应用数理统计试题库

一 填空题 1设621,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，26542321)()(X X X X X X Y +++++=。

当常数C = 1/3 时，CY 服从2χ分布。

2 设统计量)(~n t X ，则~2X F(1,n) ，~12X F(n,1) 。

3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 1/2（n-1） 时，∑-=+-=11212)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。

4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。

对于固定的0x ，则0x βα+~ ()20201,x x N x n Lxx αβσ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭。

5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，，2，2，， 为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝ 。

6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 ()()()()222212211,11n S n S n n ααχχ-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦。

7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛202121，则Y 的分布为 ()12,02TN A A A A μ⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 。

8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为22121A B C D E 。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 7 。

（3）上表中的第三列表示 A B ⨯交互作用 。

9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

则y 关于x 的线性回归模型为 ()ˆ 2.356 1.813~0,1.611yx N εε=++ 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 12x - ，极大似然估计量为 max{X 1,X 2,…,X n } 。

12设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ 12x - ；=)ˆ(θD 1/12n 。

13设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ均未知，05.0=α.则μ的置信度为α-1的置信区间为()()221,1x n x n αα⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；若μ为已知常数，则检验假设,::20212020σσσσ<↔≥H H （20σ已知），的拒绝域为 221(n-1)X αχ-≤ 。

14设X 服从p 维正态),(∑μp N 分布，是来自n X X X ,,,21 X 的样本，则∑的最小方差无偏估计量=∑ˆ ()2ni i 11x n μ=-∑ ；μ-X 服从 ()p 0,/N n ∑ 分布。

15设（X 1，…，X n ）为来自正态总体),(~∑μp N X 的一个样本,∑已知。

对给定的检验水平为α，检验假设0100::μμμμ≠↔=H H ，（0μ已知），拒绝域为2u u α⎧⎫⎪≥⎨⎬⎪⎭⎩。

二 计算及证明题1 设21,X X 是来自总体),(~2σu N X 的一个样本。

（1）证明21X X +，21X X - 相互独立（2）假设0=u ，求221221)()(X X X X -+的分布()()()()()()()()()212121212212212121,,0,10,120,20,22,20,20,2x x xN x x N N x x x x N N x x N x x N x x N μσμμσσμμμσσσμσσσ----+-⎛⎫+⎪⎝⎭+--证明：因为：均服从所以：，，即：，()()()1212200,0,x x N x x N μσσ=+-，，即()2212~1X X X σ+⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()2212~2X X X σ-⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2122112122212122/~(,)(1,1)~(1,1)/X X n X X F F n n F F X X X X n σσ+⎛⎫⎪+⎝⎭∴===--⎛⎫⎪⎝⎭2 设n X X X ,,,21是总体)1,0(~N X 的一个样本，求统计量2121)(1)(1∑∑+==-+=nm i i m i i X m n X m Y 的抽样分布。

()2222__111122__22__1111~(0,1)111/1/i m n i i i i m X N Y X X m X n m Y m n m m X n m Y m n m ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()()()()()__1122__22112~0,1~0,11/1/~1~11/1/~2N N m n mX X m n m Y X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∴ 3 设总体)(~λE X （指数分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，证明)2(~221n X ni i χλ∑=4 设总体)(~λP X （泊淞分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，2S X 和为样本均值和样本方差，试求（1）n X X X ,,,21 的联合分布律（2）)(),(),(2S E X D X E()}{}{111221111,,,!niii nn n i i i X xnn ni iii P X X X X X X P X X e e X X λλλλ==--====⋅⋅⋅===∑==∏∏∏()()()()()()()()()11122221121,2,,111,11211i i i n n n i i i i i i nn i i i i i X i n E X D X E X E X E X D X D X n n n nE S E X X E X X X X n n λλλλ======⋅⋅⋅∴==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭∑∑∑∑∑()()()()()()()()221122122122212112111n ni i i i n i i ni i i i i E X X X nX n E X E XnX E nX n E X E nX n E X D X E X λλ====⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭⎛⎫=- ⎪-⎝⎭=+=+∑∑∑∑ ()()()()()22222211(1)11E nXD XE X nE S n n n n n λλλλλλλλ=+=+⎡⎤∴=+--=-=⎣⎦--5设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，试求下列总体的矩估计量和极大似然估计量。

（1）总体X 的分布律是),3,2,1()1()(1=-==-k k X P k θθ，其中10<<θ未知参数。

（2）X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其他10)(1x x x f θθ（0>θ为待估计参数）6 设总体),(~2σu N X （方差已知），问需抽取容量n 多大时，才能使得总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度不大于L 解：(2~,~(0,1)/X X N N nμσσ21P U U αα⎧⎫∴<=-⎨⎬⎩⎭22/X U U n αασ<<2222222//42/X U n U X U n U n Ln U L αααασσσσ-<+≥22U n L ασ≤ 22224n U L ασ≥7 为了检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机取50L ，化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson分布），化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使得上述情况发生的概率最大8 某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm ，标准差为6.04cm ，而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm ，标准差为7.10cm 。

试检验该系中喜欢参加运动的男生平均身高是否比其他男生高些。

（05.0=α）9 设有线性模型⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=3213221211122εββy εββy εβy ，其中)3,2,1)(,0(~2=i N i σε且相互独立，试求（1）21ββ和的最小二乘估计（2）给出21ββ和的分布并证明他们的独立性 （3）导出检验210:ββ=H 的检验统计量 (1)根据线性最小二乘法定义：设函数()()()()2221211212312,22Q y y y βββββββ=-+-++--只需要是此函数最小()()()()()()121121*********,22222222601Q y y y y y y βββββββββ∂∴=---⨯-+---∂=++-=⋅⋅⋅ ()()()()()122123122232,222222502Q y y y y ββββββββ∂∴=-+---∂=-+=⋅⋅⋅解（1）（2）得，估计值：123321122,65y y y y y ββ++-=-=10 若总体X 服从正态分布()22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少()()}{()2x 1,1.2~N 0,10.9 1.10.95:10.950.975 1.961.96553.2n Nx n ≤≤≥⎛Φ-Φ-≥ ⎭⎝⎭⎝⎭∴Φ≥=Φ⎭≥∴≥解：则：由p 得即样品容量最少应取55411有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):， ， ， ， ， ， .根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效()0.05.α=()()()n22i 112H0u 23.8H1u 23.8H01x 26.72224.121.027.22523.424.271x 4.52, 2.13n x x 0,1 1.i x N u u u ασσ=-=≠=⨯++++++==-===<=∑解：由问题提出假设：，：在成立的前提下：而96∴0接受假设H ,即这组数据能说明新安眠药的疗效11.设总体X 的概率密度为1,0(,)00x x e x f x x αλαλλ--⎧>=⎨≤⎩，其中λ>0是未知参数，α>0是已知常数，12,,...,n X X X 为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。