排队中最短时间问题

浙江省农村中小学现代远程教育工程资源建设多媒体教学课件 最短时间问题 使用范围：小学数学（人教版）四年级上册《数学广角》 作 者：楼丽华 单 位：富阳市实验小学 撰稿时间：2011年7月

 教学目标： 知识与技能： 1．使学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和排队论在解决实际问题中的应用。 2.使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。 3.培养学生的有序思考以及合理安排时间的能力  重点、难点： 让学生明白什么是等候时间，通过探究建立模型。提高学生解决问题的能力。

 教学准备： 表格（每小组一份）

 教学过程 一、谈话引入 师：同学们，你们在平时的生活中是否曾经有过排队等候的经历？ 师：请你跟大家说说你做什么事的时候需要排队等候？在等候的时候你有什么感受？ 师：是啊，在排队等候的时候，每个人都想减少等候时间，尽快轮到自己。怎样才能减少大家等候时间的总和呢？ 师：今天我们就一起来学习等候时间。（板书：等候时间） 二、新课教学 师：现在就有三位同学在等楼老师给他们改作业。我们一起来看看！（课件三位同学来等候老师批改作业： A 30秒 B 70秒 C 50秒 ） 师：三位同学的等候时间的总和是多少？ 预设：150 师：同学们说的是否正确呢？我们请三位同学上来和老师一起来表演一下等候老师改作业的过程。其他同学一起帮忙算一算，需要多少时间。 （三位同学开始演示，把自己所等的时间报出来） 师：楼老师先改A的作业。过了30秒，A的作业改完了。再过70秒，B的作业也改完了。又过了50秒，C的作业也改完了。 师：A，楼老师在改作业的时候你等了多少时间？（30秒） B，刚才你等了多少时间？（30＋70＝100秒） 师：老师改作业不是只用70秒吗？B同学的等候时间怎么还要加上30？ 师：改完C同学的作业以后，C同学一共又等了多少时间？（30＋70＋50＝150秒） 师：每位同学闭上眼睛回忆一下刚才的过程。一共有几位同学等了30秒？几位同学等了50秒，几位同学等了70秒？ 师：ABC三位同学在等候楼老师改作业的时候，他们等候时间的总和是多少？（板书：等候时间总和） 师：怎么列式？ 30+30+70+30+70+50=280(秒) (课件) 师：30+70、30+70+50表示什么？ 师：老师改作业的时间总和是多少？ 30+70+50=150（秒）（课件） 师：仔细观察这两个时间，哪个时间会和顺序有关系。 师：看来等待时间的总和会和老师批改的顺序有关。 师：刚才我们是按什么顺序批改的？ 预设：A-B-C 师：除了这样的顺序，还有什么顺序？ 请大家同桌讨论一下,按一定的顺序说出（不重复，不遗漏）。 A、B、C A、C、B B、A、C B、C、A C、A、B C、B、A（课件） 师：想一想，不同的等候顺序，等候的总时间会不会一样？哪一种顺序等候时间总和会最少？ 师：同学们的猜想是否正确呢？我们一起通过这张表格来验证一下。 (示范填第一种情况的等待时间) 师：其他几种顺序，三位同学的等候时间总和会是多少呢？同桌分工合作，一起来完成表格 小组合作完成表格，汇报！ 师：观察表格，你能发现什么？ 1．第三位同学的等候时间是不变的，和顺序无关，就是老师改作业的时间。 2．等候时间最少的顺序（等候时间最多的顺序） 3．为什么最长？为什么最短？ 师：如果现在再让这三位同学来排队改作业，你们会按怎样的顺序排队？为什么？ 师：三位同学等候时间总和最少要多长时间呢？算式30+30+50+30+50+70=260(秒) （板书） 师：仔细观察，你能想办法用一条更简便的算式表示最少的等候时间总和吗？ 3×30＋2×50＋70＝260（秒） （板书） 师：3×30中的3和30分别表示什么意思？2×50中的2和50分别表示什么意识呢？70表示什么意识？ 师：从用时最少的这位同学开始批改，可以减少同学们等候的时间总和，提高效率。这种思考方法在生活中有着广泛的运用。 三、发现规律、建立模型 1．利用快速判断逐步建模师（出示主题图）：这是码头卸货的情境图。 师：为了说明方便，我们把这三艘船用甲、乙、丙来编号。（课件）你从图上知道了哪些数学信息？ （板书：3小时、1小时、2小时） 师：要使三艘船的等候时间的总和最少，应该按怎样的顺序卸货呢？等候的总和时间又是多少呢？请同学们写下来。 如果卸货时间是5小时、4小时、2小时呢？ 1小时、4小时、8小时呢？（课件出示） 汇报： （1）乙丙甲：1×3＋2×2＋3＝10（小时） （2）丙乙甲：2×3＋4×2＋5＝19（小时） （3）甲乙丙：1×3＋4×2＋8＝19（小时） 选一题说说每个数表示的意思。 2．建立模型 师：如果甲、乙、丙三艘船卸货的时间分别是：a时、b时、c时，那么等候时间最少的顺序是哪一种？（没有出示a>b>c） 师：为什么不能确定按什么顺序卸货？ 师：看来只有知道了每艘船的卸货时间，我们才可以安排合理的卸货顺序。 师：出示a>b>c，等候时间总和最少的是多少？ 为什么这样安排？ c×3是什么意思？b×2是什么意思？a是什么意思？ 师：等候时间总和和顺序之间有什么样关系呢师：请用一、二句话说说等候时间与顺序之间的关系。 四、巩固练习 1.班级大扫除，甲、乙、丙、丁四位同学各提一只水桶同时到一个水龙头接水，他们接满一桶水所需时间分别是4分钟、6分钟、7分钟、5分钟。怎样安排才能使四人等候时间的总时间最少？ 2.一个小飞机场上空有A 、 B 、C 、 D四架飞机准备降落，但是机场只有一条可供降落的跑道。已知A降落后，乘客全部下飞机需要5分钟， B降落后，乘客全部下飞机需要20分钟 C降落后，乘客全部下飞机需要10分钟 ，D降落后，乘客全部下飞机需要40分钟。怎样安排降落顺序，能使四架飞机在空中的等候时间总和最短？并算出这个方案等候时间的总和。 3.修车铺只有一个打气筒，给一辆三轮车打足气需要7分钟，给一辆大板车打足气需要5分钟，给一辆自行车打足气需要3分钟。如果同时来了三种车各一辆，该按（ ）的顺序安排，才能使这三辆车等候的时间总和最少。  教学反思： 《排队问题》是人教版教材第七册《数学广角》中的内容，所涉及的是统筹学中的排队论，排队论是关于随机服务系统的理论，其中的一项研究是怎样使服务对象的等候时间最少的问题。本节课我通过创设生动的问题情境，让学生投入解决问题的实践活动中去，自己研究、探索经历了数学学习的全过程，从而体会到了排队论的应用与解决数学问题的关系。 一、体会到了数学就在我们身边。 课一开始，我设计了一个楼老师给三位同学批改作业的情境，朴实平淡，却贴近实际，激发学生学习热情。为学生学习新知识搭桥铺路，暗示主题，引人深思。接下来的新课教学中又来到码头上，解决了怎样安排货船卸货顺序等候时间的总和才会最少的问题。巩固练习中又出现了三位同学排队接水的事例，及安排降落顺序，使四架飞机在空中的等候时间总和最短。这一系列的学习过程，使学生知道怎样使服务对象的等候时间最少的问题，就是统筹学中的排队论一项研究。这样拓宽了学生对于“排队问题”的认识，帮助学生建立了数学模型，掌握了解决这类问题的方法。并让学生体会了数学的研究来源于生活，数学就在我们身边。 二、注重引导学生参与知识的形成过程，提高学生各种能力。 1.引导学生分析信息，培养了学生的审题能力。在教学中，我注重引导学生学会分析题目，了解题目的意图，挖掘出条件背后隐含的对我们解决问题有帮助的深层次的信息。如：学生初读条件，能够提炼出一个关键的条件“只能一船一船地卸货”。而通过对这个条件的剖析，学生体会出：“一艘船卸货时，它自己不能开走，要等着，其他的船也必须等着。”通过老师进一步讲授分析，学生感悟到等候时间包括等别的船卸货的时间和自己卸货的时间。有了这样的理解，我欣喜地看到在后面研究怎样计算等候时间总和时，学生很顺利的理解了连加方法，并在此基础上得到了乘加的方法。我想，这样的训练，对学生形成捕捉有效数学信息的灵敏性，对学生解题能力的发展都是十分有帮助的。 2.培养学生开阔的思维，体现了人文关怀。在教学中，我有的放矢地把握了各个教学环节，注重学生的思维过程，训练学生有条理地说明解题思路，培养学生的思维能力。在计算等候时间总和时，我先以第一种方案为例，算三船等候的总时间。引导学生在连加方法的基础上学生得到乘加的方法。并让学生进一步思考：为什么第一个的时间要乘上3，第二个的时间乘上2……。这个对于学生来说并不是很困难，正是这一过程让学生体会到：总时间=第一个的时间×3+第二个的时间×2+第三个的时间×1。为后面引导学生通过观察发现要使等候时间的总和最少，就要按卸货时间从少到多的顺序来安排，认识到这样安排的合理性做了铺垫。接着，让学生自己计算出其它几种方案的时间总和。由于学生原有认知背景的不同，他们对解答本节课的题目存在较大的差异，所以，这时学生要选择用连加的方法还是乘加的方法计算出等候时间我并没有提出统一要求，允许不同的学生采用不同的解题方法。这样做的目的是让不同的学生在同一节课中都有不同程度的提高。这样引导学生参与知识的形成过程提高了教学的有效性，也使得学生在自主探究活动中获得了难得的体验，品尝到成功的喜悦。 3.通过观察、比较、分析、交流、概括等数学活动，培养了学生抽象的逻辑思维能力。数学活动的目的是促进思维的活动，当表格完成后我及时提出：“计算中你有什么发现？”学生通过观察表格比较计算结果，有的学生发现了有的等候时间是一艘船的时间，有的是两艘船时间的和，有的是三艘船时间的和；还有的学生发现第一个卸货的只用等它自己卸货的时间，第二个卸货的要等待第一个卸货的时间和它自己卸货的时间，第三个卸货的等待的时间就是三艘船卸货时间的和；当然也有学生发现了按照方案6的卸货顺序来安排，三艘船等候时间的总和最少。到这里我又提出了“为什么这样安排等候时间的总和最少呢？”通过学生进一步观察表格，独立思考，在交流碰撞中学生明确了三艘船都要等待的时间最少，只要一艘船都等待的时间最多。也就是说小的数算多一点，大的数算少一点，最后的和就比大的数算得多，小的数算得少加起来的和要小一些。此时我又提出了“想一想要使等候时间的总和最少，我们应该怎样安排呢？”有了前面的分析学生很快的概括出了把每件事情按用时由少到多的顺序排队，这样可以减少总体等候的时间。此时，学生很容易明确像此类问题，再也不用把每种情况都计算出来进行比较了，只要通过合理的安排就能使等候时间总和最短，并能算出这个方案等候时间的总和。数学活动追求的是思维的活跃，而不是表面上“热闹的课堂”。 使学生在学习数学知识的同时，学到解决问题的策略，培养了思维能力。