2010 日本奥赛题目及解析

如图1，白、红、蓝三种颜色的骰子形的立方体积木有很多。

它们的棱长都是1cm，但白色的每个重1克，红色的每个重5克，蓝色的每个重10克。

用27个这样的立方体作成图2那样棱长为3cm的大立方体。

回答下面的问题。

(问1)这个棱长3cm的大立方体的重量可能取到的最轻的重量是多少克？(问2)这个棱长3cm的大立方体的重量可能取到的第二重的重量是多少克？(请把答案写在答题纸上)【解析】看到的白色的有14个，红色的有3个，蓝色的有2个。

这些共重14+3×5+2×10=49克。

最轻的话，剩下的8个都是白的，共重49+8=57克。

第二重的话，剩下的8个中有7个蓝的和1个红的，共重49+10×7+5=124克。

【答案】57，124你想要把一张细长的长方形纸ABCD从正中间折叠，使得AB和CD重合，却如图1那样错开了6cm。

现在再次尝试，这次如图2那样错开了4cm。

回答下面的问题。

(问1)图1和图2的横向长度之差是多少cm？(问2)折叠两次后，将长方形展开，有两条折痕。

这两条折痕的距离是多少cm？(把答案写在答题纸上)【解析】(1)如果把错开的部分也对折，则长度应该相等。

图1对折后长度减少3cm，图2对折后长度减少2cm，所以相差1cm。

(2)第一次的折痕在正中间右边3cm，第二次的折痕在正中间左边2cm，所以相距5cm。

【答案】1；5图1中的天平是用来测量物品的重量的。

在右盘里放要称量的物品，左盘里放砝码，两侧相平衡的时候，左盘里的砝码的重量之和就是物品的重量。

例如，图2中，左盘放了2个1g的砝码1个8g的砝码，左右两侧平衡，就知道了物品的重量为1g+1g+8g=10g。

现在，1g，3g，8g，12g的砝码各有足够多个。

在下面的问题，请回答在“□”和“△”中填入的整数是什么。

(问1)左盘总共最多只能放2个砝码，此时无论如何也称不出来的物品的重量最少是□g；(问2)左盘总共最多只能放3个砝码，此时无论如何也称不出来的物品的重量最少是△g。

(把答案写在答题纸上)【解析】(1)经尝试，1g，2g，3g，4g都可以，5g不能两个砝码组成。

(2)奇数克里面，三个奇数克可以组成3克，5克，7克，9克；一个奇数克可以是1克或3克，而至多两个偶数克的砝码的重量和可以是8克，12克，16克，20克，24克，这些可以组成9克到27克所有的奇数克的重量。

偶数克里面，如果不用奇数克的砝码，至多用三个偶数克的砝码，可以组成8克，12克，16克，20克，24克，28克，32克，36克的重量，这都是4的倍数；如果用两个奇数克的砝码，可以组成2克，4克，6克的重量。

除此之外至多再用一个8克或12克的砝码，所以被4除余2的最多能称出6+12=18克，下一个22克称不出。

【答案】5克；22克【低年级4】如图，有从A到G的7个房间，28个孩子进入这些房间。

调查后知道了下面的事情：⑴7个房间的孩子数目互不相同，也没有房间空着；⑵和A相邻的3个房间共有12个孩子；⑶和D相邻的4个房间共有11个孩子；⑷和G相邻的2个房间共有6个孩子；⑸房间G的孩子数比房间E多。

(问1)孩子数目最多的房间是哪个，有多少个孩子？(问2)孩子数目最少的房间是哪个，有多少个孩子？(把答案写在答题纸上)【解析】因为1到7之和恰好为28，所以各个房间的孩子数恰好就是1到7的某个排列。

根据题目列出：B+C+D=12A+B+C+F=11B+F=6G>E因为四个数之和为11，所以A，B，C，F是1，2，3，5的某个排列。

因为B+F=6，这里面和为6的只有1和5，所以B和F是1和5的某个排列，A和C是2和3的某个排列。

D，E，G是4，6，7的某个排列，下面根据B和C来讨论D可能的取值。

B=1，C=2→D=9，不符合；B=1，C=3→D=8，不符合；B=5，C=2→D=5，不符合；B=5，C=3→D=4，符合。

剩下6和7，所以G=7，E=6。

【答案】G最多，7个；F最少，1个。

在若干条竖线之间各画一条横线，作成“脚手架”。

竖线有3条的时候，可以作出如下面的图1、图2的“脚手架”。

图1中，①到达C，②到达A，③到达B；图2中，①到达B，②到达C，③到达A。

这样，竖线有3条的时候，①～③三者分别到达A～C的哪个，这样的组合有2种。

(问1)竖线有4条的时候，①～④四者分别到达A～D的哪个，这样的组合有多少种？(问2)竖线有6条的时候，①～⑥四者分别到达A～F的哪个(原文误做A～G)，这样的组合有多少种？【解析】首先，n条竖线有n-1条横线，每相邻的两条横线谁在上谁在下有2种，总共n-2对相邻横线，有2n-2种可能。

下面说明这2n-2种互不相同。

从左到右，第一条横线有在第二条横线上方和下方两种可能。

下面称为第一类和第二类。

可观察到，第一类中①肯定不会到达B，而第二类中①肯定到达B。

所以，不同类的脚手架结果一定不相同。

另一方面，在同一类中，去掉第一条竖线和第一条横线，成为了一个少一阶的脚手架。

容易发现如果去掉它们之后的两个脚手架的结果不同，那么去掉它们之前的结果也不同。

所以，递推即可发现结论成立，是依次乘以2的关系。

【答案】4；16盒子中有写有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9的卡片各一张。

平太从盒子中每次拿出1张卡片，拿9次，根据拿出的卡片上的数，在图中的方格中，从起点向☆前进相应步数。

(拿出的卡片不再放回。

)走完第1步后，面朝东。

第2步比第1步走的步数多，走完第2步后，面朝东。

走完第3步后，面朝北。

走完第4步后，面朝南。

走完第5步后，面朝东。

走完第6步后，面朝东。

第7步比第6步走的步数多，走完第7步后，面朝东。

走完第8步后，面朝西。

走完第9步后，到达了写有☆的终点。

途中一次也没有停留在拐弯处的红格里。

请回答下面的问题。

(问1)数字9的卡片是第几次拿出的？(问2)第8次拿出的卡片的数字是几？(请把答案写在答题纸上)【解析】因为没有停留在拐弯处的红格里，所以红格将除起点终点以外的格子分成8段，格子数依次从8个格递减到1个格。

下面把它们称为“8格路”到“1格路”。

因为走完第5，6，7步之后都朝东，所以一直在4格路上。

但是这只有4格，所以一定是第6步走了1格，第7步走了2格。

走第4步之后直接从面朝北变成了面朝南，也就是说走过了整条6格路，直接跳过6格路和两个红格，所以中间至少跳过了8格，至少走了9格。

最多是9，所以恰好走了9格。

这样，第5步走了6格，第8步面朝西走到2格路上，只能走6格或7格，所以走了7格。

【答案】4，7A～D四个人现在的年龄之和是72岁。

若干年前（至少一年前）A是22岁的时候，B是16岁。

而且，当A是19岁的时候，C的年龄是D的3倍。

另外，A～D四个人的年龄全不相同。

⑴A～D现在的年龄的组合共有多少种？⑵无论是⑴中的哪种组合，现在的年龄都相同的人是哪个人，多少岁？【解析】A是19岁的时候，B应该是13岁，设此时C为3x岁，D为x岁。

则那时候四人的年龄和为(4x+32)岁，现在为72岁，所以经过了(72-4x-32)÷4=10-x年。

因为是至少一年前A是22岁，所以现在A至少23岁，也就是说10-x至少为4。

又因为四个人的年龄全不相同，所以x不会等于0，至少为1。

也就是说，x可以取1到6共6个值。

四个人现在的年龄：A为(29-x)岁，B为(23-x)岁，C为(2x+10)岁，D为10岁。

也就是说年龄相同的这个人是D。

【答案】⑴6种；⑵D恒为10岁。

如图，有一个水槽，里面有两个可以不计厚度的挡板。

两个挡板是和水槽的侧面平行的长方形的形状。

在A和C两部分中，分别同时以每秒100cm3的速度同时注入水。

测定B的部分的水的深度，开始注水50秒后是7cm，再过50秒后是29cm。

求两个挡板各自的高度。

另外，图画的不一定是准确的。

【解析】三部分的底面积各为200cm2，而每秒向A和C各注入100cm3的水，也就是0.5cm高的水。

第一个50秒后，A和C各注入了25cm高的水，因为B里面有水进入，所以右挡板高度小于25cm。

第二个50秒后，A和C各注入了50cm高的水，因为B里面水的高度大于25cm，所以水已经超过右挡板，且还有一部分水是从左挡板流下的；但因为B里面水的高度小于100/3cm，所以水没有超过左挡板，也就是说左挡板高度大于29cm。

所以，第一个50秒后，三部分水的深度依次为25cm，7cm，18cm；所以，第二个50秒后，三部分水的深度依次为42cm，29cm，29cm。

【答案】两个挡板的高度分别为42cm和18cm。

有个保险箱，它上面有数字盘。

如下图，一开始▼指向数字0，如果让▼依次指向某4个数字，就可以打开保险箱。

根据以下4人的话，依次求出①第一位数字，②第二位数字，③第三位数字。

矢泽：某个地方有数字6。

最后一位数是0。

另外，没有出现9。

三田：转动数字盘的时候，有2次转动了4格，1次转动了3格，1次转动了1格。

但我不记得分别是朝什么方向了。

中山：第一次是顺时针，第三次是逆时针。

八木：两次转动4格不是连续的。

【解析】四次转动后回到0，说明1，3，4，4经过某种加减组合得到的结果是10的倍数，分别考虑0或10，只有一种可能，就是4+4+3-1=10。

也就是说，只有转动1格那次是和其他三次方向不同的，第一次和第三次一定有一次是转动1格。

如果第一次顺时针转动了1格，则转到了9，不符合；如果第三次逆时针转动了1格，则其他三次都是顺时针转动，而且前两次不能都是转4格，可以是“4格——3格——1格——4格”或者“3格——4格——1格——4格”，结果为6340或7340，因为有6，所以是前者。

【答案】6，3，4。

如下图，在四边形ABCD中，BC=13cm，从内部的点E向其顶点A，B，C，D分别做线段EA，EB，EC，ED。

有AB=EC，EB=CD，∠ABE=∠ECD=45°，∠AED=90°。

另外，四边形BCDE的面积为30cm2。

求DE的长度。

【解析】因为△ABE≌△ECD，所以AE=ED，△AED为等腰直角三角形。

也就是说，绕AD中点将△ABE逆时针旋转90°就和△ECD重合，如果继续旋转两次90°并连接外围顶点，就形成了一个大正方形，由四个BCDE那样形状的四边形和一个小正方形组成。

所以，小正方形的面积为132-4×30=49(cm2)，边长为7(cm)。

【答案】7cm。

【中年级5】有一个三位整数，各位数字都不为0。

将这个整数的百位用A表示，十位用B，个位用C。

现在，有个整数百位为10-A，十位为10-B，个位为10-C，它是原来整数的倍数。

此时，求出原来的整数所有的可能性。

【解析】两个整数之和为10×(100+10+1)=1110，它也应该是原来整数的倍数。