(完整版)北师大九年级数学知识点
北师大版初三数学知识点总结
北师大版初三数学知识点总结北师大版初三数学知识点总结1直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
〔勾股定理的逆定理〕。
判定3：假设一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角〔两角相加等于90°〕的三角形是直角三角形。
判定5：假设两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，那么两直线互相垂直。
那么判定6：假设在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
〔与判定3不同，此定理用于斜边的三角形。
〕北师大版初三数学知识点总结2全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的“数与代数〞“空间与图形〞“统计与概率〞“实践与综合应用〞四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体。
九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。
本册书内容分析如下：第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。
解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。
“二次根式〞一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。
在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。
“二次根式的乘除〞一节的内容有两条开展的线索。
一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法那么的合理性，并运用二次根式的乘除法那么进行运算;一条是由二次根式的乘除法那么得到并运用它们进行二次根式的化简。
北师大版初中数学定理知识点汇总 九级(上册)
北师大版初中数学定理知识点汇总九年级(上册第一章证明(二※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222c ba =+（注意区分斜边与直角边）②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。
（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线>※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1所示，AO=BO=CO）※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
(如图2所示，OD=OE=OF第二章一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0 (2=+m x 的形式>②公式法 aac b b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
北师大版数学九年级知识点
北师大版数学九年级知识点数学作为一门重要的学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要途径。
在九年级阶段，学生将进一步学习数学的各个方面，包括代数、几何、概率与统计等知识点。
本文将针对北师大版数学九年级教材的知识点进行讲解，帮助学生更好地理解和掌握这些内容。
一、代数知识点1. 多项式运算在九年级数学中，我们将学习多项式的加法、减法、乘法运算，以及多项式的因式分解和乘法公式。
通过多项式的运算，可以帮助我们简化表达式，解决实际问题。
2. 一元二次方程一元二次方程是九年级数学中的重点内容。
我们将学习如何解一元二次方程，包括配方法、因式分解法和求根公式。
掌握一元二次方程的解法，可以帮助我们解决实际生活和工作中涉及到的问题。
3. 平面直角坐标系与二次函数平面直角坐标系是描述几何图形和二次函数的有力工具。
我们将学习如何在平面直角坐标系中表示点、线和图像等，并研究二次函数的特性和性质。
二、几何知识点1. 平行线与平行四边形平行线和平行四边形是几何学中的基础概念。
我们将学习如何判定两条线是否平行，以及如何构造平行四边形。
通过学习这些知识，可以帮助我们解决平行线和平行四边形相关的问题。
2. 三角形的相似与性质三角形是几何学中的重要图形，我们将学习如何判定三角形的相似关系，以及相似三角形的性质。
通过学习相似三角形，我们可以推导出三角形的重要性质，为几何证明提供依据。
3. 圆的性质与应用圆是几何学中的特殊图形，我们将学习圆的性质，包括圆心角、弧度、弧长等概念。
同时，我们还将学习如何应用圆的性质解决实际问题，例如圆形花坛的设计、圆的切线等。
三、概率与统计知识点1. 事件与概率概率是研究随机事件发生可能性的数学工具，我们将学习如何确定事件的概率，并进行相关计算。
通过学习概率的知识，可以帮助我们评估风险、做出决策。
2. 统计图与统计量统计图和统计量是研究数据分布和统计规律的工具。
我们将学习如何使用直方图、折线图等统计图描述数据分布情况，并计算相关统计量，例如平均数、中位数等。
北师大版初中数学知识点归纳(初中完整版)
第一章丰富的图形世界1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形.立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体(1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。
（2）点动成线,线动成面，面动成体.3、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……(按名称分) 锥圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱;2n个顶点。
5、正方体的平面展开图：11种6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形.7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图.主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。
从一个n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n 边形分割成（n-2）个三角形。
弧：圆上A 、B 两点之间的部分叫做弧.扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.第二章 有理数及其运算1、有理数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数负有理数或 整数有理数分数2、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可）.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
九年级北师大版数学知识点
九年级北师大版数学知识点1. 无理数与实数数学是一门精密严谨的学科，其中涵盖了许多重要的概念和知识点。
在九年级的数学学习中，我们将学习到很多有趣且实用的数学知识。
首先，我们将从无理数和实数开始。
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如根号2和圆周率π。
无理数没有无限循环的小数表示形式，所以无法精确描述。
然而，无理数确实存在，并且在应用中起着重要的作用。
与无理数相比，实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如2和3/4。
实数在现实生活中广泛应用，可以用来计算长度、重量、时间和空间等各种实际量。
2. 平方根与立方根在学习九年级数学时，我们还将学习平方根和立方根的概念。
平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。
例如，根号4等于2，因为2的平方等于4。
立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。
例如，立方根8等于2，因为2的立方等于8。
平方根和立方根在代数学和几何学中都有广泛的应用。
它们可以帮助我们解决各种问题和方程，以及在测量和构造中进行计算。
3. 直角三角形与勾股定理在九年级的数学学习中，我们还将接触到直角三角形和勾股定理。
直角三角形是一个内部含有一个直角（90度角）的三角形。
直角三角形非常重要，因为它们可以通过勾股定理来解决各种问题。
勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于其他两条边平方的和。
即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b代表直角边的长度，c代表斜边（也称为弦）的长度。
勾股定理不仅可以用于计算直角三角形的边长关系，还可以用于解决实际问题，例如测量不可直接获得长度的物体，或者计算斜坡的倾角等。
因此，理解和掌握勾股定理在数学学习中至关重要。
4. 一次函数与二次函数在九年级的数学学习中，我们还将学习到一次函数和二次函数。
一次函数是指函数的图像是一条直线，表达式为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
一次函数可以用来描述一些简单的线性关系，例如速度和时间的关系。
北师大版数学九年级主要知识点
北师大版数学九年级主要知识点数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们生活的方方面面。
而数学知识的积累和掌握，对于我们的学业和未来有着重要的影响。
在九年级阶段，对数学的学习更加深入和复杂，因此，我们有必要了解并掌握北师大版数学九年级的主要知识点。
一、代数与函数代数与函数是数学的基础，也是九年级数学的重要内容之一。
在这个章节中，我们将学习如何表示和解决代数方程式，理解函数的概念和性质，并运用函数解决实际问题。
同时，我们还需要掌握二次函数的图像、性质和应用，以及简单的不等式和绝对值函数等。
二、几何与变换几何是数学中一门重要的分支，它研究的是空间与形状的关系。
在这个章节中，我们将学习平面图形的性质和判定，尤其是三角形和四边形的特征和相似性质。
我们还需要了解圆的性质，熟练运用弧长和扇形面积的计算。
此外，还需要掌握变换的概念，如平移、旋转、翻转和对称等，并能灵活运用这些变换解决问题。
三、数据与统计数据与统计是数学中与实际生活联系最为密切的部分。
在这个章节中，我们将学习如何收集和整理数据，并对数据进行分析和归纳。
我们需要掌握频数和频率的计算，学会制作和解读各类统计图表，如直方图、折线图和饼图等。
同时，我们还需要了解概率的基本概念和计算方法，以及概率事件之间的关系与运算。
四、数系与立体数系与立体是九年级数学中的重要知识点之一。
在这个章节中，我们将学习实数的性质和运算，掌握根号的运算法则和解方程的方法。
我们还需要了解立体的基本概念，如球的体积和表面积的计算等。
此外，我们还要学会通过直线与平面的相交关系，解决相关的问题。
五、解决问题的方法数学作为一门实用学科，最终的目的是解决问题。
在这个章节中，我们将学习一些常见的解题方法和思维方式。
例如，通过设未知数、列方程和代数的方法解决实际问题；通过分类、归纳和推理的方法解决几何问题；通过逻辑推理和举例法解决函数和概率问题。
这些方法不仅在数学中有用，也对我们的思维能力和解决实际问题的能力有积极的影响。
北师大版九年级数学定理及知识点总汇
北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册)第一章 证明(二)※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边）②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。
（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线>※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1所示，AO=BO=CO ）※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
(如图2所示，OD=OE=OF)第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>②公式法 aacb b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版3.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇三1.直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切。
2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。
3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。
4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。
5.垂直于半径的直线必为圆的切线。
6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。
7.垂直于半径的直线是圆的切线。
8.圆的切线垂直于过切点的半径。
4.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇四单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。
当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。
一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
假如在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项全部的常数都是同类项。
1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。
多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。
单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。
在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。
2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。
3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a 时，假如它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。
性质1假如fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。
性质2假如fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就肯定对应相等。
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第1页 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理：222cba（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义）
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）
※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02cbxax（a、b、c为 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02cbxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法
②公式法 aacbbx242 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
A C B O 图1 图2 O A C B
D
E F 第2页
※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1； ③把常数项移到方程的右边； ④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成0)(2mx的形式； ⑥两边开方求其根。 ※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程无实数根。
※如果一元二次方程02cbxax的两根分别为x1、x2，则有：
acxxabxx2121。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：
①2122122212)(xxxxxx ②21212111xxxxxx ③
212212214)()(xxxxxx ④21221214)(||xxxxxx ⑤||22)(|)||(|2121221221xxxxxxxx
⑥)(3)(21213213231xxxxxxxx ⑦其他能用21xx或21xx表达的代数式。 （3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：0)(21221xxxxxx （4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221xxxxxx 的根
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验求解方程抽象分析问题 第三章 证明（三） ※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶
点连成的线段叫做它的对角线．．．。 第3页
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 第4页
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 第四章 视图与投影 ※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。 三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。 主视图：基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象 左视图：基本可认为从物体左面视得的图象 ※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。 ※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。 ※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．．。
太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．．．．。 探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中．
心投影．．．。
※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。 眼睛的位置称为视点．．；由视点发出的线称为视线．．；眼睛看不到的地方称为盲区．．。
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。 ①点在一个平面上的投影仍是一个点； ②线段在一个面上的投影可分为三种情况： 线段垂直于投影面时，投影为一点； 线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度； 线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。 ③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况： 平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状； 平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段； 平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等
一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分）
一内角为直角 一邻边相等
或对角线垂直
一个内角为直角 （或对角线相等）
鹏翔教图3 第5页 第五章 反比例函数 ※反比例函数的概念：一般地，xky（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。 （x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）
※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ )0(kxky ←→ )0(1kkxy
←→ )0(kkxy ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k. ※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值。（通常第二种方法更适用） ※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 ※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。 ※反比例函数性质： ①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 ※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)
点P(x,y)在双曲线上都有||21||21||||kxySkxySAOBOAPB矩形 第六章 频率与概率 ※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．；
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：
实验次数频数数据总数频数频率
在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。 ※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。 用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。 ※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率； ※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依
照20010100x估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”） ※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。