第一部分专题一 微专题1 三角函数与解三角形-2021届高三数学二轮专题复习精品课件
2021届高考数学二轮复习核心热点突破-专题一第1讲 三角函数的图象与性质
专题一：三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质一：高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.二：真 题 感 悟1.(2020全国1理7)设函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)在[－π，π]的图象大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π22.(2020山东、海南10)（多选）下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )3.(2020全国3文5)已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)＝( )A ．12B ．33C ．23D ．224.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A.f (x )＝|cos 2x |B.f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝cos|x |D.f (x )＝sin|x |5.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.6.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________.7.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.8.(2020全国3理9)已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．–2B ．–1C ．1D ．29.(2020全国3理16)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三：考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 四：热点解析热点一 三角函数的定义与同角关系式1.已知512sin ,cos ,1313αα==-，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ） A ．512(,)1313- B ．512(,)1313- C ．125(,)1313- D ．125(,)1313-2.(2018全国1文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．13.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于_____________．4.已知tan α＝2，则sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋sin 2α＝，sin 2α－2sin αcos α＋2＝ ．5.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝ ，tan α＝ ．探究提高1．三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin α与cos α的齐次式，同除cos α或cos 2α，如果不是齐次，借助1＝sin 2α＋cos 2α构造齐次．(3)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α间关系式注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．6．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).（1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =，求角α的值.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，312A ⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1()3f θ=，求s inα＋s inα－s inαcosαinα和cosα tan αsin2α7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.热点二 三角函数的图象辨析(2019全国1理5)函数f (x )=sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．(2019全国1文5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．3.(2017全国1文8)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．12．（2020·天津和平区·高一期末）如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（ ）A ．2,6πB ．2,3π-C ．1,6πD ．1,3π-2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.2．（多选）已知函数()()()2sin 0,||f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．若123x x π+=，则()()12f x f x =D ．若123x x π+=，则()()120f x f x +=3．（多选）函数()sin(2)0,||2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同x 1，x 2∈[a ，b ]，若f （x 1）＝f （x 2），有f （x 1+x 2）3=，则（ ）A ．a +b ＝πB ．2b a π-=C ．3πϕ=D ．()3f a b +=热点四 三角函数的性质1.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．2.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝π6，则φ的值为 ．3.已知函数y ＝cos(2x ＋φ)为奇函数，则φ的值为 ．4.将函数()π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．5.若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ．6.已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ．探究提高：三角函数对称问题方法：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) 若x ＝x 0为对称轴⇔f (x 0)＝±A ． 若(x 0，0)为中心对称点⇔f (x 0)＝0．推论：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)若函数y ＝f (x )为偶函数⇔f (0)＝±A ．若函数y ＝f (x )为奇函数⇔f (0)＝0．7.将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ． 8.对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.下列命题正确的是（ ）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数y =是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π D ．函数cos(sin )y x =是奇函数10.设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π吗 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点为 6x π=热点四 三角函数性质与图象的综合应用1.若动直线x a =与函数())12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．32．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.3．（多选）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6x π=-，则（ ）A ．点(,0)3π是函数，f （x ）的一个对称中心B ．函数f （x ）在区间(,)2ππ上无最值C ．函数f （x ）的最大值一定是4D ．函数f （x ）在区间5(,)66ππ-上单调递增4．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
π 4 π 4
＝
－3－1 1－3
＝
2
，
则
tan
β ＝ tan(α ＋ β － α) ＝
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋3－3×2 2＝17.故选 D．
3. (2023·怀仁市校级四模)已知 α 为锐角，且 sin α＋sinα＋π3＋
sinα＋23π＝ 3，则 tan α＝_____3___.
2cos 40°＋cos 80°＋sin 80°tan θ＝0，
所以
tan
θ＝－2cos
40°＋cos sin 80°
80°＝－2cos120°s－in8800°°＋cos
80°
＝－2cos
120°cos
80°＋sin 120°sin sin 80°
80°＋cos
80°＝－
3sin 80° sin 80°
2 α＋3tan
≤ α2
2
1 tan
α·3tan
α
＝ 33，当且仅当tan1 α＝3tan α，即 tan α＝ 33时，等号成立，tan β 取得最
大值 33.故选 B．
核心考点2 正弦定理、余弦定理的应用
核 心 知 识·精 归 纳
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外 接圆半径)．
第一篇
核心专题提升•多维突破
专题一 三角函数与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
分析考情·明方向 真题研究·悟高考 考点突破·提能力
分析考情·明方向
高频考点
高考预测
三角函数的化简与求值(倍角公式、
两角和与差公式进行恒等变换，角 继续以选择、填空题形式考查三角
2021高考数学复习课件：专题一 微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
微专题1 三角函数与解三角形
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Байду номын сангаас对点训练
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专题一ꢀ三角函数与平面向量
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三角函数的图象和性质(小题速做,大题细做)-2022届高考数学二轮复习
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11
①两个相邻对称中心之间的距离等于T2；②两条相邻对称轴之间的距离等于T2；③对称 中心与相邻对称轴的距离等于T4.
(3)由点的坐标定 φ.把图象上的一个已知点的坐标代入(此时 A，ω，B 已知)求解． 2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其 中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长 度数和方向．
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当 f(x)＞1 时，2cos2x－π6＞1， 解得 x∈－1π2＋kπ，π4＋kπ，k∈Z， 此时最小正整数 x＝3. 当 f(x)＜0 时，2cos2x－π6＜0， 解得 x∈π3＋kπ，56π＋kπ，k∈Z， 此时最小正整数为 2. 综上满足题意的最小正整数为 x＝2. 答案：2
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9
＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得 φ＝43π＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin－2x＋43π，但当 x＝0 时，y＝
sin－2x＋43π＝－ 23＜0，与图象不符合，舍去．综上，选 BC.
(2) 解 析 ： 先 将 函 数
y
＝
sin
x－4π
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
，
得
到
函
数
y＝
sinx＋3π－π4＝sinx＋1π2的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵
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好题精练——练技巧、练规范 2．(多选题)(2021·湖南、河北新高考联考)已知函数 f(x)＝sin2x－π6，则下列结论正确 的是( ) A．f(x)的最小正周期为 π B．f(x)的图象关于直线 x＝－67π 对称 C．f(x)在－π4，π6上单调递增 D．y＝f(x)＋fx＋4π的最小值为－ 2
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题二三角函数、解三角形第三讲三角函数与解三角形
第三讲 三角函数与解三角形——大题备考大题一般为两问：第一问一般为利用正、余弦定理实施“边角互化”求角，多与三角形的内角和定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与三角形的面积、周长问题相结合，有时与基本不等式相结合求三角形的周长或面积的最值等．微专题 1 三角函数的图象与性质保 分 题1.已知函数f(x)＝√3sin (ωx ＋π6)＋2sin 2(ωx 2+π12)－1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g(x)的图象，当x ∈[－π12，π6]时，求函数g(x)的值域．2．[2022·湖南永州二模]已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)；(2)将函数y ＝f(x)图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π3]上的值域．技法领悟1．借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin (ωx＋φ)＋B或(y＝A cos (ωx＋φ)＋B)的形式；2．把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin (ωx＋φ)＋B或(y＝A cos (ωx＋φ)＋B)的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题．微专题2利用正弦、余弦定理解三角形保分题1.[2022·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝25，求△ABC的周长．312．[2022·广东茂名二模]在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a∶b＝2∶√3，2sin B＋√3sin A＝2√2.(1)求角B的大小；(2)若a＝2，求△ABC的面积．提 分 题 例1[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1+sin A＝sin 2B 1+cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．听课笔记： 例2[2022·山东烟台三模]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2a cos A cos C ＋2c cos 2A. (1)求角A ；(2)若a ＝4，求c －2b 的取值范围． 听课笔记：技法领悟ab 1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝12 sin C型面积公式及基本不等式求解．2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．巩固训练11.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sin A －√3cos A)＝a sin B.(1)求A；(2)若a＝2，点D为BC的中点，求AD的最大值．2．[2022·山东济南二模]已知△ABC 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＋C＝2B，a.△ABC的面积S＝√34(1)求边c；(2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．第三讲 三角函数与解三角形微专题1 三角函数的图象与性质保分题1．解析：(1)由题意，函数f (x )＝√3sin (ωx ＋π6)＋2sin 2[12(ωx ＋π6)]－1＝√3sin(ωx ＋π6)－cos (ωx ＋π6)＝2sin (ωx ＋π6−π6)＝2sin ωx因为函数f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝π，可得ω＝2.故f (x )＝2sin 2x .(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin (2x －π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y ＝g (x )＝2sin (4x －π3)的图象．当x ∈[－π12，π6]时，4x －π3∈[－2π3，π3]，当4x －π3＝－π2时，函数g (x )取得最小值，最小值为－2， 当4x －π3＝π3时，函数g (x )取得最大值，最大值为√3， 故函数g (x )的值域为[－2，√3].2．解析：(1)由最大值可确定A ＝2，因为T2＝7π12−π12＝π2，所以ω＝2πT ＝2， 此时f (x )＝2sin (2x ＋φ)，代入最高点(π12，2)， 可得：sin (π6＋φ)＝1，从而π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，结合|φ|<π2，于是当k ＝0时，φ＝π3， 所以f (x )＝2sin (2x ＋π3)．(2)由题意，g (x )＝f (x ＋π12)＝2sin [2(x ＋π12)＋π3]＝2sin (2x ＋π2)＝2cos 2x ， 当x ∈[0，π3]时，2x ∈[0，2π3]，则有cos 2x ∈[－12，1]，所以g (x )在区间[0，π3]上的值域为[－1，2].微专题2 利用正弦、余弦定理解三角形保分题1．解析：(1)证明：∵sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A )，∴sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ， ∴sin C sin A cos B ＝2sin B sin C cos A －sin B cos C sin A . 由正弦定理，得ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C . 由余弦定理，得a 2+c 2−b 22＝b 2＋c 2－a 2－a 2+b 2−c 22.整理，得2a 2＝b 2＋c 2. (2)由(1)知2a 2＝b 2＋c 2. 又∵a ＝5，∴b 2＋c 2＝2a 2＝50.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即25＝50－5031bc ，∴bc ＝312.∴b ＋c ＝√b 2+c 2+2bc ＝√50+31＝9， ∴a ＋b ＋c ＝14.故△ABC 的周长为14.2．解析：(1)由正弦定理知：asin A ＝bsin B ，则ab ＝sin Asin B ＝√3，所以2sin B ＋√3sin A ＝4sin B ＝2√2，则sin B ＝√22且π>B >0，可得B ＝π4或B ＝3π4， 又π>A >B >0，所以B ＝π4.(2)由题设，a ＝2，则b ＝√3，又B ＝π4， 所以cos B ＝a 2+c 2−b 22ac＝1+c 24c＝√22，整理得c 2－2√2c ＋1＝0，解得c ＝√2±1，满足题设．由S △ABC ＝12ac sin B ＝√22c ，所以，当c ＝√2＋1时S △ABC ＝1＋√22；当c ＝√2－1时S △ABC ＝1－√22.提分题[例1] 解析：(1)由已知条件，得sin 2B ＋sin A sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B .所以sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B －sin A sin 2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos 2B ≠0，则B ≠π2，所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12. 又0＜B ＜π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2， 所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2)＝－cos 2C . 由正弦定理，得a 2+b 2c 2＝sin 2A+sin 2Bsin 2C＝cos 22C+cos 2Csin 2C＝(1−2sin 2C )2+(1−sin 2C )sin 2C＝2+4sin 4C−5sin 2Csin 2C＝2sin 2C ＋4sin 2C －5≥2√2sin 2C ·4sin 2C －5＝4√2－5，当且仅当sin 2C ＝√22时，等号成立，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2－5.[例2] 解析：(1)因为b ＝2a cos A cos C ＋2c cos 2A ， 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos A cos C ＋2sin C cos 2A ， 即sin B ＝2cos A (sin A cos C ＋sin C cos A )， 即sin B ＝2cos A sin (A ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，所以sin B ＝2cos A sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由正弦定理得asin A ＝8√33， 所以c －2b ＝8√33(sin C －2sin B )＝8√33[sin (π－π3－B )－2sin B ] ＝8√33(√32cos B －32sin B )＝8(cos B cos π3－cos B sin π3)， 所以c －2b ＝8cos (B ＋π3)．因为B ∈(0，2π3)，所以B ＋π3∈(π3，π)，所以cos (B ＋π3)∈(－1，12)，所以c －2b ∈(－8，4)． [巩固训练1]1．解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin B ＝b sin A .因为b (2sin A －√3cos A )＝a sin B ，所以b (2sin A －√3cos A )＝b sin A . 又b ≠0，所以sin A －√3cos A ＝0，所以tan A ＝√3. 因为△ABC 中，0<A <π，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，由a ＝2，A ＝π3及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得4＝b 2＋c 2－bc ，所以b 2＋c 2＝bc ＋4≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立． 又点D 为BC 的中点，所以 AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗2)2＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗4＝c 2+b 2+bc4＝2bc+44≤3，所以|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |max ＝√3， 即AD 的最大值为√3.2．解析：(1)因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3； 因为S ＝12ac sin B ＝√34ac ＝√34a ，所以c ＝1.(2)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，由(1)知B ＝π3，c ＝1，代入上式得：a ＝sin Asin C ＝sin(C+π3)sin C ＝12sin C+√32cos C sin C＝12+√32tan C ，因为△ABC 为锐角三角形，则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C <π2，所以C ∈(π6，π2)，所以tan C ∈(√33，＋∞)， 所以a ＝12+√32tan C ∈(12，2)．。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件
2. (2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是( C )
A．16
B．14
C．13
D．12
【解析】 由题意知：曲线 C 为 y＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋ω2π＋π3， 又 C 关于 y 轴对称，则ω2π＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，解得 ω＝13＋2k，k∈Z， 又 ω>0，故当 k＝0 时，ω 的最小值为13.故选 C．
则
2ssininπ2π－－αα＋－cocsos32ππ＋＋αα＝
2sin cos
α＋cos α α＋sin α
＝21t＋antαan＋α1＝
2×1＋－－22＋ 1＝3.故
选 C．
2. (2022·襄城区校级模拟)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
且f(3)＝3，则f(2 020)的值为( D )
3. (2023·大兴区模拟)若 α 为任意角，则满足 cosα＋k·π4＝cos α 的一
个 k 值为( D )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵cosα＋k·π4＝cos α，∴k·π4＝2nπ，n∈Z，∴k＝8n；n
∈Z；故选 D．
角度2：同角三角函数基本关系
4. (2023·南宁模拟)已知 sin2α＝cos α－1，则 sinα＋32π＝( B )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
【解析】 ∵函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，∴f(3)＝asin(3π
＋α)＋bcos(3π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝3，∴asin α＋bcos β＝－3.∴f(2
2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题一三角函数与平面向量微专题1三角函数与解三角形课件
C．λμ＝1
D．λμ＝－1
解析：因为 a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
所以 a＋λb＝(λ＋1，1－λ)，a＋μb＝(μ＋1，1－μ)，
由(a＋λb)⊥(a＋μb)，
得(λ＋1)(μ＋1)＋(1－λ)(1－μ)＝0，
整理得：2λμ＋2＝0，即 λμ＝－1.
故选 D. 答案：D
专题一 三角函数与平面向量
专题一 三角函数与平面向量
所以 22sin A＝3× 22cos A， 所以 sin A＝3cos A，即 cos A＝13sin A， 又因为 sin2 A＋cos2 A＝1，所以 sin2 A＋19sin2 A＝1， 解得 sin2 A＝190， 又因为 A∈(0，π)，所以 sin A>0， 所以 sin A＝31010.
专题一 三角函数与平面向量
4．(2023·全国乙卷)若 θ∈(0，π2)，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝________．
解析：因为 θ∈(0，π2)，tan θ＝12＝yx，
所以令 x＝2，y＝1，设 θ 终边上一点的坐标 P(2，1)，
则 r＝|OP|＝ 22＋12＝ 5，
则
sin
2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量 a，b 满足|a－b|＝ 3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ ________． 解析：因为|a－b|＝ 3，|a＋b|＝|2a－b|， 所以 a2＋b2－2a·b＝3， a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b， 所以 a2＝2a·b，所以 b2＝3， 所以|b|＝ 3. 答案： 3
专题一 三角函数与平面向量
4．(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 △ABC 面积为 3，D 为 BC 的中点，且 AD＝1. (1)若∠ADC＝π3，求 tan B； (2)若 b2＋c2＝8，求 b，c. 解：(1)因为 D 为 BC 中点，S△ABC＝ 3， 则 S△ACD＝ 23， 过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，如图所示： △ADE 中，DE＝12，AE＝ 23，S△ACD＝12·23CD＝ 23，解得 CD＝2，
新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形课件
的值
2
sin α
1
D．
2
C． 2
答案：D
α
解析：由tan
α
2
cos2 2
α
1+cos α 1+2 cos 2 −1
1
1
＝2，则
＝
α
α ＝
α
α＝
α＝ .故选D.
2
sin α
2
2 sin cos
sin cos
tan
2
2
2
2
2
(2)[2023·安徽宣城二模]已知 3sin α－sin
＝(
)
7
9
7
4
)
1
B．
2
D．－
3
2
答案：D
解析：由已知可得，sin
1−cos2α 3
＝ .
2
4
所以sin2α＝
3π
(2α＋ )＝cos
2
(2α＋π)＝－cos
3
2
1
2α＝ ，所以cos
2
又角α在第四象限内，所以sin α＝－ sin2 α＝－ .故选D.
1
2α＝－ ，
2
2. (1)[2023·安徽安庆二模]已知第二象限角α满足sin
2
即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝ ，所以2sinαcos
3
因为0<α<π，所以cos α<0<sin α，所以sin α－cos α>0.
1
4
2 3
.
3
因为(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋ ＝ ，所以sinα－cos α＝
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对点训练
(2)由图象可知 A＝2，f(0)＝1，因为 f(0)＝2sin φ＝1， 且 0<φ<π2，
所以 φ＝π6， 所以 f(x)＝2sin ωx＋π6，因为 f 51π2＝0 且为单调递 减时的零点， 所以 ω·51π2＋π6＝π＋2kπ，k∈Z，所以 ω＝2＋245k， k∈Z，由图象知 T＝2ωπ>2×51π2，
π6个单位得到
B．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π3对称
C．函数 f(x)在区间－π3，π3上是单调递增的
D．函数 f(x)图象的对称中心为k2π－1π2，0(k∈Z)
解析：(1)函数 f(x)＝12sin x＋ 23cos x 可化为：
f(x)＝sinx＋π3，
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对点训练
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微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
又函数 g(x)＝sin 2x 向左平移π6个长度单位，即可得到 f(x)＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3，故选 D. 答案：D
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对点训练
3 ． (2020·东 莞 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ cos(ωx ＋
φ)ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期为 π，将 f(x)的图象向左平移π3 个单位后，所得图象关于原点对称，则函数 f(x)的图象( )
答案：D
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对点训练
小题考法 2 三角函数的性质及应用
(1)(2020·皖南八校第三次联考)若函数 f(x)＝
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对点训练
1．(2020·汉中质检)已知函数 f(x)＝cos 2x＋ 3sin 2x＋
1，则下列判断错误的是( )
A．f(x)的最小正周期为 π
B．f(x)的值域为[－1，3]
C．f(x)的图象关于直线 x＝π6对称
D．f(x)的图象关于点－π4，0对称 解析：因为 f(x)＝cos 2x＋ 3sin 2x＋1，可得
A．关于直线 x＝－π2对称
B．关于直线 x＝－π3对称
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C．关于点π2，0对称 D．关于点π3，0对称
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微专题1 三角函数与解三角形
将函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后， 得到函数 y＝sinx＋m＋π3的图象，又所得到的图象 关于 y 轴对称， 所以 sin0＋m＋π3＝±1，解得：m＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)， 即：m＝π6＋kπ(k∈Z)， 又 m>0，所以 mmin＝π6，故选 A.
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3sin x＋cos x 在区间[a，b]上是增函数，且 f(a)＝－2，
f(b)＝2，则函数 g(x)＝ 3cos x－sin x 在区间[a，b]上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值 2 D．可以取得最小值－2 (2)(2020·黄冈第一次模拟)函数 f(x)＝ 3cos(2x－π2)＋
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对点训练
解析：由题 f(x)＝sin12x－φ2，令 f(x)＝0，得12x－φ2＝ kπ，k∈Z
得 x＝2kπ＋φ，k∈Z，当 k＝－1 时，函数 f(x)的最 大负零点为－2π＋φ，
则－43π<－2π＋φ<－54π，得23π<φ<34π. 答案：A
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微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
令 2x＋π6∈－π2＋kπ，π2 ＋kπ，则 x∈[－π3＋k2π，π6＋k2π]， 则 C 错，
令 2x＋π6＝kπ，k∈Z，则 x＝k2π－1π2，则 D 对，故选 D.
π
π
A.6
B.4
π
π
C合 肥 第 二 次 质 检 ) 函 数 f(x) ＝
Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如
图所示，则下列叙述正确的是( )
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对点训练
A．函数 f(x)的图象可由 y＝Asin ωx 的图象向左平移
则满足－ω2πω1－2π≥ω12π－≤π2π2，，解得 0<ω≤65，所以实数 ω 的 可能的取值为23，1，65.
答案：(1)C (2)A (3)ABC
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对点训练
1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶 性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一 个角的一种三角函数．
答案：(1)A (2)D
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微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
三角函数图象平移变换中的误区 1．三角函数图象的平移法则是“左加右减，上加下减”， 但是左右平移变换只是针对 x 进行的变换． 2．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左(右)平移 k(k>0)个 单位长度后，其图象对应的函数解析式为 y＝sin[ω(x＋k)＋ φ](y＝sin[ω(x－k)＋φ])，而不是 y＝sin(ωx＋k＋φ)[y＝sin(ωx －k＋φ)]．
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微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
2．(2020·天津耀华中学模拟)将函数 y＝sin x 图象上
所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得
解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z. 所以 f(x)的单调增区间为－π6＋kπ，π3＋kπ，k∈Z.
微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
(3)由题意，将函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移 1π2个单位长度，
得到函数 y＝g(x)＝sinωx－ω12π的图象，若函数 g(x) 在区间0，π2上是单调增函数，
专题一 三角函数与平面向量
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小题考法 1 三角函数的图象及变换
对点训练
(1)(2020·哈尔滨第三中学第一次调研)已知函
数 f(x)＝12sinx＋ 23cos x，将函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则
m 的最小值是( )
微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
不妨取 a＝－23π，b＝π3，设 t＝x－π3，则 g(t)＝－2sint， t∈[－π，0]，则图象为
所以，g(x)＝ 3cos x－sin x 在[a，b]先增后减，可取 到最大值为 2.
微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
(2)函数 f(x)＝ 3cos2x－π2＋cos(π＋2x)＝ 3cos(π2－ 2x)－cos 2x＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6 ，令－π2＋ 2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
(3)(多选题)(2020·青岛模拟)将函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)
的图象向右平移1π2个单位长度得到函数 y＝g(x)的图象，
若函数 g(x)在区间0，π2上是单调增函数，则实数 ω 可能
的取值为( )
A．23
B．1
C．65
D．2
微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
解 析 ： (1)f(x) ＝
3sin x＋cos
x＝2(
3 2 sin
x＋12cos
x)＝
2sinx＋π6，
g(x)＝
3cos
x－sin
x＝2
3 2 cos
x－12sin
x＝－2sinx－π3，
因为 f(x)在区间[a，b]上是增函数，且 f(a)＝－2，f(b)＝2，
则 a＋π6＝－π2＋2kπ，b＋π6 ＝π2＋2kπ，k∈Z，即 a＝－23π＋ 2kπ，b＝π3＋2kπ，k∈Z，
对点训练
解析：由题意，三角函数 f(x)的图象可知，A＝1 且T4＝71π2 －π3＝π4，即 T＝π.
又由 T＝2ωπ＝π，解得 ω＝2，即 f(x)＝sin(2x＋φ)， 又由 f71π2＝sin2×71π2＋φ＝sin76π＋φ＝－1，解得76π＋ φ＝32π＋2kπ，k∈Z， 即 φ＝π3＋2kπ，k∈Z，又由|φ|<π2，所以 φ＝π3，即 f(x)＝ sin2x＋π3，
第一部分专题一 微专题1 三角函数与解三角形-2021届高三数学 二轮专 题复习 课件
第一部分专题一 微专题1 三角函数与解三角形-2021届高三数学 二轮专 题复习 课件
微专题1 三角函数与解三角形
对点训练
1．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，|φ|<π2的图象如图所 示，为了得到 f(x)图象，则只需将 g(x)＝sin 2x 的图象( )