整式及因式分解
整式及其运算
知识点3 整式及其因式分解一、分类：单项式和多项式统称为整式。
整式可分为单项式和多项式1.单项式：定义：数与字母的积组成的式子，单独一个数或字母也叫单项式。
系数：单项式中的数字因数。
次数：所有字母的指数和。
注意：单独一个字母a 的系数为1，次数为1。
单独一个数字比如3的系数为3次数为02.多项式：定义：几个单项式的和。
项数：含几个单项式是几项式。
次数：次数最高项的次数。
二、计算1.加减：(1)去括号：括号前是+时，去掉括号和括号前的+，括号内各项不变号 括号前是-时，去掉括号和括号前的-，括号内各项要变号(2)合并同类项。
①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
②合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。
2. 乘除：(1)公式：a m .a n =a m+n , (a m )n =a mn , (ab)n =a n b n(2) 计算：单项式乘单项式：系数相乘，相同的字母按照同底数幂的乘法相乘 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把结果相加多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项再把结果相加 平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2 注意：3.除法：a n ÷a m =a m-n （a ≠0） a 0=1(a ≠0), p paa 1=-(a ≠0) 单项式除以单项式：系数相除，相同的字母按照同底数幂的除法相除 多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式再把结果相加第三讲整式（A 卷）一、选择题1. 下列各式计算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．235a a a +=C ．824a a a ÷=D ．23a a a ⋅= 2．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 5B ． a 2+a 3=a 5C ． （a 3）2=a 5D ．a 3÷a 2=13.下列运算正确的是（ ）A.()236aa = B. 22a a a ⋅= C. 2a a a += D. 632a a a ÷=4. 下列运算正确的是A. (－a 3)2= a 5B. (－a 3)2=－a 6C. (－3a 2)2=6a 4 D . (－3a 2)2= 9a 422222222)()(42)(2)(b a b a ab ab b a b a ab b a b a --+=+-=+-+=+5.下列式子正确的是（ ）A ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－b 2C ．(a －b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－ab ＋b 2 6. 计算()23ab 的结果是（ ）A ．6abB ．26a b C ．29ab D ．229a b 7．下列计算中，不正确的是（ ） A ．﹣2x+3x=x B ． 6xy 2÷2xy=3yC ．（﹣2x 2y ）3=﹣6x 6y 3D ． 2xy 2•（﹣x ）=﹣2x 2y 28. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ． M =mnB ． M =n (m +1)C ．M =mn +1D ．M =m (n +1)二、填空1.如图9所示，图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()127531-+⋅⋅⋅++++n = . （用n 表示，n 是正整数）2. 一件商品的进价为a 元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为 元.3. 如果x=1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是 ．4.单项式35-x y 的系数是 ．5. 为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m 个篮球和n 个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为 元. 6.若m +n =2，mn =1，则m 2+n 2 = ．7.的结果等于 a 2 ．8 .用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n 个图案中共用小三角形的个数是 .三、计算1. 计算：5a ＋2b ＋(3a —2b )； (3)(3)(4)a a a a +-+-2n -15 12 34n7 1 1 2 43 3 n3.请你化简 22236911211x x x x x x x +++÷+--++，再取恰当x 的值代入求值。
考点02 整式与因式分解【无答案】
考点02 整式与因式分解中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。
考向一、整式的加减；考向二、幂的运算考向三、整式的乘除考向四、因式分解考向一：整式的加减1.整式的概念及注意事项：【易错警示】1．（2022秋•泉州期中）单项式﹣2πr3的系数和次数分别是（）A．﹣2，4B．﹣2，3C．﹣2π，3D．2π，32．（2022秋•包河区期中）已知单项式2x3y m与单项式﹣9x n y2是同类项，则m﹣n的值为（）A．﹣1B．7C．1D．113．（2022秋•陇县期中）下列说法中，错误的是（）A．数字1也是单项式B．单项式﹣5x3y的系数是﹣5C．多项式﹣x3+2x﹣1的常数项是1D．3x2y2xy+2y3是四次三项式4．（2022秋•高邮市期中）已知代数式3a﹣b2的值为3，则8﹣6a+2b2的值为．5．（2022秋•鄂州期中）若多项式a（a﹣1）x2+（a﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则a的值为（）A．0B．1C．0或1D．不能确定2.整式的加减【易错警示】1．（2022秋•黄石期中）下列计算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a+2a2＝3aC．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b2．（2022秋•老河口市期中）一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则与其相邻的一边长为（）A．a+5b B．a+b C．4a+9b D．a+3b3．（2022秋•江都区期中）如图，长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②③两块小长方形的长均为a，宽均为b，若BC＝2，则①④两块长方形的周长之和为（）幂的运算A ．8B ．2a +2bC ．2a +2b +4D ．164．（2022秋•沈北新区期中）化简：6x 2﹣[4x 2﹣（x 2+5）]＝ ．5．（2022秋•北碚区校级期中）若关于x 的多项式3ax +7x 3﹣bx 2+x 不含二次项和一次项，则a +b 等于（ ）A ．﹣B ．C ．3D ．﹣36．（2022秋•扬州期中）化简：（1）x 2﹣3x ﹣4x 2+5x ﹣6；（2）3（2x 2﹣xy ）﹣（x 2+xy ﹣6）．7．（2022秋•黔东南州期中）阅读材料：“如果代数式5a +3b 的值为﹣4，那么代数式2（a +b ）+4（2a +b ）的值是多少？”我们可以这样来解：原式＝2a +2b +8a +4b ＝10a +6b ．把式子5a +3b ＝﹣4两边同乘以2．得10a +6b ＝﹣8．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）已知a 2+a ＝0，求a 2+a +2022的值；（2）已知a ﹣b ＝﹣3．求3（a ﹣b ）﹣a +b +5的值；（3）已知a 2+2ab ＝﹣2，ab ﹣b 2＝﹣4，求2a 2+5ab ﹣b 2的值．考向二：幂的运算1．（2022秋•朝阳区校级期中）下列运算正确的是（ ）A ．a 3+a 6＝a 9B ．a 6•a 2＝a 12()()是正整数）且）＞且都是正整数为正整数）都是正整数）都是正整数）p a a a a a n m n m a a a a n b a ab n m a a n m a a a p p n m n m n n n mn n m n m n m ,0(1)0(1,,,0((,(,(0≠=≠=≠=÷===•--+C．（a3）2＝a5D．a4•a2+（a3）2＝2a62．（2022秋•浦东新区校级期中）计算（﹣）2021•（﹣）2022的结果是（）A．B．C．D．3．（2022秋•闵行区校级期中）已知a m＝2，a2n＝3，求a m+2n＝．4．（2022秋•永春县期中）若a m＝2，a n＝3，a p＝5，则a m+n﹣p＝．5．（2022秋•朝阳区校级期中）（1）计算：（a4）3+a8•a4；（2）计算：[（x+y）m+n]2；（3）已知2x+3y﹣2＝0，求9x•27y的值．6．（2022秋•浦东新区期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a•a…，记为a n．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．（4）设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．考向三：整式的乘除➢两个乘法公式可以从左到右应用，也可以从右到左应用；1．（2022春•南海区校级月考）下列各式中，计算正确的是（）A．2a2•3a3＝5a6B．﹣3a2（﹣2a）＝﹣6a3C．2a3•5a2＝10a5D．（﹣a）2•（﹣a）3＝a52．（2022秋•阳信县期中）下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣2）（2﹣x）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（a2+b）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）3．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣14．（2022秋•思明区校级期中）设M＝（x﹣1）（x﹣2），N＝（2x﹣3）（x﹣2），则M与N的大小关系为（）A．MN B．M≥N C．M＝N D．M≤N5．（2022•雁塔区校级开学）如图，一块矩形土地的面积是x2+5xy+6y2（x＞0，y＞0），长为x+3y，则宽是（）A．x﹣y B．x+y C．x﹣2y D．x+2y6．（2022秋•东城区校级期中）若（s﹣t）2＝4，（s+t）2＝16，则st＝．7．（2022秋•阳信县期中）（1）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y＝﹣1．（2）利用乘法公式简算：20212﹣2020×2022．8．（2022秋•西湖区校级期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2．（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则长方形的周长为；（2）若b＝7，c＝4，①求l1﹣l2的值；②记图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，求S2﹣S1的值．考向四：因式分解基本概念公因式多项式各项都含有的相同因式因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤“一提”【即：提取公因式】“二套”【即：套用乘法公式】222222)())((babababababa+±=±-=-+完全平方公式：平方差公式：“三分组”【即：分组分解因式】基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【即：十字相乘法】()()()qxpxqpxqpx++=•+++2➢由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；➢公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；➢将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；➢乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；➢分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；1．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．22．（2022秋•张店区期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）3．（2022秋•南安市期中）已知a＝2020x+2020，b＝2020x+2021，c＝2020x+2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．34．（2022春•顺德区校级月考）三角形三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状不确定5．（2022秋•长宁区校级期中）因式分解：＝．6．（2022秋•肇源县期中）因式分解：（1）15a3+10a2；（2）﹣3ax2﹣6axy+3ay2．7．（2022秋•巴南区校级期中）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，并满足十位数字最大，个位数字最小，且以各个数位上的数字为三边可以构成三角形，则称这样的三位数为“三角数”．将“三角数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，其中十位数字大于个位数字的两位数叫“全数”，十位数字小于个位数字的两位数叫“善数”，将所有“全数”的和记为Q（m），所有“善数”的和记为S（m），例如：Q（562）＝62+52+65＝179，S（562）＝26+25+56＝107；（1）判断：342 （填“是”或“不是”）“三角数”，572 （填“是”或“不是”）“三角数”，若是，请分别求出其“全数”和“善数”之和．（2）若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若“三角数”n满足Q（n）﹣S（n）和都是完全平方数，请求出所有满足条件的n．1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（）A．3B．a C．D．x2y2．（2022•巴中）下列运算正确的是（）A．＝﹣2B．（）﹣1＝﹣C．（a2）3＝a6D．a8÷a4＝a2（a≠0）3．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2B．﹣5a6b2C．a6b2D．7a6b24．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x6．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）27．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．128．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．9．（2022•宜宾）分解因式：x3﹣4x＝．10．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．11．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是．12．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．13．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．15．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．1．（2022•徐州）下列计算正确的是（）A．a2•a6＝a8B．a8÷a4＝a2C．2a2+3a2＝6a4D．（﹣3a）2＝﹣9a2 2．（2022•黔西南州）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3B．12x3C．18x3D．﹣12x33．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）4．（2022•南通）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（）A．24B．C．D．﹣45．（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2a D．a2﹣a+16．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．37．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．8．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．9．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．10．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．11．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．13．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．14．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．15．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．1．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（）A．x2•x B．x+x C．x8÷x4D．（﹣x）22．（2022•雁塔区模拟）下列计算正确的是（）A．（12a4﹣3a2）÷3a2＝4a2B．（﹣3a+b）（b﹣a）＝﹣2ab﹣3a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（b+2a）（2a﹣b）＝﹣b2+4a23．（2022•环江县模拟）如图，某底板外围呈正方形，其中央是边长为x米的空白小正方形，空白小正方形的四周铺上小块正方形花岗石（即阴影部分），恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石，则边长x 的值是（）A．3米B．3.2米C．4米D．4.2米4．（2022•路南区三模）在化简3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab题中，◆表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个．当a＝﹣2，b＝1时，3（a2b+ab）﹣2（a2b+ab）◆2ab的值为22，则◆所表示的符号为（）A．÷B．×C．+D．﹣5．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b26．（2022•峨眉山市模拟）若把多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．（2022•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（）A．﹣19a7B．19a7C．﹣22a6D．22a68．（2022•张店区二模）如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE＝4，MN＝3，CN＝2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（）A．5B．6C．7D．89．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝．11．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝．12．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝．13．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．14．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为．15．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．16．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．17．（2022•安徽模拟）某学习小组在研究两数的和与这两数的积相等的等式时，有下面一些有趣的发现：①由等式3+＝3×发现：（3﹣1）×（﹣1）＝1；②由等式+（﹣2）＝×（﹣2）发现：（﹣1）×（﹣2﹣1）＝1；③由等式﹣3+＝﹣3×发现：（﹣3﹣1）×（﹣1）＝1；…按照以上规律，解决下列问题：（1）由等式a+b＝ab猜想：，并证明你的猜想；（2）若等式a+b＝ab中，a，b都是整数，试求a，b的值．18．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B 的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．。
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n m a a =(n m ,都是正整数)．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的3．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=；()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()c b a c b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++．1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4. 分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--= 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小． (1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是： n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x ()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．5.二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x 1就不是最简二次根式．化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a ba b a 二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式； (3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：b a ba=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况． 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--．分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()2131********+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+= 321+= 23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ． ()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=． 二次根式的化简技巧一、 巧用公式法例1计算b a ba b a ba b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
整式及因式分解-概述说明以及解释
整式及因式分解-概述说明以及解释1.引言概述部分内容可以包括整式及因式分解的基本概念和意义，以及本文将要介绍的内容和目的。
【1.1 概述】整式及因式分解是代数学中重要的概念和方法。
整式是由常数和变量以及它们的乘积与幂次相加相减而成的代数表达式，它在代数运算中扮演着重要的角色。
因式分解则是将一个整式分解为若干个较简单的整式乘积的过程，它不仅有助于我们理解整式的结构，还能帮助我们解决复杂的问题。
整式与因式分解在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数学中，整式是多项式的基本组成单位，而多项式又是方程求解和函数分析的基础。
因此，掌握整式及其性质对于深入学习代数学是至关重要的。
因式分解是一种重要的代数操作，它能够将一个复杂的整式转化为简单的因子形式。
这种分解不仅有助于我们对整式的理解，还能够简化计算和求解过程。
此外，因式分解还在数论、概率论、微积分等领域有着广泛的应用，例如在因式分解多项式方程、求解方程组、计算极限值等问题中。
本文将分为引言、正文、因式分解和结论四个部分来介绍整式及因式分解。
在引言部分，我们将对整式及因式分解的概念和意义进行阐述。
接着，在正文部分，我们将详细介绍整式的定义和性质，以及整式的运算规则、化简和展开方法。
然后，我们将专门介绍因式分解的概念、方法和步骤，并探讨因式分解在实际问题中的应用。
最后，在结论部分，我们将总结整式与因式分解的重要性和应用，并展望它们未来的发展。
通过阅读本文，读者将能够全面了解整式及因式分解的基本概念和运算规则，掌握整式的化简和展开方法，以及掌握因式分解的方法和应用。
同时，读者也将意识到整式及因式分解在数学中的重要性，并能够将它们应用于解决实际问题中。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述整个文章的组成部分，以及每个部分的主题和目标。
具体内容可以参考以下示例：文章结构：本文将分为四个主要部分：引言、正文、因式分解和结论。
下面对每个部分的主题和目标进行介绍。
1. 引言：1.1 概述：在本节中，我们将简要介绍整式及因式分解的概念和重要性。
数学中的整式运算与因式分解
数学中的整式运算与因式分解数学是一门抽象而又深奥的学科，其中数学中的整式运算与因式分解是数学中的重要概念和技巧。
整式运算是指对多项式进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，而因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式。
本文将探讨整式运算与因式分解的基本概念、方法和应用。
一、整式运算整式是由常数和变量按照加法和乘法运算组成的代数式。
整式运算是对整式进行加法、减法、乘法和除法等基本运算。
其中，加法和减法是直接对整式的系数进行运算，乘法是对整式的各项进行相乘，并将同类项合并，而除法是对整式进行因式分解后的运算。
我们以一个简单的例子来说明整式运算的基本方法。
假设有两个整式：$3x^2+ 2x + 1$和$2x^2 - 3x + 4$。
首先进行加法运算，将两个整式的同类项相加，得到$5x^2 - x + 5$。
然后进行减法运算，将第一个整式减去第二个整式的每一项，得到$x^2 + 5x - 3$。
接下来进行乘法运算，将两个整式的每一项相乘，并将同类项合并，得到$6x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 9x + 4$。
最后进行除法运算，将第一个整式除以第二个整式，得到商式和余式。
整式运算在代数中有着广泛的应用，尤其在方程的求解和函数的分析中起着重要的作用。
通过整式运算，我们可以对复杂的代数式进行简化和转化，从而更好地理解和解决数学问题。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为若干个乘积的形式。
因式分解的目的是将一个复杂的多项式化简为简单的乘积形式，从而更好地理解和运用。
因式分解的方法有很多种，常见的有公因式提取法、配方法、分组分解法等。
我们以一个例子来说明因式分解的基本方法。
假设有一个多项式$2x^2 + 5x + 3$，我们可以使用配方法进行因式分解。
首先将多项式的第一项和最后一项相乘，得到$2x^2 \cdot 3 = 6x^2$。
然后找到一个数，使得它的平方等于$6x^2$，即$6x^2 =(2x)^2$，所以我们可以将多项式分解为$(2x + 1)(x + 3)$。
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文第一章：整式的乘法1.1 教学目标理解整式乘法的基本概念掌握整式乘法的基本法则能够正确进行整式乘法运算1.2 教学内容整式乘法的定义和基本概念整式乘法的基本法则整式乘法的运算步骤1.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式乘法的运算技巧1.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式乘法的应用能力第二章：整式的除法2.1 教学目标理解整式除法的基本概念掌握整式除法的基本法则能够正确进行整式除法运算2.2 教学内容整式除法的定义和基本概念整式除法的基本法则整式除法的运算步骤2.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式除法的运算技巧2.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式除法的应用能力第三章：因式分解3.1 教学目标理解因式分解的基本概念掌握因式分解的基本方法能够正确进行因式分解运算3.2 教学内容因式分解的定义和基本概念因式分解的基本方法因式分解的运算步骤3.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解因式分解的概念和法则使用多媒体教学工具，展示因式分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固因式分解的运算技巧3.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对因式分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对因式分解的应用能力第四章：多项式的乘法4.1 教学目标理解多项式乘法的基本概念掌握多项式乘法的基本法则能够正确进行多项式乘法运算4.2 教学内容多项式乘法的定义和基本概念多项式乘法的基本法则多项式乘法的运算步骤4.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式乘法的运算技巧4.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式乘法的应用能力第五章：多项式的除法5.1 教学目标理解多项式除法的基本概念掌握多项式除法的基本法则能够正确进行多项式除法运算5.2 教学内容多项式除法的定义和基本概念多项式除法的基本法则多项式除法的运算步骤5.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式除法的运算技巧5.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式除法的应用能力第六章：平方差公式与完全平方公式6.1 教学目标理解平方差公式和完全平方公式的基本概念掌握平方差公式和完全平方公式的运用能够运用平方差公式和完全平方公式进行整式的运算6.2 教学内容平方差公式的定义和基本概念完全平方公式的定义和基本概念平方差公式和完全平方公式的运用6.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解平方差公式和完全平方公式的概念使用多媒体教学工具，展示平方差公式和完全平方公式的运用过程提供充足的练习机会，让学生巩固平方差公式和完全平方公式的运用技巧6.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对平方差公式和完全平方公式的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对平方差公式和完全平方公式的应用能力第七章：分式的乘除法7.1 教学目标理解分式乘除法的基本概念掌握分式乘除法的运算方法能够正确进行分式乘除法的运算7.2 教学内容分式乘除法的定义和基本概念分式乘除法的运算方法分式乘除法的运算步骤7.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式乘除法的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式乘除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式乘除法的运算技巧7.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式乘除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式乘除法的应用能力第八章：分式的化简与分解8.1 教学目标理解分式化简与分解的基本概念掌握分式化简与分解的方法能够正确进行分式的化简与分解运算8.2 教学内容分式化简与分解的定义和基本概念分式化简与分解的方法分式化简与分解的运算步骤8.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式化简与分解的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式化简与分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式化简与分解的运算技巧8.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式化简与分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式化简与分解的应用能力第九章：整式与分式的综合应用9.1 教学目标理解整式与分式的综合应用的基本概念掌握整式与分式的综合应用的方法能够正确进行整式与分式的综合应用运算9.2 教学内容整式与分式的综合应用的定义和基本概念整式与分式的综合应用的方法整式与分式的综合应用的运算步骤9.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式与分式的综合应用的概念和方法使用多媒体教学工具，展示整式与分式的综合应用的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式与分式的综合应用的运算技巧9.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式与分式的综合应用的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式与分式的综合应用的应用能力第十章：复习与提高10.1 教学目标巩固本单元所学知识提高学生解决实际问题的能力培养学生的数学思维和综合运用能力10.2 教学内容复习整式、分式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式等基本概念和运算方法通过实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题总结本单元的重点知识和难点知识10.3 教学方法通过练习题和实际问题，让学生巩固所学知识使用多媒体教学工具，展示实际问题的解决过程组织小组讨论，培养学生的合作学习和解决问题的能力10.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对复习内容的掌握程度设计一些综合性的题目重点解析本文全面介绍了整式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式、分式的乘除法、分式的化简与分解、整式与分式的综合应用等基本概念、运算方法和实际应用。
整式与因式分解
整式与因式分解—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a 的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m = ．【答案】14【解析】由3x m+5y 2与x 3y n 的和是单项式得3x m+5y 2与x 3y n 是同类项，∴532m n +=⎧⎨=⎩ 解得22m n =-⎧⎨=⎩ ， n m =2-2=14 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A 、-3B 、-1C 、D 、3【答案】由题意单项式是同类项， 所以，解得 ，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A.B.a 2·a 3=a 6C.(-3a 2)3=-9a 6D.a 5+a 3=a 8【答案】A ；【解析】选项B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a 2·a 3=a 5，所以B 错；选项C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a 2)3=-27a 6，所以C 错；选项D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D 错；选项A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确.答案选A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A.2-3 =18；2= ；C.235a a a = 正确 ；D.325a a a +=. 故选C.【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6) A ．无 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x 2﹣81（2）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（3）3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）（4）6mn 2﹣9m 2n ﹣n 3．⋅=-22212x x【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x 2﹣9）=9（x+3）（x ﹣3）；（2）原式=（x 2+y 2+2xy ）（x 2+y 2﹣2xy ）=（x+y ）2（x ﹣y ）2；（3）原式=3（a ﹣b ）（x+2y ）；（4）原式=﹣n （9m 2+n 2﹣6mn ）=﹣n （3m ﹣n ）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2．【答案】解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++--6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b 2写成b 2+b 2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a 2+2b 2+c 2-2b(a+c)=0a 2+b 2+ b 2+c 2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC 是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．整式与因式分解—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列计算中错误的是( )A.()2532242a b c a bc ab ÷-=B.()()2322243216a b a b a ab -÷-=C.214)21(4222-=÷-⋅y x y y x D.3658410221)()(a a a a a a =÷÷÷÷ 2. 已知537x y 与一个多项式之积是736555289821x y x y x y +-，则这个多项式是( )A. 2243x y -B.2243x y xy -C.2224314x y xy -+D.223437x y xy -+ 3．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ． 4．（2015•佛山）若（x+2）（x ﹣1）=x 2+mx+n ，则m+n=（ ）A ．1B ．﹣2C ．﹣1D ．25. 如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（ ）A. 222()(2)a c b bc ---B. 222()2a b c bc --+C. 222()(2)a b c bc ---D. 222(2)a b bc c --+二、填空题7．已知2220x +=，则2x 的值为 ．8．(1)已知10m ＝3，10n ＝2，210m n -__________．(2)已知23m ＝6，9n ＝8，643m n -___________．9．分解因式：()()()()26121311x x x x x ----+=_________________．10．（2015秋•乌海校级期中）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （填写序号）．①（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ②（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2③a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ） ④（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2．11．多项式可分解为()()5x x b --，则a ,b 的值分别为_________.12.分解因式：＝__ ______.三、解答题13．将下列各式分解因式：（1）22355x x +-； （2）25166x x ++； （3）22616x xy y --； （4）.14.（2015春•故城县期末）（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）当x=﹣5时，代数式x 2﹣2x+2 1；当x=1时，代数式x 2﹣2x+2 1；…（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；（3）拓展与应用：求代数式a 2+b 2﹣6a ﹣8b+30的最小值．15. 已知 21x x =+，求下列代数式的值：(1)553x x -+； (2)221x x+.16.若三角形的三边长是a b c 、、，且满足2222220a b c ab bc ++--=，试判断三角形的形状. 小明是这样做的：解：∵2222220a b c ab bc ++--=，∴2222(2)(2)0a ab b c bc b -++-+=.即()()220a b b c -+-=321a a a +--∵()()220,0a b b c -≥-≥，∴,a b b c a b c ====即.∴该三角形是等边三角形.仿照小明的解法解答问题：已知： a b c 、、为三角形的三条边，且2220a b c ab bc ac ++---=，试判断三角形的形状.中考总复习：整式与因式分解—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ）A ．61，63B ．63，65C ．61，65D ．63，672.乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（ ） A ．512 B ．12 C ．23D ．1120 3．（2015•十堰模拟）已知x 2﹣x ﹣1=0，则x 3﹣2x+1的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣1D ．﹣24．93191993+的个位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．85．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A.0c ≥B. 9c ≥C. 0c >D. 9c >6．如图，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A ．2cm 2B ． 2acm 2C ． 4acm 2D ． （a 2﹣1）cm 2二、填空题7． 已知999999=P ，909911=Q ，那么P ，Q 的大小关系是 ． 8．已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ． 9．若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.10. （1）如果1ab =，那()()22_________n n n n a b a b --+=.（2）已知200080,200025==y x ，则=+yx 11 . 11．对于任意的正整数n ，能整除代数式()()()()313133n n n n +---+的最小正整数是_______.12.（2015秋•巴中期中）图1可以用来解释：（2a ）2=4a 2，则图2可以用来解释： ．三、解答题13.（2014秋•静宁县校级期中）若关于x 的多项式﹣5x 3+（2m ﹣1）x 2+（3n ﹣2）x ﹣1不含二次项和一次项，求m ，n 的值．14．将下列各式分解因式：（1）21136x x -+； （2）251124a a --； （3）10722+-xy y x ； （4）()()342++-+b a b a .15. 若二次三项式()232350kx x k +-≠能被 27x +整除，试求k 的值．16.已知：()26,90,a b ab c a -=+-+=求a b c ++的值.整式与因式分解—巩固练习（基础解析）一、选择题1.【答案】D ；【解析】10485631()()22a a a a a a -÷÷÷÷=. 2.【答案】C ；【解析】这个多项式为()7365555322228982174314x y x y x y x y x y xy +-÷=-+.3.【答案】D ；【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.4.【答案】C ；【解析】∵原式=x 2+x ﹣2=x 2+mx+n ，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C ． 5.【答案】B ；【解析】由题意5306b b =-=-，.6.【答案】D ；【解析】原式＝()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+.二、填空题7．【答案】5；【解析】由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．8．【答案】(1)29；(2)827； 【解析】（1）()2291010102m n m n -=÷=；（2）()()332642262733988m n m n -=÷==. 9．【答案】()22661x x -+；【解析】原式()()()()26112131x x x x x =----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222671651x x x x x =-+-++令2671x x u -+=，()22222u u x x u ux x ++=++()()222661u x x x =+=-+. 10．【答案】 ③；【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a 2﹣b 2，图乙中阴影部分的面积=（a+b ）（a ﹣b ）， 而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）．故可以验证③．故答案为：③．11．【答案】10,2a b =-=-；【解析】()()()2555x x b x b x b --=-++，所以53,2b b +==-，5,10a b a ==-.12.【答案】()()211a a +-；【解析】()()()()221111a a a a a =+-+=+-.三、解答题13.【答案与解析】（1）22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）()()2261682x xy y x y x y --=-+；（4）因为()()()25242292x x x -+-+=-+所以：原式()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+14.【答案与解析】解：（1）把x=﹣5代入x 2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；把x=1代入x 2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1，故答案为：＞，=；（2）∵x 2﹣2x+2=x 2﹣2x+1+1=（x ﹣1）2+1，X 为任何实数时，（x ﹣1）2≥0，∴（x ﹣1）2+1≥1；321a a a +--（3）a 2+b 2﹣6a ﹣8b+30=（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+5．∵（a ﹣3）2≥0，（b ﹣4）2≥0，∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+5≥5，∴代数式a 2+b 2﹣6a ﹣8b+30的最小值是5．15.【答案与解析】（1）()()()2523343111x x x x x x x x x x =⋅=+⋅=+=+++()2231213153x x x x x =++=+++=+∴55353536x x x x -+=+-+=. （2）已知两边同除以x ，得111,1x x x x=+-=即 ∴22211()21x x x x-=+-= ∴2213x x+=.16.【答案与解析】∵2222222220a b c ab bc ac ++---=∴()()()2222222220a ab b b bc c a ac c -++-++-+=()()()2220a b b c a c -+-+-= ∴000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴a b c ==，该三角形是等边三角形.整式与因式分解—巩固练习（提高解析）1.【答案】B ；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯2.【答案】D ； 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111......11112233991010314253108119 (223344991010)1111121020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 3.【答案】B ；【解析】∵x 2+x ﹣1=0，∴x 2+x=1，∴x 3﹣2x+1=x （x 2﹣x ）+x 2﹣2x+1=x+x 2﹣2x+1=（x 2﹣x ）+1=1+1=2．故选：B ． 4.【答案】C ；【解析】93191993+的个位数字等于931993+的个位数字．∵93246469(9)9819=⋅=⋅;1944343(3)3(81)27=⋅=⋅．∴931993+的个位数字等于9＋7的个位数字．则 93191993+的个位数字是6． 5.【答案】B ；【解析】()()22639x x c x c -+=-+-，由题意得，90c -≥，所以9c ≥.6.【答案】C ；二、填空题7．【答案】P ＝Q ；【解析】∵999990991199P Q ÷=÷()9909999990999911991191191911⨯=⨯⨯⨯==⨯∴ P ＝Q.8．【答案】－5；【解析】原式()()()()23223232m m m m a b a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.9．【答案】200； 【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=.10.【答案】（1）－4；（2）1；【解析】（1）原式()()()22n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b =-++---=⋅-()444n n n a b ab =-=-=-.（2）∵252000,802000,20002580x y ===⨯ ∴()()2525200025802580252000y y x xy y y y y ===⨯=⨯=⨯；252525200025x y x y y +⋅==⨯∴2525xy x y +=；∴xy x y =+，111x y x y xy++==. 11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10()21n -，故能被10整除.12.【答案】（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；【解析】如图2：整体来看：可看做是边长为（a+b ）的正方形，面积为：（a+b ）2；从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的， 面积为：a 2+2ab+b 2；∴a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．故答案为：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2三、解答题13.【答案与解析】解：∵多项式﹣5x 3+（2m ﹣1）x 2+（3n ﹣2）x ﹣1不含二次项和一次项，∴2m﹣1=0，3n ﹣2=0，解得m=，n=，∴m=，n=．14.【答案与解析】（1）22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()2271025x y xy xy xy -+=--；（4）()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-.15.【答案与解析】 因为()232352752k kx x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭所以710322k -=，解得12k =.16.【答案与解析】∵6,a b -=∴6a b =+∵()290,ab c a +-+=∴()()2690,b b c a ++-+=∴()()2230,b c a ++-=∴3,b c a =-=∴()363,3a c =-+==∴()3333a b c ++=+-+=.。
代数式、整式的运算、因式分解、分式 常用知识点
第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
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2.去(添)括号的法则 (1)括号前面是“＋”号，去(添)括号后，括号里各项都不改变符号． (2)括号前面是“－”号，去(添)括号后，括号里各项都⑩__改__变__符__号__. 3.整式的加减 整式的加减运算的实质就是⑪__合__并__同__类__项____，有括号的先去括号，再合并同 类项．
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(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
解：29－28＋27－…＋23－22＋2＝29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋26×(－1)3＋…＋
22×(
－
1)7
＋
2×(
－
1)8
＋
(
－
1)9
＋
1
＝
[2－－1][29＋28×－1＋…＋－19] 3
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13．(2015·内江中考)(1)填空： (a－b)(a＋b)＝___a_2_－__b_2 __ ； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝___a_3－__b_3___ ； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4_－__b_4___. (2)猜想： (a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝__a_n_－__b_n___.(其中n为正整数，且n≥2)
2.整式 单项式和多项式统称为整式．
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考点三 整式的运算(高频考点) 考情概览
地区 遂宁 乐山 巴中 资阳 宜宾 眉山 内江 攀枝花
年份
2014 2015 2016 2017 2018
— — — 3分 — 3分 — 3分 4分 — 3分 3分 — 3分 3分 3分 4 分 6 分 6 分 3 分 — 3 分 12 分 3 分 4分 — 3分 — — 9分 3分 — 4 分 10 分 3 分 3 分 — 3 分 3 分 3 分
单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式 用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
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5.幂的运算(ab≠0，m、n都是整数)
运算 同底数幂的乘法 同底数幂的除法
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考点四 因式分解(高频考点) 考情概览
地区 遂宁 乐山 巴中 资阳 宜宾 眉山 内江 攀枝花
年份 2014 — — 3 分 — 3 分 3 分 5 分 3 分 2015 — — 3 分 — 3 分 — 5 分 — 2016 — 3 分 3 分 — 3 分 3 分 5 分 — 2017 — — 3 分 — 3 分 3 分 11 分 — 2018 4 分 — 3 分 — 3 分 3 分 5 分 4 分
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4.求代数式的值 求代数式值的方法：①直接代入法：把已知字母的值直接代入运算．②整体代 入法：利用提公因式法、平方差公式和完全平方公式对所求代数式、已知代数式进 行恒等变形来达到简化运算的目的，再代值运算．
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A．2 a2＝ a
B． 18－ 8＝ 2
C．6 15÷2 3＝3 45
D．－3 3＝ 27
11．(2016·巴中中考)若 a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝_____1_____.
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12．(2018·凉山中考)先化简，再求值： x－2<0，
16．(2018·巴中中考)分解因式：2a3－8a＝_2_a_(_a_＋__2_)(_a_－__2_)_. 17．(2018·内江中考)分解因式：a3b－ab3＝_a_b_(_a_＋__b_)(_a_－__b_)_. 18．(2018·攀枝花中考)分解因式：x3y－2x2y＋xy＝_x_y_(_x_－__1_)_2 _. 19．(2017·广安中考)分解因式：mx2－4m＝_m__(x_＋__2_)_(_x_－__2_) _.
乐山
6分 — — — 3分
巴中
3分 3分 — 3分 —
资阳
— 3分 — — 3分
宜宾
— — — — —
眉山
— — 3分 — —
内江
6分 11分 5分 12分 3分
攀枝花
— — — — —
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1.代数式的意义 用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式． 2.列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列代数 式． 3.代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，运算所得出的结果， 叫做代数式的值．
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单项式
项
一个单项式中，③ 次数 _所__有__字__母__的__指__数___和___叫
做这个单项式的次数
多项式 组成多项式的每个单项式叫做多项式的 项，其中不含字母的项称为常数项
多项式中，④_次__数__最__高___的项的次数， 叫做这个多项式的次数
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1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个⑱___整__式_____的⑲____积______的形式，叫做把这个多 项式因式分解．
易错提示：因式分解的结果要求： ①整式的积的形式； ②括号里面不能再有括号； ③各括号里不能有同类项； ④各因式不能再分解．
B．x3·x2＝x6
C．x2＋x2＝x4
D．(3x2)2＝6x4
4．(2018·攀枝花中考)下列运算结果是 a5 的是( D )
A．a10÷a2
B．(a2)3
C．(－a)5
D．a3·a2
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5．(2018·遂宁中考)下列等式成立的是( C )
(3)分组分解法： ma＋mb＋na＋nb＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
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3.因式分解的步骤
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四川中考真题精练
命题点一 整式的相关概念
1．(2016·泸州中考)计算 3a2－a2 的结果是( C )
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7．(2017·达州中考)下列计算正确的是( C )
A．2a＋3b＝5ab
B． 36＝±6
C．a3b÷2ab＝12a2
D．(2ab2)3＝6a3b5
8．(2017·泸州中考)下列各式计算正确的是( B )
A．2x·3x＝6x
B．3x－2x＝x
－3x2－[x(2x＋1)＋(4x3－5x)÷2x]，其中 x 是不等式组2x3＋1≥1
的整数解．
解：原式＝－3x2－2x2＋x＋2x2－52＝－3x2－2x2－x－2x2＋52＝－7x2－x＋52.由 x －2<0，得 x<2.由2x＋ 3 1≥1，得 x≥1.∴1≤x<2.∵x 为整数，∴x＝1.当 x＝1 时，原 式＝－7×12－1＋52＝－121.
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第一章 数与式
1.3 整式及因式分解
栏
考点精析
目
导
四川中考真题精练
航
重难突破
2019年迎考特训
A 双基过关 B 满分过关
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考点精析
考点一 代数式及代数式的值 考情概览
地区 年份
遂宁
2014 —
2015 — 2016 4分
2017 —
2018 —
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6.乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑯__a_2_－__b_2 ___. (2)完全平方公式：(a±b)2＝⑰__a_2_±__2_a_b_＋__b_2 __. 7.整式的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要 先算括号里面的；同时注意运用运算律和乘法公式使运算简便．
A．4a2
B．3a2
C．2a2
D．3
2．(2017·凉山中考)若－12xm＋3y 与 2x4yn＋3 是同类项，则(m＋n)2017＝___－__1___.
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第一篇 过教材 ·考点透析
中考复习与训练数学 ·配华师版
命题点二 整式的运算
3．(2017·广安中考)下列运算正确的是( A )
A．| 2－1|＝ 2－1
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2.因式分解的常用方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．(2)公式法： 平方差公式：⑳__a_2_－__b_2＝__(_a_＋__b_)_(a_－__b_)__；
完全平方公式：○21 __a_2_±__2_a_b_＋__b_2_＝__(a_±__b_)_2__.
第8页学 ·配华师版
1.同类项与合并同类项 (1)多项式中所含⑤____字__母____相同，并且相同字母的⑥____指__数____也分别相同 的项叫做同类项；同一多项式中，几个常数项也是同类项． (2)合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项． (3)合并同类项的法则：把同类项的 ⑦ ___系__数_____相加 ，⑧___字__母_____和⑨ __相__同__字__母__的__指__数___不变．