江苏专转本模拟试题与解析(二)

1 江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（二）解析 高等数学

注意事项： 1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。 2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列极限中，正确的是（ ）

A、 sin2lim2xxx B、arctanlim1xxx

C、 224lim2xxx D 、0lim1xxx

2、设21sin,0(),0xxfxxaxbx在0x处可导，则（ ） A、1,0ab B、0,ab为任意实数 C、0,0ba D 、1,ab为任意实数 3、函数sinyx在区间0,上满足罗尔定理的（ ） A、0 B、4 C、2 D 、 4、设在ba,上0)(xf，0)(xf，0)(xf，令dxxfyba)(1，))((2abbfy,abbfafy)()(213，则有（ ）

A、321yyy B、 312yyy C、213yyy D 、132yyy 5、两个非零向量a与b垂直的充分必要条件是（ ） A、0ba B、 0ba C、 0ab D 、0aa 6、下列级数发散的是（ ） 2

A、1(1)ln(1)nnn B、131nnn C、11(1)3nnn D 、13nnn 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。 7、已知()gx为有界函数，1()sin,0(), 0gxxfxxax 0x处连续，则a

8、已知0(23)(23)(2)1,limhfhfhfh则= ______ 9、2xyxe，则0y

10、定积分14211ln11xxxdxx的值为 11、微分方程232xyyyxe的特解y的形式应为____________________ 12、设22sin2zxyxy，则(1,)2dz_____________________________ 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。 13、考查11sin()xxfxex的连续性，若有间断点，判别类型。

14、设函数)(xyy由方程 1)cos(2exyeyx 所确定，求0|xdxdy。 15、求不定积分6d(1)xxx。 3

16、设1sin,0()20,0xxfxxx或，求xdttfx0)()(在),(内的表达式。 17、求过点)2,1,3(A且通过直线43:521xyzL的平面方程。 18、将函数)54ln()(xxf展开为2x的幂级数，并指出其收敛域。 4

19、设22,xyzfxye，其中),(vuf有二阶连续偏导数，求xz、yxz2。 20、计算积分yxDedxdy，其中2:,2Dyxyx由所围成的区域。 四、证明题（每小题9分，共18分） 21、设()fx在[0,1]上连续，且0()1fx。证明：在[0,1]上至少存在一个使()f。

22、设)(xf在0x的邻域内有二阶连续导数，且0)0(f，0,0)0(0,)()(xfxxxfxg； 证明：)(xg在0x处可导。 5

五、综合题（每小题10分，共20分） 23、分析函数xxey的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。

24、在曲线lnyx上,1e点处作切线l, （1）求由曲线切线、曲线本身及x轴所围的图形面积。 （2）求上述所围图形绕x轴旋转所得立体的体积。 6

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（二） 高等数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。 1、下列极限中，正确的是（ ）

A、 sin2lim2xxx B、arctanlim1xxx

C、 224lim2xxx D 、0lim1xxx 解析：求极限时，先判断极限类型，若是00或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为00或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。

0limln00lim1xxxxxxee

，故本题答案选D

2、设21sin,0(),0xxfxxaxbx在0x处可导，则（ ） A、1,0ab B、0,ab为任意实数 C、0,0ba D 、1,ab为任意实数 解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照导数定义讨论即可。

00()(0)(0)limlimxxfxfaxfaxx

2001sin()(0)(0)limlimxxxbfxfxfxx



，因为左、右导数应相等，易知0,0ba；

故本题答案选C

3、函数sinyx在区间0,上满足罗尔定理的（ ） 7

A、0 B、4 C、2 D 、 解析：熟记罗尔定理、拉格朗日定理的条件与结论及其几何解释，本题答案选C 4、设在ba,上0)(xf，0)(xf，0)(xf，令dxxfyba)(1，))((2abbfy,abbfafy)()(213，则有（ ）

A、321yyy B、 312yyy C、213yyy D 、132yyy 解析：本题利用导数考查曲线的形态，定积分的几何意义——曲边梯形的面积（代数和）。比较图形面积即可知本题答案选B

5、两个非零向量a与b垂直的充分必要条件是（ ） A、0ba B、 0ba C、 0ab D 、0aa 解析：本题考查向量平行与垂直的充要条件，本题答案选A 6、下列级数发散的是（ ）

A、1(1)ln(1)nnn B、131nnn C、11(1)3nnn D 、13nnn 解析：该题考察级数的收敛性质、级数收敛的必要条件，（交错）P级数等。故本题答案选B，因为该选项破坏级数收敛的必要条件。

记住11:pnn当1p时收敛，1p时发散。

交错1(1):npnn当1p时绝对收敛，01p时条件收敛，0p时发散。 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。 8

7、已知()gx为有界函数，1()sin,0(), 0gxxfxxax 0x处连续，则a 解析：因为001lim()lim()sin0(0)xxfxgxfx，又(0)fa，故0a。 8、已知0(23)(23)(2)1,limhfhfhfh则= ______ 解析：该题考察导数定义

0000()()()limhfxhfxfxh或0000()()()limhfxhfxfxh



；

式子当中的h应当理解为中间变量，看成文字。该题答案6

9、2xyxe，则0y 解析：222xxyexe，212xyex 22122xxyexe，244xyex



，(0)4y。

10、定积分14211ln11xxxdxx的值为 解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。

00,()()2(),()aaafxfxdxfxdxfx为奇函数

为偶函数

142

11142111ln111ln1012xxxdxxxxdxxdxx













 这里因为函数41()ln1xfxxx是奇函数，故积分为零，积分1211xdx表示上半单位圆的面积。

11、微分方程232xyyyxe的特解y的形式应为_____________________ 解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。 （1）齐次方程0ypyqy，其中,pq为常数。

求解步骤：1）特征方程 02qp，求根21,。 2）21, 互异实根，xxececy2121， 21

，xxxececy2121；