高中数学必修1函数总复习强化训练(VI)--单调性及详细答案

函数总复习强化训练（VI ）--单调性及详细答案
1．函数的单调性
(1)在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数y ＝f (x )在区间A 上是____的，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是______的．
(2)在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数y ＝f (x )在区间A 上是______的，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是______的．
(3)如果函数y ＝f (x )在区间A 上是__________或是__________，那么A 称为__________．
2．一般地，对于函数y ＝f (x )的定义域内的一个子集A ，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有__________，就称函数y ＝f (x )在数集A 上是增加的． 类似地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个子集A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有__________，就称函数y ＝f (x )在数集A 上是减少的．
一、选择题
1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图像如图所示．
给出如下命题：①f (0)＝1；
②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( )
A ．②③
B ．①④
C ．②④
D ．①③
2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则有( )
A ．f (x 1)<f (x 2)
B ．f (x 1)＝f (x 2)
C ．f (x 1)>f (x 2)
D ．以上都可能
3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )
A ．至少有一个根
B ．至多有一个根
C ．无实根
D ．必有唯一的实根
4．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )
A ．递减函数
B ．递增函数
C ．先递减再递增
D ．先递增再递减
5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )
A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )
D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)
>0 6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( )
A ．(－∞，－3]
B ．(－∞，－1]
C ．[1，＋∞)
D ．[－3，－1]
二、填空题
7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，
求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.
(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
函数总复习强化训练4--单调性答案
1．B
2．A [由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，对应的f (x 2)>f (x 1)．]
3．D [∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，
∴①当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0，
②当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，
由①②知f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图像可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2
与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A 、B 、D 正确；
对于C ，若x 1<x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ，即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故C 不成立．]
6．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m >0
解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.
8．－3
解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m 4
＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0). 函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设a <x 1<x 2<b ，
∵g (x )在(a ，b )上是增函数，
∴g (x 1)<g (x 2)，
且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，
又∵f (x )在(a ，b )上是增函数，
∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，
∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．
11．解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1
＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1
＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 22－1＋x 21－1
. ∵1≤x 1<x 2，
∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0.
∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，
故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1.
(2)函数f (x )在R 上单调递减．
任取x 1，x 2∈R ，且设x 1<x 2.
在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，
若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，
则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)， 由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.
在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，
令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1. 当x >0时，0<f (x )<1，
所以f (－x )＝1f (x )
>1>0， 又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， 即f (x 2)<f (x 1)．
所以函数f (x )在R 上单调递减．
13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.
(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。