学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.学生版
北师大版八年级下册数学《相似三角形》相似图形说课教学课件复习
【解析】∵∠B＝∠CDE，所以 AB∥DE.因为 BD＝CD，则 DE 为△ABC 的中位线，则 AB＝2DE＝4.
【答案】A
7．(2010·河南)如图，△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 的中点，则下列结论：①BC
＝2DE；②△ADE∽△ABC；③AADE ＝AABC.其中正确的有(
(第 5 题)
5．已知△ABC，延长 BC 到 D，使 CD＝BC，取 AB 的中点 F，连结 FD 交 AC 于点 E. (1)求AAEC的值；(2)若 AB＝a，FB＝EC，求 AC 的长． 答案：(1)AAEC＝23 (2)AC＝32a
(第 6 题) 6．如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连结 BE，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝
AD·CD
(3)(2010·临沂)如图，∠1＝∠2，添加一个条件：________，使得△ADE∽△ACB.
【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定．
【解答】 (2)∵△ABC∽△DBA，∴AB＝BC，即 AB2＝BC·BD，故选 A.
【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴AACB＝AADC，∴AB·AD ＝AC2，则 AB＝4，所以 BD＝AB－AD＝3.
【答案】3
14．(2010·陕西)如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，连结 CD.要使 △ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是________．
AB AC
线段AB的延长线上时 同(1),有AE 3 CE AC AE 9 3 12
学而思中考数学同步相似三角形的应用
第十五章相似三角形的运用本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对相似三角形的运用达到【高级运用】级别。
2．对位似的理解达到【初级理解】级别。
VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系189VISIBLE PROGRESS SYSTEM190 VISIBLE PROGRESS SYSTEM第一关相似三角形的周长与面积★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆你能够解决相似三角形中的周长面积问题。
.191VISIBLE PROGRESS SYSTEM192VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：周长面积在相似中的应用。
1．两个相似三角形的相似比是1∶3，周长差是60，则这两个相似三角形的周长分别是 。
2．如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） A.32B.33C.34D.363．在一张比例尺为1:500的建筑图纸上，一个多边形花坛画在图上的周长是3.6cm ，则花坛的实际周长是多少？若花坛地基的面积是202m ，则画在图上的面积是多少？相似三角形的周长和面积相似三角形的性质三角形周长面积公式关卡1-1ABCD E相似三角形的周长和面积过关指南Tips笔记★★★★☆☆ 初级运用例题193VISIBLE PROGRESS SYSTEM顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是（ ） A ．1:4 B ．1:3 C ．1:2 D ．1:2在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个 三角形的周长是 ( )A. 4.5B. 6C. 9D. 以上答案都有可能如图，在△ABC 中，D ，E 是AB 边上的点，且AD=DE=EB ，DF ∥EG ∥BC ，则△ABC 被分成三部分，S △ADF ：S 四边形DEGF ：S 四边形EBCG 等于（ ）．A ．1：1：1B ． 1：2：3C ． 1：4：9 D. 1：3：5如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，AD ：DB=2：1，F 为AC 上任意一点，△DEF 的面积为4，则S △ABC = ．如图DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点， CM 交AB 于N 则S DMN ：S 四边形ANME =_______A ．51B ．41C ．52D ．72过关练习错题记录Exercise 1错题记录Exercise 2错题记录Exercise 3错题记录Exercise 4错题记录Exercise 5第二关相似三角形的运用★★★★★☆Level 5本关进步目标★★★★★☆你会全面应用相似三角形的性质和判定。
学而思中考数学.三角形.尖子班.学生版
初三寒假·第1讲·尖子班·学生版考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（sin cos tan A A A ，，）；知道304560︒︒︒，，角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560︒︒︒，，角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构中考大纲剖析1中考第一轮复习三角形初三寒假·第1讲·尖子班·学生版一、等腰三角形二、直角三角形1．直角三角形的边角关系．①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．知识导航初三寒假·第1讲·尖子班·学生版45°60°2．特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含30︒和60︒的直角三角形”边的比：112∶∶边的比：132∶∶3．直角三角形中的特殊线．d cba“直角三角形斜边中线2c d =” acbh “直角三角形斜边高abh c=”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标 “万能法”其他方法 等腰三角形 lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为等腰三角形lP 4P 5P 3P 2P 1BA“两圆一垂”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形lAB已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使PAB △为直角三角形BA P 1P 2P 3P 4l“两垂一圆”分别表示出点A 、B 、P 的坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①222AB BP AP =+ ②222BP AB AP =+ ③222AP AB BP =+ 列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.初三寒假·第1讲·尖子班·学生版五.相似三角形相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：(1)EDC BA(3)ED CBA(4)D CBADCBA(6)EDCBA(2)EDCBA(5)EDCBA（10）（9）（8）A BDEABC DEEDBA【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．（3）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .当CQ =21CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n1CE （n 为不小于2的常数）时， y 与x 之间的函数关系式是 .模块一 特殊三角形夯实基础初三寒假·第1讲·尖子班·学生版（4）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =．【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ）A. 2B. 4－πC.πD.1π-（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在 运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A. 222+ B ．52 C ．62 D ． 6以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程 中，点B 到原点的最小距离是__________.【探究2】如图，在Rt ABC △ 中，∠C =90°，tan 12BAC ∠=，BC =6，点D在边AC 上，且23AD AC =，连结BD ，F 为BD 中点，将线段AD 绕 点A 旋转，在旋转过程中线段CF 长度的最大值为________，最小值 为_______.能力提升ACFEDB BC 第8题图QFMABC y xO CBA C BAO y x初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.【探究4】如图，Rt ABC △中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合）， 且DA =DE ，则AD 的取值范围是___________________．【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD .图1图2A BCDEDCBA（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.夯实基础模块二 全等三角形PDCBACDABE初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例4】 等边三角形ABO 的边长为2个单位长度，点P 、Q 分别从点B 、O 同时出发，以每秒1个单位长度向点O 、A 运动．（到达点O 、A 时停止运动）⑴ 如图1，连接AP 、BQ 相交于点C ．证明：AP BQ =，60ACQ =︒∠． ⑵ 如图2，连接PQ ，探讨2PQ 与AB 之间的大小关系并证明你的结论．QA图1ACP QQP A图2夯实基础模块三 相似三角形能力提升初三寒假·第1讲·尖子班·学生版图3图2图12n-1B 2C 2A B CB 1C 1C 1B1C B A【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.（2）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，① 若CE =12CB ，CF =12CD ，则图中阴影部分的面积是________；② 若CE =1n CB ，CF =1nCD ，则图中阴影部分的面积是_________.（用含n 的式子表示，n 是正整数）．（3）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A能力提升【例6】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA 的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．初三寒假·第1讲·尖子班·学生版初三寒假·第1讲·尖子班·学生版【例7】 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A模块一 特殊三角形 课后演练【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°实战演练图1EDBA11初三寒假·第1讲·尖子班·学生版⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =， AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AGAF = ．【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．模块二 全等三角形 课后演练 【演练3】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；图3GEFL ABCDABCD EFGH图2图1H GFE DCBA⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．GFED CBAP F EA12初三寒假·第1讲·尖子班·学生版E 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA 【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．图2图1EHABCD FGN NMGF ED CBA模块三 相似三角形 课后演练【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．第十八种品格：坚持品格教育—坚持有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。
九年级数学相似学而思培优
第八讲 相 似知识点睛一、相似的性质和判定 二、等腰三角形和相似 三、全等和相似相关知识点1．相似形：形状相同的图形叫做相似形。
2．相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
3．相似三角形的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似，这是判定三角形相似的重要方法之一，由此可知：① 任何两个等边三角形都相似。
② 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似。
③ 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似。
④ 一个锐角相等的两个直角三角形相似。
⑵ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似； 4．相似三角形的性质⑴ 相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比； ⑵ 相似三角形的周长之比等于相似比； ⑶ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
5．两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形。
6．复习春季和暑期学习过的相关模型练习： ⑴（2010北京）如图，在ABC △中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若:3:4AD AB =，6AE =，则AC 等于（ ）A ． 3B ．4C ． 6D ． 8⑵（2010陕西省）如图在ABC △中D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC △与ABC △相似，应添加的条件是 。
⑶（2010宁夏）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 。
（只填序号）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。
⑷（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A B C D⑸（2010燕山一模）已知ABC △中，D 、E 分别是两边AB 和AC 的中点，若ABC △的周长是8cm ，则ADE △的周长是 cm 。
学而思中考数学第5讲.第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形.提高班.学生版
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例1】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP △为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．典题精练5第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形与特殊四边形题型一：存在问题中的三角形【例2】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），在抛物线223y x x =--+上是否存在一点Q ，使得△BCQ 为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点Q ，并求出以BC 为直角边时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线223y x x =--+上求一点K ，使得OKJ △为等腰直角三角形.中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.【例4】 已知抛物线： ⑴ 求抛物线的顶点坐标.⑵ 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.⑶ 如下图，抛物线的顶点为P ，轴上有一动点M ，在、这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.x x y 22121+-=1y 1y 2y 2y 2y x 1y 2y 典题精练题型二：存在问题中的四边形xyy 12345678954321-1-2-3-41y 2-1【例5】 抛物线223y x x =--+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点B 在点A 的左侧），抛物线223y x x =--+的对称轴与x 轴交于点M ，设R 为抛物线223y x x =--+上一个动点，则以点M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若不能，请说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，点,1)A关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．⑴求点C、D的坐标；⑵求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；⑶若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标．（昌平一模）题型一 存在问题中的三角形 巩固练习 【练习1】 在如图的直角坐标系中，已知点()10A ，，()02B -，，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90︒至AC ． ⑴求点C 的坐标；⑵若抛物线2122y x ax =-++经过点C ．①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外），使ABP △是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（重庆綦江）题型二 存在问题中的四边形 巩固练习复习巩固CBAOyx【练习2】 如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C ．⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（山东烟台）第十八种品格：坚持愚公移山太行、王屋两座大山，四周各七百里，高七八百千丈。
学而思初中数学课程规划
学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。
而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。
因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。
初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。
到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。
下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。
课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。
未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。
从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。
相似三角形题型讲解
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.教师版
1初三暑期·第5讲·提高班·教师版抄作业风波漫画释义满分晋级5相似三角形的 简单模型三角形12级 相似三角形的 性质与判定三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数暑期班 第四讲暑期班 第五讲暑期班 第六讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。
相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第5讲·提高班·教师版3初三暑期·第5讲·提高班·教师版位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．位似比：相似比叫做位似比．位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======'''''''''（k 为位似比） C'B'A'OC BA【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）模块一 位似知识导航夯实基础O'A'D'C'B'B (O )C DA4初三暑期·第5讲·提高班·教师版C 1B 1A 1OCB A（2012广西玉林）A.61 B. 31 C. 21 D. 32 ⑵三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若cm OA 20=，cm 'OA 50=，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A ．5∶2B ．2∶5C ．4∶25D ．25∶4（2013西城期末）⑶如图，△ABC 与△111C B A 为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面 积为3，那么△111C B A 的面积是 ．（2012辽宁阜新）【解析】⑴B ⑵B ⑶12图形重要结论EDCBAAD AE DEDE BC ADE ABC AB AC BC⇔⇔==∥△∽△ ODCBAAB OA OBAB CD AOB COD CD OC OD⇔⇔==∥△∽△ 知识导航模块二 相似三角形的两种基本模型三角尺灯泡O A5初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例2】 ⑴ 如图，在△ABC 中，BC DE ∥，BD AD 2=，6=DE ，则BC = ．（2013石景山期末）⑵ 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，21=AB AD ，8=BCED S 四边形， 则ABC S ∆的面积为（ ）（2012贵州遵义）A ．9B ．10C ．12D ．13【解析】⑴9 ⑵A【例3】 若D 为BC 中点，ED 交AB 于点F ，且EF ：FD =2：3，试求AF ：FB 的值．B D CA FE【解析】如下图，作平行线，构造基本相似模型，AF ：FB=1：4．MB DC A FE M B D C AFE MB D CAFEMB DC A FE M B D C A FE MB D CA FE夯实基础E D CBAEDCB A6初三暑期·第5讲·提高班·教师版【例4】 如图，AD 和BC 相交于点E ，AB CD EF ∥∥.⑴求证：ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△.⑵求证：111AB CD EF+=. 【解析】 ⑴ ∵AB CD EF ∥∥∴BAC EFC ABC FEC ∠=∠∠=∠，ACD AFE ADC AEF ∠=∠∠=∠，∴ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△ ⑵ 由⑴可知ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△∴EF CF EF AFAB AC CD AC ==， ∴EF EF CF AF AB CD AC AC+=+ 即111CF AF EF AB CD AC +⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴111AB CD EF +=【例5】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．（2013大兴期末）(甲)CEDBF A (乙)DEF GC A BMN(乙)DEF G CA B【解析】 甲同学的加工方法好∵S △ABC =AB ·BC =23，∵AB =23， ∴BC =2 .∵∠B =90°，能力提升FEDCBA7初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴AC 22A B B C+=25. 如图甲∵四边形DBFE 是正方形， ∴DE ∥AB .∴△CDE ∽△CBA . ∴D E C DAB C B=. 设DE =x ,则CD =2-x ， ∴2322x x -= .∴x= . 如图乙过B 点作BM ⊥AC 于点M 交DE 于点N ， 由S △ABC =AB ·BC =AC ·BM ， 可得BM =.∵DE ∥AC ，∴BN ⊥DE . ∴△BDE ∽△BAC .∴DE BNAC BM=. 设DE =y ，∴655625y y -= ∴y =3037 . ∵＞3037， ∴甲同学的正方形面积大.【例6】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.【解析】∵CM AB ∥，∴PCM PBD △∽△，∴CM PCBD PB=， ∵CM AB ∥，∴CEM AED △∽△， ∴CM AD CE AE =，∵BD CE =， MPE D CBA∴CM CMCE BD=，∴PC ADPB AE=，∴AD BP AE CP⋅=⋅【例7】如图，1n+个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上.D1D2D3D4B5B4B3B2B1C5C4C3C2C1A⑴证明：2233AC D AC B△∽△，并写出2233C DC B的值.⑵设211B D C△的面积为1S，322B D C△的面积为2S，…，1n n nB D C+△的面积为nS，则2S=；nS=（用含n的式子表示）．【解析】⑴∵122C C B△和233C C B△都是等边三角形∴12223360C C B C C B∠=∠=︒又∵2233C AD C AB∠=∠∴2233AC D AC B△∽△∴2223334263C D ACC B AC===⑵23331nn+，.下列说法正确的是.⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似；⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似.【解析】⑴⑶._____________________ 探索创新8 初三暑期·第5讲·提高班·教师版9初三暑期·第5讲·提高班·教师版第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究；三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形，正方形有4个顶点，而三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上，即正方形一定有一条边落在三角形的边上.【变式1】如图，Rt △ABC （∠C =90°）中有三个内接正方形，DF =9厘米，GK =6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长． 【解析】369=-=-=EG EF GF ，设x PQ =，∵PQ GK ∥，∴∠FKG =∠KQP ．又∵∠FGK =∠KPQ =90°，∴△FGK ∽△KPQ ．∴ PQ GKKP FG =． ∴ x x 663=-．解得4=x ．答：第三个正方形的边长为4厘米．【变式3】如图所示，四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形，AD ⊥BC ，垂足为D ，BC =21cm ，AD =14cm ， EF ：FG =1：2，求矩形EFGH 的面积． 【解析】如图，设矩形的边长EF =x ，则FG =2x ，∵四边形EFGH 是三角形ABC 的内接矩形， ∴EH ∥BC ，EH =FG ， ∴△AEH ∽△ABC ，又∵AD ⊥BC ，则ID =x ，ID AD AI -=，∴AD AIBC EH =，BC =21cm ，AD =14cm ， ∴ 1414212x x -=， 解得，x =6cm ，即2x =12cm ，∴S 矩形EFGH =EF ×FG =6×12=72cm 2．答：矩形EFGH 的面积为72cm 2．【变式4】四边形ABCD 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ∆∆==， 3BEG S ∆=，求ABC ∆的面积．【解析】 辅助线同变式2．设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x===，，．由CDE CAB ∆∆∽，得CI DECH AB=， G F EDCBA PQK FGDA IHG D F EA10初三暑期·第5讲·提高班·教师版∴228x xx x xx=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABCS AB CH ∆=⋅=【变式5】如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E (与点A 、C 不重合)在AC 边上， EF ∥AB 交BC 于F 点．试问在AB 上是 否存在点P ，使得EFP ∆为等腰直角三角 形？若不存在，请简要说明理由；若存在， 请求出EF 的长．【解析】① 如图过E (或F )，分别作AB 垂线，垂足为1P (或2P )，当 1EF FP =(或2EF FP =)时，(或2EFP ∆)为等腰直角三角形．过C 作CH AB ⊥于H ，交EF 于Q ，则EF QH =，设EF QH x ==，AB CH AC BC ⋅=⋅，得 2.4CH = ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.45 2.4x x-= ∴6037x =，∴6037EF x ==② 作EF 的中垂线DP ，交AB 于P ，当2DP EF =时EFP ∆为等腰直角三角形． 设EF x =，则0.5DP x =． ∵ABC ∆∽EFC ∆ ∴EF CQ AB CH =，即 2.40.55 2.4x x -= 解得12049x =，即12049EF x ==．IHGFEDCBAP2P 1H QFEC BAD P HQFEC BAF E CBA【变式6】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为60 37．探究与计算：（1）如图13—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；（2）如图13—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为．猜想与证明：如图13—4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．【解析】探究与计算：（1）6049；（2）6061．猜想与证明：若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是602512n+．证明如下：如图2，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB．CM⊥GF．容易算出125CD=．∴CM GFCN AB=．即1251255xnx-=．∴x=602512n+．即小正方形的边长是602512n+．图13—1ACDFG图13—2C 图13—3ACGGFFDDEE图13—4ACG FD E图2ACG FD ENM训练1. 如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N 、交CB 延长线于点P 使PB BC =，若1MN =，3PN =，则DM 的长为 ． 【解析】 2.训练2. 三个边长分别为2、3、5的正方形，则EKMG S = ．【解析】 154.训练3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．【解析】10.5训练4. 如图，已知ABC △中，四边形DEGF 为正方形，D E ，在线段AC BC ，上，F G ，在AB上，如果1ADF CDE S S ==△△，3BEG S =△，求ABC △的面积．GFED CB AIH G F EDCBA【解析】 过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于I .设正方形边长为x ，则226AF CI BG x x x ===，，．由CDE CAB △∽△，得CI DECH AB=， ∴228xx x x x x=++，解得2x =，∴63AB CH ==，， ∴192ABC S AB CH =⋅=△.思维拓展训练(选讲)NMPDCB A K MHG F E DBEFGDC AB知识模块一 位似 课后演练【演练1】 如图，在119⨯的正方形网格中，TAB △的顶点坐标分别为()11T ，，()23A ，， ()42B ，． 以点()11T ，为位似中心，按:3:1TA TA =′在位似中心的同侧将TAB △放大为TA B ''△′′，放大后点A B 、的对应点分别为A B 、′′．画出TA B ''△′′，并写出点A B 、′′的坐标. T BAOyx x yOABA'B'T【解析】 如图所示，点A B 、′′的坐标分别为()()47104，、，. 知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练【演练2】 已知：如图，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，AD AE =.求证：BP BDCP CE=【解析】 如图，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥ ∴PBD PCM △∽△，∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥，∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠，∴34∠=∠， ∴CM CE =实战演练PEDCBA4321PME DCBA∴BP BDCP CE=.【演练3】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥. 【解析】∵DE AB ∥，∴AOB EOD △∽△，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OA OA OC =， ∴OD OAOB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB △∽△， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【演练4】 如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正方形的面积是81，求图2中正方形的面积．图1EFCBD A图2E'D'F'G'C'B'A'【解析】 正方形AEDF 的面积为81，所以正方形AEDF 的边长为9．又∵ABC △为等腰直角三角形 ∴45B C ==︒∠∠故BDE △和CDF △是等腰直角三角形 ∴9BE DE DF CF ====∴18AB AC ==∵90A B D G ''''==︒∠∠，45A G F B ''''==︒∠∠ 故A G F '''△和B D G '''△都是等腰直角三角形 设A G x ''=，则18B G x ''=-，2F G x ''=，)218D G x ''=- DOECB A∴()2218x x =-，解得6x = ∴62F G ''=∴图2中正方形的面积为72．【演练5】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S 正方形.【解析】设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即101015x x -= 解得，6x = 故2636EFGH S ==四边形训练1. 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）A ．12EF AF =B ．1EF CF=C ．12CF AC =D ．12CF AF =【解析】D.训练2. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ， 若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ． 【解析】10.5训练3. 如图，把PQR △沿着PQ 的方向平移到P Q R '''△的位置，它们重叠部分的面积是PQR △面积的一半，若2PQ =，则此三角形移动的距离PP '是（ ）A ．12B ．2C ．1D ．21-【解析】 D ．课后测F E DC A EFGDC ABQ′R′PR H G FEDCBA第十七种品格：成就雷妮与DOB美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。
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抄作业风波漫画释义满分晋级5相似三角形的 简单模型三角形12级 相似三角形的 性质与判定三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数暑期班 第四讲暑期班 第五讲暑期班 第六讲中考内容中考要求A B C图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。
相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。
估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。
年份2010年2011年2012年题号 3 4，20 11，20分值4分9分9分考点相似三角形的简单计算根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合中考考点分析中考内容与要求知识互联网位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心．位似比：相似比叫做位似比．位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======'''''''''（k 为位似比） C'B'A'OC BA【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ）模块一 位似知识导航夯实基础O'A'D'C'B'DAC 1B 1A 1O CB AA.61 B. 31 C. 21 D. 32 ⑵三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示.若cm OA 20=，cm 'OA 50=，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ）A ．5∶2B ．2∶5C ．4∶25D ．25∶4⑶如图，△ABC 与△111C B A 为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面 积为3，那么△111C B A 的面积是 ．图形重要结论EDCBAAD AE DEDE BC ADE ABC AB AC BC⇔⇔==∥△∽△ ODCBAAB OA OBAB CD AOB COD CD OC OD⇔⇔==∥△∽△ 知识导航模块二 相似三角形的两种基本模型三角尺灯泡O A【例2】 ⑴ 如图，在△ABC 中，BC DE ∥，BD AD 2=，6=DE ，则BC = ．⑵ 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，21=AB AD ，8=BCED S 四边形， 则ABC S ∆的面积为（ ）A ．9B ．10C ．12D ．13【例3】 若D 为BC 中点，ED 交AB 于点F ，且EF ：FD =2：3，试求AF ：FB 的值．B D CA FE【例4】 如图，AD 和BC 相交于点E ，AB CD EF ∥∥.⑴求证：ABC FEC △∽△，ACD AFE △∽△.⑵求证：111AB CD EF +=.【例5】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．夯实基础能力提升F EDC BA E D CBAEDCBA(甲)CEDBF A (乙)DEF GCA B【例6】在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，过C 作CM AB ∥交DP 于M ，求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.【例7】 如图，1n +个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上.探索创新MPE D CBAD 1D 2D 3D 4B 5B 4B 3B 2B 1C 5C 4C 3C 2C 1A⑴证明：2233AC D AC B △∽△，并写出2233C D C B 的值. ⑵设211B D C △的面积为1S ，322B D C △的面积为2S ，…，1n n n B D C +△的面积为n S ，则2S = ；n S = （用含n 的式子表示）．下列说法正确的是 .⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵ 两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似； ⑶ 三边对应成比例的两个三角形相似._____________________训练1. 如图，正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、交AB 于点N 、交CB 延长线于点P 使PB BC =，若1MN =，3PN =，则DM 的长为 ．训练2. 三个边长分别为2、3、5的正方形，则EKMG S = ．训练3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．训练4. 如图，已知ABC △中，四边形DEGF 为正方形，D E，在线段AC BC ，上，F G ，在AB 上，如果1ADF CDE S S ==△△，3BEG S =△，求ABC △的面积．GFEDCBA思维拓展训练(选讲)NMPDCBA K MHG F E DBEF GD C AB知识模块一 位似 课后演练【演练1】 如图，在119⨯的正方形网格中，TAB △的顶点坐标分别为()11T ，，()23A ，， ()42B ，． 以点()11T ，为位似中心，按:3:1TA TA =′在位似中心的同侧将TAB △放大为TA B ''△′′，放大后点A B 、的对应点分别为A B 、′′．画出TA B ''△′′，并写出点A B 、′′的坐标. T BAOyx知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练【演练2】 已知：如图，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，AD AE =.求证：BP BDCP CE=【演练3】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.实战演练PEDCBADOEC【演练4】 如图1，图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形．如果图1中正方形的面积是81，求图2中正方形的面积．图1EFCBD A图2E'D'F'G'C'B'A'【演练5】 ABC △中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S 正方形.H G F E D C B A第十七种品格：成就雷妮与DOB美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。
在艰难的生活之中，雷妮也曾绝望，也曾丧失信心，甚至还有过轻生的念头。
但她终于坚持了下来，她下定决心，以后一定要干出一番事业，让自己的子女不再过这种艰苦的生活。
于是，她毅然离开了这个名不符实的“家”，独自去闯荡天下。
在这之后，她被人笑过，被人骗过，被人抛弃过，但每当遇到困难时，她就会想起以前的生活和给自己定下的人生目标，于是一次次地挺了过来。
现在，她终于取得了成功，虽然经过了几十年长久的奋斗，但她终于实现了自己的目标。
如今，她所创立的DOB公司已在欧洲、中东、亚洲建立了十几个分部，成了一个小有名气的金融投资公司。
可能你的理想多如繁星，可能你的理想永世不变，但是不管长大要做什么职业，做什么工作，对自己的要求唯有一条永远不会改变，那就是，要从小事做起，从自身做起。
做一个对社会和全人类有贡献的人！今天我学到了58 初三暑期·第5讲·提高班·学生版。