河北省普通高中学业水平考试

河北省普通高中学业水平考试
数学
注意事项：
1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．2
3
一、22题，
2．半径为3的球的体积等于
A．9πB．12πC．36πD．54π
3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是
A ．{0}?M
B ．0?M
C ．{0}∈M
D ．?∈M
4．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝10，则a 8＝
A ．16
B ．18
C ．20
D ．50
5．不等式≥2的解集是
A ．{x |0＜x ≤2}
B ．{x |x ≥}
C ．{x |x ≤}
D ．{x |0＜x ≤} 6．函数y ＝2x －1的值域是
A ．(0，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(，＋
∞)
7．已知sin x ＝，且＜x ＜π，则tan x ＝
A ．
B ．－
C ．
D ．－
8．函数f (x )＝2x ＋x －2的零点所在的区间是
A ．(－1，0)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(2，3)
9．一个正三棱柱的三视图如图所示，
则这个正三棱柱的高和底面边长
分别为 A ．1， B ．，1
C ．2，1
D ．1，2
10．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的
最小值是
A ．
B ．
正视图 1
侧视图 俯视图
C ．2
D ．
11．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．1
12．等边三角形ABC 的边长为2，则·＝
A ．－2
B ．2
C ．－2
D ．2
13．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是 A ．ac ＞bc B ．a 2＞b 2
C ．a ＋c ＞b ＋c
D ．＜
14．函数y ＝3sin (2x ＋)（x ∈R ）图象的一条对称轴方程是
A ．x ＝0
B ．x ＝－
C ．x ＝
D ．x ＝ 15．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整
数n ，则输出n 的值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．110
16．函数y ＝sin (x －)（x ∈R ）的一个单调递增区间为
A ．[－，]
B ．[－，]
C ．[，]
D ．[，]
17．已知数列{a n }，a n ＝2n ＋1，那么数列{a n }的前10项和为
A ．211＋8
B ．211－1
C ．210＋9
D ．210
－2
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b
＋c )(b ＋c －a )＝bc ，则A ＝
A ．30?
B ．60?
C ．120?
D ．150?
19．已知实数x ，y 满足则目标函数z ＝x ＋y 的最小值是
开始 S ＞100?
是
否 结束 输出n
S ＝n (n ＋1) n ＝n ＋1
输入n
A ．0
B ．5
C ．4
D ．1
20．某单位共有职工120人，其中男职
工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）
的方法抽取一个样本，该样本中有9名女职
工，则样本容量为 A ．27 B ．36 C ．40 D ．44
21．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的
中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于
A ．30?
B ．45?
C ．60?
D ．90?
22．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，则f (5)
＝
A ．0
B ．1
C ．
D ．
二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注．
意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．
） 23．sin 165?·cos 15?＝_________．
24．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(x ，－6)，若a ⊥b ，则x ＝
___________．
25．函数f (x )＝lg (x 2
－1)的定义域是___________．
26．设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，定义数列{a n }的期望和为
D 1 A 1 A D C 1 B 1 B C
F
E
T n ＝，若数列a 1，a 2，…，a 9的期望和T 9＝100，则数列2，a 1，
a 2，…，a 9的期望和T 10＝________．
三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说
明、演算步骤或证明过程） 27．（本小题满分8分）
已知函数f (x )＝(sin x －cos x )2
＋m ，x ∈R ．
（Ⅰ）求f (x )的最小正周期；
（Ⅱ）若f (x )的最大值为3，求m 的值．
28．（本小题满分8分）
数列{a n }的前n 项和S n 满足3S n ＝a n ＋4（n ∈N *）．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{b n }的公差为3，且b 2a 5＝－1，求数列{b n }
的前n 项和T n 的最小值．
29．（本小题满分8分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标． 某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天． （Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率； （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率． 30．（本小题满分8分）
已知动点P 与两个定点E (1，0)，F (4，0)的距离之比是．
8 3 4 7 9 3 1 9 3 7
PM2.5日均值(微克/m 3
)
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx＋3与曲线C交于A，B两点，在曲线C 上是否存在点M，使得四边形OAMB（O为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
答案
一、选择题
BCABD ADBDC CACCB BACDB AD
二、填空题
23．24．－9 25．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
26．92
三、解答题
27．解：（Ⅰ）f(x)＝(sin x－cos x)2＋m＝m＋1－sin2x，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝ ．………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x＝－1时，f(x)取最大值，
故有m＋2＝3，得m＝1．………………8分28．解：（Ⅰ）由3S n＝a n＋4，得3S n－1＝a n－1＋4，两式相减，得3(S n－S n－1)＝(a n＋4)－(a n－1＋4)＝a n－a n－1，整理，得＝－（n≥2）．
又3a1＝a1＋4，得a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项，以－为公
比的等比数列，
故有a n＝2×(－)n－1．………………4分
（Ⅱ）由已知，得b2＝－＝－8，又等差数列{b n}的公差d＝3，
故b n＝b2＋(n－2)d＝3n－14，因此当n≤4时，b n＜0，当n≥5时，
b n＞0，
所以n＝4时，{b n}的前n项和T n最小，
最小值为T4＝＝－26．………………8分29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气
质量超标．
记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中
抽取2天的所有情况为：
ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，
ef，基本事件数为15。

…2分
（Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为
8．∴P(A)＝．…5分
（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”
为事件C，其可能结果为ef，
故P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝．…………………8分30．解：（Ⅰ）设点P(x，y)，由,)＝，
化简，得轨迹C的方程是：x2＋y2＝4．…………………4分（Ⅱ）因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，
所以)＜2，解得k＞或k＜－．
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离为d＝|OM|＝1．所
以)＝1，解得k2＝8，即k＝±2，经验证满足条件．所以存在两点M，使得四边形OAMB为菱形．
…………………8分。