《初等函数的性质》PPT课件
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第五节初等函数23页PPT
偶 (奇 )数时 x为 ， (奇 偶 )函. 数
当 为负x 整 的数 定 ( 时 义 ,0 )和 ， (0 域 ,) .为
23
当为分数时，情杂 况， 比 x3如 ,较 x5的复定义域
为(,)；x72,x53的定义(域,0为 )和(0,)；x12的定 义域[0为 ,).
当 为无理数x时 的， 定规 义 (0,定 域 ). 为
(三 )指数 ya x 函 (a0 ,a 数 1 ,a 是)常数 指数函数 a x 的定义域为(,).当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何 的a , a x 的值域都是(0,)，函数的图形都过(0,1)点.
以e为底的两个常用函数
(1)： y = e x (2): y=logex=lnx
这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数
(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与y=cos x 的定义域均为(,)，它们 都是以2π为周期的函数，都是有界函数.
反余切函数 y ac rc x o ,y t(0 ,π )定 , 义 (, 域 ) . 为
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限 次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等函数都可以用公一式个表.达
例如，函数yax2 bxc，y3x2，
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、隐函数
一、基本初等函数
(一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为(,)，无论x取何值，y都
取值常数C.
当 为负x 整 的数 定 ( 时 义 ,0 )和 ， (0 域 ,) .为
23
当为分数时，情杂 况， 比 x3如 ,较 x5的复定义域
为(,)；x72,x53的定义(域,0为 )和(0,)；x12的定 义域[0为 ,).
当 为无理数x时 的， 定规 义 (0,定 域 ). 为
(三 )指数 ya x 函 (a0 ,a 数 1 ,a 是)常数 指数函数 a x 的定义域为(,).当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何 的a , a x 的值域都是(0,)，函数的图形都过(0,1)点.
以e为底的两个常用函数
(1)： y = e x (2): y=logex=lnx
这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数
(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与y=cos x 的定义域均为(,)，它们 都是以2π为周期的函数，都是有界函数.
反余切函数 y ac rc x o ,y t(0 ,π )定 , 义 (, 域 ) . 为
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限 次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等函数都可以用公一式个表.达
例如，函数yax2 bxc，y3x2，
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、隐函数
一、基本初等函数
(一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为(,)，无论x取何值，y都
取值常数C.
第02讲 基本初等函数的性质与应用
①若 1 m > 0, 则2 x > 1 + m ,
1+ m 1 m < 0, 则原不等式的解为 x∈R ; 当m ≤ 1时, 1 m 1+ m . 当 1 < m < 1时,原不等式的解为 x > log 2 1 m
8/15
② 若1 m < 0, 此时,1 + m > 0, 而2 x > 0,
【分析】抓住此恒等式,根据赋值法,目标引导探索. 解析
令 x = y = 0,得 f (0) = 0,又 f (1) = 2,
所以 f (2) = f (1) + f (1) + 2 ×1×1 = 6, 那么 f (3) = f (1) + f (2) + 2 ×1× 2 = 12, 而f (0) = f (3) + f (3) + 2 × 3 × (3),
即 log 2 (1 x 2 ) + a log 2 (1 x 2 ) = 0, 所以 a = 1. 1+ x (1 < x < 1), (2)由(1)知, f ( x) = log 2 1 x 2x 1 1 , 由 f 1 ( x) > m,得 (1 m)2 x > 1 + m. 所以 f ( x ) = x 2 +1
2/15
高考速递
1.(2008全国卷Ⅱ)若 全国卷Ⅱ 全国卷
x ∈ (e 1 ,1), a = ln x, b = 2 ln x,
C. b < a < c D. b < c < a
c = ln 3 x, 则( C
A. a < b < c
)
1+ m 1 m < 0, 则原不等式的解为 x∈R ; 当m ≤ 1时, 1 m 1+ m . 当 1 < m < 1时,原不等式的解为 x > log 2 1 m
8/15
② 若1 m < 0, 此时,1 + m > 0, 而2 x > 0,
【分析】抓住此恒等式,根据赋值法,目标引导探索. 解析
令 x = y = 0,得 f (0) = 0,又 f (1) = 2,
所以 f (2) = f (1) + f (1) + 2 ×1×1 = 6, 那么 f (3) = f (1) + f (2) + 2 ×1× 2 = 12, 而f (0) = f (3) + f (3) + 2 × 3 × (3),
即 log 2 (1 x 2 ) + a log 2 (1 x 2 ) = 0, 所以 a = 1. 1+ x (1 < x < 1), (2)由(1)知, f ( x) = log 2 1 x 2x 1 1 , 由 f 1 ( x) > m,得 (1 m)2 x > 1 + m. 所以 f ( x ) = x 2 +1
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高考速递
1.(2008全国卷Ⅱ)若 全国卷Ⅱ 全国卷
x ∈ (e 1 ,1), a = ln x, b = 2 ln x,
C. b < a < c D. b < c < a
c = ln 3 x, 则( C
A. a < b < c
)
初等函数的性质
由前分析,
( 1)3 2001（ 1） 1
①
方程可变形为 ( 1)3 2001（ 1） 1
②
解法2：令 1 a， 1 b，由①＋②得
a3 b3 2001 (a b) 0
切入点:初一教材下册习题 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
f ( 1) f (1 )
又 f (x)单调增加
1 1 2
7
数学与软件科学学院 初等代数研究
例：设, R,且
3 3 2 2004 2001，
3 3 2 2004 2003，求 的值
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数学与软件科学学院 初等代数研究
MPCK的组成部分
数学教学内容知识(MPCk)由以下三部分组成： （1）数学学科知识——简称MK （Mathematics Knowledge）； （2）一般教学法知识——简称PK （Pedagogical Knowledge ）
指超出学科内容之外的关于课堂组织管理的主要原则和策略； （3）有关数学学习的知识——简称CK （Content Knowledge）
①
( 1)3 2001（ 1） 1
②
6
数学与软件科学学院 初等代数研究
例：设, R,且
3 3 2 2004 2001， 3 3 2 2004 2003，求 的值
解法1 ：f (x) x3 2001 x是奇 函数
f ( 1) 1 f ( 1) 1
11
数学与软件科学学院 初等代数研究
总结
本节从一个案例出发,重点剖析如何引 导教师从高观点角度解读初等数学问 题,帮助改善教师的教学工作,达到优化 数学教师的MPCK的最终目的.
函数的基本性质ppt课件
−
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
例2：求下面对数式中x 的取值范围.
lo2g x1x2
2x 1 0 解： 2 x 1 1
x 2 0
x 1 2
x1
x 2
x
x
1,且x 2
1
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例3：解方程.
lo2lgo4xg 0
解 所l： 以 to 4 x 2 0g t ,则 1,设 即 llo 2 ot4 gx0 g 1注 验 大意 证 于0： 真，一 数底定 是数要 否是
思考：你发现了什么？
lo a a g 1 a 0 ,且 a 1
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4.求下列各式的值：
12log28
2 3log327
3
1
log
18
2
2
猜想： a lo a N g ? a 0 ,且 a 1
赋予它的含义就是：1.2的多少次幂等于2.
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对数的定义：
若ax N（a0,a1） ,则数 x叫做
以a为底 N的对数，x记 lo作 ga N,
其中 a为底数N为 ，真.数loga N
指数
对数
幂
真
ax N
数 loga Nx
ax N
xloga N
等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
对数的性质：
1零和负数没有对数
2 lo a 1 0 g a 0 ,且 a 1 3 lo a a 1 g a 0 ,且 a 1
第2讲函数基本初等函数的图像与性质课件课件
第一页，编辑于星期二：二十点 分。
第二页，编辑于星期二：二十点 分。
第三页，编辑于星期二：二十点 分。
第四页，编辑于星期二：二十点 分。
第五页，编辑于星期二：二十点 分。
第六页，编辑于星期二：二十点 分。
第七页，编辑于星期二：二十点 分。
第八页，编辑于星期二：二十点 分。
第九页，编辑于星期二：二十点 分。
第十八页，编辑于星期二：二十点 分。
第十九页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十一页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十二页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十三页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十四页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十五页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十六页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十七页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十八页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十九页，编辑于星期二：二十点 分。
第三十页，编辑于星期二：二十点 分。
第三十一页，编辑于星期二：二十点 分。
第三十二页，编于星期二：二十点 分。
第十一页，编辑于星期二：二十点 分。
第十二页，编辑于星期二：二十点 分。
第十三页，编辑于星期二：二十点 分。
第十四页，编辑于星期二：二十点 分。
第十五页，编辑于星期二：二十点 分。
第十六页，编辑于星期二：二十点 分。
第十七页，编辑于星期二：二十点 分。
第二页，编辑于星期二：二十点 分。
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第十八页，编辑于星期二：二十点 分。
第十九页，编辑于星期二：二十点 分。
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第二十一页，编辑于星期二：二十点 分。
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第二十三页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十四页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十五页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十六页，编辑于星期二：二十点 分。
第二十七页，编辑于星期二：二十点 分。
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第三十二页，编于星期二：二十点 分。
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第十六页，编辑于星期二：二十点 分。
第十七页，编辑于星期二：二十点 分。
第3节：初等函数
第二章 解析函数
第3节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
一、指数函数
f ( z) e x (cos y i sin y) 在复平面上处处解析，而且 f ( z) f ( z)
且当 y=0时, f (z)=ex与实指数函数一致, 故 1、定义
e iy e iy cos y , 2
e iy e iy sin y . 2i
e iz e iz e iz e iz cos z ; sin z ; 2 2i 正弦函数 余弦函数
iz e Eular公式的复数形式： cos z i sin z
2、三角函数的性质
(3) (shz ) chz , (chz ) shz ,
(4) shiy i sin y , chiy cos y , ch(x iy ) chx cos y ishx sin y , sh(x iy ) shx cos y i chx sin y ,
[书P52]
e
b (ln a iArg a )
e
b (ln a 2 k i )
当k=0时, 取到主值:
e
blna
e
b (ln a i arg a )
当a为正实数，b为实数时，其主值与实乘幂的定义一 致。
a e
b
bLna
e
b (ln a 2 k i )
e
b[ln a i (arg a 2 k )]
(4) sin z sin z, cos z cos z,
(5) sin z , cos z 不是有界函数. sin z =0 z k ( k 0, 1, 2,
第3节 初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数
一、指数函数
f ( z) e x (cos y i sin y) 在复平面上处处解析，而且 f ( z) f ( z)
且当 y=0时, f (z)=ex与实指数函数一致, 故 1、定义
e iy e iy cos y , 2
e iy e iy sin y . 2i
e iz e iz e iz e iz cos z ; sin z ; 2 2i 正弦函数 余弦函数
iz e Eular公式的复数形式： cos z i sin z
2、三角函数的性质
(3) (shz ) chz , (chz ) shz ,
(4) shiy i sin y , chiy cos y , ch(x iy ) chx cos y ishx sin y , sh(x iy ) shx cos y i chx sin y ,
[书P52]
e
b (ln a iArg a )
e
b (ln a 2 k i )
当k=0时, 取到主值:
e
blna
e
b (ln a i arg a )
当a为正实数，b为实数时，其主值与实乘幂的定义一 致。
a e
b
bLna
e
b (ln a 2 k i )
e
b[ln a i (arg a 2 k )]
(4) sin z sin z, cos z cos z,
(5) sin z , cos z 不是有界函数. sin z =0 z k ( k 0, 1, 2,
基本初等函数性质及其图像共3页
基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
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由定义，取特殊值，推出矛盾。 • 练习：判断函数是否周期函数? • 1. f(x)=sinx2
• 2. f(x)=xsinx • 答：均不是周期函数
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13
最小正周期有关问题
• 例1 证明y=sinx的最小正周期是2π。 • 1：求出全部周期； • 2：用反证法说明比2π小的均不为其周期。 • 例2 设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。 • 试证：当n为奇数时T=2π； • 当n为偶数时T=π。
• P157例10 设a>1，讨论函数y=ax2+2x-3的单调性和有 界性。
• P157例11 已知点M(1,2)既在函数y= f(x)=ax2+b(x≥0)的图像上，又在其反函数的图像上。
• （1）求反函数y=f-1(x)；
• a=-1/3,b=7/3 • （2）证明f-1(x)在其定义域上是减函数。
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14
函数经运算、复合后的周期性问题
• 定理6 设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数， 其最小正周期为T。则有
• （1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k≠0)仍然是D上 的周期函数，且最小正周期仍为T。
• （2） 函 数 k/f(x)(k 为 非 0 常 数 ) 是 在 集 合 {x|f(x)≠0,x∈D}上的周期函数，最小正周期仍 为T。
最小正周期。 • 例如y=cos2x。
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16
函数运算后的周期性
• 定理8：函数f1(x),f2(x)都是定义在集合D上的周 期函数，且周期分别为T1,T2，
• 若T1/T2为有理数，则它们的和与积f1(x)+f2(x)； f1(x)·f2(x)也是D上的周期函数，
• 注：定理4常用来断定反函数的存在，但是它的条件 是充分条件，而非必要条件。
• 例如分段函数
x1(1x0)
y精选课x件(p0pt x1)
5
课本例题解读
• p154例9讨论函数f(x)=x+1/x的单调性，并作出它的 图像。
• 一般的，诸如f(x)=ax+b/x(a,b均不为0）的单调性、 图像如何呢？
• 如果奇函数的反函数存在，且定义在对称 于原点的数集上，则此反函数仍为奇函数。
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9
2）复合函数的奇偶性
• （1）由奇偶函数复合而成的复合函数为奇 函数的充要条件是这些函数都是奇函数。
• 复合为偶函数的充要条件是这些函数中至 少有一个偶函数。
• （2）设复合函数f2(f1(x))的定义域为D，如 果f1(x)为偶函数，那么f2(f1(x))一定是偶函 数。
• 若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是 f(u)的一个周期。
• 最小正周期 • 如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周
期T一定是T0的正整数倍。
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12
例讲
• 例1 证明y={x}是周期函数。 • 思路：判断周期，然后加以验证。 • 例2 用反证法证明函数y=xcosx 不是周期函数。 • 证明：假定它是周期函数，令周期为T，则
（2）函数y= x 是无界函数。
1 x精Leabharlann 课件ppt3二．单调性
• 单调性的定义 • 函数y= f(x)在区间[a,b]上单调增，等价于： • 1）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2) • 有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0（差商为正）； • 2）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2) • 有(f(x2)-f(x1))(x2-x1)>0（变分为正）。
精选课件ppt
10
3．奇偶性运用举例：
• 例 解方程 • (2x+9)2005+x2005+3x+9=0。 • 注意：构造函数f(t)=t2005+t。 • 则f(2x+9)=-f(x)=f(-x) • x=-3
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11
四、函数的周期性
• 定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在 不 为 0 的 常 数 T， 对 任 何 x∈D 都 有 x±T∈D， 且 f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。
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6
补充例1 讨论下列函数的单调区间：
1）f(x)= 1 x 2 -x；
2）f(x)= x
。
1 x2
例2 试求方程1x+2x+3x+…+9x=10x的 解集中各元素之和的整数部分。
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7
三、函数的奇偶性
• 定义11 设函数f(x)的定义域为D， • 如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称
初等代数第8讲
初等函数的性质
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1
一．有界性
• 定义9 如果存在正数M，对于函数f(x)的定 义域内（或其子集）的一切值，都有 |f(x)|≤M成立，那么函数f(x)叫做在定义域 内（或其子集）上的有界函数。
• 图像上的表现
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2
（P152例8） 证明下面的命题：
（1）函数y= x 是有界函数； 1 x2
f(x)为奇函数； • 如果对于任意x∈D，都有f(-x)= f(x)，则称
f(x)为偶函数。
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8
2．奇偶性的判断 1）函数运算后的奇偶性
• 同为奇（或偶）函数的和与差的奇（或偶） 不变；
• 奇偶性不同的函数和差后如何？ • 奇（偶）函数的倒数（分母不为0）仍为奇
（偶）函数；
• 乘除如何？
• (3) f(ax+b)是(a≠0,ax+b∈D)是以T/|a|为最小 正周期的周期函数。
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15
复合函数的周期性
• 定理7 设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数， 其最小正周期为T。如果f(x)是定义在集合E上
的函数，且当x∈D时，g(x)∈E，则复合函数
f[g(x)]是集合D上以T为周期的周期函数。 • 注意：f[g(x)]和g(x)的最小正周期未必相同。 • 一般地说，f[g(x)]的最小正周期不大于g(x)的
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4
复合函数、反函数的单调性
• 定理3 如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相同， 则复合函数y=f[g(x)]是增函数；
• 如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相反，则复合 函数y=f[g(x)]是减函数。
• 定理4 如果函数y=f(x)是定义在区间D上的单调函数， 那么在区间D上一定有反函数x=f-1(y)存在，x=f-1(y) 也是单调的，并且它和y=f(x)的增减性相同。
• 2. f(x)=xsinx • 答：均不是周期函数
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13
最小正周期有关问题
• 例1 证明y=sinx的最小正周期是2π。 • 1：求出全部周期； • 2：用反证法说明比2π小的均不为其周期。 • 例2 设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。 • 试证：当n为奇数时T=2π； • 当n为偶数时T=π。
• P157例10 设a>1，讨论函数y=ax2+2x-3的单调性和有 界性。
• P157例11 已知点M(1,2)既在函数y= f(x)=ax2+b(x≥0)的图像上，又在其反函数的图像上。
• （1）求反函数y=f-1(x)；
• a=-1/3,b=7/3 • （2）证明f-1(x)在其定义域上是减函数。
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14
函数经运算、复合后的周期性问题
• 定理6 设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数， 其最小正周期为T。则有
• （1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k≠0)仍然是D上 的周期函数，且最小正周期仍为T。
• （2） 函 数 k/f(x)(k 为 非 0 常 数 ) 是 在 集 合 {x|f(x)≠0,x∈D}上的周期函数，最小正周期仍 为T。
最小正周期。 • 例如y=cos2x。
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16
函数运算后的周期性
• 定理8：函数f1(x),f2(x)都是定义在集合D上的周 期函数，且周期分别为T1,T2，
• 若T1/T2为有理数，则它们的和与积f1(x)+f2(x)； f1(x)·f2(x)也是D上的周期函数，
• 注：定理4常用来断定反函数的存在，但是它的条件 是充分条件，而非必要条件。
• 例如分段函数
x1(1x0)
y精选课x件(p0pt x1)
5
课本例题解读
• p154例9讨论函数f(x)=x+1/x的单调性，并作出它的 图像。
• 一般的，诸如f(x)=ax+b/x(a,b均不为0）的单调性、 图像如何呢？
• 如果奇函数的反函数存在，且定义在对称 于原点的数集上，则此反函数仍为奇函数。
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9
2）复合函数的奇偶性
• （1）由奇偶函数复合而成的复合函数为奇 函数的充要条件是这些函数都是奇函数。
• 复合为偶函数的充要条件是这些函数中至 少有一个偶函数。
• （2）设复合函数f2(f1(x))的定义域为D，如 果f1(x)为偶函数，那么f2(f1(x))一定是偶函 数。
• 若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是 f(u)的一个周期。
• 最小正周期 • 如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周
期T一定是T0的正整数倍。
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12
例讲
• 例1 证明y={x}是周期函数。 • 思路：判断周期，然后加以验证。 • 例2 用反证法证明函数y=xcosx 不是周期函数。 • 证明：假定它是周期函数，令周期为T，则
（2）函数y= x 是无界函数。
1 x精Leabharlann 课件ppt3二．单调性
• 单调性的定义 • 函数y= f(x)在区间[a,b]上单调增，等价于： • 1）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2) • 有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0（差商为正）； • 2）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2) • 有(f(x2)-f(x1))(x2-x1)>0（变分为正）。
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3．奇偶性运用举例：
• 例 解方程 • (2x+9)2005+x2005+3x+9=0。 • 注意：构造函数f(t)=t2005+t。 • 则f(2x+9)=-f(x)=f(-x) • x=-3
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四、函数的周期性
• 定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在 不 为 0 的 常 数 T， 对 任 何 x∈D 都 有 x±T∈D， 且 f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。
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补充例1 讨论下列函数的单调区间：
1）f(x)= 1 x 2 -x；
2）f(x)= x
。
1 x2
例2 试求方程1x+2x+3x+…+9x=10x的 解集中各元素之和的整数部分。
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三、函数的奇偶性
• 定义11 设函数f(x)的定义域为D， • 如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称
初等代数第8讲
初等函数的性质
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1
一．有界性
• 定义9 如果存在正数M，对于函数f(x)的定 义域内（或其子集）的一切值，都有 |f(x)|≤M成立，那么函数f(x)叫做在定义域 内（或其子集）上的有界函数。
• 图像上的表现
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（P152例8） 证明下面的命题：
（1）函数y= x 是有界函数； 1 x2
f(x)为奇函数； • 如果对于任意x∈D，都有f(-x)= f(x)，则称
f(x)为偶函数。
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2．奇偶性的判断 1）函数运算后的奇偶性
• 同为奇（或偶）函数的和与差的奇（或偶） 不变；
• 奇偶性不同的函数和差后如何？ • 奇（偶）函数的倒数（分母不为0）仍为奇
（偶）函数；
• 乘除如何？
• (3) f(ax+b)是(a≠0,ax+b∈D)是以T/|a|为最小 正周期的周期函数。
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复合函数的周期性
• 定理7 设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数， 其最小正周期为T。如果f(x)是定义在集合E上
的函数，且当x∈D时，g(x)∈E，则复合函数
f[g(x)]是集合D上以T为周期的周期函数。 • 注意：f[g(x)]和g(x)的最小正周期未必相同。 • 一般地说，f[g(x)]的最小正周期不大于g(x)的
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复合函数、反函数的单调性
• 定理3 如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相同， 则复合函数y=f[g(x)]是增函数；
• 如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相反，则复合 函数y=f[g(x)]是减函数。
• 定理4 如果函数y=f(x)是定义在区间D上的单调函数， 那么在区间D上一定有反函数x=f-1(y)存在，x=f-1(y) 也是单调的，并且它和y=f(x)的增减性相同。