数字积分法
轮廓插补原理——其他插补方法
第五节 其他插补方法前面已经介绍了几种较常用的插补方法，但数控技术经过数十年的发展，特别是微处理器的应用，在原有的脉冲增量法插补原理基础上又派生出许多改进或新型的插补算法，例如：比较积分法、时差法、矢量判别法、最小偏差法、脉冲增量式的直接函数法等。
针对复杂曲线轮廓或列表曲线轮廓，在数据采样法中又提出了一些新的插补算法，例如：样条插补、螺纹插补等。
为此，下面继续简单介绍比较积分法插补、样条插补以及螺纹插补的基本思路。
一、比较积分法前面己经介绍，逐点比较法速度平稳，调整方便，但不容易实现多坐标轴的联动；而DDA 法便于坐标轴的扩展，但速度控制不太方便。
现若将这两种算法结合在一起，就能够扬长避短，集两者优点于一身，实现各种函数和多坐标轴联动插补，且插补精度较高，运算简单，易于调整，是一种比较理想的脉冲增量式插补方法。
（一）比较积分法直线插补设将要插补的第一象限直线起点在坐标原点O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），则直线上的所有动点N （X i ，Y i ）必然满足下面等式i ee i X X Y Y =（3-97） 现对式（3-97）求微分得 ee i i X Y dX dY = （3-98） 如果在此基础上引入时间变量t ，分别对两坐标变量进行积分，就可得到前面介绍的DDA 直线插补算法。
显然，如此处理不是目的，下面必须另辟新径，寻找一种更理想的解决方案。
为此引入比较判别的思想，建立两个被积函数之间的内在联系，将式（3-98）改写为增量形式，即有Y e ∆X i =X e ∆Y i （3-99）由于式中X e 、Y e 均是以脉冲当量为单位的数字量，设∆X i 、∆Y i 均为单位位移增量，在数值上为“1”。
现对式（3-99）两边进行积分，并利用矩形法求其积分值，可得∑∑===ii Y j e X i e X Y 11 或 Y e ＋Y e ＋……＋Y e =X e ＋X e ＋……＋X e （3-100）（X i 项） （Y i 项）在这里要指出的是，式（3-100）等号两边求和的项数不一定相等，等式左边是X i 项，而右边是Y i 项。
数字积分圆弧第一二三四象限顺逆插补计算
数控技术课程设计说明书设计题目：数字积分法圆弧插补计软件设计指导老师：专业：机械设计制造及其自动化班级：机姓名：学号：目录一、课程设计题目 (1)二、课程设计的目的 (1)三、课程设计使用的主要仪器设备 (1)四、课程设计的任务题目描述和要求 (1)五、数字积分法插补原理 (2)5.1从几何角度来看积分运算 (2)5.2数字积分圆弧插补 (3)5.3数字积分法圆弧插补程序流程图 (5)5.4插补实例 (6)六、程序清单 (7)七、软件运行效果仿真 (18)八、课程小节 (21)九、参考文献 (22)一、课程设计题目数字积分法第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算二、课程设计的目的《数控原理与系统》是自动化（数控）专业的一门主要专业课程，安排课程设计的目的是通过课程设计方式使学生进一步掌握和消化数控原理基本内容，了解数控系统的组成，掌握系统控制原理和方法，通过设计与调试，掌握各种功能实的现方法，为今后从事数控领域的工作打下扎实的基础。
1)了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。
2) 掌握数字积分法（DDA）插补的基本原理。
3）掌握数字积分法（DDA）插补的软件实现方法。
三、课程设计使用的主要仪器设备1、PC计算机一台2、数控机床实验装置一台3、支持软件若干（选用VB环境）四、课程设计的任务题目描述和要求数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。
数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。
其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。
由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。
本次课程设计具体要求如下：（1）掌握数字积分插补法基本原理（2）设计出数字积分（DDA）插补法插补软件流程图（3）编写出算法程序清单算法描述（数字积分法算法在VB中的具体实现）（4）要求软件能够实现第一、二、三、四象限顺、逆圆插补计算（5）软件运行仿真效果插补结果要求能够以图形模式进行输出五、数字积分法插补原理数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)，简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。
数控技术2
x3=5 y3=1＋1=2
x4=5 y4=2＋1=3 x5=5 y5=3＋1=4 x6=5－1=4 y6=4 x7=4 y7=4＋1=5 x8=4－1=3 y8=5
E=10－1=9
E=9－1=8 E=8－1=7 E=7－1=6 E=6－1=5 E=5－1=4
9 10 11
12
F3，5＜0 F3，6＞0 F4，6＞0
3
4 5
F1，1＞0
F2，1＜0 F2，2＞0
＋X
＋Y ＋X
F2，1= F1，1－ye=2－4=－2
F2，2= F2，1＋xe=－2＋6=4 F3，2= F2，2－ye=4－1=5
6
7 8 9 10
F3，2=0
F4，2＜0 F4，3＞0 F5，3＜0 F5，4＞0
2.2.2 逐点比较法圆弧插补
• 例3 设加工第一象限逆圆弧AB，起点A（6,0）， 终点B（0,6）。试用逐点比较法对其进行插补并画 出插补轨迹图。
Y
B（0, 6）
O
A（6,0） 图2.7
X
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逐点比较法第一象限逆圆弧插补
2.2.2 逐点比较法圆弧插补
步数 起点 1 2 F0，0=0 F1，0＜0 －X ＋Y 偏差判别 坐标进给 偏差计算 F0，0=0 F1，0= F0，0－2x0＋1=0－12＋1=－11 F1，1= F1，0＋2y1＋1=－11＋0＋1=－ 10 坐标计算 x0=6 y0=0 x1=6－1=5 y1=0 x2=5 y2=0＋1=1 终点判断 E=12 E=12－1=11 E=11－1=10
3
4 5 6 7 8
F1，1＜0
F1，2＜0 F1，3＜0 F1，4＞0 F2，4＜0 F2，5＞0
数控机床插补原理
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
数字积分器工作原理
数字积分器工作原理概述：数字积分器是一种电子设备，可用于计算从输入信号中获取的数字积分。
它是在电子学和信号处理领域中广泛应用的工具之一。
数字积分器能够对连续信号进行离散化处理，并且可以方便地集成到各种电子系统和控制系统中。
工作原理：数字积分器的工作原理可以分为以下几个步骤：1. 采样：在数字积分器中，首先需要对输入信号进行采样。
采样可以理解为以一定的频率对连续信号进行离散化处理，将连续信号转换为离散的采样值。
通常采样频率越高，离散化的效果越好，但也会增加计算的复杂度。
2. 数字化：采样后的信号需要经过模数转换器（ADC）进行数字化处理。
模数转换器将模拟信号转换为数字信号，使得信号能够在数字系统中进行处理和存储。
数字化的精度决定了最终计算结果的准确性。
3. 积分计算：经过数字化处理后，输入信号将通过积分计算单元进行积分运算。
积分计算单元根据一定的算法，对采样值进行累加计算，从而得到数字积分结果。
常用的积分算法有矩形积分法、梯形积分法和Simpson积分法等。
4. 输出显示：最后，数字积分结果可以通过数码显示器或连接到其他设备的接口输出。
显示器可以显示积分结果的数值，方便用户进行观察和分析。
应用领域：数字积分器在很多领域都有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和电子测量等方面。
以下是数字积分器在一些应用领域中的常见应用：1. 信号处理：数字积分器可用于模拟信号的积分处理，例如音频信号处理、图像处理和视频信号处理等。
2. 数字控制系统：数字积分器可用于计算控制系统中的误差信号积分，例如PID控制器中的积分环节。
通过积分环节的调节，可以提高控制系统的稳定性和精度。
3. 电子测量：数字积分器可用于电子测量中对信号的积分处理，例如电流和电压的积分测量等。
4. 传感器信号处理：数字积分器可用于对传感器输出的信号进行积分处理，例如加速度计、陀螺仪等传感器的信号积分。
总结：数字积分器是一种用于对连续信号进行离散化处理并计算数字积分的电子设备。
计算圆周率的方法
计算圆周率的方法1 什么是圆周率圆周率（Pi）是一个无理数，它的取值大约是3.1415926，是圆的直径与周长的比值，在数学、物理和工程上广泛使用。
圆周率就是两个圆相切时，一个圆的圆周长，除以其相切圆的直径，得到的数字。
圆周率有非常多的应用，如极坐标系、三角函数、波动论、哥伦布常数、流体力学、空气动力学等等。
2 历史人类如何计算出圆周率追溯古今，计算圆周率的技术与历史发展是一件有趣的事情。
早在公元前2500年，古埃及文明研究者已经发现pi约等于3.14，他们使用椭圆的方式从图形中估计出pi的大致数值，像是从圆形的周长除以直径，获得4结果，再乘以22/7。
公元前七世紀，古希腊数学家Archimedes提出了一种逼近pi的方法，可以通过把圆分割成多边形，以计算出面积的计算2pi R。
他计算了一个多角形的面积，用累加的方法，多次追加拐角，发现pi的近似值介于3.1408-3.1429之间。
公元前三世纪，古印度数学家Brahmgupta提出了一个更精确的技术，计算更大边角多边形的面积，取得pi约等于3.1416。
3 演绎法求圆周率演绎法是另一种用于估算圆周率的方法，也是一个古老的方法。
这种演绎法基于一个叫做“无穷中点定理”的概念，它表明用线段和圆心在一个时刻画出的图形，如果通过按正确的方式递归这个过程，该图形的周长/直径的比就会越来越接近圆周率。
4 数值积分法数值积分法是现代计算机计算圆周率的常用方法。
它通过模拟的方式计算来尽可能接近圆周率的值。
它的基本原理是，给出一个圆，可将它用一系列圆弧曲线线段近似地定义一个正多边形，以正多边形面积与圆面积之比来估计圆周率，其估计精度随着所加的正多边形扩展，可以越来越接近圆周率的真实值。
5 结论总结起来，无论是圆形周长估算法还是演绎法，都只能提供一个近似的值，这源于圆周率本身不可绝对精确的计算。
而数值积分法能够以计算的方式来获得圆周率的接近值，但仍是近似的结果。
从古至今，计算圆周率都是一项充满乐趣的任务，它也提醒我们：发掘自然界无穷松散而又奇妙的真相，永无止境。
数控机床DDA数字积分法插补第一象限直线,逐点比较法插补二三象限顺圆弧
3.2 执行计算
在右侧面板中有参数输入区，方式选择区以及执行按钮等操作。
若输入参数和符合要求则出现错误对话框;“参数有误”
若不选择插补对象为‘直线’或‘圆弧’直接按下‘复位’按钮会出现警示对话框提示“请选择插补对象”
注：在直线插补中，对起始点坐标和终点坐标不作要求，但步长必须不能为0；在圆弧插补中，起始点坐标必须为二三象限的点，且终止点必须在起始点下侧，这事保证圆弧为劣弧的条件之一。步长在任何情况下不能为0 。
4.2 主要算法的实现
4.2.1参数声明
起点坐标（sx,sy）;终点坐标（ex,ey）；
圆心坐标（cx,cy）；步长bc；
4.2.2复位操作程序：
functionfw_Callback(hObject, eventdata, handles)
globalsx sy ex ey cx cy bc m vx1 vy1 rx1 ry1
3.2 执行计算……………………………………………………………5
3.3DDA法直线插补实例………………………………………………6
3.4逐点比较法插补第二三象限逆时针圆弧…………………………7
四、主要算法及源程序
4.1 程序设计概述………………………………………………………8
set(gca,'YTick',[-10:1:10]);
axis([-10 10 -10 10]);
axismanual;
ifs_1==0&&s_2==0
warndlg('请选择插补对象');
else
ifget(handles.zx,'value')
m=str2double(get(handles.m,'String'));
3.3多步法3.4误差与稳定性分析3.5数值积分法的选择与计算步长的确定
最大误差
0.001
0.00797
0.01
0.00078
0.02
0.00038
0.05
0.00001
0.1
0.00104
0.2
0.01501
0.5
0.59470
1.0
0.48049
（R=0）
最大误差 0.00104 0.00010 0.00005 0.00001 0.00003 0.00107 0.01645 0.79498
5 12
h y ( ),
3 (3)
系统仿真
a.Adams显示公式
当k=3时，可得四阶Adams显式公式：
yn1 yn
h 24
55 f n 59 f n1 37 f n2 9 f n3
h y ( ),
5 (5)
其局部截断误差
Rn
251 720
(tn1, tn )
式中：
ek 1 y(tk 1 ) yk 1 ——整体截断误差
k 1 yk 1 yk 1
系统仿真
——舍入误差
17
（a）截断误差
截断误差
局部截断误差
• 假定前k步为微分方程精确解的误差
整体截断误差
• 从初值开始，每步均有局部截断误差
假定前一步得到的结果yn是准确的，则用泰级数展
h p yn (9 f n1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24
y n1
c
是一个四步法，具有四阶精度。
除了初始值yo以外，其前三步的值y1，y2，y3 往往用RK4法计算，其余的y4,y5转向预估－校正 求解
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101 +）001
110
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过23 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补
如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为：
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
插补计算过程如下
累加 次数 (Δt）
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 101 000 011 000
000
备注 初始状态
1 101 101 011 011
111 第一次累加
2 101 010 1 011 110
（一）数字积分的基本原理
如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表
示为：S=∫ 0f(t)dt t
Y
若将0～t的时间划分成时间
间隔为Δt的有限区间，当Δt
Y=f(t)
足够小时，可得公式：
S=∫
tf0(t)dt
=
n-1 ∑ Yi Δt
i=0
Yo
即积分运算可用一系列微小
O
矩形面积累加求和来近似。
Δt
tT
若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：
n-1 S=∑ Yi (累加求和公式或矩形公式）
i=0
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，
被积函数寄存器
存放Y值
Δt +
ΔY 累加器（余数寄存器）
若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：
被积函数寄存器用以存放Y值，每当Δt 出现一次，被积函 数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将 累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单 位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累 加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所 产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。
被积函数寄存器
存放Y值
Δt +
ΔY 累加器（余数寄存器）
被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：
例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数 为5，求累加过程。
101
101
101
101
+）000 +）101 +）010 +）111
101 ① 010
111 ① 100
101 +） 100
① 001
A(Xe,Ye)
V Vy
X=Xe Y=Ye
O
Vx
X
确定K的取值：
根据每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保证每次分配的进给 脉冲不超过1，即需满足：
ΔX=K Xe≤1
ΔY=K Ye≤1
其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。 假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2n– 1。若 取K=1/2 、n 则必定满足：
000
备注 初始状态
1 010 010 110 110
111 第一次累加
2 010 100 110 100 1 110 JRy有进位， ΔY溢出
3 010 110
110 010 1 101 JRy有进位， ΔY溢出
4 010 000 1 110 000 1 100 ΔX,ΔY同时溢出
J Ry(累加器)
ΔY Y轴溢出脉冲
+
J Vy(K Ye)(被积函数寄存器)
设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： m
X= ∑ (K Xe)Δt =KmXe =Xe i=1
m
Y= ∑ (K Ye)Δt = KmYe = Ye i=1 Y
由该式可知：mK = 1,即
m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为：
3 101 111 011 001 1 4 101 100 1 011 100
110 JRx有进位， ΔX溢出
101 JRy有进位， ΔY溢出
100
ΔX溢出
5 101 001 1 011 111
011
6 101 110 011 010 1 010
ΔX溢出 ΔY溢出
7 101 011 1 011 101
001
ΔX溢出
ΔX,ΔY同时溢出
8 101 000 1 011 000 1 000 JE=0，插补结束
加工轨迹如下：
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
作业：
插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为
A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存
K Xe = 2n– 1 / 2n <1
n
n
K Ye = 2 – 1 / 2 <1
由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： m = 1 / K = 2n
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为
A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二 进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。
器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二
进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。
Y
6
A( 2 , 6 )
5 4
3
2
1
O 12
X
插补计算过程如下：
累加 次数 (Δt）
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 010 000 110 000
ΔX=VxΔt
Y
ΔY=VyΔt
若动点沿OA匀速移动， V、
Vx、Vy均为常数，则有：
V
=
Vx
Vy =
=K
OA Xe Ye
成立。
O
A(Xe,Ye)
V Vy
Vx
X
因而可以得到坐标微小位移增量为：
ΔX=VxΔt=KXeΔt
ΔY=VyΔt =KYeΔt 所以，可以把动点从原点
走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间
间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补
近似表达式为： m
X= ∑ (K Xe)Δt i=1
m
Y= ∑ (K Ye)Δt i=1
V Vy
O Vx
A(Xe,Ye) X
由此可以得到直 Xe)(被积函数寄存器)
+
X轴溢出脉冲
ΔX
Δt
J Rx(累加器)
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算 速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输 入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系 统中得到广泛的应用。