最新【学案导学与随堂笔记】2015-2016高中数学(人教版a版必修1)配套课件：第1章 1.3.1
高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
高中数学必修1导学案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是 （）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
《导学案》2015版高中数学(人教A版,必修5)教师用书(预学+导学+固学+思学)：第一章 解三角形
课程纲要课程类型:基础学科类课程资源:新编主持开发老师:参与开发老师:学习对象:高中一、二年级学生规模预设人学习时限:共36课时场地设备:教学班教室学生基本情况分析班级学生人数上学期测试情况分析优秀良好一般人数百分率人数百分率人数百分率最优学生姓名后进学生姓名特殊学生情况说明姓名情况说明一、课程元素1.课程内容本模块包含解三角形、数列、不等式三章内容.2.课程目标(1)解三角形①通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理;②能初步运用正弦定理、余弦定理解斜三角形;③能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法,解决一些与测量和几何计算有关的实际问题;④能够运用正弦定理、余弦定理解决一些三角恒等式的证明以及三角形中的有关计算问题.(2)数列①通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是特殊的函数;②了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项,能求某些数列的通项公式;③掌握等差数列、等差中项的概念,会用定义判定数列是否为等差数列;④掌握等差数列的通项公式及推导方法,会类比直线、一次函数等有关知识研究等差数列的性质,能运用数列通项公式求有关的量:a1,d,n,a n;⑤掌握等差数列的前n项和公式、通项公式,对于a1、d、n、a n、S n,已知三个量能求另外两个量,能灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题,能构建等差数列模型解决实际问题;⑥掌握等比数列、等比中项的概念,能利用定义判定数列是否为等比数列;⑦掌握等比数列的通项公式及推导方法,能类比指数函数等有关知识研究等比数列的性质,能熟练运用公式求有关的量:a1,q,n,a n;⑧掌握等比数列的前n项和公式、通项公式,会运用通项公式、前n项和公式,对于a1、q、n、a n、S n,已知三个量能求另外两个量,能灵活运用公式解决与等比数列有关的综合问题,能构建等比数列模型解决实际问题;⑨提高观察、概括、猜想、运算和论证的能力,能通过类比、转化等方法解决有关数列的一些问题.(3)不等式①通过具体情境,感受现实世界和生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;②理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单的不等式及解不等式;③经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程,通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系;④会解一元二次不等式,并解决一些实际问题;⑤了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组的解集;⑥能从实际问题中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;⑦理解基本不等式,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题;⑧能将实际问题转化为数学问题,建立不等式模型,求解不等式.二、课程实施1.课时安排本模块安排30个课时.(具体见目录)2.学习时间安排学习时间从年月日至年月日.3.教材重难点分析第一章解三角形学习重点:运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之相关的计算问题,运用这两个定理解决一些测量以及几何计算的有关问题.学习难点:两个定理的推导以及运用两个定理解决实际问题.第二章数列学习重点:数列的概念,等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式.学习难点:等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导,以及它们的综合运用.第三章不等式学习重点:一元二次不等式的解法、基本不等式的应用以及简单的线性规划问题.学习难点:不等式的性质及其证明,不等式在实际问题中的应用.三、教学建议“学案导学法”根据不同的学习内容、不同的教学环节,教师可以采用三种不同的组织形式:分组讨论式、学生主讲式与教师主讲式.分组讨论式,把全班同学分成若干学习小组,一般按4至6名学生为一组划分,每个组都要有上中下三个层次的学生,指定其中一人为组长(也可以选举产生或自荐产生,过一段时间后需调换),由他组织学生进行自习讨论、分析讨论等活动,形成结论后推举一位为代表发言,与全班交流,其他人可以补充.各组之间可以采用多种形式的交流、竞赛等.注意:此种组织形式如果组织不当,将导致学生学习成绩两极分化更加严重.为避免这种情况,在采用此种组织形式时,需培养后进生,提高他们的学习成绩,教师要有意识地引导小组其他同学,尽量让他们鼓励后进生积极发言参与讨论或作为本组代表进行展示.学生主讲(教师在旁边指导)式,可由教师指定一人(也可以是几位学生合作,主讲人由学习小组推荐或自荐),先自行学习(与同学讨论及请求老师帮助与指导),然后在班级内主讲,主讲过程中教师要给予必要的指导和帮助.教师主要是利用他的学习活动带动全班学习.注意:此种组织形式如果组织不当,将会把学习成绩较差的、比较内向的学生排斥在外,需要十分重视.因此采用此种组织形式时,教师要有意识地让学习成绩中下的学生参与主讲,要多加鼓励,以提高他们学习积极性.如果是学习成绩较好的学生进行主讲,那么,教师要积极引导学习成绩中下的学生提出点评(教师可以给予提示或帮助).教师主讲式,就是教师主讲,采用设疑、提问、解惑、拓展等手段,引导学生认识、理解、掌握、探索,从而起到能力提升与素质提高的作用.这里的主讲式与原教学大纲时的主讲式是截然不同的,原主讲式近似于“报告式”,这里是“主持讨论式”,任何学生都可以提出不同意见,教师也可以故意设置陷阱,以揭示问题.注意:此种组织形式极易让课堂回归到原来教师一言堂的授课方式,因此,教师务必在问题设置、设疑提问、点拨探究等方面引起充分重视.这三种组织形式可以说是构成“学案导学法”的三个教学元素,教师要根据学习内容、学习时间、学生状态统筹兼顾,灵活安排,进行科学的组合,以充分发挥教学的有效性.四、课程观察安排本模块教学过程中,安排观察课两次,具体如下:课程观察课安排观察课课题实施时间实施班级负责人实施人说明(目的、条件、评估)五、测试与评估本模块结束后,采用书面考试的形式对学生的学习情况进行测试评估,考试时间120分钟,满分150分,题目难度比为容易题∶中档题∶难题=5∶4∶1.由学校统一组织命题,由教研组安排教师统一阅卷,测试成绩达到90分以上的均可获得2学分,对测试达不到标准的学生,给予一次补考机会.六、使用说明(一)构成本书集预、导、固、思四层级于一体,是一本真正意义上的导学案.本书给广大师生提供了一个选择的平台.学校、教师在使用时要根据各个学校的实际情况,其中包括学校课时安排、学生学习基础情况、学生学习态度情况、学校硬件设施情况等,对本导学案所列内容进行有效调整(如取舍、增减、重组等).每个模块都设置了《课程纲要》,目的是让学生能全面了解本模块的知识构成、课程目标、学习重点与难点及大致的学习时间与方法.它包含如下几个部分:课程元素:包括课程内容、课程目标,起到整体“导向”的作用.课程实施:包括课时安排、学习时间安排、教材重难点分析.教学建议:主要介绍“学案导学法”的几种组织形式.每章开始都设置了课标要求、单元结构和教学建议.单元结构以知识分类、知识综合、知识应用、知识拓展等形式描述出了本章的知识结构及与其他知识的联系,形成了完整的知识体系.(二)课时安排本书根据新课程标准与学校的教学实际情况,以方便教师教学与学生学习为目的,进行了科学的课时划分.此外,为方便教师进行每章复习与模块复习,每章结束与模块结束后均设置了复习课及章末测试与模块测试,供教师选择使用.(三)课时结构每课时分四个学习目标进行编写,方便学生自习与讨论.每课时开始,首先安排了《课程学习目标》,给学生指明了通过本课时的学习要达到的目标,让学生明确学习目标,起到“导向”的作用.第一层级为《知识记忆与理解》,包含两个内容:一是《知识体系梳理》,创设一个学生感兴趣又简单的情境,主要是引导学生认真阅读教材,一方面掌握书本基础知识,另一方面掌握“自习方法”,实施“依法自习”;二是《基础学习交流》,主要是引导学生应用教材的基础知识通过分析交流,解决简单的基础问题,初步学会分析与解决问题,是“导思”的初级阶段.第二层级为《思维探究与创新》,包含两个内容:一是《重点难点探究》,主要是根据知识要点,结合近年来高考趋势设计出具有代表性的探究题型,引导学生应用教材知识,通过“方法指导与解析”,解决有关问题,达到能力与技能的提升,起到“基本技能应用”的作用;二是《思维拓展应用》,主要是依据《重点难点探究》中的探究题型,设置了具有互补性、拓展性的问题,供学生讨论训练,达到巩固知识、提升能力的目的,起到“全面提升能力”的作用.第三层级为《技能应用与拓展》,包含两个内容:一是《基础智能检测》,主要是引导学生应用前面所学的基础知识通过智能化、迁移化,解决一些具有灵活性的基础问题;二是《全新视角拓展》,主要是结合近年来的高考真题、改编题或大型考试试题中对本节课相关知识的涉及作分析与讲解.第四层级为《总结评价与反思》,包含两个内容:一是《思维导图构建》,主要是根据学生的学习特点、思维情况、学习效果等方面对重点难点用形象的图形来复述;二是《学习体验分享》,主要是要求学生根据自身对本节课的参与情况、学习效果、学习体会等方面作出一个客观的评价.(四)课时学案的使用方法在进行教学时,教师应根据学校、学生的实际情况对导学案中的有关内容进行必要的选择与增减.对导学案的使用,一般按“自习预习、相互讨论——展示交流、相互补充——点评方法、总结规律——课外练习、反思评价”的循环形式,循序渐进.具体操作模式:要根据班级情况(学生学习基础与人数)确定分成若干学习小组,注意这里说的学习小组与原来班级的行政小组是有区别的,行政小组是属于班级组长管理范畴,各个学科是相同的,是相对固定的,由班主任负责分组;学习小组是由各学科教师根据教学需要而划分的,各个学科可以是不相同的,而且它呈现动态架构形式,一段时间后学科教师应根据小组学习状态进行适当调整.每个组设立一名组长,各组之间学习成绩层次的人数应基本相同.第一环节自习预习、相互讨论在上课前由各小组对学案所列的内容(包括第一、二学习目标的所有内容)进行讨论,共同分析研究,完成所有问题.这项工作都是在课外进行的,时间一般为40~50分钟.教师在课前把学案交给组长,由他组织组员进行自习与讨论.要做到定时间、定地点、定内容,一般分三步进行.第一步:自主学习.根据学案所列的问题,由学生自行阅读教材,完成第一层级学习目标所列的两类问题(允许有些问题不会或解答错误).这一步工作要求学生独立完成,一般限时15~20分钟.学生完成后按要求交给组长,然后交换批改.注意问题:学习自觉性较差的学生可能不会完成任务,基础较差的学生会无法完成任务.采取措施:对学习自觉性较差的学生采取一定的强制手段,规定他们必须完成,给组长以批评教育的权力,教师要加强思想工作;对基础较差的学生,一段时间内可以允许他们只完成部分问题,要求他们先做到认真、自主,然后逐步提高要求,必要时教师可以预先给予适当的辅导.第二步:互相讨论.对第一步中出现的不同意见、第二层级学习目标所列问题,学生在组内展开讨论,形成统一意见,完成任务.这一步一般限时30分钟左右.注意问题:①讨论过程成为学习成绩较好的学生的“主题发言”过程,学习成绩较差与性格内向的学生默不作声,不发表意见.②错误意见或不成熟意见成为学生取笑的对象,久而久之,那些学生就不参加讨论了.采取措施:教师要注意引导学习成绩较好的学生一方面先不要抢着发言,另一方面要启发其他同学发言;对学习成绩较差与性格内向的学生要注意肯定、鼓励、表扬,让他们找到自信,达到踊跃参与的目的.第三步:达成共识.通过前两步的学习,在组内形成统一意见,并选出在课内展示的代表,鼓励组内学生自我推荐.同时对全组成员给出适当评价,并要求组内同学在讨论结束后继续反思讨论的过程与有关结论,对新发现、新问题鼓励组员在课堂展示时发表意见.注意问题:学习成绩较差与性格内向的学生不敢参与课堂展示.采取措施:初期采取一定的强制性措施,教师要动员学习成绩较好的学生帮助其他同学做好展示的准备工作.特别说明:对于一些内容比较少、比较容易的课时,第一环节也可以放在课堂内完成,但这只是在时间上的不同处理,在讨论方法、步骤、注意问题等方面都不能变化.第二环节展示交流、相互补充在课堂上,各组派代表在演示板(黑板、屏幕等)上展示各自的研究成果,组内成员可对此予以补充或说明.课堂展示是“学案导学法”的关键一环,对不同的问题要采用不同的展示形式,这一环节一般分两步进行.第一步:简单展示.第一层级学习目标所列问题一般可采用简单展示法,即由某个小组成员报出答案,教师直接在演示板上显示,其他各组如无异议,就不必议论,教师也只作简单总结或拓展.这段时间一般限制在5~8分钟.第二步:综合展示.第二层级学习目标所列问题一般采用综合展示法,即对某个问题先由某个小组成员展示出他们讨论的结论(课堂内一般是几个组同时进行,同一时间展示出所列的全部问题),组内成员可以补充,教师组织其他各组分别对各个问题的结论进行讨论、批评、修改或提出其他结论与方法,教师对大家所提问题、结论、方法等作出总结或拓展.对具有拓展性的问题可采用启发式展示法,即在教师的启发、点拨、提醒、引导下对问题逐步深入,挖掘规律性的结论.这段时间一般限制在25~30分钟.这一环节的注意问题与采取措施列表如下:注意问题采取措施1.课堂内缺乏组织,整个课采取逐题讨论,逐题总结堂如一盘散沙2.学生发表的意见不全面加强课前准备,预先全面解题,注意引导、启发、点拨3.问题较难,学生发表不出分解问题,对问题做一些铺垫意见4.课堂时间无法控制,造成注意统筹,课前分解好每题的讨论时间,控制使用拖课第三环节点评方法、总结规律教师总结归纳(也可以由学生进行归纳),把讨论得出的结论归纳成一般的理性结论,提炼解题的一般方法.同时对本课时学习情况进行总结,肯定成绩,指出问题及改进要求,安排课后练习、课程评价与下一课时的学习内容.第四环节课外练习、反思评价学生自主完成作业,完成后交由小组交流批改,教师也可以指定此项训练交由教师批改,完成后学生先各自反思本课时的学习过程,总结经验教训,再由小组或教师对每个学生这节课的学习情况(如学习态度、自觉性、创新性、成效性、进步性等)作出一个评价.评价要从鼓励进步的角度出发,作出有利于学生更好地发挥学习积极性的评价.这个环节一般需要一个小时左右.完成这一环节工作后,即转入下一课时的第一个环节,事实上,上一课时的第四环节与下一课时的第一环节是连在一起进行的.知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求正弦定理和余弦定理 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理 2.掌握正弦定理、余弦定理的变形公式 1.通过对三角形边角关系的探究学习,体验数学探究活动的过程,培养探索精神和创新意识 2.通过“应用举例”,提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力3.通过学习和运用,进一步体会数学的科学价值、应用价值,进而领会数学的人文价值,提高自身修养解三角形 1.能够运用正、余弦定理求解三角形的边、角2.能够运用正、余弦定理解斜三角形(无解型、一解型、两解型) 正、余弦定理在几何问题中的应用 1.能够运用三角形的面积公式计算与面积相关的问题2.能够运用正、余弦定理证明三角恒等式正、余弦定理在实际问题中的应用1.能够运用正、余弦定理解决不能到达位置的距离、高度的测量问题 2.能够运用正、余弦定理解决角度测量问题本章的重点内容主要有:两个定理(正弦定理和余弦定理)、利用两个定理解三角形、三角形的面积公式及其应用、利用两个定理解决一些实际问题等.在教学时应注意以下几点:1.在讲解两个定理时,要引导学生对它们进行全方位地理解,知道定理的来龙去脉,如何应用,应用时应注意的问题等.例如:对于余弦定理,要求学生要掌握它的推导过程(可利用向量来进行证明)、定理及其推论的形式、适用的解三角形的类型等.2.教学过程中要引导学生有意识地总结一些规律方法.例如:利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状的方法,一种是将条件中的边全部化为角的正弦或余弦值,然后利用三角变换及三角形内角和定理得到角的关系,从而判断三角形的形状;另一种是将条件中的所有角的三角函数值化为边的关系,通过代数式的运算得出边的关系,从而判断出三角形的形状.3.引导学生多注意一些易错点.例如:当已知两边和其中一边的对角时,若用正弦定理求另一个边所对的角会产生解的不确定性,对于此类问题要通过各种方式提醒学生解题时要加倍小心,以免漏解或多解.4.解三角形实际上是三角函数知识在三角形中的应用,因此三角函数的有关知识,如三角函数的定义,相关公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等),三角函数的图象和性质等要求学生必须熟练掌握.第1课时 正 弦 定 理1.掌握正弦定理及其证明过程.2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.重点:正弦定理在解三角形中的应用.难点:三角形多解情况的判断.古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中,△ABC的已知元素有∠ABC、∠BAC和边AB.若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=2,CD= .解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即==.问题3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②设R为△ABC外接圆的半径,则===2R.问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=b sin A ②b sin A<a<b③a≥b a>b解的个数一解两解一解一解正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔·威发首先发现与证明的.中亚细亚人阿尔比鲁尼给正弦定理作出了一个证明,也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三条边,或由三边去求三个角,也就是正弦定理向球面三角学中的拓展.1.在△ABC中,下列等式总能成立的是().A.a cos C=c cos AB.b sin C=c sin AC.ab sin C=bc sin BD.a sin C=c sin A【解析】根据正弦定理有:=,所以a sin C=c sin A,故选D.【答案】D2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是().A.一解B.两解C.无解D.一解或无解【解析】因为a,b,A的关系满足b sin A<a<b,故有两解.【答案】B3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于.【解析】根据正弦定理得: sin C===,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.【答案】105°或15°4.在△ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A和边a.【解析】因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,又=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.利用正弦定理判断三角形的形状在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.【方法指导】先利用正弦定理将“sin2A=sin2B+sin2C”转化为三角形边之间的关系,再结合第一个条件进行转化判断.【解析】在△ABC中,根据正弦定理:===2R,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴()2=()2+()2,即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sin A=2sin B cos C,得sin 90°=2sin B cos(90°-B),∴sin2B=.∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.【小结】(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出准确判断.(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.【方法指导】由A+B+C=180°可求出B,再由=和=,求出a和b.【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由=得a===10.由=得b===20sin 75°,∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos45°+cos 30°sin45°=,∴b=20×=5+5.【小结】解三角形时,如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.已知两边及其中一边的对角,解三角形在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.【方法指导】已知两边及其中一边的对角,要根据正弦定理先求解另一角,再求出三角形的另外两个元素.【解析】由正弦定理得=,=,∴sin A=,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,由正弦定理得:c==.[问题]本题中根据sin A=得出的角A一定是60°吗?[结论]角A不一定是60°,由于a>b,所以角A还可能是120°.于是正确的解答如下:由正弦定理得=,=,∴sin A=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.在△ABC中,若==,则△ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为△ABC外接圆的半径),∴==,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.【答案】B在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=,b=,c=.【解析】A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理=,得b===4,由=,得c====4(+1).【答案】45°44(+1)在△ABC中,已知a=,c=2,A=60°,求B、C及b的值.【解析】由正弦定理==,得sin C===.。
步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023
步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023【学习目标】
1. 理解双曲函数的基本性质。
2. 掌握绘制双曲函数图形的方法。
【知识重组】
双曲函数作为一种特殊的曲线函数，有着自己的注意事项，需要考生在记忆双曲函数的基本性质的同时，能够掌握绘制双曲函数的技巧。
双曲函数的性质：
（1）定义：双曲函数的一般形式为：y=a*sec(x+b)，其中a为系数，b为常数。
（3）如果a>0，则有：y=a*Sec(x+b)>0 ，y=a*Cosec(x+b)<0。
（4）极值：双曲函数的极值点的x 值是b的值；y值由a的正负大小决定。
（5）导数：双曲函数的导数形式为： y'=a*tan(x+b)；也可以用其通式记作
y'=a*cot(x+b)。
绘制双曲函数图形:
1.根据双曲函数[y=（a/2）*sec（2x+b）]的参数a和b来决定曲线的大小、方向、偏移、极值和导数。
2.先求取双曲函数对应的坐标（x，y）得出函数图像。
3.在函数图像中画出极值点和导数点。
4.根据原函数所提供的x，y的定义域确定绘图范围，画好函数的图像。
【能力反思】
今天的学习任务，是学习关于双曲函数的基本性质，以及掌握绘制双曲函数图形的方法，在广泛阅读有关资料之后，最终对双曲函数也有了比较深入的理解，一步步认识到双曲函数的定义、通式、极值、导数，明白了如何根据双曲函数参数a和b绘制双曲函数图像，以及根据函数定义域确定绘图范围。
希望以后能够以此学习数学知识，扩大自己的视野，释放思维的丰富性。
【金版学案】2015-2016高中数学第一章统计案例章末总结
【金版学案】2015-2016 高中数学 第一章 统计案例章末总结 新人 教 A 版选修 1-2回归方程及其应用 对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系， 并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化， 这就是对样本进行回归分析． 矚慫润厲钐瘗睞枥。
某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品， 在市场试验中发现， 此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间有如下对应数据：聞創沟燴鐺險爱氇。
单位 x/元35404550日销售量 y/台564128111 / 11(1)画出散点图并说明 y 与 x 是否具有线性相关关系． 如果有， 求出线性回归方程(方程 的斜率保留一个有效数字)．残骛楼諍锩瀨濟溆。
(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元， 根据(1)写出 P 关于 x 的函数关系式， 并预测当 销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．酽锕极額閉镇桧猪。
分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系． 解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系． ^ ^ ^ (2)设回归直线方程为y＝a＋bx.彈贸摄尔霁毙攬砖。
－ － ^ ∵ x ＝42.5， y ＝34，∴b＝错误!＝－错误!≈－3，错误!＝错误!－b错误!＝34－(－ 3)×42.5＝161.5.謀荞抟箧飆鐸怼类。
^ ∴y＝161.5－3x. (2)由题意，有 P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x ＋251.5x－4 845. 251.5 ∴当 x＝ ≈42 时，P 有最大值． 6 即预测销售单价为 42 元时，能获得最大日销售利润． 点评：判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系 数； 二是画散点图． 两种方法要结合题目的要求合理选取， 也可同时使用， 则判断更加准确． 厦礴恳蹒骈時盡继。
【学案导学与随堂笔记】2018-2019学年高中数学(苏教版必修一)配套课时作业：3.4.1习题课 -含答案
3.4.1习题课课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为________．①f (0)>0，f (2)<0；②f (0)·f (2)<0；③在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0.2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是________．3．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是________．5．函数y ＝(12)x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1) 6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有________个．一、填空题1．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，每一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．2．函数f (x )＝x 5－x －1的一个零点所在的区间可能是________．(填你认为正确的一个区间即可)3．函数f (x )＝1－x 21＋x的零点是________． 4．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则在(m ，m ＋1)上函数零点的个数是______________．5．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，并且α，β(α<β)是函数y ＝f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是________．6．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值________．(填“大于0”，“小于0”，“等于0”或“无法判断”)7．已知偶函数y ＝f (x )有四个零点，则方程f (x )＝0的所有实数根之和为________．8．若关于x 的二次方程x 2－2x ＋p ＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1(a ∈R )，若方程f (x )＝0至少有一正根，则a 的取值范围为________．二、解答题10．若函数f (x )32f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260f (1.437 5)≈0.162 f (1.406 25)≈－0.054求方程x 3＋x 211．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，(1)有两个负根；(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；(3)有两个实根，且都比1大．能力提升12．已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构习题课双基演练1．0解析 函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点，我们并不一定能找到x 1，x 2∈(a ，b )，满足f (x 1)·f (x 2)<0，故①、②、③都是错误的．2．1或2解析 当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点个数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点．3．(log 32,1)解析 f (x )＝log 3(1＋2x)－a 在(1,2)上是减函数， 由题设有f (1)>0，f (2)<0，解得a ∈(log 32,1)．4．2解析 作出函数y ＝2x 及y ＝x ＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．5．1.9解析 令f (x )＝(12)x －lg x ，则f (1)＝12>0，f (3)＝18－lg 3<0，∴f (x )＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.6．2解析 设f (x )＝4x 2－6x －1，由f (－1)>0，f (2)>0，且f (0)<0，知方程4x 2－6x －1＝0在 (－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．作业设计1．(0,0.5)，f (0.25)解析 ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f (0＋0.52)＝f (0.25)． 2．[1,2](答案不唯一)解析 因为f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以存在一个零点x ∈[1,2]．3．1解析 由f (x )＝0，即1－x 21＋x＝0，得x ＝1，即函数f (x )的零点为1. 4．1解析 二次函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋a 可化为y ＝f (x )＝(x ＋12)2＋a －14，则二次函数对称轴为x ＝－12，其图象如图．∵f (m )<0，由图象知f (m ＋1)>0，∴f (m )·f (m ＋1)<0，∴f (x )在(m ，m ＋1)上有1个零点．5．a <α<β<b解析 函数g (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点是a ，b .由于y ＝f (x )的图象可看作是由y ＝g (x )的图象向上平移2个单位而得到的，所以a <α<β<b .6．无法判断解析 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故填“无法判断”． 7．0解析 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f (－x )＝f (x )可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.8．(－1,0)解析 设f (x )＝x 2－2x ＋p ＋1，根据题意得f (0)＝p ＋1>0，且f (1)＝p <0，f (2)＝p ＋1>0，解得－1<p <0.9．a <0解析 对ax 2＋2x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝－12，不符题意； 当a ≠0，Δ＝4－4a ＝0时，得x ＝－1(舍去)．当a ≠0时，由Δ＝4－4a >0，得a <1，又当x ＝0时，f (0)＝1，即f (x )的图象过(0,1)点，f (x )图象的对称轴方程为x ＝－22a ＝－1a， 当－1a>0，即a <0时， 方程f (x )＝0有一正根(结合f (x )的图象)；当－1a<0，即a >0时，由f (x )的图象知f (x )＝0有两负根， 不符题意．故a <0.10．解 ∵f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4，故方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根为1.4.11．解 (1)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则有两个负根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1＋x 2＝－2<0，x 1x 2＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点均在y 轴左侧，结合函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b 2a ＝－1<0，f (0)＝m ＋1>0，解得－1<m ≤0. (2)方法一 (方程思想)设方程的两个根为x 1，x 2，则令y 1＝x 1－2>0，y 2＝x 2－2<0，问题转化为求方程(y ＋2)2＋2(y ＋2)＋m ＋1＝0，即方程y 2＋6y ＋m ＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y 1y 2＝m ＋9<0，解得m <－9.方法二 (函数思想)设函数f (x )＝x 2＋2x ＋m ＋1，则原问题转化为函数f (x )与x 轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f (2)＝m ＋9<0，解得m <－9.(3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，x 1－1＋x 2－1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0(方程思想)， 或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(m ＋1)≥0，－b 2a ＝－1>1，f (1)＝m ＋4>0(函数思想)，因为两方程组无解，故解集为空集．12．解 (1)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x ≥4，－x 2＋4x ， x <4.图象如图所示．(2)当x ∈[1,5]时，f (x )≥0且当x ＝4时f (x )＝0，故f (x )min ＝0；又f (2)＝4，f (5)＝5，故f (x )max ＝5.(3)由图象可知，当0<a <4时，方程f (x )＝a 有三个解．13．解 ①当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意．②当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0a －2＋1<04a －4＋1>0，解得34<a <1. ③当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．3综上，a的取值范围为4<a<1.。
新版数学《学案导学与随堂笔记》人教A版浙江版 选修2-2 第一章 1.2.2(三)
跟踪训练 2
2
求下列函数的导数.
x (1)y＝sin 3；
解 2 1－cos 3x ∵y＝ ， 2
2 cos 3x 1 1 2 ∴y′＝(2－ 2 )′＝3sin 3x.
解答
(2)y＝sin3x＋sin x3；
解 y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3· 3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
解答
π π (3)y＝xcos(2x＋2)sin(2x＋2). π π 解 ∵y＝xcos(2x＋2)sin(2x＋2) 1 ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－2xsin 4x， 1 ∴y′＝(－2xsin 4x)′ 1 x ＝－2sin 4x－2cos 4x· 4 1 ＝－2sin 4x－2xcos 4x.
答案 设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由 y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变 量u表示为自变量x的函数.
答案
思考3
试求函数y＝ln(2x＋5)的导数.
答案 1 2 y′＝ · (2x＋5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
答案
梳理
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果 复合函数的概念
第一章 §1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)
学习目标
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、
法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数).
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
【学案导学与随堂笔记】2018-2019学年高中数学(苏教版必修一)配套课时作业：3.1习题课 -含答案
3.1 习题课课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是________．①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.2．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.3．对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2x 与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是________．4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________． 6．已知12x ＋12x-＝3，求x ＋1x 的值．一、填空题1．(122-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为________． 2．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是________．3．若0<x <1，则2x ，(12)x,0.2x 之间的大小关系是________．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)， x <2，2－x ， x ≥2，则f (－3)的值为________．5．函数f (x )＝ax －b 的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是________．(填序号)①a >1，b >0；②a >1，b <0；③0<a <1，b >0；④0<a <1，b <0.6．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象关于________对称． 7．计算130.064-－(－14)0＋160.75＋120.01＝____________________________. 8．已知10m ＝4,10n ＝9，则3210m n -＝________.9．函数y ＝1－3x (x ∈[－1,2])的值域是________．二、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4； (3)1332⎛⎫⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭； (4)π－2和(13)－1.3.11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．能力提升12．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)，讨论f (x )的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？习题课双基演练1．1解析只有③中y＝3x是指数函数．2．－3解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋b＝0，b＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.3．1解析当x≤0时，f(x)＝2x；当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然，其最大值是1.4．3 4 2解析22＝122×11222⎛⎫⎪⎝⎭＝122×142＝342.5．b <a <c解析 a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5.又指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴b <a <c .6．解 由12x ＋12x-＝3得(12x ＋12x -)2＝9， 即x ＋21122x -＋x －1＝9，则x ＋x －1＝7，即x ＋1x＝7. 作业设计 1.22解析 原式＝122-＝12＝22. 2．b 或2a －3b 解析 原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ， a ≤2b ，2a －3b ， a >2b .3．0.2x <(12)x <2x 解析 当0<x <1时，2x >1，(12)x <1， 对于(12)x,0.2x 不妨令x ＝12， 则有0.5>0.2，再根据指数函数f (x )＝0.5x ，g (x )＝0.2x 的图象判断可知0.2x <(12)x . 4.18解析 f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18. 5．④解析 f (x )＝a x －b 的图象是由y ＝a x 的图象左右平移|b |个单位得到的，由图象可知f (x )在R 上是递减函数，所以0<a <1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x 的图象向左平移|b |个单位得f (x )的图象，所以b <0.6．y 轴解析 ∵f (－x )＝4－x ＋12－x＝1＋4x2x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．7.485解析 原式＝()1330.4-－1＋()3442＋()1220.1＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485. 8.83解析 因为10m ＝4,10n ＝9，所以3210m n-＝103m －n ＝103m ÷10n ＝43÷9＝83. 9．[－8，23] 解析 因为y ＝3x 是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x ∈[3－1,32]，即－3x ∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x ∈[－8，23]． 10．解 (1)考察函数y ＝0.6x .因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫ ⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭. (4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1， ∴π－2<(13)－1.3. 11．解 (1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2， 即a ＝32或a ＝0(舍去)． (2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)． 综上所述，所求a 的值为12或32. 12．解 ∵f (x )＝a a 2－1(a x －1a x )， ∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1(1x a －11x a －2x a ＋21x a ) ＝a a 2－1(1x a －2x a ＋21x a －11x a) ＝a a 2－1(1x a －2x a ＋1212x x x x a a a a -) ＝a a 2－1(1x a －2x a )(1＋121x x a a) ∵1＋121x x a a >0， ∴当a >1时，1x a <2x a ，a a 2－1>0 ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，f (x )为增函数，当0<a<1时，1x a>2x a，a<0a2－1∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)为增函数，综上，f(x)在R上为增函数．13.解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．。
2015-2016学年高一数学人教A版必修一精品教案：2.1.1指数 Word版含答案
课题：§2.1.1指数教学目的：（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程：一、引入课题1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3． 复习初中整数指数幂的运算性质；nn n mnn m nm n m b a ab a a a a a ===⋅+)()( 4． 初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）．解：（略）巩固练习：（教材P 58例1）2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a a a n m n mn m0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 引导学生解决本课开头实例问题例2．（教材P 60例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 巩固练习：（教材P 63练习1-3）4． 无理指数幂结合教材P 62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：：（教材P 62思考题）例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出31升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？解：（略）点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．三、归纳小结，强化思想本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．四、作业布置1．必做题：教材P69习题2．1（A组）第1－4题．2．选做题：教材P70习题2．1（B组）第2题．。
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探究点二 二次函数在闭区间上的最值 例3 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值. 解 ∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
此时函数取得最大值.
对于函数 h＝－x2＋2x＋54，x∈[0，25]， 当x＝1时，函数有最大值 hmax＝－12＋2×1＋54＝94(m). 于是水流喷出的最高高度是94 m.
例 2 已知函数 f(x)＝ 2 (x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. x－1
解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1 ＝2[x2－1－x1－1]＝ 2x2－x1 .
x1＋1x2＋1
x1＋1x2＋1
由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增函数. 因此，函数f(x)＝－ 2 在区间[0,2]的左端点取得最小值，
x＋1 右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝ －2 .
x1－1x2－1 x1－1x2－1
由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以，函数 f(x)＝ 2 在区间[2,6]上是减函数.
x－1 因此，函数f(x)＝ 2 在区间[2,6]的两个端点上分别取得
x－1 最大值与最小值，
【学案导学与随堂笔记】 2015-2016学年高中数学 （人教版A版必修1）配套课
内容 索引
பைடு நூலகம்
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数， 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
x 减.当k<0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝－ 2 ，x∈[0,2]，求函数的最
大值和最小值.
x＋1
解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝－x1＋2 1－(－x2＋2 1)
＝－2x2＋1－x1－1＝－ 2x2－x1 .
探要点·究所然
情境导学 同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？ “我们班最高的男生是姚明”对吗？为什么？ 答 我们班最高的男生是A同学，根据是班内任选一名男 生，都一定比A同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生.
探究点一 函数的最大(小)值的概念
思考1 函数f(x)＝x2，g(x)＝－x2在什么时候取得最大、最小值？ 答 当x＝0时，f(x)取最小值.因函数f(x)＝x2在(－∞，0]上是减函数， 所以当x≤0时，f(x)≥f(0)， 又因函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上是增函数，所以当x≥0时，f(x)≥f(0). 从而x∈R，都有f(x)≥f(0). 因此x＝0时，f(0)是函数值中的最小值. 同理，g(x)在x＝0时取得最大值.
各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标
原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.
那么水流喷出的高度h(单位：m)与
水平距离x(单位：m)之间的函数关系
式为h＝－x2＋2x＋5 4
，x∈[0，52
].
求水流喷出的高度h的最大值是多少？ 解 由函数 h＝－x2＋2x＋45，x∈[0，52]的图象可知， 函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.
4×－4.9×18－14.72
函数有最大值 h＝
≈29.
4×－4.9
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地 面的高度约为29 m.
反思与感悟 (1)求解实际问题一般分成四步，即： 设元—列式—求解—作答. (2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.
跟踪训练1 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在
即在x＝2时取得最大值，最大值是2， 在 x＝6 时取得最小值，最小值是25.
反思与感悟 要熟记常见函数的单调性：一次函数y＝kx＋
b(k≠0)，当k>0时单调递增，当k<0时单调递减； 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，在 －∞，－2ba 上单调递减，在 －2ba，＋∞ 上单调递增，a<0时相反；函 数y＝k (x≠0)，当k>0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递
思考2 根据以上讨论，你能给函数的最大值及最小值下个 定义吗？ 答 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满 足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0) ＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.
思考3 已知函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调，如何求 函数的最值？ 答 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递增， 则f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)； 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递减， 则f(x)max＝f(a)，f(x)min＝f(b).
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与 时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花 冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高 度是多少(精确到1 m)?
解 作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是 烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18， 我们有：当 t＝－2×14－.74.9＝1.5 时，