数字积分法DDA
数字积分法
101 +）001
110
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过23 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补
如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为：
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
插补计算过程如下
累加 次数 (Δt）
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 101 000 011 000
000
备注 初始状态
1 101 101 011 011
111 第一次累加
2 101 010 1 011 110
（一）数字积分的基本原理
如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表
示为：S=∫ 0f(t)dt t
Y
若将0～t的时间划分成时间
间隔为Δt的有限区间，当Δt
Y=f(t)
足够小时，可得公式：
S=∫
tf0(t)dt
=
n-1 ∑ Yi Δt
i=0
Yo
即积分运算可用一系列微小
O
矩形面积累加求和来近似。
Δt
tT
若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：
n-1 S=∑ Yi (累加求和公式或矩形公式）
i=0
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，
被积函数寄存器
存放Y值
数字积分法
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.22
MECHINCAL ENGINEERING, TUST
Interpolation
4.数字积分法合成进给速度
V=F？
F——编程速度 v——插补合成速度
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.23
Interpolation
数，字插积补分直法线的的特终点点是坐，标脉为冲E源（X每e产，生Ye一）个，脉则冲X，，Y作方一向次的累平加均计进算给，频如率果fx，脉f冲y为源频率为fg（Hz）
fx
Xe 2n
fg
式中 m—累加次数 。
fy
Ye 2n
fg
假设脉冲当量为（mm/脉冲），可求得X和Y方向进给速度（mm/min）
则
k(2n 1) 1
k 1 2n 1
为使上式成立，不妨取
1 k
代入得累加次数
2n
m 1 2n k
2n 2n
1
1
上式表明，若寄存器位数是n，则直线整个插补过程要进行2n 次累加才能 到达终点。
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.10
MECHINCAL ENGINEERING, TUST
Interpolation
例 见P22页例2-4
y
B
5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5 Ax
Numerical Control
Date: 2006-04 File: interpolation.18
基于newmark积分方案的dda方法
基于newmark积分方案的dda方法近些年，由于工程计算需求的增加，计算机技术及其应用也发生了显著的变化。
其中，Newmark积分方案（Newmark Integration Scheme，NIS）作为一种计算机技术，在工程计算中发挥了重要作用。
在改进NIS的基础上，提出了基于Newmark积分方案的动力系统数值分析方法（Dynamic Discrete Analysis，DDA），它可以用来模拟动力系统的行为。
本文将会介绍DDA的原理、概念、性能和如何应用它来分析动力系统信息，以及一些有关NIS和DDA的研究进展。
一、DDA方法概述DDA是基于Newmark积分方案的动力系统数值分析方法，它用来从复杂的动力系统中提取、处理和分析力学计算的结果。
简而言之，它是一种模拟动力系统行为的新型数值分析技术。
DDA方法结合了Newmark积分方案的一些优势，既可以有效地解决离散动力系统中质点运动方程的模型，又能准确评估模型的稳定性，实现模型的自动控制以及复杂系统的分析。
DDA的核心思想是将时间转换成离散的阶段，将系统状态的更新限制在每一个阶段内。
模型运行列表示为：系统从原始状态开始，采用NIS方案对系统进行积分计算，实现了离散的动力系统模拟。
二、DDA方法特点（1）高效算法DDA方法采用了NIS算法，具有较高的计算效率和精度。
DDA算法可以有效地解决离散动力系统中质点运动方程的模型，实现了快速、准确的计算。
（2）模型稳定性DDA方法可以有效解决NIS积分方案可能带来的模型不稳定现象，确保了动力系统的模型稳定性。
（3）准确评估DDA方法可以准确测量系统的特性，综合考虑不同的力学参数，使得研究者可以准确得到所需的系统信息。
三、DDA方法的应用DDA方法主要应用于动力系统的数值分析，它可以有效模拟系统的特性，实现对力学参数的准确测量，例如：有限元分析、机器人仿真、可服役结构的可靠性预测和计算等等。
四、NIS与DDA研究进展NIS积分方案是DDA分析的基础，它采用变步长的局部积分方法。
数字积分法(DDA)插补直线参考程序
数字积分法(DDA)插补直线参考程序Sub 插补X()标志X = 0If 余数X >= Q Then余数X = 余数X Mod Qx动点= x动点+ 1: 标志X = 1 End IfEnd SubSub 插补Y()标志Y = 0If 余数Y >= Q Then余数Y = 余数Y Mod Qy动点= y动点+ 1: 标志Y = 1End IfEnd SubSub 插补Z()标志Z = 0If 余数Z >= Q Then余数Z = 余数Z Mod Qz动点= z动点+ 1: 标志Z = 1 End IfEnd SubSub 插补公共()余数X = 余数X + x终点余数Y = 余数Y + y终点余数Z = 余数Z + z终点插补X插补Y插补Z插补记录= 插补记录+ 1End SubSub 插补()Dim c As Integer插补记录= 0: 余数X = 0: 余数Y = 0: 余数Z = 0: 划轮廓线PSet (z原点, x原点), vbRedSelect Case 象限标志Case 1: '第一象限插补Do Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(z步长×标志Z, x步长×标志X), vbRedLoopCase 2: '第二象限插补c = x终点: x终点= z终点: z终点= -cc = x步长: x步长= z步长: z步长= -cDo Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(x步长×标志X, z步长×标志Z), vbRed LoopCase 3: '第三象限插补x终点= -x终点: z终点= -z终点x步长= -x步长: z步长= -z步长Do Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(z步长×标志Z, x步长×标志X), vbRed LoopCase 4: '第四象限插补c = x终点: x终点= -z终点: z终点= cc = x步长: x步长= -z步长: z步长= cDo Until 插补记录= Q插补公共Line -Step(x步长×标志X, z步长×标志Z), vbRed LoopEnd SelectEnd Sub。
第八讲DDA直线插补
实例： 要加工XY平面内第一象限的直线，直线起点 在坐标原点，终点坐标为 A(8，10)，累加器 和寄存器位数为4位。试用数字积分法对该段 直线进行插补。
要加工XY平面内第一象限的直线，直线起点 在坐标原点，终点坐标为 A(10，6)，累加器 和寄存器位数为4位。试对该段直线进行DDA 插补。
V X KXe VY KYe V K L
VX
Xe V L
VY Ye V L
X KX e t Y KY e t
X、Y方向的位移
t X 0 KX e dt t Y KY e dt 0
m m X K X e t KX e mt K X e i 1 i 1 m m Y K Y t KY mt K Y e e e i 1 i 1
s Xdt
0
n i1
Xi-1Δt
பைடு நூலகம்
Xi-1
i1
n
函数的积分运算变成了变量的累加运算，如果 δ足够小时，则累加求和运算代替积分运算所 引入的误差可以不超过所允许的误差。
2.DDA 直线插补
X V t X Y VY t L Xe 2 Ye 2
2.4.2数字积分法(DDA)
用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的位移。 特点： DDA法运算简单，运算速度快，脉冲分配均匀， 易于实现多坐标联动。 缺点： 速度调节不方便，须采用一定的措施来克服，如 果能严格控制速度的变化，可实现无误差插补
1、数字积分原理
函数在[0 ,t ]的定积分，即为函数在该区间的面 积： t
其中，m为累加次数（容量）取为整数， m=0〜2N -1，共2N 次(N为累加器位数)。 令△t =1,mK =1，则K =1/m=1/2N 。
DDA算法
2.1.1 生成直线的DDA算法数值微分法即DDA法(Digital Differential Analyzer)，是一种基于直线的微分方程来生成直线的方法。
一、直线DDA算法描述：设(x1，y1)和(x2，y2)分别为所求直线的起点和终点坐标，由直线的微分方程得= m =直线的斜率(2－1) 可通过计算由x方向的增量△x引起y的改变来生成直线：x i+1=x i+△x (2－2)y i+1=y i+△y=y i+△x·m (2－3) 也可通过计算由y方向的增量△y引起x的改变来生成直线：y i+1=y i+△y (2－4)x i+1=x i+△x=x i+△y/m (2－5) 式(2－2)至(2－5)是递推的。
二、直线DDA算法思想：选定x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向(假设x2－x1较大)，取该方向上的增量为一个象素单位(△x=1)，然后利用式(2－1)计算另一个方向的增量(△y=△x·m=m)。
通过递推公式(2－2)至(2－5)，把每次计算出的(x i+1，y i+1)经取整后送到显示器输出，则得到扫描转换后的直线。
之所以取x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向，是考虑沿着线段分布的象素应均匀，这在下图中可看出。
另外，算法实现中还应注意直线的生成方向，以决定Δx及Δy是取正值还是负值。
三、直线DDA算法实现：1、已知直线的两端点坐标：(x1，y1)，(x2，y2)2、已知画线的颜色：color3、计算两个方向的变化量：dx=x2－x1dy=y2－y14、求出两个方向最大变化量的绝对值：steps=max(|dx|，|dy|)5、计算两个方向的增量(考虑了生成方向)：xin=dx/stepsyin=dy/steps6、设置初始象素坐标：x=x1,y=y17、用循环实现直线的绘制：for(i=1；i<=steps；i++){ putpixel(x，y，color)；/*在(x，y)处，以color色画点*/ x=x+xin；y=y+yin；}四、直线DDA算法演示：五、直线DDA算法特点：该算法简单，实现容易，但由于在循环中涉及实型数的运算，因此生成直线的速度较慢。
数字积分法
累加次数 m
JVX
JRX（∑xe） △x
（存xe ）
0
1000(8)
0
0
1
2
JVY
JRY
△y
（存ye） （∑ye）
0110(6)
0
0
9.5 数控机床的插补原理
累加次数 m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
JVX（存xe ） 1000
JRX（∑xe）
0 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000 1000 0000
9.5 数控机床的插补原理
1. 概述 2. 逐点比较法 3. 数字积分法
9.5 数控机床的插补原理
3. 数字积分法 数字积分法又称数字微分分析器（Digital
Differential Analyzer，简称DDA），利用数字积分的 原理，计算刀具沿坐标轴的位移，使刀具沿所加工的 轨迹运动。 采用数字积分法进行插补的优点：
9.5 数控机床的插补原理
m必须是整数，所以k为小数。选取k时考虑△x、
△y≤1，保证坐标轴上每次分配的进给脉冲不超过1个
单位（一般为1个脉冲当量）。
xe
m
(kxe )t
i 1
m
mkxet
取△t＝1
ye
(kye )t
i 1
mkyet
xe mkxe
ye
mk ye
x y
k xe k ye
△x
JVY（存ye） JRY（∑ye）
△y
0
0110
0
0
数字积分插补
ì D x = kxe = k (2 N - 1) < 1 ï ï í ï D y = kye = k (2 N - 1) < 1 ï î
所以
1 k< N 2 - 1
一般取
1 k< N 2
ì ï 2N - 1 ï D x = kxe = <1 ï N ï 2 ï í ï 2N - 1 ï D y = ky = <1 ï e N ï 2 ï î
Y积分器
△X
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1
注 Y终
101 101 100 100 011 010 010 001 001 000 修正Yi 修正Xi 修正Yi 修正Xi 修正Yi 修正Yi 修正Yi 初始
X终
101 101 101 101 101 101 101 100 100 011 011 001 001 001 000
1
011 011
1 1 1
010 001 000
X、Y溢出 y溢出 X,Y溢出
1
011
3) DDA法圆弧插补 DDA法圆弧插补的积分表达式 由 V VX VY
R = Yi = Xi = K
Y B
VX = KYi
VY = KX i
V
Vx
Vy
P A X
令 则
Dt = 1
1 K= N 2
O
R
ì ï 1 m ïX= Yi ï N å ï 2 i= 1 ï í ï 1 m ïY = Xi ï N å ï 2 i= 1 ï î
ì D x = kxeD t ï ï í ï D y = kyeD t ï î
各坐标轴的位移量为 n t ì ï ï x= ï ò0 kxe dt = k å= 1 xeD t ï i ï í n ï ï y = t ky dt = k ï å= 1 yeD t ò0 e ï ï i î
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备注
无溢出
∆X∆Y同时溢出 ,修正Xi,Yi
101 101 110 011 111 011 010 1 100 101 011 100 100 8 100 110 100 100 111 9 100 010 1 011 100 011 101 011 10 101 111 011 011 11 101 100 1 010 011 6 7 010
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
初始状态
0 1 2 3 4 5
000 000 000 000 000 000 001 001 001 001 010 010 010 100 011
无溢出
∆X溢出修正Xi X到达终点。结 束插补。
Vy X
Y= ∑ (K Ye)∆t
i=1
O
Vx
由此可以得到直线插补的数字积分插补器： J Vx(K Xe)(被积函数寄存器) + ∆t J Rx(累加器) J Ry(累加器) + J Vy(K Ye)(被积函数寄存器) ∆Y Y轴溢出脉冲 X轴溢出脉冲 ∆X
设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： m X= i=1 (K Xe)∆t =KmXe =Xe ∑ Y= ∑ (K Ye)∆t = KmYe = Ye i=1 Y 由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为： X=Xe Y=Ye O A(Xe,Ye) V Vy Vx X
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补 如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为： ∆X=Vx∆t Y ∆Y=Vy∆t A(Xe,Ye) 若动点沿OA匀速移动， V、 Vx、Vy均为常数，则有： V V = Vx Vy = =K Vy OA Xe Ye 成立。 O Vx X
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
101 000 1
011 000
加工轨迹如下： Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
作业： 插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y A( 2 , 6 ) 6 5 4 3 2 1 O 1 2 X
101 101 000 101 101 101 101 101 010 101 101 111 101 101 100 101 101 001
1
101 101 100
第一次累加
∆Y ∆Y溢出,修正Yi , Yi
1 1
100 ∆X,∆Y无溢出 011 ∆Y溢出修正Yi 010
∆Y溢出修正Yi
插补计算过程如下：
110 110 110 110 110 110 110 110
000 110 100 1 010 1 000 1 110 100 1 010 1 1
000 初始状态 111 第一次累加 110 JRy有进位， ∆Y溢出 101 JRy有进位， ∆Y溢出 100 ∆X,∆Y同时溢出 011 ∆X,∆Y同时无溢出 ∆Y溢出 010 ∆Y溢出 001 000
圆弧积分插补器： J Vx(Y)(被积函数寄存器) + ∆t J Ry(累加器) J Rx(累加器) + J Vy(X)(被积函数寄存器) X轴溢出脉冲 ∆X ∆Y Y轴溢出脉冲
例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（５，0）,终点 为B（0,５），用DDA法加工圆弧AB。 Y 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X
插补计算过程如下
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
101 000 101 101 101 010 101 111 101 100 101 001 101 110 101 011
1 1 1 1
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算 速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输 入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系 统中得到广泛的应用。
m
确定K的取值： 根据每次增量∆X、∆Y不大于1，以保证每次分配的进给 脉冲不超过1，即需满足： ∆X=K Xe≤1 ∆Y=K Ye≤1 其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。 n 假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 – 1。 n 若取K=1/2 、则必定满足： n n K Xe = 2 – 1 / 2 <1 n n K Ye = 2 – 1 / 2 <1 由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： n m=1/K=2
O ∆t
t T
若∆t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： n-1 S=∑ Yi
i=0
(累加求和公式或矩形公式）
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现， 被积函数寄存器 ∆t 存放Y值
+ ∆Y
累加器（余数寄存器）
若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下： 被积函数寄存器用以存放Y值，每当∆t 出现一次，被积函 数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将 累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单 位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累 加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所 产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。 被积函数寄存器 ∆t 存放Y值
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
110 000
加工轨迹如下：
Y 6 5 4 3 2 1 O 1 2
A( 2 , 6 )
X
(三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB， 坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye) 为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。 Y B(Xe,Ye) Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo) O X
（一）数字积分的基本原理 如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表 示为：S=∫ 0 f(t)dt Y t 若将0～t的时间划分成时间 Y=f(t) 间隔为∆t的有限区间，当∆t 足够小时，可得公式： Yo n-1 0 S=∫ tf(t)dt = ∑ Yi ∆t
i=0
即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。
1
010 001
无溢出 1 000 ∆X∆Y同时溢出
,Y到终点停止迭代
∆X溢出修正Xi
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
∆X溢出修正Xi
12 101 001 1 001 010 001 13 101 110 001 001 14 101 011 1 000 001 000
因而可以得到坐标微小位移增量为： ∆X=Vx∆t=KXe∆t ∆Y=Vy∆t =KYe∆t 所以，可以把动点从原点 走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间 间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补 V 近似表达式为： m X= ∑ (K Xe)∆t
i=1 m
A(Xe,Ye)
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
如图所示，可以得到： V Vx Vy = = =K R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： ∆X=Vx∆t=KYi∆t V Vy ∆Y=Vy∆t =KXi∆t 设∆t=1，K=1/2 n 则有：Y B(Xe,Ye) X = 1/2 ∑Yi
i=1
n
m
Vx R
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
010 000 010 010 010 100 010 110 010 000 1 010 010 010 100 010 110 010 000 1
011 011 011 011 011 011 011 011
000 011 110 001 1 100 111 010 1 101 1
000 初始状态 111 第一次累加 110 JRx有进位， ∆X溢出 101 JRy有进位， ∆Y溢出 ∆X溢出 100 011 ∆X溢出 ∆Y溢出 010 ∆X溢出 001 000
Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo)
Y = 1/2 ∑Xii=1Fra bibliotekn m
O