腰三角形.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)由四边形ABCD 是平行四边形,根据平行四边形的性质,可得AB ∥CD ,AB=CD ,又由点M 为边CD 的中点,点N 为边AB 的中点,即可得CM=AN ,继而可判定四边形ANCM 是平行四边形,则可证得AM ∥CN .(2)由AM ∥CN ,BH ⊥AM ,点N 为边AB 的中点,可证得BH ⊥CN ,ME 是△BAH 的中位线,则可得CN 是BH 的垂直平分线,继而证得△BCH 是等腰三角形.【详解】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD 且AB CD =.∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点,∴12CM CD =,1AN AB 2=. ∴CM AN =.又∵AB ∥CD , ∴四边形ANCM 是平行四边形∴AM ∥CN .(2)设BH 与CN 交于点E ,∵AM ∥CN ,BH ⊥AM ,∴BH ⊥CN ,∵N 是AB 的中点,∴EN 是△BAH 的中位线,∴BE=EH ,∴CN 是BH 的垂直平分线,∴CH=CB ,∴△BCH 是等腰三角形.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. 26.综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境:已知正方形ABCD 中,点O 是线段BC 的中点,将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''(点A ',B ',C ',D 分别是点A ,B ,C ,D 的对应点).同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.特例分析:(1)“乐思”小组提出问题:如图1,在正方形绕点O 旋转过程中,顺次连接点B ,B ',C ,C '得到四边形''BB CC ,求证:四边形''BB CC 是矩形;(2)“善学”小组提出问题:如图2.在旋转过程中,当点B '落在对角线BD 上时,设A B ''与CD 交于点M .求证:四边形OB MC '是正方形.深入探究:(3)“好问”小组提出问题:如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =,在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时,请直接写出''DD OC 的值. 解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2'='DD OC. 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ,OC=OC′ ,得到四边形BB′CC′是平行四边形,又 BC=B′ C′ ,得到平行四边形BB′CC′是矩形.(2)先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°,证明四边形 OB′MC 是矩形 ,再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形.(3)过D 作DN ⊥B′C′,证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL),设OC=a ,得到OC′=a ,DD′=2a ,即可求解.【详解】解:(1)由旋转性质可得OB OB '=,OC OC '=.点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=,''∴=OB OC ,OB OC =.∴四边形''BB CC 是平行四边形.又BC B C ''=,∴平行四边形''BB CC 是矩形. (2)证明:四边形ABCD 是正方形,BC CD ∴=,90C ∠=︒.180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知,OB OB '=,45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB .四边形A B C D ''''是正方形,90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =,OC=OC′ ,OB′=OB ,∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形,(3)2'='DD OC .如图,过D 作DN ⊥B′C′可知,∠A′=∠B′=∠B′ND=90°,∠D′=∠C′=∠C′ND=90°,∴四边形DNC′D′为矩形,四边形DNB′A′为矩形,在Rt △DNO 与Rt △DCO 中,∵OD=OD ,DN=DC ,∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ,则OB=2OC=2a ,∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ,DD′=NC′=ON+OC′=2a , ∴2DD a OC a'='=2. 【点睛】 本题考查了特殊的四边形,平行四边形,矩形,正方形的性质和判定,解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定.27.如图,将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠,使点C 落在C '处,BC '交AD 于点E .(1)试判断BDE 的形状,并说明理由.(2)若4AB =,8AD =,求AE 的长.参考答案解析:(1)BDE 是等腰三角形,证明见解析;(2)3AE =.【分析】(1)根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠,又因为//AD BC ,可知ADB DBC ∠=∠,即推出ADB EBD ∠=∠,所以BE DE =,BDE 为等腰三角形.(2)设AE x =,则8BE DE x ==-,在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式,解出x 即可.【详解】(1)BDE 是等腰三角形,理由是:由折叠得:EBD DBC ∠=∠,∵四边形ABCD 是矩形,∴//AD BC ,∴ADB DBC ∠=∠,∴ADB EBD ∠=∠,∴BE DE =,∴BDE 是等腰三角形.(2)设AE x =,则8BE DE x ==-, ∵四边形ABCD 是矩形,∴90A ∠=︒,∴在Rt ABE △中,222AB AE BE +=,即2224(8)x x +=-,解得:3x =,∴3AE =.【点睛】本题考查翻折的性质,矩形的性质,等腰三角形的判定以及勾股定理.根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键.28.如图1,正方形ABCD ,E 为平面内一点,且90BEC ∠=︒,把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ,直线AG 和直线CE 交于点F .(1)证明:四边形BEFG 是正方形;(2)若135AGD ∠=︒,猜测CE 和CF 的数量关系,并说明理由;(3)如图2,连接DF ,若13AB =,17CF =,求DF 的长.解析:(1)见解析;(2)CE=CF ,理由见解析;(3)522【分析】(1)根据正方形的判定定理进行证明即可;(2)证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =,AH=BG ,再证明△DHG 是等腰直角三角形,可得DH=BH=AG ,最后由BEFG 是正方形可得结论;(3)分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可.【详解】解:(1)证明:90BEC =︒∠,把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG , BE BG ∴=,90EBG ∠=︒,90BGA ∠=︒,则90BGF ∠=︒,90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒,∴四边形BEFG 是正方形;(2)CE CF =,理由如下:过D 点作DH AF ⊥,垂足为H ,如图,四边形ABCD 是正方形,90BAD ∴∠=︒,AB AD =,90BGA ∠=︒,90DAH BAG ∴∠+∠=︒,90BAG ABG ∠+∠=︒,DAH ABG ∴∠=∠,在Rt ADH 和Rt BAG 中,90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ,DH AG ∴=,∵∠DGH =180°-∠AGD =45°∴在Rt △DHG 中,∠GDH =45°∴DH =GH =AG∴1122AG GH AH BG === 又AG CE =,EF BG =,2EF CE ∴=,CE CF ∴=;(3)①点F 在AB 右侧时,如图,过D 作DK ⊥AG ,交其延长线于K .设正方形BEFG 的边长为x ,则BE x =,17CE x =-,在Rt BEC △中,13BC =,根据勾股定理可得,222BE CE BC +=,即222(17)13x x +-=,解得112x =,25(x =不符合条件,舍去),即12BG BE ==,17125AG CE ==-=,∵四边形BEFG 是正方形,∴∠BAD =90°.∵DK ⊥AG ,∴∠K =90°.∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°∠ADK +∠KAD =90°∴∠BAG =∠ADK在Rt △ABG 和Rt △DAK 中,90G K AB ADBAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以Rt△ADK≌Rt BAG,则AK=BG=12,DK=AG=5,∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF∴FK=AG=5在R t△DFK中,根据勾股定理可得,DF=2252+=DK FK②点F在AB左侧时,如图,过D作DK⊥AG,交其延长线于K.方法同①,可得FK=AG=12,在R t△DFK中,根据勾股定理可得,DF22122+=DK FK综上所述,DF的长为522【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,勾股定理,熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键.。
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习卷(含答案解析)

一、选择题1.如图,三个正方形围成一个直角三角形,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为( )A .40064-B .2240064-C .2240064-D .40064+A解析:A【分析】 要求图中字母所代表的正方形的面积,根据面积=边长×边长=边长的平方,设M 的边长为a ,直角三角形斜边的长为c ,另一直角边为b ,则2400c =,264b =,已知斜边和一直角边的平方,由勾股定理即可求出2a ,即可得到答案.【详解】设M 的边长为a ,直角三角形斜边的长为c ,另一直角边为b ,则2400c =,264b =,如图所示,在该直角三角形中,由勾股定理得:22240064a c b =-=-,故选:A .【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式,解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方.2.如图,将长方形纸片沿对角线折叠,重叠部分为BDE ,则图中全等三角形共有( )A .0对B .1对C .2对D .3对C解析:C【分析】因为图形对折,所以首先△CDB ≌△ABD ,由于四边形是长方形,进而可得△ABE ≌△CDE ,如此答案可得.【详解】解:∵△BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的,∴CD=AB ,AD=BC ,∵BD=BD ,∴△CDB ≌△ABD (SSS ),∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE ≌△CDE ,∴图中全等三角形共有2对故选:C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、SSA 、HL .注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.做题时要由易到难,循序渐进. 3.如图,在平行四边形ABCD 中,90B ∠<︒,BC AB >.作AE BC ⊥于点E ,AF CD ⊥于点F ,记EAF ∠的度数为α,AE a =,AF b =.则以下选项错误的是( )A .::a b CD BC =B .D ∠的度数为αC .若60α=︒,则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D .若60α=︒,则平行四边形ABCD )433a b +C 解析:C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ,AD BC =,AB CD =,B D ∠=∠,得出180D C ∠+∠=︒,求出180EAF C ∠+∠=︒,得出B D EAF α∠=∠=∠=;由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =;若60α=︒,则60B D ∠=∠=︒,求出30BAE DAF ∠=∠=︒,由直角三角形的性质得出33BE AE ==,33DF ,得出232AB BE =,232AD DF ==,求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+;求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=,ADF ∆的面积2=,平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=,得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半;即可得出结论. 【详解】 解:四边形ABCD 是平行四边形,//AD BC ∴,AD BC =,AB CD =,B D ∠=∠,180D C ∴∠+∠=︒,AE BC ⊥于点E ,AF CD ⊥于点F ,360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒,B D EAF α∴∠=∠=∠=;平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯,AE a =,AF b =,BC a CD b ∴⨯=⨯,::a b CD BC ∴=;若60α=︒,则60B D ∠=∠=︒,30BAE DAF ∴∠=∠=︒,BE AE ∴==,DF =,2AB BE ∴==,2AD DF ==,∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+;ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=,ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯,平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=, ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半; 综上所述,选项A 、B 、D 不符合题意,选项C 符合题意;故选:C .【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识;熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.4.下列命题中,错误的是 ( )A .有一个角是直角的平行四边形是正方形;B .对角线相等的菱形是正方形;C .对角线互相垂直的矩形是正方形;D .一组邻边相等的矩形是正方形.A 解析:A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解.【详解】解:A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形,判断错误,应该是矩形,符合题意;B. 对角线相等的菱形是正方形,判断正确,不合题意;C. 对角线互相垂直的矩形是正方形,判断正确,不合题意;D. 一组邻边相等的矩形是正方形,判断正确,不合题意.故选:A【点睛】本题考查了正方形的判定,熟练掌握正方形的判定方法是解题关键.5.如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,那么在下列条件中,能判断平行四边形ABCD 为菱形的是( )A .OAB OBA ∠=∠;B .OAB OBC ∠=∠; C .OAB OCD ∠=∠;D .OAB OAD ∠=∠.D解析:D【分析】根据菱形的判定方法判断即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠OAB=∠ACD ,∵∠OAB=∠OAD ,∴∠DAC=∠DCA ,∴AD=CD , ∴四边形ABCD 是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)故选:D .【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.6.如图,在123A A A △中,160A ∠=︒,230A ∠=︒,131A A =,3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点,则202120222023A A A △中最短边的长为( )A .100912 B .101012 C .101112 D .102112B解析:B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度,进而可得结论.【详解】解:在△A 1A 2A 3中,∠A 1A 3A 2=90°,∠A 2=30°,A 1A 3=1,A n+3是A n A n+1(n=1、2、3…)的中点,可知:A 4A 5//A 1A 3,A 3A 4=A 2A 4,∴∠A 3A 5A 4=90°,∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°,∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形,同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形.△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012, △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112, △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=, …, 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -,则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012. 故选:B .【点睛】 本题考查了规律型:图形的变化类,解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.也考查了直角三角形斜边的中线,三角形的中位线,平行线的性质,含30°角的直角三角形的性质,以及等腰三角形的性质等知识.7.顺次连接矩形ABCD 各边的中点,所得四边形是( )A .平行四边形B .正方形C .矩形D .菱形D解析:D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图,设矩形ABCD各边的中点依次为E,F,G,H,∴EF,FG,GH,HE分别是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的中位线,∴EF=12AC,FG=12BD,GH=12AC,EH=12BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形,故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理,菱形的判定,矩形的性质,熟练运用三角形中位线定理,矩形的性质,菱形的判定是解题的关键.8.下列命题中,正确的命题是()A.菱形的对角线互相平分且相等B.顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直平分D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析:B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可.【详解】解:A. 菱形的对角线互相平分,但不相等,该命题错误;B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形,该命题正确;C. 矩形的对角线互相平分,但是不垂直,该命题错误;D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形,该命题错误;故选:B.【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质,掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键.9.如图,在平行四边形ABCD 中,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E ,连接AE .添加一个条件,使四边形AEBD 是菱形,这个条件是( )A .BAD BDA ∠=∠B .AB DE =C .DF EF =D .DE 平分ADB ∠D解析:D【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ,得到AD=BE ,推出四边形AEBD 是平行四边形,再逐项依次分析即可.【详解】解:在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠DAB=∠EBA ,∵点F 是AB 的中点,∴AF=BF ,∵∠AFD=∠BFE ,∴△ADF ≌△BEF ,∴AD=BE ,∵AD ∥BE ,∴四边形AEBD 是平行四边形,A 、当BAD BDA ∠=∠时,得到AB=BD ,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合题意;B 、AB=BE 时,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合题意;C 、DF=EF 时,无法判定四边形AEBD 是菱形,故该选项不符合题意;D 、当DE 平分ADB ∠时,四边形AEBD 是菱形,故该选项符合题意;故选:D .【点睛】此题考查平行四边形的性质,全等三角形的判定及性质,菱形的判定,熟记平行四边形的性质是解题的关键.10.如图,菱形ABCD 中,4AB =,60A ∠=︒,点E 是线段AB 上一点(不与A ,B 重合),作EDF ∠交BC 于点F ,且60EDF ∠=︒,则BEF 周长的最小值是( )A .6B .43C .43+D .423+D解析:D【分析】 只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形,因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+,所以等边三角形DEF ∆的边长最小时,BEF ∆的周长最小,只要求出DEF ∆的边长最小值即可.【详解】解:连接BD ,菱形ABCD 中,60A ∠=︒,ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形,60DBE C ∴∠=∠=∠︒,BD DC =,60EDF ∠=︒,BDE CDF ∴∠=∠,在BDE ∆和CDF ∆中,DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DBE DCF ∴∆≅∆,DE DF ∴=,BDE CDF ∠=∠,BE CF =,60EDF BDC ∴∠=∠=︒,DEF ∴∆是等边三角形,BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+,∴等边三角形DEF ∆的边长最小时,BEF ∆的周长最小,当DE AB ⊥时,DE 最小23=,BEF ∴∆的周长最小值为423+,故选:D .【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,利用全等三角形的性质解决问题,学会转化的思想解决问题,所以中考常考题型.二、填空题11.如图,直线a 过正方形ABCD 的顶点A ,点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3,则正方形的边长为_______.【分析】先由正方形的性质可知再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA 再由全等三角形的性质可得;最后在在Rt △BEA 中由勾股定理得:即得本题答案【详解】解:在正方形中;∵∴;∵∴;在Rt △AFD 和Rt △BEA 10【分析】先由正方形的性质可知DA AB =,再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA ,再由全等三角形的性质可得3DF AE ==,1AF BE ==;最后在在Rt △BEA 中,由勾股定理得:2210AB AE BE =+=【详解】解:在正方形ABCD 中,AD AB =;∵DF AF ⊥,BE AE ⊥,∴90AFD AEB ∠=∠=︒,90ADF DAF ∠+∠=︒;∵90DAF BAE ∠+∠=︒,∴ADF BAE =∠∠;在Rt △AFD 和Rt △BEA 中,AFD AEB ADF BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴Rt △AFD ≌Rt △BEA (AAS ),∴3DF AE ==,1AF BE ==;在Rt △BEA 中,由勾股定理得:22223110AB AE BE =+=+= 10.【点睛】本题主要考查正方形的性质,三角形全等的性质与判定以及勾股定理的知识. 12.如图,Rt ABC △中,90,5∠=︒=B AB ,D 为AC 的中点, 6.5=BD ,则BC 的长为__________.12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解:∵D 为的中点∴∴故答案是:12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析:12.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出AC ,再根据勾股定理求解即可.【详解】解:∵90B ∠=︒,D 为AC 的中点, 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=, ∴222212135BC AC AB =--,故答案是:12.【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线,熟悉相关性质是解题的关键.13.菱形ABCD 有一个内角是60°,它的边长是2,则此菱形的对角线AC 长为_________.或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC 的长【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴ 解析:232【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形,分两种情况,画出图形,结合勾股定理求出AC 的长.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,OA=OC ,OB=OD ,AD=AB=2,若∠BAD=60°,∴△ABD 是等边三角形,∴BD=2,∴OD=1,∴22213-=, ∴AC=3若∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴AC=2;故答案为:23或2.【点睛】此题考查了菱形的性质和勾股定理,等边三角形的判定和性质,要记住菱形的对角线互相平分且垂直,菱形的四条边都相等.14.如图,在ABC ∆中,点,D E 分别在边,AB AC 上,且BD CE =,连接,CD DE ,点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点,34PMN ∠=,则MPN ∠的度数是_______.【分析】根据点MNP 分别是DEBCCD 的中点可以证明MP 是ΔDEC 的中位线NP 是ΔDBC 的中位线根据中位线定理可得到MP=NP 再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM 最后根据三角形的内角和定理可解析:112【分析】根据点 M ,N ,P 分别是 DE ,BC ,CD 的中点,可以证明MP 是ΔDEC 的中位线,NP 是ΔDBC 的中位线,根据中位线定理可得到MP=NP ,再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM ,最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN .【详解】解:如图∵点 M,N,P 分别是 DE,BC,CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线,∴MP=1EC,2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD,2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位:112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,等腰三角形的性质和判定,以及三角形的内角和定理,解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度.15.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=12,BD=16,点P为边BC上一点,且P 不与写B、C重合.过P作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,连结EF,则EF的最小值等于__________.48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析:4.8【分析】连接OP ,由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====,再根据勾股定理解得10BC =,继而证明四边形OEPF 为矩形,得到FE OP =,根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时,OP 有最小值,最后根据三角形面积公式解题即可.【详解】 连接OP ,四边形ABCD 是菱形,12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形,FE OP ∴=当OP BC ⊥时,OP 有最小值,此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8,故答案为:4.8.【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.16.如图,在Rt ABC ∆中,90,6,10ACB AC AB ∠===,过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点,连接BQ ,过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ,当PBQ ∆为等腰三角形时,AP =________________________.【分析】过点P作PG⊥CB交CB的延长线于点G过点Q作QF⊥CB运用AAS定理证明△QBF≌△BPG根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析:10【分析】过点P作PG⊥CB,交CB的延长线于点G,过点Q作QF⊥CB,运用AAS定理证明△QBF≌△BPG,根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形,利用勾股定理求得线段BC的长,然后结合全等三角形和矩形的性质求解.【详解】解:过点P作PG⊥CB,交CB的延长线于点G,过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥,PG⊥CB∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB,BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF,BG=QF∵∠ACB=90°,CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB,∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC,∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°,即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形,∴PG=AC=6,AP=CG在Rt △ABC 中,BC=228AB AC -=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF ⊥BC ,∠ECB=45°∴△CQF 是等腰直角三角形,即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理,掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键17.如图,平面直角坐标系中,已知点()9,9A ,点B 、C 分别在y 轴、x 轴上,AB AC ⊥且AB AC =,若B 点坐标为()0,a ,则OC =______(用含a 的代数式表示).18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC (SAS )得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析:18-a .【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E ,AD ⊥x 轴于D ,构造正方形AEOD ,再证△AEB ≌△ADC (SAS ),得BE=CD ,由EB=EO-BO=9-a ,可求CD=9-a ,求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可.【详解】过A 作AE ⊥y 轴于E ,AD ⊥x 轴于D ,∵点()9,9A ,AE=AD=OE=OD=9,∠ADO=90º,四边形AEOD 为正方形,∵AB AC ⊥,∠EAD=90°,∴∠EAB+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAE=∠CAD ,∵AB AC =,AE=AD ,∴△AEB ≌△ADC (SAS ),∴BE=CD ,∵EB=EO-BO=9-a ,∴CD=9-a ,OC=OD+CD=9+9-a =18-a ,故答案为:18-a .【点睛】本题考查正方形的判定与性质,三角形全等判定与性质,掌握正方形的判定方法与性质,三角形全等判定的方法与性质是解题关键.18.如图,将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折,点C 落在点C '处,BC '与AD 交于点E .若20AD cm =,5AB cm =,则DE =_______cm .【分析】根据题意得到BE =DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解:设ED =x 则AE =20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB =∠DBC ;由题意得:∠EBD 解析:858【分析】根据题意得到BE =DE ,然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程,解方程即可.【详解】解:设ED =x ,则AE =20﹣x ,∵四边形ABCD 为矩形,∴AD ∥BC ,∴∠EDB =∠DBC ;由题意得:∠EBD =∠DBC ,∴∠EDB =∠EBD ,∴EB =ED =x ;由勾股定理得:BE 2=AB 2+AE 2,即x 2=52+(20﹣x )2,解得:x =858, ∴ED =858. 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题;解题的关键是根据翻折变换的性质,结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识,灵活进行判断、分析、推理或解答.19.在ABCD 中,BE AD ⊥于E ,BF CD ⊥于F ,若60EBF ︒∠=,且3AE =,2DF =,则EC =_______.【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解:∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC91【分析】由▱ABCD 中,BE ⊥AD ,BF ⊥CD ,可得∠D=120°,继而求得∠A 与∠BCD 的度数,然后由勾股定理求得AB ,BE ,BC 的长,继而求得答案.【详解】解:∵BE ⊥AD ,BF ⊥CD ,∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°,∵∠EBF=60°,∴∠D=120°,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠BCD=∠A=60°,∵在△ABE中,∠ABE=30°,∴AB=2AE=2×3=6,∴CD=AB=6,BE=2233AB AE-=,∴CF=CD-DF=6-2=4,∵在△BFC中,∠CBF=30°,∴BC=2CF=2×4=8,∴CE=2291BE BC+=,故答案为:91.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质.此题难度适合,注意掌握数形结合思想的应用.20.在长方形ABCD中,52AB=,4BC=,CE CF=,CF平分ECD∠,则BE=_________.【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析:7 6【分析】延长CF,交EA的延长线于点G,连接EF,过点F作FH⊥CE于点H,过点E作EM⊥CF于点M,由题意易得FH=FD,FH=EM,EC=EG,进而可得△CDF≌△CME,然后可得CM=CD=52,由勾股定理可得BG=3,设BE=x,则有EC=EG=3+x,最后利用勾股定理可求解.【详解】解:延长CF,交EA的延长线于点G,连接EF,过点F作FH⊥CE于点H,过点E作EM⊥CF于点M,如图所示:∵四边形ABCD 是矩形,4BC =,52AB =∴BC=AD ,52AB DC ==,AB ∥DC ,∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ,∵CF 平分∠ECD ,∴∠DCF=∠ECF ,DF=FH ,∴∠G=∠ECF ,∴EC=EG ,∴△ECG 是等腰三角形,∴CM=MG ,∵CE=CF ,∴△ECF 是等腰三角形, ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线,∴FH=EM=DF ,∴Rt △CDF ≌Rt △CME (HL ), ∴52CM DC ==, ∴CG=5,∴在Rt △CBG 中,223BG CG CB -=,设BE=x ,则有EC=EG=3+x ,在Rt △CBE 中,222BC BE CE +=,∴()22243x x +=+, 解得:76x =, ∴76BE =; 故答案为76. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理,熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键.三、解答题21.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,求AC的长度.解析:4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质,可以得到OA的长,从而可以求得AC的长.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD,∵∠AOD=60°,AD=2,∴△AOD是等边三角形,∴OA=OD=2,∴AC=2OA=4,即AC的长度为4.【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键.22.如图,已知,四边形ABCD是平行四边形,AE∥BD,交CD的延长线于点E, 交BC延长线于点F,求证:四边形ABFD是等腰梯形.EF BC解析:见解析.【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形,即可得AB=DE,等量代换可得CD=DE,根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF=CD=DE,进而可得AB=DF,再说明线段AB和DF不平行即可求证结论.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,=.∴AD∥BC,AB∥CD,AB CD∴AB∥DE;又∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.=.∴AB DE∴CD DE=.⊥,∵EF BC∴DF=CD=DE.=.∴AB DF∵CD、FD交于点D,∴线段AB与线段FD不平行.∴四边形ABFD是等腰梯形.【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定,直角三角形的斜边中线的性质定理,解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形.23.综合与实践:问题情境:数学活动课上,老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动.具体操作如下:第一步:如图1,将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起,这时对角线AC和EG互相重合.第二步:固定矩形ABCD,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转,直到点E与点B重合时停止.问题解决:(1)奋进小组发现:在旋转过程中,当边AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N,如图2、图3所示,请写出线段AM与CN始终存在的数量关系,并利用图2说明理由.(2)奋进小组继续探究发现:在旋转开始后,当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时,如图3所示,请你猜测四边形MRNQ 的形状,并试着证明你的猜想.探索发现:(3)奋进小组还发现在问题(2)中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系,请你写出这一关系,无需说明理由.解析:(1)AM CN =,理由见解析;(2)四边形MRNQ 为菱形,证明见解析;(3)MQN ∠=AOE ∠【分析】(1)结论:AM=CN .先证明(AAS)AOS COT ≌△△,推出AS CT =,OS OT =,34∠=∠,再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题.(2)过点Q 作QK ⊥EF ,QL ⊥CD ,垂足分别为点K ,L .首先证明四边形QMRN 是平行四边形,再证明QM=QN 即可.(3)结论:∠MQN=∠AOE .理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题.【详解】(1)关系:AM CN =理由:如图:设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ;∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形,且点O 为对角线的中点;∴//AB CD ,//EF GH ,OA OC =,OE OG =;∴12∠=∠;又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△∴AS CT =,OS OT =;∴ES GT =;又//EF GH ,∴56∠=∠;又12∠=∠;∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =,则AS SM CT TN +=+即AM CN =(2)四边形MRNQ 为菱形.证明:过点Q 作QK ⊥EF ,QL ⊥CD ,垂足分别为点K ,L .由题可知:矩形ABCD ≌矩形EFGH∴AD=EH ,AB ∥CD ,EF ∥HG∴四边形QMRN 为平行四边形,∵QK ⊥EF ,QL ⊥CD ,∴QK=EH ,QL=AD ,∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL ,又∵AB ∥CD ,EF ∥HG ,∴∠KMQ=∠MQN ,∠MQN=∠LNQ ,∴∠KMQ=∠LNQ ,∴△QKM ≌△QLN (AAS )∴MQ=NQ∴四边形MRNQ 为菱形.(3)结论:∠MQN=∠AOE .理由:如图中,∵∠QND=∠1+∠2,∠AOE=∠1+∠3,又由题意可知旋转前∠2与∠3重合,∴∠2=∠3,∴∠QND═∠AOE,∵AB∥CD,∴∠MQN=∠QND,∴∠MQN=∠AOE.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,菱形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题,属于中考压轴题.24.如图,将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠,使点D落在BC上的点F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,求DE的长.解析:10 3【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长,然后根据勾股定理可求得AF=10,由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10,故此FC=2,最后在△EFC中,由勾股定理列方程求解即可.【详解】解:∵S△ABF=24,∴12AB•BF=24,即12×6×BF=24.解得:BF=8.在Rt△ABF中由勾股定理得:22AB BF=10.由翻折的性质可知:BC=AD=AF=10,ED=FE.∴FC=10-8=2.设DE=x ,则EC=6-x .在Rt △EFC 中,由勾股定理得:EF 2=FC 2+EC 2,x 2=4+(6-x )2.解得:x=103, ∴DE=103. 【点睛】本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键.25.如图,在ABC 中,AB AC =,10BC =.(1)尺规作图:(要求:保留作图痕迹,不写作法)①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ;②作边AC 的中点E ,连接DE ;(2)在(1)所作的图中,若12AD =,则DE 的长为__________.解析:(1)①见解析;②见解析;(2)6.5【分析】(1)①以A 为圆心,小于AB 的长度为半径画圆,交AB 、AC 于两个点,再分别以这两个点为圆心,一样的半径画弧,交于一点,连接这个点与点A ,即可得到BAC ∠的平分线,再画出它与BC 的交点D ;②作线段AC 的垂直平分线,即可找到线段AC 的中点E ,连接DE ;(2)由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==,AD BC ⊥,用勾股定理求出AB 的长,再根据中位线的性质得到DE 的长.【详解】解:(1)①如图所示:②如图所示:(2)∵AB AC =,AD 平分BAC ∠, ∴152BD BC ==,AD BC ⊥, 在Rt ABD △中,2213AB AD BD =+=, ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点,∴1 6.52DE AB ==, 故答案是:6.5.【点睛】 本题考查等腰三角形的性质,中位线的定理,以及角平分线和垂直平分线的作法,解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法.26.已知:如图,在ABCD 中,4,6,AC BD CA AB ==⊥,求ABCD 的周长和面积. 解析:521+,5【分析】依据平行四边形的对角线互相平分,即可得到2AO =,3BO =,再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长,进而得到ABCD 的周长和面积. 【详解】解:如图所示,4AC =,6BD =,2AO ∴=,3BO =,又CA AB ⊥, Rt AOB ∴∆中,2222325AB BO AO =-=-Rt ABC 中,2222(5)421BC AB AC =+=+=ABCD ∴的周长2(521)25221==,ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用,解题时注意:平行四边形的对角线互相平分.27.已知:如图,ABCD 中,AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线,分别交边DC 、AB 于点E 、F ,求证:AE CF =.解析:见解析【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义,证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =.【详解】解:四边形ABCD 是平行四边形,DAB DCB ∴∠=∠,D B ∠=∠,AD BC =.AE ∵、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线,DAE BCF ∴∠=∠.()ADE CBF ASA ∴∆≅∆.AE CF ∴=.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质.证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形,通过全等求解.28.如图,AD 为ABC ∆的中线,BE 为ABD ∆的中线.(1)15ABE ∠=︒,40BAD ∠=︒,求 BED ∠的度数;(2)若ABC ∆的面积为40,5BD =,则E 到BC 边的距离为多少.解析:(1)55︒;(2)4.【分析】(1)根据三角形内角与外角的性质解答即可;(2)过E 作BC 边的垂线即可得:E 到BC 边的距离为EF 的长,然后过A 作BC 边的垂线AG ,再根据三角形中位线定理求解即可.【详解】解:(1)BED ∠是ABE ∆的外角, 154055BED ABE BAD ;(2)过E 作BC 边的垂线,F 为垂足,则EF 为所求的E 到BC 边的距离,过A 作BC 边的垂线AG ,AD ∴为ABC ∆的中线,5BD =,22510BC BD ∴==⨯=,ABC ∆的面积为40, ∴1402BC AG ,即110402AG ,解得8AG =,∵AD 为ABC ∆的中线, ∴11402022ABD ABC S S , 又∵BE 为ABD ∆的中线, ∴11201022EBD ABD S S , 则有:1151022BD EFEF 4EF ∴=.即E 到BC 边的距离为4.【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式,添加适当的辅助线是解题的关键.。
初二平行四边形练习题含答案

初二平行四边形练习题含答案本篇文章将为初二学生提供一些关于平行四边形的练习题,并附带答案,帮助学生巩固对平行四边形的理解和应用。
以下是一些练习题,希望对同学们有所帮助。
练习题一:已知平行四边形ABCD中,点E、F分别为AB、CD的中点。
若AE的长度为8cm,求线段EF的长度。
解答:由平行四边形的性质可知,连结AC和BD两线段的中点为G,那么EG = GF。
由于AE的长度为8cm,AB和CD平行,所以AC的长度为16cm。
根据三角形EGC和GFC的相似性,可得EF与GF之比等于AC与CG之比,即EF/GF = AC/CG。
由于AC的长度为16cm,而CG的长度为8cm(CG为AC的中点),所以EF/GF = 16/8,即EF/GF = 2。
因此,EF的长度为GF的2倍,即EF = 2 * GF。
由于EG= GF,所以EF = 2 * EG。
代入已知条件,得到EF = 2 * 8 = 16。
因此,线段EF的长度为16cm。
练习题二:在平行四边形EFGH中,已知EF的长度为10cm,FG的长度为8cm,角EFG的度数为120°,求线段GH的长度。
解答:由平行四边形的性质可知,EF与GH的长度相同,FG与EH 的长度相同,且角EFG与角HGE互补(即两个角的度数之和为180°)。
已知EF的长度为10cm,FG的长度为8cm,所以GH的长度也为8cm。
又已知角EFG的度数为120°,根据平行四边形内角和定理,可得角HGE的度数为180° - 120° = 60°。
因此,线段GH的长度为8cm。
练习题三:已知平行四边形IJKL中,IJ的长度为12cm,KL的长度为20cm,角KJL的度数为110°,求角KIL的度数。
解答:由平行四边形的性质可知,角IJK与角KJL互补(即两个角的度数之和为180°),角IJK与角KIL互补。
已知角KJL的度数为110°,所以角IJK的度数为180° - 110° = 70°。
【精选】人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》测试卷(含答案)

【精选】人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》测试卷(含答案)一、选择题(每题3分,共30分)1.已知在▱ABCD中,∠B+∠D=200°,则∠B的度数为( ) A.100° B.160° C.80° D.60°2.【2022·广东】如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=( )A.14B.12C.1 D.2(第2题) (第4题) (第5题) (第8题) 3.【2022·河北】依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )4.【教材P44例2改编】【2021·恩施州】如图,在▱ABCD中,AB=13,AD=5,AC ⊥BC,则▱ABCD的面积为( )A.30 B.60 C.65 D.65 25.【教材P53例1改编】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠AOB =60°,AB=5,则BD的长为( )A.20 B.15 C.10 D.56.【2021·河南】关于菱形的性质,以下说法不正确...的是( )A.四条边相等 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形7.下列命题中,是真命题的为( )A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形8.如图,已知在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是( )A.16 3 B.16 C.8 3 D.89.【2022·青岛】如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为( )A.62B. 6 C.2 2 D.2 3(第9题) (第10题) (第11题) (第13题)10.【教材P68复习题T13拓展】【2022·恩施州】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10 cm,BC=8 cm,点P从点D出发,以1 cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是( )A.当t=4时,四边形ABMP为矩形B.当t=5时,四边形CDPM为平行四边形C.当CD=PM时,t=4D.当CD=PM时,t=4或6二、填空题(每题3分,共24分)11.如图,在▱ABCD中,AB=5,AC=8,BD=12,则△COD的周长是________.12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则斜边上的中线CD=________. 13.【2021·益阳】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC =BD,③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是________(限填序号).14.如图,平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,1),D(2,3),要把顶点A平移到顶点C的位置,则其平移方式可以是:先向右平移________个单位长度,再向上平移________个单位长度.(第14题) (第15题) (第16题) (第17题) 15.【2022·哈尔滨】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.点E在OB 上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF.若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为________.16.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,AE=AD,DF⊥AE于点F,连接DE,AE=5,BE=4,则DF=________.17.【2022·苏州】如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥AC, AB=3, AC=4,分别以A,C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF.则四边形AECF的周长为________.18.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是____________.三、解答题(19,20题每题8分,21,22题每题12分,其余每题13分,共66分)19.【2022·桂林】如图,在▱ABCD中,点E和点F是对角线BD上的两点,且BF =DE.(1)求证:BE=DF;(2)求证:△ABE≌△CDF.20.【2021·郴州】如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF, 连接BE,DF.若BE=DF,证明:四边形ABCD是平行四边形.21.【教材P55练习T2改编】【2021·长沙】如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4.(1)求证:▱ABCD是矩形;(2)求AD的长.22.【2021·十堰】如图,已知△ABC中,D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F,连接AE,CF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°,求AB的长.23.如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长.24.【2022·北京八中模拟】在▱ABCD中,AB≠AD,对角线AC,BD交于点O,AC =10,BD=16.点M,N在对角线BD上,点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运动,到达点D时停止运动,同时点N从点D出发,运动至点B后立即返回,点M停止运动的同时,点N也停止运动,设运动时间为t 秒(t>0).。
2019-2020初中数学八年级下册《平行四边形》专项测试(含答案) (133)

浙教版初中数学试卷八年级数学下册《平行四边形》测试卷学校:__________一、选择题1.(2分)下列交通标志中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()2.(2分)如图,在□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,则图中全等三角形的对数有()A.2 B.4 C.6 D.83.(2分)如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的()A.2倍B.3倍C.4倍D.无法确定4.(2分)三角形三边长分别为21n+(n为自然数),这样的三角形是()n-,2n,21A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形或锐角三角形5.(2分)已知平行四边形的一条边长为l4,下列各组数中能作为它的两条对角线长的是()A.10与16 B.10与17 C.20与22 D.10与186.(2分)下列多边形中不能够镶嵌平面的是()A.矩形B.正三角形C.正五边形D.正方形二、填空题7.(3分)如图,在□ABCD中,CM⊥AD于M,CN⊥AB于N,若∠B=50°,则∠MCN=_____.△的周长为.8.(3分)如图,□ABCD的周长为20,对角线AC的长为5,则ABC9.(3分)四边形的内角和等于_______,外角和等于_______.10.(3分)已知平行四边形的面积是144cm2,相邻两边上的高分别为8cm和9cm,则这个平行四边形的周长为.11.(3分)在□ABCD中,AB=2,BC=3,∠B、∠C的平分线分别交AD于点E、F,则EF的长是_______.12.(3分)如果平行四边形的周长为180cm,相邻两边的长度比为5∶4,那么它的较长边为 cm.13.(3分)定理“到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”的逆定理是.14.(3分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,D,F分别是三边中点,则AD EF(填“=”或“>”或“<”).15.(3分)如图所示,在四边形ABCD中.对角线AC,BD互相平分且交于点0,MN经过点O,若AB=8 cm,AD=6 cm,ON=4 cm,则四边形BCMN的周长是 cm.16.(3分)平行四边形的一边长为6 cm,其长度恰是周长的2,则此平行四边形的另一边长9为.17.(3分)如图所示,图形①与图形成轴对称,图形①与图形成中心对称(填写所对应的序号).18.(3分)正五边形每个内角是,正六边形每个内角是,正n边形每个内角是.评卷人得分三、解答题19.(6分)观察下图中的图形,并阅读图形下面的相关文字:AB C D E F123通过分析上面的材料,十边形钓对角线有多少条?n 边形的对角线有多少条?20.(6分)如图,已知:在□ABCD 中,AB=4cm ,AD=7cm ,∠ABC 的平分线交AD 于点E ,交CD 的延长线于点F ,求DF 的长.21.(6分)如图所示,在平面直角坐标系中,A(-3,4),D(0,5),点B 与点A 关于x 轴对称,点C 与点A 关于原点对称.求四边形ABCD 的面积.22.(6分)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,E ,F 分别是B0,0D 的中点,且四边形AECF 是平行四边形,试判断四边形ABCD 是不是平行四边形。
2019-2020初中数学八年级下册《平行四边形》专项测试(含答案) (26)

浙教版初中数学试卷八年级数学下册《平行四边形》测试卷学校:__________一、选择题1.(2分)下列图形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是()A.平行四边形B.正方形C.正三角形D.线段AB2.(2分)一个多边形内角和是1080o,则这个多边形是()A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形3.(2分)如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且DE∥AC,EF∥AB,DF∥BC,则图中平行四边形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2分)下列说法正确的是()A.一组邻角互补的四边形是平行四边形B.两组邻边相等的四边形是平行四边形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形5.(2分)下列条件中,能判定四边形为平行四边形的是()A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边平行,一组对角互补C.一组对角相等,一组邻角互补D.一组对角相等,另一组对角互补6.(2分)下列图形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是()A.平行四边形B.正三角形C.正方形D.线段AB二、填空题7.(3分)如果点M(m,-2)和点N(1,n)关于原点对称,那么m=_______,n=______.8.(3分)如图,四边形的四条边AB、BC、CD和DA,它们的长分别是2、 5 .5、4,其中∠B=90°,那么四边形ABCD的面积为 .9.(3分)如图,已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动,若ABE△的面积为1,则点E的准确位置是.10.(3分)设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后,能拼成右边四个图形,则其中是中心对称图形的是 (填序号).11.(3分)当行边形的边数增加l边时,其内角和增加.12.(3分)点A(5,2)关于直角坐标系原点对称的点的坐标是,关于y轴对称的点的坐标是,关于x轴对称的点的坐标是.13.(3分)平行四边形绕对角线的交点旋转后能与原图形重合.14.(3分)如图所示,AD∥BC,△ABC的面积为25cm2,则△BDC的面积为.15.(3分)如图所示,平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,∠B=100°,则∠DAE= .16.(3分)在□ABCD中,∠A的外角与∠B互余,则∠D的度数为.17.(3分)如图所示,已知在□ABCD中,∠DBC=30°,∠ABD=45°,那么∠BDA= .∠BCD= .18.(3分)如图所示,在□ABCD中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD于点E,则∠A B CD E F DAE= .19.(3分)在□ABCD 中.AC 与BD 相交于点0,AB=3 cm,BC=4 cm ,AC=6 cm ,BD=8 cm ,则△AOB 的周长是 ,△80C 的周长是 .20.(3分)从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________.21.(3分)如图,A ,B 两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A ,B 间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接达到A ,B 的点C ,•找到AC ,BC 的中点D ,E ,并且测出DE 的长为15m ,则A ,B 两点间的距离为_____m . 评卷人得分 三、解答题22.(6分)写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题,•这个逆命题是真命题吗?请证明你的判断.23.(6分)如图,在□ABCD 中,点E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF.请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等.(1)连结: ;(2)猜想: = ;(3)证明:24.(6分)如图,△ABC中,A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).(1)将△ABC向右平移4个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;(3)将△ABC绕原点O旋转180°,画出旋转后的△A3B3C3;(4)在△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3中,△与△成轴对称,对称轴是;△与△成中心对称,对称中心的坐标是.25.(6分)求证:三角形的三个内角的平分线交于一点.26.(6分)写出下列命题的逆命题,并判断真假:(1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余;(2)在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;(3)等腰三角形的两个底角相等;(4)正多边形的各边相等.27.(6分)如图①所示,已知AE是△ABC的高,F是AE上的任意一点,G是E点关于F 的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于点H,与AC交于点I,连结IF并延长交BC 于点J,连结HF并延长交BC于点K.(1)请你在图②中再画出一个满足条件的四边形HJKI(点F的位置与图①不同);(2)请你判断四边形HJKl是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明(图②供思考用).28.(6分)在□ABCD中,AE,AF分别是BC,CD边上的高,AF与BC交于点G,AE=2 cm,AF=5 cm,∠EAF=30°,求□ABCD各内角的度数和AB,AD的长.29.(6分)如图所示.在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O.求证:2222+=+AB CD AD BC30.(6分)仔细观察下面的六幅图案,研究它们分别是用哪两种正多边形镶嵌的,并指出同一顶点处有几个正多边形.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除评卷人得分一、选择题1.A2.C3.C4.C5.C6.A评卷人得分二、填空题7.-1,28.6+ 59.AD的中点或CB的中点10.②11.180°12.(-52,(-5,2,(5213.180°14.25 cm215.40°16.45°17.30°,l05°18.20°19.10 cm,1l cm20.()() 22a b a b a b -=+-21.30评卷人得分三、解答题22.逆命题:一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形,是真命题.证明如下:如图,已知△ABC中,CD是AB边上的中线,CD=12 AB.求证:△ABC是直角三角形.证明:∵CD是AB边上的中线,CD=12 AB,•∴CD=AD=BD,∴∠1=∠A,∠2=∠B,∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°,∴∠1+∠2=90°,•即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形23.提示:连结DF或BF,则DF=BE或BF=DE,证明△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF.24.解:图略(4)△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称,对称轴是y轴.△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称,对称中心的坐标是(2,0).25.略26.(1)若一个三角形的两锐角互余,则这个三角形是直角三角形.是真命题;(2)角平分线上的点到角两边的距离相等.是真命题;(3)有两个角相等的三角形是等腰三角形.是真命题;(4)各边都相等的多边形是正多边形.是假命题27.(1)作图与①类似;②四边形HJKI为平行四边形,证略28.30°,150°,30°,l50°,AB=4 cm, AD=10cm29.证明222AB AO OB=+,222CD OC OD=+,222BC BO OC=+,222AD AO OD=+,则2222AB CD BC AD+=+30.图①:l个正方形,2个正八边形图②和图③:3个正三角形,2个正方形图④:4个正三角形,l个正六边形图⑤:2个正三角形,2个正六边形图⑥:l个正三角形,2个正十二边形。
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八年级下数学平行四边形练习题
一、选择题
1. 平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A .相等
B .互相平分
C . 互相垂直
D .互相垂直且相等
2. 已知四边形ABCD 是平行四边形,再从①AB=BC ,②∠ABC=90°,③AC=BD ,④AC ⊥BD 四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD 是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A .选①②
B .选②③
C .选①③
D .选②④
3. 如图,□ABCD 中,BC =BD ,∠C =74°,则∠ADB 的度数是( )
A .16°
B .22°
C .32°
D .68°
第3题图 第4题图
4.在□ABCD 中,延长AB 到E ,使BE =AB ,连接DE 交BC 于F ,则下列结论不一定成立的是
A .CDF E ∠=∠
B .DF EF =
C .BF A
D 2= D .CF B
E 2=
5. 在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D 、G 、K 、Q ,下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B 地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是( )
A .
B .
C .
D .
6. 四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,下列条件不能..
判定这个四边形是平行四边形的是
A.OA =OC ,OB =OD
B.AD //BC ,AB //DC
C.AB =CD ,AD =BC
D.AB //DC ,AD =BC
7. 如图4,在□ABCD 中,点E 是AD 的中点,延长BC 到点F ,使CF :BC=1:2,连
接DF ,EC ,若AB=5,AD=8,sinB=54,则DF 的长等于( ) A .10 B .15 C .17 D .52
第7题图 第8题图
8.如图,▱ABCD 中,下列说法一定正确的是( )
A .
AC=BD B . A C ⊥B D C . A B=CD D . A B=BC
二、填空题
9. 如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,要使得四边形ABCD 是平行四边形,应添加的条件是 .(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段)
第9题图 第10题图 第11题图
10. 如图,□ ABCD 中,AE ⊥BD 于E ,∠EAC =30°,AE =3,则AC 的长等于 .
11. 如图,□ABCD 中,AB>AD ,AE,BE,CM,DM 分别为∠DBA ,∠ABC ,∠BCD ,∠CDA 的平分线,AE 与DM 相交于点F ,BE 与CM 相交于点H ,连接E M ,若□ABCD 的周长为42cm ,FM=3cm ,EF=4cm ,则EM= cm ,AB= cm.
12. 如图在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,AD ∥BC ,请添加一个条件: ,使四边形ABCD 为平行四边形(不添加如何辅助线).
13. 在四边形AB CD 中,①AB ∥CD ,②AD ∥BC ,③AB=CD ,④AD=BC ,在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD 是平行四边形的是
14. 如图,在▱ABCD 中,AD=2AB ,F 是AD 的中点,作CE ⊥AB ,垂足E 在线段AB 上,连接EF 、CF ,则下列结论中一定成立的是 _________ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=∠BCD ;②EF=CF ;③S △BEC =2S △CEF ;④∠DFE=3∠AEF .
三、证明题
15. 如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,过点E 作EF ∥AB ,交BC 于点F .
(1)求证:四边形DBFE 是平行四边形;
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形DBFE 是菱形?为什么?
A
B C D E
F
16.如图,BD 是△ABC 的角平分线,点E 、F 分别在BC 、AB 上,且DE ∥AB ,EF ∥AC .
(1)求证:BE=AF ;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF 的面积.
17.如图,在△ABC 中,点D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,AH 是边BC 上的高.
(1)求证:四边形ADEF 是平行四边形;
(2)求证:∠DHF =∠DEF .
18.已知:如图,在平行四边形ABCD 中,点E 、F 在AC 上,且AE =CF .
求证:四边形BEDF 是平行四边形.
19.如图,四边形ABCD 是平行四边形,作AF ∥CE ,BE ∥DF ,AF 交BE 与G 点、交DF 与F 点,CE 交DF 于H 点、交BE 于E 点.
求证:EBC △≌FDA △. H G
F E
C A
D B
20. 已知:如图,□ABCD 中,O 是CD 的中点,连接AO 并延长,交BC 的延长线于点E .
(1)求证:△AOD ≌△EOC ;
(2)连接AC ,DE ,当∠B =∠AEB = °时,
四边形ACED 是正方形?请说明理由.
21. 已知:如图,在▱ABCD 中,O 为对角线BD 的中点,过点O 的直线EF 分别交AD ,BC 于E ,F 两点,连结BE ,DF .
(1)求证:△DOE ≌△BOF .
A D O
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFED为菱形?请说明理由.
22.如图,在□ABCD中,E,F分别为BC,AB中点,连接FC,AE,且AE与FC交于点G,AE的延长线与DC的延长线交于点为N.
(1)求证:△ABE≌△NCE;
3GE,试用含n的式子表示线段AN的长.
(2)若AB=3n,FB =
2
23.已知:如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF.四边形DEBF为平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.
24. (2014 上海市) 已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD相交于点F,点E是边BC延长线上一点,且∠CDE=∠ABD.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)联结AE,交BD于点G,求证:DG DF
.
GB DB
25. 如图,在平行四边形ABCD 中,∠C =60°,M 、N 分别是AD 、BC 的中点,BC =2CD
(1)求证:四边形MNCD 是平行四边形;
(2)求证:BD =3MN
26.已知:如图,在□ABCD 中,O 为对角线BD 的中点,过点O 的直线EF 分别交AD ,BC 于E ,F 两点,连结BE ,DF.
(1)求证:△DOE ≌△BOF.
(2)当∠DOE 等于多少度时,四边形BFED 为菱形?请说明理由.
27.在Y ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,过点O 作直线EF 分别交线段AD 、BC 于点E 、F.
(1)根据题意,画出图形,并标上正确的字母;
(2)求证:DE=BF.
28.如图,在正方形ABCD 中,点M 是BC 边上的任一点,连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ,在CD 边上取点P ,使CP = BM ,连接NP ,BP .
(1)求证:四边形BMNP 是平行四边形;
(2)线段MN 与CD 交于点Q ,连接AQ ,若△MCQ ∽△AMQ ,则BM 与MC 存在怎样的数量关系?请说明理由. F E O
B A C
四、应用题
29.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O .M 为AD 中点,连接CM 交BD 于点N ,且ON=1.
(1)求BD 的长;
(2)若△DCN 的面积为2,求四边形ABCM 的面积.
30.
如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器,其工作原理如图2.雨刷EF ⊥AD ,垂足为A ,AB=CD 且AD=BC ,这样能使雨刷EF 在运动时,始终垂直于玻璃窗下沿BC ,请证明这一结论.
N
P M D
C
B。