汽车CAD技术第3章_图形的几何变换
CAD软件中的图形变形与变换技巧
CAD软件中的图形变形与变换技巧CAD软件是一种专业的设计工具，广泛应用于工程、建筑、机械以及产品设计等领域。
在设计过程中，图形的变形与变换是非常重要的一步。
本文将介绍CAD软件中常用的图形变形与变换技巧，帮助读者更好地应用CAD软件进行设计工作。
一、平移变换平移是指将图形沿着指定的方向移动一定的距离。
在CAD软件中，平移是一种简单且常用的变换技巧，可以通过以下步骤实现：1.选中要平移的图形对象。
可以使用选择工具或命令来选择目标图形。
2.使用平移工具或命令进行平移操作。
在CAD软件中，平移可以通过鼠标拖动、键盘输入或指定参照点等方式进行。
二、旋转变换旋转是指将图形围绕指定的中心点旋转一定的角度。
旋转常用于调整图形的方向或位置，可以通过以下步骤实现：1.选中要旋转的图形对象。
2.使用旋转工具或命令进行旋转操作。
在CAD软件中，旋转可以通过鼠标拖动、键盘输入或指定参照点等方式进行。
三、缩放变换缩放是指按照指定的比例调整图形的大小。
缩放常用于放大或缩小图形，可以通过以下步骤实现：1.选中要缩放的图形对象。
2.使用缩放工具或命令进行缩放操作。
在CAD软件中，缩放可以通过鼠标拖动、键盘输入或指定参照点等方式进行。
也可以通过输入比例尺或数字进行精确缩放。
四、镜像变换镜像是指将图形关于指定的镜像线进行对称。
镜像常用于制作对称的图形，可以通过以下步骤实现：1.选中要镜像的图形对象。
2.使用镜像工具或命令进行镜像操作。
在CAD软件中，镜像可以通过鼠标拖动、键盘输入或指定参照线等方式进行。
五、阵列变换阵列是指按照指定规则在平面上生成一组图形。
阵列常用于复制图形或制作规则排列的图形，可以通过以下步骤实现：1.选中要阵列的图形对象。
2.使用阵列工具或命令进行阵列操作。
在CAD软件中，阵列可以根据指定的数量、行列数或间距等参数来生成图形阵列。
总结：以上所述的图形变形与变换技巧是CAD软件中常用且基础的操作方法。
通过学习和掌握这些技巧，读者可以更有效地完成CAD设计工作。
图形几何变换
例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
如何运用CAD实现几何图形的变换
如何运用CAD实现几何图形的变换在AE软件中，使用CAD（计算机辅助设计）可以实现几何图形的变换。
下面将介绍几种常见的方法和技巧。
一、平移变换平移变换是指沿着指定方向将图形移动一段距离。
在CAD中，可以通过以下步骤实现平移变换：1. 选择要进行平移的图形，例如一个矩形。
2. 在菜单栏中选择"编辑"，然后选择"移动"。
3. 在弹出的对话框中输入要平移的距离和方向，点击确认。
4. 图形将根据指定的距离和方向进行平移变换并显示在新的位置。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕一个点或轴线旋转一定角度。
在CAD中，可以通过以下步骤实现旋转变换：1. 选择要进行旋转的图形，例如一个正方形。
2. 在菜单栏中选择"编辑"，然后选择"旋转"。
3. 在弹出的对话框中选择旋转的中心点和旋转角度，点击确认。
4. 图形将根据指定的中心点和角度进行旋转变换并显示在新的位置。
三、缩放变换缩放变换是指按比例调整图形的大小。
在CAD中，可以通过以下步骤实现缩放变换：1. 选择要进行缩放的图形，例如一个圆形。
2. 在菜单栏中选择"编辑"，然后选择"缩放"。
3. 在弹出的对话框中输入缩放的比例，点击确认。
4. 图形将根据指定的比例进行缩放变换并显示在新的大小。
四、镜像变换镜像变换是指将图形沿指定轴线进行对称翻转。
在CAD中，可以通过以下步骤实现镜像变换：1. 选择要进行镜像的图形，例如一个三角形。
2. 在菜单栏中选择"编辑"，然后选择"镜像"。
3. 在弹出的对话框中选择镜像的轴线，点击确认。
4. 图形将根据指定的轴线进行镜像变换并显示在新的位置。
五、倾斜变换倾斜变换是指将图形按指定的角度进行倾斜。
在CAD中，可以通过以下步骤实现倾斜变换：1. 选择要进行倾斜的图形，例如一个矩形。
CADCAECAM课件——第三章图形处理技术基础
哈尔滨工业大学汽车学院
3．错切变换 错切变换的矩阵是：
P’=[X’Y’Z’1]=[X+DY+GZ Y+BX+HZ Z+CX+FY 1] 从公式中可以看出，变换后一个坐标的变换结果受另 外两个坐标的影响。错切变换是绘制斜轴测图的基础。
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4、平移变换 与二维平移变换一样，三维平移变换矩阵为：
当A≠D,其形状就会发生畸变。 下图为比例变换的几种情况。
6
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3.对称变换 在变换矩阵[M]中，当A或D或者两者都是负值时，
其它都为零。变换后产生的坐标与原坐标关于X轴、 Y轴或原点对称，如下图所示。这种产生对称图形 的变换称为镜像变换或对称变换。
1) 对原点对称变换 当A=D=-1，其余为零，变换矩阵为：
A
A
P
B
E D
C
夹角和=0°
点p在多边形外
E
P
D
C
夹角和=360°
点p在多边形内
深度测试
用来测试一个物体遮挡另一个物体的基
优先级测试 本方法。
常用的有优先级测试和物体空间测试。
设 P12 是空间矩形 F1 和三角形 F2 在投影平面 XOY 平 面的正投影的一个重影点。将 P12 的 x，y 坐标代入矩形 F 1 和三角形 F2 的平面方程，分别求出 Z1 和 Z2
2) 俯视图 俯视图是将空间物体先沿Y向压缩，然后绕X轴顺
时针旋转90度，为了与主视图间保持一定的距离， 最后沿Y的负向平移d。组合矩阵为：
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3）左视图 左视图是将空间物体先沿X向压缩，然后绕Y轴逆
图形学课件(第三章图形变换)
连续变换可以通过将一系列基本 变换矩阵按照时间顺序进行串联 来实现。每个基本变换对应一个 变换矩阵，将这些矩阵依次相乘 即可得到连续变换的总矩阵。
连续变换的应用
在计算机动画制作中，连续变换 被广泛应用于模拟物体的自然运 动和动态效果。通过连续变换， 可以逼真地模拟现实世界中的各 种运动轨迹和动态效果，提高动 画的逼真度和观赏性。
场景模拟
通过图形变换技术，可以模拟出各种真实场景，如城市街道、自然 风光、建筑模型等，为虚拟现实和增强现实应用提供逼真的视觉效 果。
交互体验
利用图形变换技术，用户可以在虚拟现实和增强现实环境中与场景 进行互动，如漫游、旋转、缩放等。
实时渲染
通过图形变换技术，可以实现高精度的实时渲染，为用户提供更加逼 真的虚拟现实和增强现实体验。
04 矩阵运算与组合变换
矩阵的乘法
矩阵的乘法规则
矩阵的乘法仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。乘法结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个 矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法的几何意义
在二维空间中，矩阵的乘法可以看作是先进行行变换再进行列变换的操作。在三维空间中，矩阵的乘法可以看作是先 进行旋转或缩放再进行平移的操作。
特殊矩阵
单位矩阵、零矩阵、转置矩阵等。
组合变换
组合变换的概念
组合变换是指将多个基本变换（如平移、旋转、缩放等）按照 一定的顺序进行组合，从而实现对图形的一系列变换。
组合变换的矩阵表示
组合变换可以通过将相应的基本变换矩阵进行乘法运算来实现 。例如，先进行平移再进行旋转的组合变换可以通过将相应的
平移矩阵和旋转矩阵相乘得到。
透视变换通常使用四个参数： 视点、视平面、主点、和灭点 来定义。
CAD绘图中实现图形转换和变换的专业技巧
CAD绘图中实现图形转换和变换的专业技巧CAD软件是一种广泛应用于设计和绘图领域的工具。
在CAD绘图中，实现图形转换和变换是一项重要的专业技巧。
本文将介绍一些在CAD绘图中实现图形转换和变换的专业技巧，希望能为读者提供帮助。
一、平移平移是将一个图形沿指定的方向和距离移动的操作。
在CAD软件中，平移可以通过选择图形并指定移动的方向和距离来实现。
一般来说，平移的方式有多种，比如通过移动命令、使用移动工具栏或通过键盘快捷键等。
在进行平移操作时，用户需要准确地选择移动的距离和方向，以保证图形的精度和准确性。
二、旋转旋转是将一个图形按指定的角度旋转的操作。
在CAD软件中，旋转可以通过选择图形并指定旋转的中心点和角度来实现。
与平移类似，旋转的方式也有多种，比如通过旋转命令、使用旋转工具栏或通过键盘快捷键等。
在进行旋转操作时，用户需要准确地选择旋转的中心点和角度，以保证图形的准确性和平衡性。
三、缩放缩放是将一个图形按比例进行放大或缩小的操作。
在CAD软件中，缩放可以通过选择图形并指定缩放的基准点和比例来实现。
一般来说，缩放的方式有多种，比如通过缩放命令、使用缩放工具栏或通过键盘快捷键等。
在进行缩放操作时，用户需要准确地选择缩放的基准点和比例，以保证图形的比例和效果。
四、镜像镜像是将一个图形按指定的轴线进行镜像翻转的操作。
在CAD软件中，镜像可以通过选择图形并指定镜像的轴线来实现。
与前面的操作类似，镜像的方式也有多种，比如通过镜像命令、使用镜像工具栏或通过键盘快捷键等。
在进行镜像操作时，用户需要准确地选择镜像的轴线，以保证图形的对称性和一致性。
五、偏移偏移是将一个图形按指定的距离进行平行移动的操作。
在CAD软件中，偏移可以通过选择图形并指定偏移的距离和方向来实现。
一般来说，偏移的方式有多种，比如通过偏移命令、使用偏移工具栏或通过键盘快捷键等。
在进行偏移操作时，用户需要准确地选择偏移的距离和方向，以保证图形的平行性和准确性。
CAD基础2010 第三讲 图形编辑命令
机械CAD 基础第三讲 图形编辑命令今天我们继续介绍编辑命令。
图形的编辑包括图元的修改和图形对象形状和位置的变化。
整个图形形状或位置的变化，实际上就是图形坐标的改变。
在计算机图形学原理中，这种改变是通过矩阵变换来实现的。
矩阵是实现几何变换的有效工具。
为了统一用矩阵来表示各种图形的变换，通常用齐次坐标来表示各点的坐标，即二维点用三维坐标来表示，三维点用四维坐标来表示。
象这种用n+1维坐标来表示n 维坐标的方法就叫齐次坐标表示法。
有了齐次坐标就可以方便地实现图形的变换。
一、 图形的几何变换图形变换是指对图形的几何信息进行几何变换后产生新的图形。
计算机图形学传统的表达方法，二维点的齐次坐标矩阵[]1y xP =，统一的图形变换矩阵T 可分别表示为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=s ml q dc p ba T 变化后新坐标为P*[][][]s qy px m dy bx l cy ax s m l q dc p ba y xh y x ++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1***正常化处理后坐标为P`[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11****1''s qy px m dy bx s qy px lcy ax h y h x y x二、基本变换：包括恒等变换、比例变换、镜像变换、旋转变换、平移变换、错切变换等。
1、比例变换：通过SCALE 命令可以实现图形的放大或缩小操作。
变换矩阵可表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=s d a T S 000000，比例因子a 、b 全比例因子s 图形变换可以通过比例因子d a 、或全比例因子s 分别控制。
比例变换后的新点'P 为[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000011''s dy sax s dy ax s d a y xy x 正常化 讨论：（1）当s=1时， 若1==d a ，为恒等比例变换，即保持图形不变。
CADCAM-4
计算机辅助设计与制造
曹建树
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第 3 章 图形处理技术基础
3.1 图形的几何变换 3.2 图形的消隐技术(自学) 3.3 图形的光照处理技术(自学) 3.4 图形裁剪技术
Beijing Institute of Petro-chemical Technology
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3.1.2 二维图形的基本变换
平移变换
平移是将图形中的每一个点进行移动.若将一个点(x,y) 沿水平方向移动c单位,平移到一个新位置(x*,y*).数学表 达式为 如果c是正值,则点向右移动, 如果c是负值,则向左移动; 如果f是正值,则点向上移动, 如果f是负值,则向下移动.
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3.1.2 二维图形的基本变换
旋转变换
旋转变换是将图形绕已固定点顺时针或逆时针方向进行旋转. 规定:逆时针方向为正,顺时针方向为负.下面讨论图形绕原点 沿逆时针方向旋转θ角的旋转变换.如果点(x,y)沿逆时针旋转 θ角,变换后的点( x*,y* )的数学表达式为:
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3.1.2 二维图形的基本变换
错切变换
错切变换是使图形产生一个扭变.分为x和y方向的错切变换. 图形沿x方向的错切矩阵表示为 思考: 思考:沿Y方向的错 方向的错 切矩阵? 切矩阵?
此时,图形的y坐标不变,x 坐标随坐标(x y)和系数b 作线性变化.b>0,图形沿+x 方向做错切;b<0,图形沿-x 方向做错切;b≠0.
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sin cos
θ 0
A α x
新点的坐标：
cos sin x y sin cos x cos y sin x sin y cos x y
绕原点逆时针 旋转一定角度θ
3.2.1 二维基本变换之错切变换
3.1.1 构成图形的基本要素及其表示方法
点→线→面→体
构成图形的最基本的要素是点
点的表示：二维空间→ ( x, y) 三维空间→ ( x, y, z ) 用点的集合来表 示形体，不论是 对于二维空间的 线、面，还是三 维空间的形体。
x1 x 2 xn y1 y2 , yn n2 x1 x 2 xn y1 y2 yn z1 z2 z n n3
a b y 1 c d ax cy l l m
bx dy m x
y x l
y m
x
1 0 y 10 1 x l l m
y m
坐标的齐次化
x
1 0 0 y 10 1 0 x l l m 1
y bx
y
x
bx
B*
B x
即：沿着y方向错切就是点的x 坐标不变，y坐标产生增量bx。
3.2.1 二维基本变换之错切变换
D2 A2 D A D1 A1 y C1 B1 C B C2 B2
错切变换矩阵：
Tshy
x
1 b 0 1
新点的坐标：
x
沿y向错切
1 b y x bx y 0 1 x y (b 0)
3.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换
3. 将旋转中心平移回到原来的位臵，变换矩阵为：
1 Tt 3 0 xp
0 1 yp
0 0 1
3.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换
4. 综上，平面图形绕任意点的旋转变换矩阵为：
1 T Tt 1Tr 2Tt 3 0 x p
新点的坐标：
A1 B1 A B A2 B2
x
沿x向错切
1 0 y x cy y c 1 x y (c 0)
3.2.1 二维基本变换之错切变换
y
x y
沿着y方向错切（以点B为例）：
B*
B x
x y tan 1 b tan
0 1 yp
0 cos 0 sin 1 0
sin cos 0
0 1 0 0 1 x p
0 1 yp
0 0 1
例1：如图所示，请将某法兰盘图形上的小六边形绕法 兰盘中心 o1 ( x1 , y1 )逆时针旋转θ角，求旋转变换矩阵。
y
对原点对称
3.2.1 二维基本变换之对称变换
y B
对称变换矩阵：
Tm ,45 0 1 1 0
C A A*
*
x B*
新点的坐标：
x
0 1 y y 1 0 x x y
C
*
y=x对称
3.2.1 二维基本变换之对称变换
y C
3.2.2 二维组合变换之对任意直线的对称变换
轴的夹角为 ，对任意直线的对称变换由 以下几个步骤来完成：
y
ax by c 0
C
B
A
O
x
1. 平移直线（沿 x 轴将直线平移到原点）， 使其通过原点 ，变换矩阵为：
* *
1 0 0 1
新点的坐标：
B*
C*
x
X轴对称
1 0 y x y x 0 1
y
3.2.1 二维基本变换之对称变换
y
*
对称变换矩阵：
C
C
Tmy
1 0 0 1
新点的坐标：
B
*
A
*
*
A
B x
0
x
y A A
*
沿着x方向错切（以点A为例）：
x
y A
y
x
y x tan
x cy
1 c tan
即：沿着x方向错切就是点的y 坐标不变，x坐标产生增量cy。
A*
cy
y
x
3.2.1 二维基本变换之错切变换
y D1 C1 D C D2 C2
错切变换矩阵：
Tshx
x
1 0 c 1
0 0 1
3. 对坐标轴的对称变换（对 y 轴） ，变换矩阵为：
y
y
C
C
B
C
B
A
B
A
x
A
O
O
x
T3m
1 0 0 0 1 0 0 0 1
4. 绕原点顺时针旋转，使直线回到原来与 y 轴 成 角的位臵，变换矩阵为：
y
C
B
C
B
A
A
O
Tmo
Tm ,45
3. 旋转变换矩阵：
cos Tr si n 0
si n cos 0
0 0 1
4. 错切变换矩阵： Tshx
1 0 0 c 1 0 0 0 1
Tshy
1 b 0 0 1 0 0 0 1
y m 1
平移变换矩阵为：
1 0 0 Ts 0 1 0 l m 1
小结
1. 比例变换矩阵：
a 0 0 Ts 0 d 0 0 0 1
1 0 0 0 － 0 1 0 0 1
T 2. 对称变换矩阵： mx
第三章 图形的几何变换
3.1 图形变换的方法 3.2 二维变换 3.3 三维图形的几何变换
准备话题
图形变换：对图形的几何信息
经过变换后产生新的图形 图形变换的两种方式： 1、坐标系不动，图形变动 2、图形不动，坐标系变动
3.1 图形变换的方法
3.1.1 构成图形的基本要素及 其表示方法
3.1.2 点的变换
3.2.1 二维基本变换之概述
变换前点的坐标 当 其 中 的 a、b、c、d 取不同值的时候，就 能实现不同的变换
x
a b y ax cy bx dy x c d
变换矩阵
y
变换后点的坐标
3.2.1 二维基本变换之比例变换
y
比例变换矩阵：
C
*
1. 将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：
1 Tt 1 0 xp －
0 1 yp
0 0 1
3.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换
2. 将图形绕坐标系原点逆时针旋转一定 角度 ，变换矩阵为：
cos Tr 2 sin 0 sin cos 0 0 0 1
y
y
o1
o
x
o
x
y
y
o1
o1 o
x
o
x
原图
y
y
第一次平移
o o1
x
o
x
旋转
第二次平移
1. 第一次平移：将法兰盘中心平移到坐标原点，基本变 换为： 0 0 1 Tt 1 0 1 0 -x1 -y1 1 2. 旋转：将小六边形绕着坐标原点逆时针旋转θ 角，基 本变换为：
1 0 0 5. 平移变换矩阵为：Ts 0 1 0 l m 1
3.2.2 二维组合变换之概述
由多种基本变换组合而 成的变换称之为组合 变换，相应的变换矩 阵叫做组合变换矩阵。
3.2.2 二维组合变换之绕任意点旋转变换
平面图形绕任意点 p( x p , y p )（设该点位于第一象 限）逆时针旋转 角，步骤如下：
Tmy
－ 1 0 0 0 1 0 0 0 1
－ 1 0 0 0 － 0 1 0 0 1
Tm ,45
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 － 0 1 0 0 － 0 0 1
沿y向平移M个单位
平移变换－变换矩阵的扩容
a b T c d
a T c l
b d m
矩阵的扩容
x
y
x
y 1
x
a b y 1 c d ax cy l l m
bx dy m
x
cos - sin Tr 0
sin cos 0
0 0 1
3. 第二次平移：将法兰盘中心平移至原来位臵，基本变 换为： 1 0 0 0 1 0 Tt2 x1 y1 1
4. 最后，组合变换为：
0 1 0 T Tt1Tr Tt2 1 x1 y1 cosθ - si nθ x1( 1- cosθ) y1 si nθ 0 cos si n 0 1 0 - si n cos 0 0 1 0 1 0 0 1 x1 y1 si nθ 0 cosθ 0 y1( 1- cosθ) y1 si nθ 1 0 0 1
3.1.2 点的变换
问题的提出：想要变换图形，怎么办？ 解答：只要对点进行变换就可以了。 问题的提出：怎么对点进行变换？ 解答：点的矩阵运算
旧点（集） 变换矩阵 矩阵运算 新点（集）
3.2 二维变换
3.2.1 二维基本变换 3.2.2 二维组合变换 3.2.3 二维组合变换顺序