湖北省高二数学必修四第一章三角函数1.4.3教案
高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 1.4.3 单位圆与诱导公式
1.4.3 单位圆与诱导公式1．单位圆与周期性(1)终边相同的角的正、余弦函数 sin(2k π＋x )＝______，k ∈Z . cos(2k π＋x )＝______，k ∈Z . (2)周期函数与周期一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有__________，我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的______．(3)最小正周期对于一个____函数f (x )，如果在它的所有____中存在一个_______，那么这个________就叫做它的最小正周期．预习交流1是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说明． 2．单位圆与诱导公式(1)诱导公式(函数名称不变)sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α.(k ∈Z ) sin(－α)＝______，cos(－α)＝______.sin(2π－α)＝______，cos(2π－α)＝______. sin(π－α)＝______，cos(π－α)＝______. sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝______. 文字概括：2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)诱导公式(函数名称改变)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝______. 文字概括：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．预习交流2如何记忆正弦函数和余弦函数的诱导公式？ 预习交流3(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π6＝__________； (2)cos 11π4＝__________；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝__________；(4)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－π3＝__________.答案：1．(1)sin x cos x (2)f (x ＋T )＝f (x ) 周期 (3)周期 周期 最小的正数 最小的正数预习交流1：提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x )＝C (C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f (x )的定义域内的每一个值x ，都有f (x ＋T )＝C ，因此f (x )是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )没有最小正周期．2．(1)－sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α (2)cos α －sin α cos αsin α预习交流2：提示：(1)体会三种思想：①转化思想．任意角的三角函数值转化为0°～90°间角的三角函数值． ②类比思想．正弦函数的诱导公式类比余弦函数的诱导公式． ③数形结合思想．借助单位圆推导并理解公式． (2)把握一个规律：“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式提示了角k ·π2±α(k ∈Z )与角α的正弦、余弦函数值之间的关系，主要从函数名称和符号两个角度记忆．①“奇变偶不变”是说当k 是奇数时，三角函数名称要改变，即正弦变余弦，余弦变正弦．当k 是偶数时，三角函数名称不变，即正弦仍为正弦，余弦仍为余弦．②“符号看象限”是说由于公式对于任意角α都成立，不妨将角α看作一个锐角，此时可用旋转的方法，观察角k ·π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．预习交流3：(1)－12 (2)－22 (3)32 (4)321．周期函数的理解与应用已知f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 思路分析：只需找出一个常数T (T ≠0)，满足f (x ＋T )＝f (x )即可．已知函数f (x )是R 上的周期为5的周期函数，且f (1)＝2 012，求f (11)．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如f (2x ＋T )＝f (x )，不能说T 是f (x )的周期．2．利用诱导公式求值求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 356π；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1003π.思路分析：按“负角化正角，大角化小角”这一程序选择公式．求下列三角函数值．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4；(3)cos(－60°)－sin(－210°)．解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．思路分析：注意到π6－α＋5π6＋α＝π，2π3－α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，可以用诱导公式转化．已知sin(45°＋α)＝513，求sin(135°－α)的值．解决条件求值问题的策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．3．三角函数式的化简问题化简求值：cos3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin －αsin －π＋αsin 3π－αcos －π－α.思路分析：根据诱导公式将各个三角函数分别化简．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －αcos 3π－α.化简三角函数式的策略角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点： (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值．(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如3π2＋α可写成2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α或π＋⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式．求角3π2＋α的正弦、余弦函数值，按“奇变偶不变，符号看象限”的方法更快，要注意训练这种方法．答案：活动与探究1：证明：∵f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．迁移与应用：解：f (11)＝f (5×2＋1)＝f (1)＝2 012.活动与探究2：解：(1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22；(2)sin 356π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋116π＝sin 116π ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1003π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫32π＋4π3 ＝－sin 4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π＝sin π3＝32.迁移与应用：解：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－sin 7π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝－sin π3＝－32；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4＝cos 19π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π4 ＝cos 3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22；(3)cos(－60°)－sin(－210°)＝cos 60°＋sin 210°＝cos 60°＋sin(180°＋30°)＝cos 60°－sin 30°＝12－12＝0.活动与探究3：解：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . 迁移与应用：解：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝513.活动与探究4：解：原式＝cos(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋α(－sin α)[－sin(π－α)]sin(π－α)cos[－(π＋α)]＝(－cos α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)＝(－cos α)[－(－sin α)](－sin α)－sin αsin α(－cos α)＝1.迁移与应用：解：原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)－sin αcos[2π＋(π－α)]＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)－sin αcos(π－α)＝－cos α(－sin α)－sin α(－cos α)＝1.1．sin 210°＝( )． A.32B ．－32C.12D ．－122．cos 330°＝( )． A.12B ．－12C.32D ．－323．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2化简的结果为( )．A ．0B ．－1C ．2sin 2D ．－2sin 24．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－θ＝__________.5．化简：sin π－αcos π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 3π－αsin 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α.答案：1．D 解析：si n 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.2．C 解析：cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos 30°＝32. 3．A 解析：原式＝sin 2－sin 2＝0.4.33 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33.5．解：原式＝sin α·(－cos α)·(－cos α)(－cos α)·(－sin α)cos α＝1.用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4
2．忽略正切函数中自变量的取值范围 1－cosx 求函数 y＝sinx(1＋tanx· )的定义域． sinx [错解] 由题意，得 sinx≠0.解得 x≠kπ，k．
[错因分析]
该解法只注意到分母不为零的条件，而忽略
了正切函数的自变量本身的取值范围． [思路分析] 要解决此类函数的定义域问题，不仅要考虑
自主预习 认真阅读教材回答下列问题． 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
正切函数 y＝tanx 的图象叫做 正切曲线
．
(2)性质：如下表所示. 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性
y＝tanx
π x≠2＋kπ ，k∈Z x
R
π 奇函数
函数 性质 单 调 性 减区间
分母是否为 0，还要注意函数本身隐含的自变量的取值范围．
[正解]
由题意，得 sinx≠0.解得 x≠kπ，k∈Z.又由函数 y
π ＝tanx 有意义，则 x≠ ＋kπ，k∈Z. 2 kπ 故原函数的定义域为{x|x≠ ，k∈Z}． 2
y＝tanx
增区间
π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z) 2 2
无
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4 (1)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练 2】 求函数 y=tan - ������ + 解 :y=tan - ������ +
3π 2
1 π = −tan , 2 4 π 1 π π 由 kπ− < ������ − < ������π + , ������ ∈ Z, 2 2 4 2 π 3π 得 2kπ− < ������ < 2������π + , ������ ∈ Z, 2 2 1 π ∴函数 y=tan - 2 ������ + 4 的单调递减区间是
1 2 1 π ������2 4
π 4
的单调区间.
2������π- ,2������π +
π 2
, ������ ∈ Z，不存在单调递增区间 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二比较Biblioteka 小【例 2】 比较 tan
单调递增区间,无单调递减区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解 :要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 Z),得 x ≠
������π 5π + ,������∈Z . 3 18 π π π 令 kπ− < 3������ − < ������π + ( ������∈ Z), 2 3 2 ������π π ������π 5π 即 − < ������ < + (������ ∈ Z) . 3 18 3 18 ������π π ������π 5π 故函数的单调递增区间为 - , + 3 18 3 18 ������π 5π + (������ ∈ Z), 3 18
2020版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修4_172.doc
1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期.2.掌握正切函数y ＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？ 答案 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }.思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 周期性.思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性.思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？答案 是.梳理 函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：解析式y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性 奇单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内都是增函数知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－π2，π2)上的图象.作法如下：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ 答案 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎪⎫π4，1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2.梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.类型一 正切函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3 (k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }.反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4，又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调区间. 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z ). 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小：①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接) 答案 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1解析 (1)①tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. ②tan 18π5＝tan(4π－2π5)＝tan(－2π5)，tan(－28π9)＝tan(－3π－π9)＝tan(－π9)，∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上单调递增，且－2π5<－π9，∴tan(－2π5)<tan(－π9)，即tan 18π5<tan(－28π9).(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， ∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)上单调递增，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤： (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.答案 >解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π5＝tan π5.又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5. 类型三 正切函数的图象及应用例4 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示.由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练4 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图. 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0(k ∈Z ).(2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图).1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π6答案 C解析 最小正周期为T ＝π|ω|＝π2. 2.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A.y ＝tan xB.y ＝cos xC.y ＝tan x2D.y ＝－tan x答案 C4.方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0，2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又∵x ∈[0，2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5.比较大小：tan 1________tan 4. 答案 ＞解析 由正切函数的图象易知tan 1＞0， tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜π2，函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数， 所以tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.课时作业一、选择题1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A.(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0D.(π，0)答案 C2.函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为( ) A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 ∵1＋tan 2x >|tan x |≥－tan x ，∴其定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，关于原点对称.又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.3.满足tan A >－1的三角形的内角A 的取值范围是( ) A.(0，34π)B.(0，π2)∪(π2，34π)C.(34π，π) D.(0，π2)∪(34π，π)答案 D解析 因为A 为三角形的内角，所以0<A <π.又tan A >－1，结合正切曲线得A ∈(0，π2)∪(3π4，π).4.下列各点中，不是函数y ＝tan(π4－2x )的图象的对称中心的是( )A.(π8，0)B.(－π8，0)C.(π4，0)D.(－38π，0)答案 C解析 令π4－2x ＝k π2，k ∈Z ，得x ＝π8－k π4.令k ＝0，得x ＝π8；令k ＝1，得x ＝－π8；令k ＝2，得x ＝－3π8.故选C.5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.0B.1C.－1D.π4答案 A解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0.6.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x <0.故选D.7.下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D.图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.二、填空题8.函数y ＝3tan(3x ＋π4)的对称中心的坐标是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π12，0(k ∈Z )解析 由3x ＋π4＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π6－π12(k ∈Z )， 所以对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π12，0(k ∈Z ). 9.函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为____________. 答案 [－4，4]解析 ∵－π4≤x ≤π4， ∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]，∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4，4].10.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2， ∴ω＝±2.11.函数y ＝1－tan x 的定义域是________.答案 (k π－π2，k π＋π4](k ∈Z ) 三、解答题12.判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性. 解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1. ∴函数定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )，关于原点对称. f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg(－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1)＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.13.求函数y ＝tan(x 2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心. 解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z }. ②∵T ＝π12＝2π.∴函数的周期为2π. ③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的单调增区间为(2k π－π3，2k π＋53π)，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ， 得x ＝k π＋23π，k ∈Z . ∴函数的对称中心是(k π＋23π，0)，k ∈Z . 四、探究与拓展14.若tan x >tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________. 答案 (k π＋6π5，k π＋3π2)(k ∈Z ) 15.设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M (－π8，0)对称. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集.解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2， 即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ).因为函数y ＝f (x )的图象关于点M (－π8，0)对称， 所以2×(－π8)＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4， 故f (x )＝tan(2x ＋π4). (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为(－3π8＋k π2，π8＋k π2)，k ∈Z ，无单调递减区间. (3)由(1)知，f (x )＝tan(2x ＋π4). 由－1≤tan(2x ＋π4)≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为{x |－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z }.。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教A版必修4(1)
正切函数的性质与图象
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.掌握正切函数的定义域、值域、 周期性、奇偶性和单调性. 3.能利用正切函数的图象与性质解 决问题.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
π 正切函数y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z的图象叫做正切曲线. 2
������π 2
,0 ,k∈Z. (
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一与正切函数有关的定义域问题 【例 1】 函数 y=√tan������ + 1+lg(1-tan x)的定义域 是 . 分析: 函数解析式的结构特征 → 列三角不等式组 → 解三角不等 式组 → 得函数定义域
tan������ + 1 ≥ 0, 解析:由题意得 即-1≤tan x<1. 1-tan������ > 0, π π π π 在 - , 内,满足上述不等式的 x 的取值范围是 - , . 又 y=tan x 的周期为 π,
13 4
������
π 与 tan ������ 4 2
4 6 12 5
-
π
的单调减区间;
π 2 ������ π 6 π 2
π 的大小.
4
解:(1)∵y=-tan
π ������
-
π 6
的单调减区间满足 kπ- < − <kπ+ (k∈
∴kπ- 3 < 4 <kπ+3π(k∈Z). ∴4kπ-3π<x<4kπ+3π(k∈Z). ∴y=-tan
π
π
即定义域是 ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z . 答案: ������ - + ������π ≤ ������ < + ������π,������∈Z
高中数学情境互动课型第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件新人教版必修4
∴函数的定义域为xx≠k3π＋51π8，k∈Z
.
令 kπ－π2<3x－π3<kπ＋π2(k∈Z)，
即k3π－1π8<x<k3π＋51π8(k∈Z)．
第二十一页，共43页。
∴函数的单调递增区间为k3π－1π8，k3π＋51π8(k∈Z)， 不存在单调递减区间．
第二十二页，共43页。
例2.比较下列(xiàliè)每组数的大小.
，k∈Z
D.
xx∈R，x≠kπ＋34π
，k∈Z
第三十六页，共43页。
4．直线 y＝a(a 为常数)与正切曲线 y＝tan ωx(ω 是
常数且 ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是( C )
A．π
2π B. ω
π C.ω
D．与 a 的值有关
第三十七页，共43页。
5.函数 y＝3tanx－1 的定义域是_x__x≠__π2_＋_k_π_，_k_∈_Z___．
提示(tíshì):
由诱导公式 tan(x) tan x, x R, x k, k
2
知 正切(zhèngqiē)函数是奇函数，图象关于原 点对称.
第六页，共43页。
y
T2
思考4：观察(guānchá)图中的正切线，
当 ( , )
22
角在
内增加时，正切
O
Ax
函数值发生什么变化？由此反
(qiēxiàn) y tan x, x ( , )
作正切函数
2 2 的图象，具体应
如何操作？
第十二页，共43页。
作法(zuò fǎ):
(1) 等分
(2) 作正切线 (qiēxiàn)，平 移
o1
(3) 连线 (lián xiàn)
高中数学人教版必修四第一章三角函数1.4.3
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
4.3 正切函数的性质与图象学习目标1。
了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质（重点).2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题（重点、难点）．知识点函数y＝tan x的图象和性质解析式y＝tan x图象定义域｛x｜x∈R，且x≠错误!＋kπ，k∈Z}值域R周期π奇偶性奇函数单调性在区间（kπ－错误!，kπ＋错误!）(k∈Z）都是增函数【预习评价】（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）函数y＝tan x在其定义域上是增函数．（）（2）函数y＝tan x的图象的对称中心是（kπ,0)（k∈Z)．( )（3)函数y＝tan 2x的周期为π.（)提示（1)×，y＝tan x在区间（kπ－错误!,kπ＋错误!)(k∈Z）上是增函数，但在其定义域上不是增函数．（2)×，y＝tan x图象的对称中心是(错误!kπ,0)（k∈Z）．（3）×，y＝tan 2x的周期为错误!．题型一正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y＝3tan(错误!－错误!）的定义域为________；解析由错误!－错误!≠错误!＋kπ,得x≠－错误!－4kπ，k∈Z，即函数的定义域为｛x|x≠－错误!－4kπ，k∈Z｝．答案｛x｜x≠－错误!－4kπ，k∈Z}（2)函数y＝tan（2x－错误!）,x∈(－错误!，错误!)的值域是________．解析∵－错误!〈x<错误!,∴－错误!〈2x－错误!〈错误!，∴tan（2x－错误!）<1，即函数的值域为(－∞，1)．答案（－∞，1)规律方法求正切函数定义域的方法(1）求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠错误!＋kπ，k∈Z．(2)求正切型函数y＝A tan(ωx＋φ)（A≠0,ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体"，令ωx＋φ≠kπ＋错误!，k∈Z，解得x．【训练1】函数y＝tan(sin x）的定义域为______________，值域为______________．解析因为－1≤sin x≤1，所以tan（－1）≤tan(sin x）≤tan 1，所以y＝tan(sin x）的定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1]．答案R[－tan 1，tan 1]方向1 求正切函数的单调区间【例2—1】求函数y＝tan（－错误!x＋错误!)的单调区间．解y＝tan(－错误!x＋错误!）＝－tan(错误!x－错误!），由－错误!＋kπ〈错误!x－错误!<错误!＋kπ（k∈Z）得－π＋4kπ<x〈3π＋4kπ,k∈Z,所以函数y＝tan（－错误!x＋错误!）的单调递减区间是（－π＋4kπ,3π＋4kπ)（k∈Z)．方向2 比较大小【例2—2】比较大小:tan（－错误!)和tan(－错误!)．解∵tan(－7π4)＝－tan（2π－错误!)＝tan错误!,tan(－错误!)＝－tan(2π－错误!）＝tan错误!．又0<错误!〈错误!<错误!，y＝tan x在（0,错误!）内单调递增，∴tan错误!〈tan错误!，即tan（－错误!)>tan(－错误!）．规律方法1。