北师大版九年级数学中考专项训练八 二次函数(含答案)
A．当 a＝1 时，函数图象过点(－1，1)
B．当 a＝－2 时，函数图象与 x 轴没有交点
C．若 a＞0，则当 x≥1 时，y 随 x 的增大而减小
D．若 a＜0，则当 x≤1 时，y 随 x 的增大而增大
5．用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 Scm2 的长方形，S 的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
专项训练八 二次函数
一、选择题
1．(2016·崇明县二模)抛物线 y＝x2－8x－1 的对称轴为( )
A．直线 x＝4 B．直线 x＝－4 C．直线 x＝8 D．直线 x＝－8
2．(2016·怀化中考)二次函数 y＝x2＋2x－3 的开口方向、顶点坐标分别是( )
A．开口向上，顶点≤12，那么函数 y＝－2x2＋8x－6 的最大值是________．
13．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为 1.8m，他在 不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是________m.
第 13 题图
第 14 题图
14．★如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别是 BC，CD 上的两个动点，AE⊥EF.
9．(0，6) 10.2016 11．y＝－x2＋4x＋3(答案不唯一) 解析：根据已知得图象开口向下，对称轴为直线 x ＝2，则二次项系数为负数，不妨设为－1，代入 x＝－2ba＝2，得 b＝4，c 取任意数即可， 如 3，可得 y＝－x2＋4x＋3.只要写出符合要求的二次函数即可． 12．－2.5 13.3 14．5 解析：根据题意，若 AF 取最小值，则 DF 取最小值，则 CF 取最大值．设 BE ＝x，CF＝y.∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.又∵AE⊥EF，∴∠B＝∠AEF＝ 90°，∴∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴EACB ＝CBEF，∴4－4 x＝xy，∴y＝－x24＋4x＝－14(x－2)2＋1.∴当 x＝2 时，y 有最大值，最大值为 1， 此时 DF 有最小值，最小值为 3，由勾股定理得到 AF＝ AD2＋DF2＝ 42＋32＝5. 15．解：(1)BC＝54－2x＋2＝(56－2x)(米)； (2)小英的说法正确．理由如下：设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝x(56－2x)＝－2(x－ 14)2＋392.∵56－2x＞0，∴x＜28，∴0＜x＜28，∴当 x＝14 时，S 取最大值，此时 x≠56－ 2x，∴面积最大的不是正方形．
1
9．(2016·河西区模拟)二次函数 y＝－2(x－3)(x＋1)的图象与 y 轴的交点坐标是________． 10.若抛物线 y＝x2－x－1 与 x 轴的交点坐标为(m，0)，则代数式 m2－m＋2015 的值为 ________． 11．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象满足下列条件：(1)当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增 大 ； (2) 当 x≥2 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ． 请 写 一 个 这 样 的 二 次 函 数 解 析 式 是 ________________．
B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C．开口向上，顶点坐标为(1，4)
D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
3．(2016·上海中考)如果将抛物线 y＝x2＋2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表
达式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
4．(2016·宁波中考)已知函数 y＝ax2－2ax－1(a 是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )
16．解：(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝kx＋b(k≠0)，依题意，得128600kk＋ ＋bb＝ ＝1600，0，
4
解得k＝－12，∴y b＝190，
与
x
之间的函数表达式为
y＝－12x＋190(180≤x≤300)；
(2)设房价为 x 元(180≤x≤300)时，宾馆当日利润为 w 元，依题意，得 w＝－12x＋190
标为(10，5)．设直线 OD 解析式为 y＝kx，把点 D 的坐标代入可得 5＝10k，解得 k＝12，∴
直线 OD 解析式为 y＝12x.令 x＝5，可得 y＝52，∴点 P 的坐标为5，52.
5
(x－100)－60100－－12x＋190÷7＝－12x2＋16750x－1277600＝－12x－167502＋46489050，∴
当 x＝16750时，w 取最大值，最大值为46489050.
答：当房价为16750元时，宾馆当日利润最大，最大利润为46840950元．
17．解：(1)∵四边形 ABCO 是矩形，点 B 的坐标是(10，8)，∴点 A 的坐标是(10，0)．把
＝8－x.在 Rt△BDE 中，由勾股定理可知 ED2＝BE2＋BD2，即 x2＝42＋(8－x)2，解得 x＝5， ∴AD＝5；
(3)由(1)可知 y＝－13x2＋130x，∴其对称轴为直线 x＝5.∵A，O 两点关于对称轴对称，∴PA ＝PO.当 P，O，D 三点在一条直线上时，PA＋PD＝PO＋PD＝OD，此时△PAD 的周长最小．如 图，连接 OD 交对称轴于点 P，则该点即为满足条件的点 P.由(2)可知 AD＝5，∴点 D 的坐
3
参考答案与解析 1．A 2.A 3.C 4.D 5．D 解析：设所围成长方形的长为 xcm，则由题意得 S＝x(20－x)＝－x2＋20x.∵a＝ －1<0，∴S 有最大值．即当 x＝－2ba＝－2×（20－1）＝10 时，S 最大＝100.由于 120＞100，故 选 D. 6．A 解析：设正方形的边长为 m，则 m＞0.∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m－x.在 Rt△EAH 中，∵EH2＝AE2＋AH2，∴y＝x2＋(m－x)2＝2(x－12m)2＋12m2，∴y 与 x 的函数图象可能是
解决问题：
(1)设 AB＝x 米(x＞0)，试用含 x 的代数式表示 BC 的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
16．(2016·徐州中考)某宾馆拥有客房 100 间，经营中发现：每天入住的客房数 y(间)与 其价格 x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：
2
x(元) 180 260 280 300 y(间) 100 60 50 40 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用 100 元；每周空置的客房需支出各 种费用 60 元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值(宾馆当日利润＝当日房 费收入－当日支出)．
6．如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 边 AB，BC，CD，DA 上的点，AE＝BF
＝CG＝DH.设 A，E 两点间的距离为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，则 y 与 x 的函数图象可
能为( )
7．(2016·绍兴中考)抛物线 y＝x2＋bx＋c(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，抛物线的对称 轴与线段 y＝0(1≤x≤3)有交点，则 c 的值不可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10 8．★(2016·孝感中考)如图是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1， n)，抛物线与 x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0； ③b2＝4a(c－n)； ④一元二次方程 ax2＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题
17．★(2016·贺州中考)如图，矩形的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为 (10，8)，沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC 上的 E 处，点 E 的坐标为(6，8)，抛物 线 y＝ax2＋bx＋c 经过 O，A，E 三点．
(1)求此抛物线的解析式； (2)求 AD 的长； (3)点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标．
100a＋10b＋c＝0，
a＝－13，
A(10，0)，E(6，8)，O(0，0)代入抛物线解析式可得36a＋6b＋c＝8， c＝0，
解得
b＝130， ∴
c＝0.
抛物线的解析式为 y＝－13x2＋130x； (2)由题意可知 AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8.设 AD＝x，则 ED＝x，BD＝AB－AD
则 AF 的最小值是________．
三、解答题
15．(2016·当涂县四模)某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，
另外三边用总长 54 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 2 米的出入口，如图
所示，如何设计才能使园地的而积最大？下图是两位学生争议的情境．请根据上面的信息，
A. 7．A 解析：∵抛物线 y＝x2＋bx＋c(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，抛物线的对称轴
与线段 y＝0(1≤x≤3)有交点，
4＋2b＋c＝6， ∴1≤－2×b 1≤3，解得 6≤c≤14，故选 A.
8．C 解析：∵抛物线与 x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴 为直线 x＝1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间，∴当 x＝－1 时， y＞0，即 a－b＋c＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝1，即 b＝－2a，∴3a ＋b＝3a－2a＝a，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，∴4ac4－a b2＝n，∴b2＝4ac－4an ＝4a(c－n)，∴③正确；∵抛物线与直线 y＝n 有一个公共点，a＜0，∴抛物线与直线 y＝n －1 有 2 个公共点，∴一元二次方程 ax2＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数根，∴④正确．故 选 C.
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习训练题含答案解析 (13)
一、选择题1.抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A．y=(x+1)2+3B．y=(x+1)2−3C．y=(x−1)2−3D．y=(x−1)2+32.把抛物线y=2x2向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为( )A．y=2(x−1)2B．y=2(x+1)2C．y=2x2−1D．y=2x2+13.若y=(m+1)x m2+m是关于x的二次函数，则m的值为( )A．−2B．1C．−2或1D．2或14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x...01234...y...41014...点A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数的图象上，则当1<x1<2，3<x2< 4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y25.已知二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤2时，总有y≤0，那么c的取值范围是( )A．0≤c≤2B．c≥2C．1≤c≤2D．c≤26.若二次函数y=x2−4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( )A．6B．4C．3D．17.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能( )A．B．C．D．8.顶点为(−3.0)，且开口方向，形状与函数y=−12x2的图象相同的抛物线是( )A．y=−12(x−3)2B．y=−12x2+3C．y=−12(x+3)2D．y=12x2−39.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm，总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11.抛物线的顶点是C(2,√3)，它与x轴交于A，B两点，它们的横坐标是方程x2−4x+3=0的两个根，则AB=，S△ABC=．12.已知a是常数．（1）如果抛物线y=(2a+1)x2的最低点是原点，那么a的取值范围是；（2）如果抛物线y=−2(x−a)2+3a−1的对称轴是直线x=3，那么它的顶点坐标是；（3）若抛物线y=a(x−2)2+a−1的顶点坐标是(2,−4)，则它的开口．13.抛物线y=−2(x−1)2+4可以看作是由抛物线y=−2x2先向平移个单位，再向平移个单位得到的．14.乒乓球竖直落到光滑水平的地面后会竖直弹起，假设每次弹起的最高高度会比上一次降低20%，而且乒乓球每次弹起到落地过程中，其弹起高度ℎ是时间t的二次函数，都可以用ℎ=−5(t−m)2+n表示．如果乒乓球第一次弹起到落地的时间间隔为0.8s，则该乒乓球从第1次最高点到第2次最高点的时间间隔是s．15.将抛物线C:y=x2先向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度后，所得抛物线Cʹ的解析式为．16.若函数y=(a−1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．17.抛物线C1:y=x2−1(−1≤x≤1)与x轴交于A，B两点，抛物线C2与抛物线C1关于点A成中心对称，抛物线C3与抛物线C1关于点B成中心对称．若直线y=−x+b与由C1，C2，C3组成的图形恰有2个公共点，则b的取值或取值范围是．三、解答题18.如图，已知抛物线y=−12x2−32x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．(1) 判断△ABC的形状，并说明理由．(2) 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．x2+bx+c与x轴交于点A，B，交y轴于点C(0,−2√3)，且抛物线对19.如图，抛物线y1=12称轴x=−2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．(1) 求抛物线y1的解析式；(2) 将△OCD沿CD翻折后，O点对称点Oʹ是否在抛物线y1上？请说明理由．(3) 若点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴上，过Eʹ作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE−PF|最大？若存在，试写出|PE−PF|最大值．20.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点O正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y= a(x−4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．(1) 当a=−124时，①求ℎ的值；②通过计算判断此球能否过网．(2) 若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．21.在平面直角坐标系中，顶点为(−4,−1)的抛物线交y轴于点A(0,3)，交x轴于B，C两点，求此抛物线的解析式．22.我们已经知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线．研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示．(1) 你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）(2) 依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．23.某体育用品商场购进一批“乐骑”牌自行车，每辆成本价300元，每辆自行车销售单价x（元）与每月的销售量y（辆）的关系如下表所示：x(元)⋯600550500450⋯y(辆)⋯100110120130⋯若每月的销售量y（辆）是销售单价x（元）的一次函数．(1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 设该商场销售“乐骑”牌自行车每月获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？24.在平面直角坐标系中，将抛物线C1:y=x2−2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．(1) 求新抛物线C2的表达式；(2) 如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△OʹAʹBʹ，点A(0,5)的对应点Aʹ落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点Bʹ的距离．25.如图，抛物线y=ax2+bx−4经过A(−3,0)，B(5,−4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．(1) 求抛物线的表达式．(2) 求△ABC的面积．(3) 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．答案一、选择题 1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】 ∵y =(m +1)x m 2+m是关于 x 的二次函数，∴{m +1≠0,m 2+m =2,解得：{m ≠−1,m =−2或1,∴m =−2或1．4. 【答案】B【解析】 ∵ 当 1＜x ＜2 时，函数值 y 小于 1，当 3＜x ＜4 时，函数值 y 大于 1， ∴y 1＜y 2． 故选B ．5. 【答案】B【解析】 y =x 2+bx +c 函数图象开口向上， 当 x ≤1 时，总有 y ≥0，∴x 2+bx +c =y =0 的较小根 x 1=1， ∴1+b +c =0．当 1≤x ≤2 时，总有 y ≤0，∴x 2+bx +c =y =0 的较大根 x 2≥2． ∵x 1+x 2=−b ，∴x 2=−b −x 1=−b −1≥2， ∴−b ≥3． ∵−b =c +1，∴c +1≥3，即 c ≥2．6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C【解析】 y =−12(x −3)2 的顶点为 (3,0)，故选项A 不符合题意；y=−12x2+3的顶点为(0,3)，故选项B不符合题意；y=−12(x+3)2的顶点为(−3,0)，开口方向，形状与函数y=−12x2的图象相同，故选项C符合题意；y=12x2−3的顶点为(0,−3)，故选项D不符合题意．9. 【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，∴①正确；∵2≤c≤3，而c=−3a，∴2≤−3a≤3，∴−1≤a≤−23，∴②正确；∵抛物线的顶点坐标(1,n)，∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，∴③正确；∵抛物线的顶点坐标(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，∴④正确．故选D．10. 【答案】B【解析】因为抛物线开口向下，所以a<0，而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，所以3a+b=3a−2a=a<0，所以①正确．因为2≤c≤3，而c=−3a，所以2≤−3a≤3，所以 −1≤a ≤−23，所以②正确． 因为抛物线的顶点坐标 (1,n )，所以 x =1 时，二次函数值有最大值 n ， 所以 a +b +c ≥am 2+bm +c ， 即 a +b ≥am 2+bm ，所以③正确． 因为抛物线的顶点坐标 (1,n )，所以抛物线 y =ax 2+bx +c 与直线 y =n −1 有两个交点，与 y =n +1 无交点， 所以关于 x 的方程 ax 2+bx +c =n +1 有两个不相等的实数根错误， 所以④错误， 所以①②③正确．二、填空题11. 【答案】 2 ； √312. 【答案】 a >−12 ； (3,8) ；向下13. 【答案】右； 1 ；上； 414. 【答案】10+4√525【解析】 ∵ 乒乓球第一次弹起到落地的时间为 0.8，ℎ=−5(t −m )2+n ， ∴m =0.4，此时 ℎ 取得最大值 n ， ∴ℎ=−5(t −0.4)2+n ， ∵ 该函数过点 (0,0)， ∴0=−5(0−0.4)2+n ， 解得，n =0.8，∵ 每次弹起的最高高度会比上一次降低 20%，∴ 第二次弹起的最大高度是 0.8×(1−20%)=0.64， 令 0.2×0.8=−5(t −0.4)2+0.8， 解得，t 1=10+4√525，t 2=10−4√525， ∴ 该乒乓球从第 1 次最高点到第 2 次最高点的时间间隔是： (0.8−0.4)+(0.4−10+4√525)=10+4√525s ， 故答案为：10+4√525．15. 【答案】 y =(x +2)2+1【解析】原抛物线的顶点为 (0,0)，向左平移 2 个单位长度，然后再向上平移 1 个单位长度， 那么抛物线 Cʹ 的顶点为 (−2,1)，可得抛物线 Cʹ 的解析式为：y =(x +2)2+1．16. 【答案】 −1 或 2 或 1【解析】 ∵ 函数 y =(a −1)x 2−4x +2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b 2−4ac =16−4(a −1)×2a =0，解得：a 1=−1，a 2=2， 当函数为一次函数时，a −1=0，解得：a =1．17. 【答案】b =−54 或 b =−34 或 3≤b <134三、解答题 18. 【答案】(1) 直角三角形，理由如下： 当 y =0 时，−12x 2−32x +2=0，解得 x 1=−4，x 2=1，即 B (−4,0)，A (1,0)． 当 x =0 时，y =2，即 C (0,2)． AB =1−(−4)=5，AB 2=25， AC 2=(1−0)2+(0−2)2=5， BC 2=(−4−0)2+(0−2)2=20， ∵AC 2+BC 2=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形． (2) 存在，理由如下：y =−12x 2−32x +2 的对称轴是 x =−32，设 P (−32,n)， PA 2=(1+32)2+n 2=254+n 2，PC 2=94+(2−n )2，AC 2=5．分类讨论：①当 AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解；不存在．②当 PA =PC 时，PA 2=PC 2，254+n 2=94+(2−n )2，解得 n =0，即 P 1(−32,0)；③当 CA =CP 时，CA 2=CP 2，94+(2−n )2=5，解得 n 1=2+√112，n 2=2−√112， 故 P 2(−32,2+√112)，P 3(−32,2−√112)． 综上所述：使得以 A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标 (−32,0)，(−32,2+√112)，(−32,2−√112)．19. 【答案】(1) ∵ 抛物线对称轴 x =−2，∴ −b2×12=−2，解得 b =2，∵ 点 C(0,−2√3) 在抛物线 y 1=12x 2+bx +c 上，∴ c =−2√3，∴ 抛物线解析式为 y 1=12x 2+2x −2√3．(2) O 点对称点 Oʹ 不在抛物线 y 1 上．理由如下：过 Oʹ 点作 OʹH ⊥x 轴于 H ，如图，由（1）得 D (−2,0)，C(0,−2√3)，在 Rt △OCD 中，∵ OD =2，OC =2√3，∴ tan∠ODC =2√32=√3，∴ ∠ODC =60∘，∵ △OCD 沿 CD 翻折后，O 点对称点 Oʹ，∴ OʹD =OD =2，∠OʹDC =∠ODC =60∘，∴ ∠OʹDH =60∘，在 Rt △OʹDH 中，sin∠OʹDH =OʹH OʹD ， ∴ OʹH =2sin60∘=√3，∴ DH =√22−(√3)2=1，∴ Oʹ(−3,−√3)，∵ 当 x =−3 时，y 1=12x 2+2x −2√3=12×9+2×(−3)−2√3≠−√3,∴Oʹ点不在抛物线y1上．(3) ①设E(m,12m2+2m−2√3)(m<0)，过E作EH⊥x轴于H，连接DE，如图，则DH=−2−m，EH=−(12m2+2m−2√3)=−12m2−2m+2√3，由（2）得∠ODC=60∘，∵点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴上，∴DC垂直平分EEʹ，∴DC平分∠EDEʹ，DE=DEʹ，∴∠EDEʹ=120∘，∴∠EDH=60∘，在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=EHHD，∴EH=HDtan60∘，即−12m2−2m+2√3=(−2−m)√3，整理得m2+(4−2√3)m−8√3=0，解得m1=2√3（舍去），m2=−4，∴E(−4,−2√3)，∴HD=2，EH=2√3，∴DE=√22+(2√3)2=4，∴DEʹ=4，∴Eʹ(2,0)，而EʹF⊥x轴，∴F点的横坐标为2，当x=2时，y1=12x2+2x−2√3=6−2√3，∴F(2,6−2√3)．② ∵点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴，∴PE=PEʹ，∴|PEʹ−PF|≤EʹF（当点P，Eʹ，F共线时，取等号），∴直线CD上存在点P，使|PE−PF|最大，最大值为6−2√3．20. 【答案】(1) ① ∵a=−124，P(0,1)，∴−124×(0−4)2+ℎ=1，解得ℎ=53．②把 x =5 代入 y =−124(x −4)2+53，得 y =−124×(5−4)2+53=1.625． ∵1.625>1.55，∴ 此球能过网．(2) 把 (0,1)，(7,125) 代入 y =a (x −4)2+ℎ，得 {16a +ℎ=1,9a +ℎ=125,解得 {a =−15,ℎ=215. ∴a =−15．21. 【答案】根据题意，可设抛物线的解析式为 y =a (x +4)2−1，把点 A (0,3) 代入，得 3=16a −1，解得 a =14，∴ 此抛物线的解析式为 y =14(x +4)2−1．22. 【答案】(1) ①抛物线的开口向下（或者 a <0 )，②抛物线的顶点坐标为 (2,7)，③抛物线的对称轴为直线 x =2，④沿 x 轴的正方向看：直线 x =2 的左侧，图象是上升的（或 y 的值随着 x 的值的增大而增大）；在直线 x =2 的右侧，图象是下降的（或 y 的值随着 x 的值的增大而减小），⑤ b >0，⑥ c >0，⑦ a +b +c >0，⑧ a −b +c >0，⑨ 4a +b =0 等信息．(2) 补充条件：C (0,3)，由题意得，该抛物线的顶点坐标为 D (2,7)，故而可设该抛物线的表达式为 y =a (x −2)2+7因为 C (0,3) 在该抛物线上，所以 3=a (0−2)2+7，解得 a =−1故所求的二次函数的解析式为 y =−(x −2)2+7 或 y =−x 2+4x +3．23. 【答案】(1) 设该函数关系式为 y =kx +b ，由已知得 {600k +b =100,550k +b =110. 解得：{k =−0.2,b =220.∴ 所求的所求的函数关系式为 y =−0.2x +220．(2) 由题意得：W=(x −300)y =(x −300)(−0.2x +220)=−0.2x 2+280x −66000=−0.2(x −700)2+32000.又 ∵−0.2<0，∴ 当 x =700 时，W 取得最大值，最大值为 32000，故销售单价 x 为 700 元/辆时，每月可获得最大利润，最大利润为 32000 元．24. 【答案】(1) 由抛物线 C 1:y =x 2−2x =(x −1)2−1 知，将其向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛物线 C 2 的表达式是：y =(x −1+2)2−1−3，即 y =(x +1)2−4．(2) 由平移的性质知，点 A 与点 Aʹ 的纵坐标相等，所以将 y =5 代入抛物线 C 2，得 (x +1)2−4=5，则 x =−4 或 x =2（舍去），所以 AAʹ=4，根据平移的性质知：BBʹ=AAʹ=4，即点 B 与其对应点 Bʹ 的距离为 4 个单位．25. 【答案】(1) 将点 A (−3,0)，B (5,−4) 代入 y =ax 2+bx −4，得，{9a −3b −4=0,25a +5b −4=4,解得，{a =16,b =−56. ∴ 抛物线的解析式为：y =16x 2−56x −4． (2) 在抛物线 y =16x 2−56x −4 中，当 x =0 时，y =−4，∴C (0,−4)，∵B (5,−4)，∴BC ∥x 轴，S △ABC=12BC ⋅OC =12×5×4=10,∴△ABC 的面积为 10．(3) 设点 M (52,m)，①如图 1，当 ∠AMB =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，过点 B 作 BN ⊥x 轴 于点 N ，则 HM =m ，AH =112，AN =8，BN =4，∵∠MAH +∠MAN =90∘，∠MAN +∠ABN =90∘，∴∠MAH =∠ABN ，又 ∵∠AHM =∠BNA =90∘，∴△AHM ∽△BNA ，∴AH BN =HM NA ，即 1124=m 8，解得，m =11， ∴M 1(52,11)．②如图 2，当 ∠ABM =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，BC 与对称轴交于点 N ，由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分 BC ，∴MC =MB ，∴∠BMN =∠AMN ，又 ∵∠AHM =∠BMM =90∘，∴△AHM ∽△BNM ，∴AH BN =HM NM ，∵HM =−m ，AH =112，BN =52，MN =−4−m ， ∴11252=−m −4−m ，解得，m =−223，∴M 2(52,−223)；③如图 3，当 ∠AMB =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，BC 与对称轴交于点 N ，则 AM 2+BM 2=AB 2，∵AM 2=AH 2+MH 2，BM 2=BN 2+MN 2，∴AH 2+MH 2+BN 2+MN 2=AB 2，∵HM =−m ，AH =112，BN =52，MN =−4−m ， 即 (112)2+m 2+(52)2+(−4−m )2=42+82，解得，m 1=√712−2，m 2=−√712−2，∴M3(52,√712−2)，M4(52,−√712−2)；综上所述，存在点M的坐标，其坐标为M1(52,11)，M2(52,−223)，M3(52,√712−2)，M4(52,−√712−2)．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)
一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根3．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝04．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．抛物线23y x =向左平移5个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ） A ．23(5)1y x =-+ B ．23(-5)1y x =- C ．23(5)1y x =+-D ．23(5)1y x =++6．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）A ．2B ．2C ．1D ．239．函数k y x=与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2ba =-；④80a c +>．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x0 1 2 3 y75713则代数式的值为_______．15．若A （m-2，n ），B （m+2，n ）为抛物线2()2020y x h =--+上两点，则n=_______．16．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．17．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．18．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同两点，与y 轴的交点在y 轴正半轴，它的对称轴为直线1x =．有以下结论：①0abc >，②0a c ->，③若点()11,y -和()22,y 在该图象上，则12y y <，④设1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，若2am bm c p ++=，则()()120p m x m x --≤．其中正确的结论是____________（填入正确结论的序号）．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．如图，抛物线()()1244y x x =+-与x 轴交于A B 、两点，P 是以点()0,3C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 上靠近点A 的三等分点，连结OQ ，则线段OQ 的最大值是__________．三、解答题21．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置； （2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为 ；当y 1≥y 2时x 的取值范围是 ．22．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22mm ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．23．如图， 已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2y ax bx c =++与直线交于A ，E 两点，与x 轴交于B (1，0)，C (2，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动， 当△PAE 是直角三角形时， 请通过计算写出一个满足条件点P 的坐标．24．一个二次函数图像上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 0 1 2 3 4 … y…m﹣13…的值为 ；（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像； （3）根据图像，写出当y ＞0时，x 的取值范围．25．已知二次函数223(0)y mx mx m m =-->的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）连接,BC AC ，若ABC 为等边三角形，求m 的值．26．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-，∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．2．D解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m −n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．4．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①∵a ＜0，2ba-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴， ∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确； ③∵该函数图象的开口向下， ∴a ＜0；又∵对称轴-1＜x=2ba-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确；④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0，∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=3x 2向左平移5个单位所得直线解析式为：y=3（x+5）2；再向下平移1个单位为：y=3（x+5）2-1．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6．B解析：B【分析】首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④.【详解】结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误. 结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确.结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b a-=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误. 结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.综上所述，本题正确结论为②④，共2个.故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.7．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->， 解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 8．D解析：D【分析】分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．【详解】解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，①当点E 在AB 上运动时，y=FC=BE=AB-AE=6-x ，即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；②当点E 在BC 上运动时，如下图，则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEC=∠EAB ，∴∠CFE=∠AEB ，∴△ABE ∽△ECF ， ∴BE AB CF CE=，即6610x y x -=-， 整理得：()2181061063y x x x =-+-<≤，图象为二次函数， ∵106-<， 故()2218121086363y x x x =-+-=--+有最大值，最大值为23， 即23m =， 故选：D ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x=在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y 轴交点在原点下方，故C 选项错误，B 选项正确； ②当k<0时，反比例函数k y x=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向下，与y 轴交点在原点上方，故A 选项与D 选项错误．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．B解析：B【分析】当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s 取最大值时，飞机停下来，∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1， 故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．14．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A （h −2n ）B （h ＋2n ）将B （h ＋2n ）代入函数关系式即可求出结果【详解】解：∵A （m-2n解析：2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，再利用m-2+m+2=2h ，解得m=h ，则可得A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），将B （h ＋2，n ）代入函数关系式即可求出结果．【详解】解：∵A （m-2，n ），B （m+2，n ）是抛物线2()2020y x h =--+上两点， ∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，∴m-2+m+2=2h ，解得m=h ，∴A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），当x ＝h ＋2时，n ＝−（h ＋2−h ）2＋2020＝2016，故答案为：2016．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴ 解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6， 故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.17．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35，故答案为：35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．18．③④【分析】利用数形结合思想从抛物线的开口与坐标轴的交点对称轴等方面着手分析判断即可【详解】解：∵抛物线的开口向下对称轴在原点的右边与y 轴交于正半轴∴a ＜0b ＞0c ＞0∴abc ＜0∴结论①错误；∵抛解析：③④【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0， b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴b=-2a ；∵ c+a+b ＞0，∴c-a ＞0，∴a-c ＜0， ∴结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，∵点()11,y -和()22,y 在该图象上，∴()11,y -与x=1的距离比()22,y 与x=1的距离远；∴12y y <，∴结论③正确；∵2am bm c p ++=，1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两根，当0p a+b+c ＜≤时，12m ≤≤x x ；∴()()120＜--p m x m x ；当p=0时，()()12=0--p m x m x当p＜0时，()()120＜--p m x m x∴()()120p m x m x--≤∴结论④正确；③④故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．20．【分析】当BCP三点共线且C在BP之间时BP最大连接PB此时△OAQ∽△BAP且相似比为1:3由此即可求得求出BP的最大值即可求解【详解】解：如下图所示连接BP当BCP三点共线且C在BP之间时BP最解析：7 3【分析】当B、C、P三点共线，且C在BP之间时，BP最大，连接PB，此时△OAQ∽△BAP，且相似比为1:3，由此即可求得13=OQ BP，求出BP的最大值即可求解．【详解】解：如下图所示，连接BP ，当B 、C 、P 三点共线，且C 在BP 之间时，BP 最大，令()()12404=+-=y x x ，求得1224，==x x ， ∴B(4,0)，A(-2,0)， ∵21===63AO AQ AB AP，且∠QAO=∠PAB ， ∴△OAQ ∽△BAP ， ∴13=OQ BP ，故只要BP 最大，则OQ 就最大， 此时BP 最大值为：224327++=BC CP ， ∴OQ 的最大值为：73． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，相似三角形的性质和判定，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BP 的最大值，进而求解．三、解答题21．（1）见解析；（2）()2,3-，21x -≤≤【分析】（1）利用五点法作出二次函数的图像，然后令x=0求出A 点坐标即可；（2）将两个函数联立形成新的一元二次方程，然后求解C 点坐标，最后利用图像判断x 的取值范围即可．【详解】（1）由题意得： x ··· -3 -2 -1 0 1 ···y .. 0 3 4 3 0 (1)由上图得A 点坐标为()3,0-；（2）由题意得：2123x x x -+=--+，解得12x =-，21x =，当2x =-时，()213y =--+=，∴C 点坐标为()2,3-，由上图得，当y 1≥y 2时，21x -≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，重点是根据五点法作出二次函数的图像，然后利用数形结合思想进行判断．22．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．23．（1）213122=-+y x x ；（2）点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2． 【分析】（1）根据直线的解析式求得点A （0，1），然后利用待定系数法求得函数解析式；（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E 的坐标．△PAE 是直角三角形，应分点P 为直角顶点，点A 是直角顶点，点E 是直角顶点三种情况探讨．【详解】解：（1）解：（1）∵直线y=12x+1与y 轴交于点A ， ∴A （0，1），将A （0，1），B (1，0)，C (2，0)代入2y ax bx c =++中 10420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12321a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为：213122=-+y x x （2） 设点E 的横坐标为m ，则它的纵坐标为213122m m -+即E 点的坐标213(,1)22m m m -+，又∵点E 在直线112y x =+上， ∴213111222m m m -+=+解得10m =（舍 去） ，24m =， E ∴的坐标为(4,3)．（Ⅰ）当A 为直角顶点时，过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点，设1(,0)P a 易知D 点坐标为(2,0)-，由Rt AOD Rt ∆∽△1POA 得：DO OA OA OP =，即211a=， 12a ∴=， 11(2P ∴，0)． （Ⅱ） 同理，当E 为直角顶点时， 过E 作2EP DE ⊥交x 轴于2P 点，由Rt AOD Rt ∆∽△2P ED 得，2DO DE OA EP =，即221=22EP ∴=，2152DP ∴==， 1511222a ∴=-=， 2P 点坐标为11(,0)2．（Ⅲ） 当P 为直角顶点时， 过E 作EF x ⊥轴于F ，设3(P b ，0)，由90OPA FPE ∠+∠=︒，得OPA FEP ∠=∠，Rt AOP Rt PFE ∆∆∽， 由AO OP PF EF =得143b b =-， 解得13b =，21b =，∴此时的点3P 的坐标为(1,0)或(3,0)，综上所述， 满足条件的点P 的坐标为1(,0)2或(1,0)或(3,0)或11(,0)2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．24．（1）3；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m的值；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∴x=4和x=0时的函数值相等，∴m=3；故答案为：3；（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，y 时，x＜1或x＞3．（3）观察图象，0【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 25．（1）(1,0)A -，(3,0)B ；（2）32m = 【分析】（1）把y=0代入，解方程即可；（2）求出顶点坐标，过C 作CD AB ⊥于D ，求出CD 即可．【详解】解：（1）2230mx mx m --=，∵0m >，方程两边同时除以m 得， 2230x x --=解得，13x =，21x =-∴A ，B 两点的坐标分别为：(1,0)A -，(3,0)B ．（2）抛物线223(0)y mx mx m m =-->的顶点横坐标为：212m x m-=-=， 把x=1代入223y mx mx m =--得，y=-4m ，抛物线的顶点C 的坐标为：(1,4)C m -由（1）得，AB=4，过C 作CD AB ⊥于D ， ∵ABC 为等边三角形，∴AD=2，AC=4， ∴22224223CD AC AD =-=-=∵点C 在第四象限，∴43m =∴3m =． 【点睛】本题考查求二次函数与x 轴交点，等边三角形的性质，解题关键是熟练的解一元二次方程，根据已知条件，找到坐标与线段的关系．26．（1）12m =-，25n =；（2）当18x =时，968W =最大． 【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值．【详解】解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得 321276m m =-，解得12m =-， 当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =， 故答案为：12m =-，25n =． （2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +．当120x ≤<时，()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当18x =时，968W =最大．当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+，∵280>，∴W 随x 的增大而增大，∴当30x =时，952W =最大．∵968952>，∴当18x =时，968W =最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．。
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》复习训练题含答案解析 (29)
一、选择题1.对于题目“一段抛物线L：y=−x(x−3)+c与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值”．甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则( )A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确2.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )A．y=(x−23)2+155B．y=(x+23)2+155C．y=−(x−23)2−155D．y=−(x+23)2+1553.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)顶点为P，则下列说法中错误的是( )A．不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6B．关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同C．△PAB为等腰直角三角形，则a=−15D．当t≤x≤t+2时，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为at2+bt+c，则t≥04.在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如表所示：x⋯−1013⋯y⋯−3131⋯则下列说法：①图象开口向下；②图象的顶点坐标为(1,3)；③当x=4时，y的值为−3；④ −1是方程ax2+bx+c+3=0的一个根．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=l，结合图象给出下列结论：① ac<0；② 4a−2b+c>0；③当x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−2；③对于任意实3数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个x的图象如图所示，则方程ax2+ 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23)x+c=0(a≠0)的两根之和( )(b−23A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x= 2．下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④若点A(−3,y1)，点B(−2,y2)，点C(8,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a(x+1)(x−5)=−3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<−1<x2<5．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是( )A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．94<m≤7210.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P 到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y 与x之间的函数关系的是( )A．B．C．D．二、填空题11.已知A(−1,y1)，B(−2,y2)是抛物线y=−2x2上的两点，则y1y2（填>，<，=）．12.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(−1,0)和点(0,−3)，且顶点在第四象限，则a的取值范围是．x+b与函数y=x2+∣2x2−1∣的图象有且只有三个交点，则b的值为．13.直线y=1214.在平面直角坐标系xOy中，函数y1=x(x<m)的图象与函数y2=x2(x≥m)的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点．写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为．16.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为．17.如图，一段抛物线：y=−x2+2x(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180∘得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180∘得C3，交x轴于点A3；⋯如此进行下去，直至得C15，若P(28.5,m)在第15段抛物线C15上，则m的值为．三、解答题18.已知二次函数图象过点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)．(1) 求二次函数的解析式；(2) 如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90∘？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3) 点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=5，求点K的坐标．319.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,−6)，与x轴的一个交点坐标是A(−2,0)，求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；20.已知抛物线y=2x2−4x+c与x轴有两个不同的交点．(1) 求c的取值范围；(2) 若抛物线y=2x2−4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由．21.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．(1) 当矩形边长a为多少米时，矩形面积为200m2？(2) 求出S关于a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；(3) 当a是多少时，场地的面积S最大？22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2−4nx+4n−1(n≠0)，与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．(1) 求抛物线顶点M的坐标；(2) 若点A的坐标为(0,3)，AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；(3) 在（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．若直线y=1223.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4) 若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．24.已知函数y=x2−2x−3．(1) 画出此函数的图象；（要求：列表、描点、连线）(2) 若方程x2−2x−3=k有实数解，则实数k的取值范围为．25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，点D为OC的中点，DA的延长线交抛物线于另一点E，连接OE．已知点A(1,0)，且S△AOD=2S△AOE．(1) 求点D和点E的坐标（用含字母c的代数式表示）．(2) 若tan∠OED=12，求该二次函数的函数表达式．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】把y=x+2代入y=−x(x−3)+c，得x+2=−x(x−3)+c，即x2−2x+2−c=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(2−c)=−4+4c=0，解得c=1，∴甲的结果正确．2. 【答案】D【解析】A．顶点为(23,155)，在第一象限，且开口向上，所以与x轴无交点；B．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向上，所以与x轴无交点；C．顶点为(23,−155)，在第四象限，且开口向下，所以与x轴无交点；D．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向下，所以与x轴有两个交点．本题选择与x轴有两个交点的二次函数的图象．3. 【答案】D【解析】由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象位于A(−4,−4)，B(6,−4)两点之间部分在y=−4的上方，即不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6，故A正确；由题意知，当x=−4或6时，a(x+4)(x−6)−4=−4，又因二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)，有当x=−4或6时，y=ax2+bx+c=−4，所以a(x+4)(x−6)−4=ax2+bx+c，则关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同，故B正确；=1，由题意得，P点的横坐标为：−4+62则P点纵坐标为：a+b+c=a−2a+c=−a+c，若△PAB为等腰直角三角形，则点P到AB的距离等于AB的一半，(6+4)，得c=1+a，有−a+c+4=12则抛物线的解析式为：y=ax2+bx+x=ax2−2ax+a+1，，故C正确；把A(−4,−4)代入，得−4=16a+8a+a+1，解得a=−15由图象可知，当0≤t<1时，二次函数的最大值顶点的纵坐标>at2+bt+c，故D错误．4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，因此a>0，与y轴交于负半轴，因此c<0，故ac<0，所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，所以②不正确；x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④．6. 【答案】D【解析】利用抛物线的开口方向可得a<0，再由抛物线的对称轴可得b=2a，由此可对①进行判断；利用2≤c≤3结合已知条件可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1的交点个数可对④进行判断．∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=−3a，∵2≤c≤3，∴2≤−3a≤3，，故②正确；∴−1≤a≤−23∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴x=1时，二次函数有最大值为n，∴对于任意实数m，总有a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，故④正确，故选D．7. 【答案】A8. 【答案】A=2，【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−4a，即4a+b=0，∴①正确；∵x=−3时，y<0，∴9a−3b+c<0，即9a+c<3b，∴②错误；∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，而b=−4a，∴a+4a+c=0，则c=−5a，∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，而a<0，∴8a+7b+2c>0，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下且对称轴为x=2，A，B，C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：(8,y3)，(3,y1)，(−2,y2)，∴y3<y1<y2，∴④错误；∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)，∴方程a(x+1)(x−5)=−3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x−5)与直线y=−3的交点的横坐标，∴x1<−1<5<x2；∴⑤错误．综上所述，其中正确的结论有3个．9. 【答案】C【解析】令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，Δ=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得 a =−1，c =−94，故函数 y =ax 2+4x +c −34=−x 2+4x −3， 如图，该函数图象顶点为 (2,1)，与 y 轴交点为 (0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点 (4,−3)，∵ 函数图象在对称轴 x =2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤x ≤m 时，函数 y =−x 2+4x −3 的最小值为 −3，最大值为 1，∴2≤m ≤4．10. 【答案】B【解析】在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =6，BC =10，∴AC =√BC 2−AB 2=8．当 0≤x ≤6 时，AP =6−x ，AQ =x ，∴y =PQ 2=AP 2+AQ 2=2x 2−12x +36；当 6≤x ≤8 时，AP =x −6，AQ =x ，∴y =PQ 2=(AQ −AP )2=36；当 8≤x ≤14 时，CP =14−x ，CQ =x −8，∴y =PQ 2=CP 2+CQ 2=2x 2−44x +260．二、填空题11. 【答案】 >【解析】 ∵A (−1,y 1)，B (−2,y 2) 是抛物线 y =−2x 2 上的两点，∴y 1=−2×(−1)2=−2，y 2=−2×(−2)2=−8，∴y 1>y 2．故答案为：>．12. 【答案】 0<a <3【解析】 ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c (a >0) 过点 (−1,0) 和点 (0,−3)，∴{a −b +c =0,c =−3,∴a −b =3，b =a −3，∵ 顶点在第四象限，∴{−b 2a >0,4ac−b 24a<0, 即 −a−32a >0, ⋯⋯① 4a⋅(−3)−(a−3)24a<0, ⋯⋯② 解不等式①得，a <3，不等式②整理得，(a +3)2>0，∴a ≠−3，∴a 的取值范围是 0<a <3．故答案为：0<a <3．13. 【答案】12+√24 或 171614. 【答案】答案不唯一，如：1(0≤m ≤1)15. 【答案】 x 1=4，x 2=−2【解析】根据图象可知，二次函数 y =−x 2+2x +m 的部分图象经过点 (4,0)，∴ 该点适合方程 y =−x 2+2x +m ，代入，得 −42+2×4+m =0解得 m =8. ⋯⋯①把 ① 代入一元二次方程 −x 2+2x +m =0，得 −x 2+2x +8=0. ⋯⋯②解 ② 得 x 1=4，x 2=−2．16. 【答案】 x 1=−1，x 2=3【解析】由题意可得：抛物线对称轴是直线 x =1，且图象与 x 轴的一个交点为 (−1,0)，则图象与 x 轴的另一个交点为 (3,0)，故一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为：x 1=−1，x 2=3．17. 【答案】 0.75【解析】令 y =0，则 −x (x −2)=0，解得 x 1=0，x 2=2，∴A 1(2,0)，由图可知，抛物线 C 14 在 x 轴下方，相当于抛物线 C 1 向右平移 4×7=28 个单位得到 C 14，再将 C 14 绕点 A 14 旋转 180∘ 得 C 15，∴ 抛物线 C 15 解析式为 y =−(x −28)(x −30)，∵P (28.5,m ) 在第 15 段抛物线 C 15 上，∴m =−(28.5−28)(28.5−30)=0.75．三、解答题18. 【答案】(1) 二次函数的图象过点 A (−2,0)，B (4,0)，设二次函数解析式为 y =a (x +2)(x −4)，又二次函数的图象过点 C (0,4)，∴−8a =4 即 a =−12．故二次函数解析式为 y =−12x 2+x +4．(2) 线段上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘． 理由如下：设 BC 中点为 Q ，由题意，易知 Q 的坐标为 (2,2)，BC =4√2．若 ∠BMC =90∘，则 MQ =12BC =2√2．∵A (−2,0)，C (0,4)，∴AC 的中点 P 为 (−1,2)．设 PB 所在的直线为 y =kx +b ，则 {−k +b =2,4k +b =0. 得 k =−25，b =85， PB 所在的直线为 y =−25x +85．M 在线段 PB 上，设 M 的坐标为 (a,−25a +85)，其中 −1≤a ≤4．如图 1，分别过 M ，Q 作 y 轴与 x 轴的垂线 l 1，l 2，设 l 1，l 2 相交于点 T ，∴QT =∣∣−25a +85−2∣∣=∣∣25a +25∣∣，MT =∣a −2∣， ∵MQ 2=QT 2+MT 2，∴(25a +25)2+(a −2)2=8， 整理得 29a 2−92a −96=0，解得 a =−2429 或 a =4，当 a =4 时，B ，M 重合，不合题意（舍去），∴a =−2429，则 M 的坐标为 (−2429,5629)．故线段 PB 上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘．(3) 如图 2，过点 D 作 DE ⊥BC 于点 E ，设直线 DK 与 BC 交于点 N ，∵D (1,0)，B (4,0)，∠EBD =45∘，∴DB =3，DE =3√22，E (52,32)． ∵C (0,4)，∴ 直线 BC:y =−x +4．在 Rt △DNE 中，NE =DE tanθ=3√2253=9√210．① 若 DK 与射线 EC 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(52−m)=9√210，∴m =85， ∴N (85,125)， ∴ 直线 DK:y =4x −4，∴{y =4x −4,y =−12x 2+x +4.解得 {x =2,y =4 或 {x =−8,y =−36.② 若 DK 与射线 EB 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(m −52)=9√210， ∴m =175，∴N (175,35)，∴ 直线 DK:y =14x −14．{y =14x −14,y =−12x 2+x +4,解得 {x =3+√1454,y =−1+√14516 或 {x =3−√1454,y =−1−√14516.综上所述，抛物线上符合条件的点 K 坐标为：(2,4) 或 (−8,−36) 或 (3+√1454,−1+√14516) 或(3−√1454,−1−√14516)．19. 【答案】 ∵ 二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 y 轴交于点 C (0,−6)，与 x 轴的一个交点坐标是 A (−2,0)，∴ {c =−6,(−2)2−2b +c =0,解得，{b =−1,c =−6.∴ 该函数的解析式为 y =x 2−x −6，∵ y =x 2−x −6=(x −12)2−254， ∴ 顶点 D 的坐标为 (12,−254)．20. 【答案】(1) b 2−4ac =(−4)2−8c =16−8c ．由题意，得 b −4ac >0，∴16−8c >0，解得 c <2．∴c 的取值范围是 c <2．(2) m <n ．理由如下：∵ 抛物线的对称轴为直线 x =1，又 ∵a =2>0，∴ 当 x ≥1 时，y 随 x 的增大而增大．∵2<3，∴m <n ．21. 【答案】(1) 由题意得 a (30−a )=200．解得 a 1=10，a 2=20．∴ 边长 a 为 10 米或 20 米．(2) S =a (30−a )=−a 2+30a ．0 <a <30．(3) S =−a 2+30a =−(a −15)2+225．∴ 当 a =15 米时，S 最大，最大值为 225 平方米．22. 【答案】(1) M (2,−1)．(2) B (4,3)．(3) ∵ 抛物线 y =nx 2−4nx +4n −1(m ≠0) 与 y 轴交于点 A (0,3)，∴4n −1=3．∴n =1．∴ 抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3，由 12x +m =x 2+4x +3，由 Δ=0，得：m =−116， ∵ 抛物线 y =x 2−4x +3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 (1,0)，∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C 1 的坐标为 (−1,0)．把 (−1,0) 代入 y =12x +m ，得：m =12；把 (−4,3) 代入 y =12x +m ，得：m =5． ∴ 所求 m 的取值范围是 m =−116 或 12<m ≤5．23. 【答案】(1) 方法一：将 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3) 代入抛物线 y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =0,9a +3b +c =0,c =3,解得：{a =−1,b =2,c =3, ∴ 抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3．(2) 方法一：连接 BC ，直线 BC 与直线 l 的交点为 P ；∵ 点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA =PB ，∴BC =PC +PB =PC +PA ．设直线 BC 的解析式为 y =kx +b (k ≠0)，将 B (3,0)，C (0,3) 代入上式，得：{3k +b =0,b =3, 解得：{k =−1,b =3,∴ 直线 BC 的函数关系式 y =−x +3．当 x =1 时，y =2，即 P 的坐标 (1,2)．(3) 符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．(4) 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H ，作 HG ⊥AO ，垂足为 G ，∴∠AHG +∠GHO =90∘，∠AHG +∠GAH =90∘，∴∠GHO =∠GAH ，∴△GHO ∽△GAH ，∴HG 2=GO ⋅GA ，∵A (−1,0)，C (0,3)，∴l AC ：y =3x +3，H (−910,310)， ∵H 为 OOʹ 的中点，∴Oʹ(−95,35)，∵D (1,4)，∴l OʹD ：y =1714x +3914，l AC ：y =3x +3， ∴x =−325，y =6625，∴Q (−325,6625)．【解析】(1) 方法二：∵A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴y =−(x +1)(x −3)，即 y =−x 2+2x +3．(2) 方法二：连接 BC ．∵l 为对称轴，∴PB =PA ，∴C ，B ，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把 x =1 代入 l BC ：y =−x +3，得 P (1,2)．(3) 方法一：抛物线的对称轴为：x =−b 2a =1，设 M (1,m )，已知 A (−1,0)，C (0,3)，则：MA 2=m 2+4，MC 2=(3−m )2+1=m 2−6m +10，AC 2=10．①若 MA =MC ，则 MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2−6m +10，得：m =1；②若 MA =AC ，则 MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m =±√6；③若 MC =AC ，则 MC 2=AC 2，得：m 2−6m +10=10，得：m 1=0，m 2=6，当 m =6 时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M(1,√6)，(1,−√6)，(1,1)，(1,0)．方法二：设 M (1,t )，A (−1,0)，C (0,3)．∵△MAC 为等腰三角形，∴MA =MC ，MA =AC ，MC =AC ，(1+1)2+(t −0)2=(1−0)2+(t −3)2，∴t =1；(1+1)2+(t −0)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t =±√6；(1−0)2+(t −3)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t 1=6，t 2=0，经检验，t =6 时，M ，A ，C 三点共线，故舍去．综上可知，符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．24. 【答案】(1) 表格及图象如下：x ⋯−10123⋯y ⋯0−3−4−30⋯(2) k ≥−4【解析】(2) 方程 x 2−2x −3=k 有实数解，则 Δ≥0，即：(−2)2−4(−3−k )≥0，解得：k ≥−4．25. 【答案】(1) 如图 1，过 E 作 EH ⊥x 轴于 H ，当 x =0 时，y =c ，∴C (0,c )，∵ 点 D 为 OC 中点，∴D (0,c 2)，∵S △AOD =2S △AOE ，∴EH OD =12，∵OD ∥EH ，∴AE AO =EH OD =12，∴AH =12，EH =−c 4，∴E (32,−c 4)．(2) 如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为M，N，∵tan∠OED=12，∴AMAE =12，证明△AMN∽△EAH，∴MN=12AH=14，AN=12EH=−c8，∴ON=1+c8，∵tan∠EOH=MNON =EHOH，∴c2+8c+12=0，解得c=−2或−6．故解得函数表达式为y=−23x2+83x−2或y=−2x2+8x−6．。
北师大版数学九年级下二次函数专题训练题
二次函数专题训练(一)1、已知：抛物线y=ax 2+6ax+c 与x 轴的一个交点为A （-2,0）①求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标。
②点C 是抛物线与y 轴的交点，D 是抛物线上一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为32，求此抛物线的解析式。
③ E 是第二象限内到x 轴、y 轴距离之比为3：1的点。
若E 在②中的抛物线上，且a ＞0, E 和A 在对称轴同侧。
问在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使△APE 周长最小。
若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由。
2、二次函数y=x 2－2（m －1）x －1－m 的图像与x 轴交于两点A （x 1,0）和B （x 2,0）， x 1＜0＜x 2,与y 轴交于点C ，且满足COBO AO 211=- ①求这个二次函数的解析式②是否存在着直线y=kx+b 与抛物线交于点P 、Q ，使y 轴平分△CPQ 的面积。
若存在，求出k 、b 应满足的条件，若不存在，请说明理由。
3、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点。
△ABC为直角三角形。
①求代数式ac的值②如果A O：BO=1：3，且2A O·CO=3，求此二次函数的解析式。
x新课标第一网4、已知抛物线y=x2－(2k－1)x＋4k－6与x轴交于原点异侧两点A（x1,0）和B（x2,0）, x1＜x2,它的对称轴与x轴交于点N（x3,0），若A、B两点间的距离小于6。
①求k的取值范围②试判断：是否存在k的值,使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0,1）,或过点B和点N 能作圆与y轴切于点（0,1）.若存在,找出所有满足条件的值，若不存在，请说明理由。
二次函数专题训练(二)1、如图：在直角坐标系中，以点A （ 3 ，0）为圆心，以2 3 为半径的圆与X 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D.（1）、求D 点的坐标。
（2）、若B 、C 、D 三点在抛物线y=ax 2 +bx+c 上,求这条抛物线的解析式.(3)若⊙A 的切线交x 正半轴于点M,交y 轴的负半轴于点N,切点为P,且∠OMN=30° ,试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？并说明理由.2、已知：过点M （1，4）的抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y =－a x +1相交于A 、P 两点，与y 轴相交于点Q ，点E 是线段PQ 的中点，点A 在x 轴的负半轴上，且OA 的长为2+a 1 ①、求直线和抛物线的解析式②、求△PQM 的外接圆的直径③、若点B （1+23，t ）在△PQM 的外接圆上，直线QM 与直线EB 相交于T ，求∠QTB 的度数。
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)
北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或34．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm26．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣67．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8D．98．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A 为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm∴S四边形P ABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．∵1＞0，∴当t＝3时，四边形P ABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．故选：C．7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴＝﹣2（x﹣2）2+8∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣解：二次函数对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小∴y3最小，y1最大，故选：A．二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是﹣1.5或．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是1，最大值是9．解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：y max＝9，当x＝﹣1时，y min＝1．故答案为1，9．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为﹣2或．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1∴m＝±，∴m＝；当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意故答案为：﹣2或．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是﹣4或2．解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝∵＝①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3解得：m＝﹣4；②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3解得：m＝（舍去）．③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2故答案为﹣4或2．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝1．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）＝x2﹣11x+24＝﹣∴当x≤时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．故答案为：0．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y （cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴∴∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大∵m＜m+1，∴y1＜y2．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+cy＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．。
新北师大版九年级下《二次函数》专项训练题
新北师大版《二次函数》专项练习题第一节 二次函数所描述的关系时间45分钟1．下列函数中，哪些是二次函数？(1）y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=xx -21 (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr² 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．若y=（m ＋1）x 562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2B ．y =12-xC ．y =21xD ．y =a 2x5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠06．自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对7．下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如果函数y=x 232+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______10．如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.11．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？12．如果函数y=(k －3) x 232+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______13．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.14．函数y=ax²（a ≠0）与函数y=k x －2的图象相交于点A （－1，－1）。
2021年~2021年北师大版山东济南“九年级中考”数学解答题“二次函数压轴题”练习试题以及答案
九年级中考数学压轴题二次函数练习题一、解答题。
1、（2011年济南中考）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D。
坐标为（6，0），抛物线y=﹣49（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S。
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，②当S最大时，在抛物线y=﹣49请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．备用图2、（2012年济南中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D。
（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．3、（2013年济南中考）如图，在平面直角坐标系中，有一个直角△AOB，O是坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△D0C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。
（1）求抛物线的表达式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t；①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大，若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，说明理由；4、（2014年济南中考）如图1，抛物线y=﹣3x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，16对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．；（1）、求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影（2）、如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①、t为何值时，△MAN为等腰三角形；②、t为何值时，线段PN的长度最小，最小长度是多少；5、（2015年济南中考）抛物线y=ax2+bx+4经过A（1，﹣1）、B（5，﹣1）与y轴交于点C。
九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416
x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根
(北师大版)初中九年级数学下学期中考复习模拟考试试题卷(含答案详解)
（北师大版）初中九年级数学下学期中考复习模拟考试试题卷（含答案详解）（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（共40分） 1.16的算术平方根是（ ）A.±2B.2C.4D.±4 2.下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）A. B. C. D.3.据5月17日消息，全国各地约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为（ ）A.0.426×105B.4.26×105C.42.6×104D.4.26×1044.如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）A.50°B.70°C.80°D.110°（第4题图） （第9题图） （第10题图） 5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.6.化简a 2a －1－1－2a 1－a的结果为（ ）A.a+1a －1B.a ﹣1C.aD.17.从甲、乙、丙、丁四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到甲和乙的概率是（ ）A.112 B.18 C.16 D.128.在同一直角坐标系中，函数y=kx 和y=kx ﹣3的图象大致是（ ）A. B. C. D.9.在直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 在如图所示的位置，点B 的横坐标为2，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到△A’OB’，则点A’的坐标为（ ） A.（1，1） B.（√2，√2） C.（﹣1，1） D.（﹣√2，√2）10.在平面直角坐标系内，已知点A （﹣1，0），点B （1，1）都在直线y ＝12x+12上，若抛物线y ＝ax 2﹣x+1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A.a ≤﹣2 B.a ＜98 C.1≤a ＜98或a ≤﹣2 D.﹣2≤a ＜98 二.填空题。
数学北师大版九年级下册二次函数专题
专题(三) 二次函数一、选择题1．二次函数2y 2x 13=--+（）的图象的顶点坐标是【 】A ．（1，3）B ．（1-，3）C ．（1，3-）D ．（1-，3-） 2．下列函数是二次函数的是【 】A ．y 2x 1=+B ．y 2x 1=-+C ．2y x 2=+D ．1y x 22=- 3．将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式结果为 ( )A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x －1)2＋4C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋24．二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图像的顶点坐标是A ．(－1，2)B ．(1，－4)C ．（－1，8)D ．(1，8)）5．如图，抛物线21y x =+与双曲线k y x =的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式012<++-x x k 的解集是（ ）A ．x>1B ．x <1C ．0<x<1D ．－1<x<06．已知二次函数)0,(22<+-=m n m n mx mx y 为常数，且，下列自变量取值范围中y 随x 增大而增大的是（ ）.A ．x<2B ．x<-1C ．0<x<2D ．x>-17．直角坐标平面上将二次函数y=x 2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）A ．（0，0）B ．（1，﹣1）C ．（0，﹣1）D ．（﹣1，﹣1）8．已知二次函数3)1(2--=x y ，则此二次函数（ ）A. 有最大值1B. 有最小值1C. 有最大值-3D. 有最小值-39．如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为1x =，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（n ，3），则点B 的坐标为 ( )．A ．（n+2，3）B ．（2n -，3）C ．（2n -，3）D ．（22n -，3）10．将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是( )．A ．221y x =+B ．221y x =-C ．22(1)y x =+D ．22(1)y x =- 11．已知二次函数2y x 3x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程2x 3x m 0-+=的两实数根是A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝312．若二次函数2y ax =的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点【 】A ．（2，4）B ．（－2，－4）C ．（－4，2）D ．（4，－2）13．若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为【 】A ．直线x=1B ．直线x=﹣2C ．直线x=﹣1D ．直线x=﹣414．若抛物线2y x 2x c =-+与y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x=1C ．当x=1时，y 的最大值为﹣4D ．抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0） 15．如图，⊙O 的圆心在角∠α的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S 关于⊙O 的半径r （r ＞0）变化的函数图象大致是【 】A ．B ．C ．D ．16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0）， 下列结论中，正确的一项是【 】A ．abc ＜0B ．2a ＋b ＜0C ．a －b ＋c ＜0D ．4ac －b 2＜017．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a+b+c ＜0；④a ﹣b+c ＞0；⑤4a+2b+c ＞0，错误的个数有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．若二次函数2y ax bx c =++ (a≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是A ．a>0B ．b 2－4ac≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a(x 0－x 1)( x 0－x 2)<019．如图，Rt △OAB 的顶点A （－2，4）在抛物线2y ax =上，将Rt △OAB 绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为A ． ()22 ，B ．()22 ，C ．()22 ，D ．()22 ，20．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是A 、图象关于直线x=1对称B 、函数ax 2+bx+c （a≠0）的最小值是﹣4C 、﹣1和3是方程ax 2+bx+c （a≠0）的两个根D 、当x ＜1时，y 随x 的增大而增大二、填空题21．在平面直角坐标系中，抛物线2y=x -3x-4与x 轴的交点的个数是___________．22．二次函数y=x 2+1的图象的顶点坐标是 ．23．二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限．24．在平面直角坐标系中，把抛物线21y x 12=-+向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 ．25．抛物线2y x 1=+的最小值是 ．26．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y （米）与水平距离x （米）之间满足关系22810y x x 999=-++，则羽毛球飞出的水平距离为 米．27．已知二次函数y=x 2+2mx+2，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是 ．28．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a ﹣b=0；④8a+c ＜0；⑤9a+3b+c ＜0，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）29．二次函数y=﹣2（x ﹣5）2+3的顶点坐标是 ．30．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为三、解答题31．已知二次函数的图象以)4,1(-A 为顶点，且过点)5,2(-B ．（1）求该二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标；32．某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化如下表： 价格x （元/个） … 30 40 50 60 …销售量y （万个） … 5 4 3 2 …同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x （元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z （万个）与销售价格x （元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x （元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？33．如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，52-）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，B ， N 三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．35．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q 两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．（1）当t= 时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．①求s与ι之间的函数关系式；②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．。