河南省信阳市高一下数学期中考试试卷
河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷
河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若，A.B.C.D.， 则 A=（ ）.2. （2 分） 函数的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数的图像，只需将 f(x)的图像（ ）A . 向左平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向右平移 个单位3. （2 分） “ ”是“直线与圆相交”的 （ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2 分） (2017 高一下·晋中期末) 在△ABC 中，若 AB=4，AC=6，D 为边 BC 的中点，O 为△ABC 的外心，则 =（ ）第 1 页 共 10 页A . 13 B . 24 C . 26 D . 525. （2 分） 已知| |=1，| |= ， • =0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC=60°，设 =m +n （m， n∈R），则 =（ ）A.B.C. D.1 6. （2 分） (2019 高三上·平遥月考) 已知，则该三角形一定是（ ） A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形的三个内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若7. （2 分） (2016 高一下·榆社期中) 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 所得图象的函数解析式是（ ）个单位，再向上平移 1 个单位，A . y=cos2xB . y=2cos2xC.第 2 页 共 10 页D . y=2sin2x8. （2 分） (2017 高二上·嘉兴月考) 已知则的最小值是 （ ）A.是边长为 的等边三角形， 为平面内一点，B.C. D. 9. （2 分） (2017·南海模拟) 已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则函 数 f（x）的单调递减区间为（ ）A.B.C.D.10. （2 分） (2016 高三上·大连期中) △ABC 中，若动点 D 满足2﹣2+2 •=0，则点 D 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A . 外心B . 内心第 3 页 共 10 页C . 垂心 D . 重心11. （2 分） 在 积之比是（ ）所在的平面内有一点 P，如果,那么和面积与的面A.B.C.D.12. （2 分） 若圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，设这段弧所对的圆心角是 ， 则 所在的区间为（ ）的值A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·长宁模拟) 若命题“对任意 值范围是________．，tanx＜m 恒成立”是假命题，则实数 m 的取14. （1 分） (2017 高一上·河北期末) 已知 ⊥ ，| |=2，| |=3，且 3 +2 与 λ ﹣ 垂 直，则实数 λ 的值为________．15. （1 分） (2017 高二上·南阳月考) 在中，内角，若，则的值为________．第 4 页 共 10 页所对应的边分别为，已知16.（1 分）(2019 高二上·怀仁期中) 在底面是正方形的长方体则异面直线与所成角的余弦值为________.中，，三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2017 高一下·荔湾期末) 已知 A，B，C 为锐角△ABC 的内角， =（sinA，sinBsinC）， = （1，﹣2）， ⊥ ．（1） tanB，tanBtanC，tanC 能否构成等差数列？并证明你的结论；（2） 求 tanAtanBtanC 的最小值．18. （10 分） (2019 高一下·上海月考) 已知（1） 求的值；（2） 求的值.19. （10 分） (2016 高三上·赣州期中) 已知向量 =（sin（x+ ），1）， =（4，4cosx﹣ ）（1） 若 ⊥ ，求 sin（x+ ）的值； （2） 设 f（x）= • ，若 α∈[0， ]，f（α﹣ ）=2 ，求 cosα 的值． 20. （10 分） (2015 高一下·黑龙江开学考) 已知函数 f（x）=sin2x+2 sin2x+1﹣ ． （1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2） 当 x∈[ ， ]时，求函数 f（x）的值域． 21. （10 分） (2016 高一下·宜昌期中) 已知向量 ， 的夹角为 120°，| |=1，| |=5． （1） 求 • ； （2） 求|3 ﹣ |． 22. （5 分） 已知 =（1，2cosx）， =（sinπ﹣2x）， cosx），x∈R，且 f（x）= • ．第 5 页 共 10 页（Ⅰ）求 f（ ） ； （Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及在（0，2π）上的单调递增区间．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、 18-1、第 8 页 共 10 页18-2、 19-1、19-2、 20-1、第 9 页 共 10 页20-2、 21-1、 21-2、22-1、第 10 页 共 10 页。
河南省信阳市高一下学期数学期中考试试卷
河南省信阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A .B .C .D .2. （2分）如图，向量-等于（）A .B .C .D .3. （2分）江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A . 150米B . 120米4. （2分）设向量，记，函数的周期是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·武邑期中) 已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an﹣12+an+12（n≥2），bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn ，则S33的值是（）A .B .C .D . 36. （2分）(2017·衡水模拟) 已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（）A . logac＜logbcB . （）c＜（） cC . abc＜bacD . alogc ＜blogc7. （2分）方程a2x2+ax﹣2=0 （|x|≤1）有解，则（）A . |a|≥1B . |a|＞28. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 设，且，则的最小值是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）设α是第二象限角，且cos=﹣，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角10. （2分）(2018·临川模拟) 《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第六日所织尺数为（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2017·成都模拟) 已知向量 =（5，0）， =（﹣2，1），⊥ ，且 =t + （t∈R），则t=________．12. （1分） (2018高三上·云南月考) 已知，则 =________；13. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，若则角A的值为________．14. （1分） (2016高三上·浦东期中) 函数cos（﹣x）= ，那么sin2x=________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2020·宝山模拟) 已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则 ________16. （1分）若关于x的方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两根均大于1，则m的取值范围是________．17. （1分）(2018·丰台模拟) 在△ 中，，，且，则 ________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一下·邢台期末) 已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）2+ sin（2x+ ）（x∈R）．（1）求函数f（x）的递减区间；（2）若f（α）= ，α∈（，），求cos（2α+ ）．19. （10分）已知=(sinx,1)，=(sinx,cosx),f（x）=．求f（x）的最大值以及此时x的值．20. （10分）等差数列﹛an﹜满足a4=20，a10=8（1）求数列﹛an﹜的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn，指出当n为多少时Sn取最大值，并求出这个最大值．21. （10分）已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.（1）求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于X的方程在内有两个不同的解,．(1)求实数M的取值范围：（2）证明：。
2023-2024学年河南省信阳市高一下册期中模拟考试数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳市高一下册期中模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}M =--，11|282x N x +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．{0，1}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}【正确答案】C【分析】根据指数函数的单调性求解出11282x +<<的解集为N ，然后根据集合的交集运算即得.【详解】因为11282x +<<，所以113222x -+<<，所以113x -<+<，所以22x -<<，所以{}22N x x =-<<，所以{}1,0,1M N ⋂=-，故选：C.2．若复数2i1iz +=-，则z =（）A ．1B ．2C ．4D 【正确答案】B【分析】由复数除法几何意义求复数的模.【详解】由|2i||1i|z +=-故选：B3．下列四个选项中的命题是真命题的是（）A ．若四点不共面，则其中任意三点不共线B ．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形D ．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分【正确答案】A【分析】A 选项用反证法进行判断；BCD 选项根据空间图形的位置关系进行判断.【详解】A 选项，对于空间中的4个点，若其中3个点共线，则这4个点共面，此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，A 选项正确.B 选项，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B 选项错误.C 选项，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C 选项错误.D 选项，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，D 选项错误.故选：A 4．函数()1e xf x x=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在1x =处函数值的正负排除B 和C,得出结果.【详解】 ()()11e e x xf x f x x x--=-=-=-,∴()f x 为偶函数,排除A.()11e<0f =- ,排除B 和C.故选:D.5．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，已知4,6B C A C ''''==，B C y '''∥轴，则ABC 中AB 边上的中线的长度为（）A ．5B ．10C ．5D ．52【正确答案】A【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.【详解】由斜二测画法规则知AC BC ⊥，即ABC 直角三角形，其中6AC =,8BC =，所以226810AB =+=，所以AB 边上的中线的长度为1052=.故选：A.6．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m 的同学假期到河北省正定县旅游，他在A 处仰望须弥塔尖，仰角为45 ，他沿直线向塔行走了17m 后仰望须弥塔尖，仰角为60 ，据此估计该须弥塔的高度约为（）（参考数据:2 1.4143 1.732≈≈，）A ．41.9mB ．40.2mC ．39.5mD ．37.8m【正确答案】A【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合15︒的正弦值，求出答案.【详解】如图，1117A B =，因为11114560CA D CB D ∠=∠=，，所以1115A CB ∠=，在11A B C 中，由正弦定理得1111111sin sin A B CB A CB CA D =∠∠，所以111111117sin 45sin sin15sin A B CA D CB A CB ∠︒==∠︒，其中()321262sin15sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 4522224-︒=︒-︒=︒︒-︒︒==故121717sin 45217317sin15624CB ⨯︒==+︒-又111733602sin CD CB =︒=（），3 1.732≈，所以117 4.73240.2m 2CD ⨯≈≈，又该同学身高1.7m ，所以塔高约为40.2 1.741.9+=()m .故选.A7．在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，则""A B =成立的必要不充分条件为（）A ．sin cos 2AB π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos cos 0a A b B -=C ．cos cos b A a B =D ．cos cos cos a b cA B C==【正确答案】B【分析】结合必要不充分条件的定义，利用诱导公式变形判断A ．由正弦定理化边为角变形后判断BCD ．【详解】A B =时，ABC 均成立，D 不一定成立，A.sin cos sin 2A B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为,A B 是三角形内角，所以A B =，A 错误；B.cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，B 正确；C.cos cos b A a B =，则sin cos sin cos =B A A B ，所以tan tan A B =，A B =，C 错；D.cos cos cos a b c A B C ==时，由正弦定理得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，即tan tan tan A B C ==，A B C ==，D 错．故选：B ．关键点点睛：本题考查必要不充分条件的判断，方法是利用必要不充分条件的定义，其中掌握正弦定理是解题的关键．8．在ABC 中，已知2AD DC =，3AC BC =，sin 3sin BDC BAC ∠=∠，当||CA CB AB ⋅- 取得最小值时，ABC 的面积为（）A B C ．38D ．16【正确答案】D【分析】设BC n =，BD m =，在BDC 和ABC 中应用正弦定理可得到13BD AB =，然后利用cos cos BDC BDA ∠=-∠结合余弦定理可得2223m n =，化简||CA CB AB ⋅- 可得当12m =时，取得最小值，最后利用面积公式即可【详解】设BC n =，3AC BC = ，3AC n ∴=，2AD DC =uuu r uuu r Q ，2223AD DC AC n ∴===，在BDC 中，sin sin BC BD BDC C =∠，在ABC 中，sin sin BC ABBAC C=∠，sin sin BAC BD BDC AB∠∴=∠,sin 3sin BDC BAC ∠=∠ ，13BD AB ∴=，设BD m =，3AB m ∴=，πBDC BDA ∠+∠= ，()cos cos πcos BDC BDA BDA ∴∠=-∠=-∠，()222222(2)3222m n m m n n mn m n+-+-∴=-⨯2223n m ∴=，2232n m ∴=，2223m n∴=()222222||3cos 3(3)3193333()23324n n C C n m n m m m A B AB n n C m m n ⋅-=⨯-+-⋅-=-=--⨯= ，当12m =时，||CA CB AB ⋅- 取得最小值，238n ∴=，22222cos 23n n m C n +-== ，又22sin cos 1C C += ，22225sin 1cos 139C C ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭∴在ABC 中sin C =213333sin 223283ABC S n n C n ∴=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= 故选：D.二、多选题9．下列说法错误的是（）（多选）A ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B ．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D ．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体【正确答案】ABC选项,A B 不符合棱锥，棱台定义，所以错误；选项C ，会得出棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360︒，构成平面图形，所以错误；选项D ，可推出侧棱与底面垂直，所以正确.【详解】选项A ，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A 错误；选项B ，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B 错误；选项C ，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360︒时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C 错误；选项D ，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D 正确.故选:ABC.本题考查多面体的定义，以及结构特征，属于基础题.10．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数i e 对应的点位于第二象限B ．πi 2e 为纯虚数C ．πi e 10-=D πi 312【正确答案】BD【分析】利用欧拉公式逐项计算出对应的复数，再判断作答.【详解】对于A ，i cos1i sin1e =+，而sin10,cos10>>，因此复数i e 对应的点(cos1,sin1)位于第一象限，A 错误；对于B ，π2ππe cosisin i 22=+=，因此πi 2e 为纯虚数，B 正确；对于C ，πi e 1cos πi sin π12-=+-=-，C 错误；对于D πi 3ππ11cosisin (i)13322i4e ++=，πi 312，D 正确.故选：BD11．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知4b =，6c =，ABC 的面积S 满足()()228b c S a +=+，点O 为ABC 的外心，满足AO AB AC λμ=+ ，则下列结论正确的是（）A ．6S =B ．10CB AO ⋅= C ．AO =D ．2λ=【正确答案】ABD【分析】已知()()228b c S a +=+，结合余弦定理化简求得π6A =，再利用三角形面积公式求出S ，即可判断A ；根据平面向量的混合运算法则，计算CB AO ⋅的值即可判断B ；先利用余弦定理求出a 的值，再根据正弦定理即可判断C ；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出λ和μ的值，即可判断D.【详解】解：对于A，已知()()228b c S a +=+，则()222128sin2b c bc a bc A++-=+⨯⋅，由余弦定理可知2222cosb c a bc A+-=⋅，所以()()2cos14sinbc A bc A+=⋅，即))cos12sin2sin cos1A A A A+=⇒-=，等号两边同时平方，可得()227sin22sin cos cos1A A A A+-++=，则()2227sin22sin cos1cos sinA A A A A+-=-=，即()26sin22sin cos0A A A+-+=，因为sin0A≠，所以()6sin22cosA A+=，则2222sincos3AA+==，即tan A=，因为()0,πA∈，则π6A=，111sin246222S bc A=⋅=⨯⨯=，A选项正确；对于B，()cos cosCB AO AB AC AO AB AO AC AO AB AO OAB AC AO OAC ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅∠-⋅∠，因为点O为ABC的外心，所以1cos2AO AOB AB∠=，1cos2OO A B AA C∠=，则()22221116410222CB AO AB AC⋅=-=⨯-=，B选项正确；对于C，由余弦定理2222cos1636224522a b c bc A=+-⋅=+-⨯⨯=-，由正弦定理22sina R AOA==，则322AO=≠⨯，C选项错误；对于D，因为AO AB ACλμ=+，则2646362AO AB AB AB AC ABλμλμλ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⨯⨯=+，即3618λ+=，所以63λ+=①，同理246416AO AC AB AC AC ACλμλμμ⋅=⋅+⋅=⋅⨯⋅=+，即168μ+=，所以42μ+=②，联立①②，解得23λ=-，22μ=-，D 选项正确；故选：ABD.12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的是（）A ．20HC OG CD +-=B．2OA HO ⋅=C．BD ED -=D ．AF 在DB上的投影向量为12DB-【正确答案】ACD【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答．【详解】因八卦图为正八边形，故每边所对中心角为45 ，20HC OG CD HC CG CD HG CD +-=+-=-=，A选项正确；cos 452OA HO OA OH OA OH ⋅=-⋅=-⋅=- B 选项错误；BD ED BD DE BE OE OB -=+==- ，()22221211cos13512OE OBOE OB OE OB -=-+=-⨯⨯⨯+=⋅，BD ED -=，C 选项正确；AF 在DB上的投影向量为()()2222OB OD DB DB OB OD OB OD DB DB DB DB OB OD OB OD O OF OA AF OF OF OA OA B OD-⋅⋅⋅⋅-⋅--+⋅=⋅=⋅+⋅⋅--cos180cos90cos 45cos13512cos901DB B DB -+=-⋅==-+，D 选项正确.故选：ACD三、填空题13．已知πsin 65α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是__________．【正确答案】35-/－0.6【分析】由二倍角公式求得πcos(2)3α+，然后由诱导公式求解．【详解】22ππ3cos(2)12sin ()12365αα+=-+=-⨯=，ππππππ3sin(2)sin[(2)sin[(2)]cos(26322335αααα-=+-=--+=-+=-．故35-．14．已知向量a ，b 满足1a =，b = ，a ，b 的夹角为150°，则2a b + 与a 的夹角为______.【正确答案】60︒【分析】根据向量数量积的定义，求得a b ⋅的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得|2|1a b +=、1()22a a b +⋅= ，结合夹角公式计算即可求解.【详解】因为1,a b == a 与b的夹角为150︒，所以3cos1502a b a b ︒⋅==- ，所以()222222|2|2444||||41a b a b a b a b a b a b +=+=+=⋅=+⋅++，得|2|1a b +=，又21()222a a a b a b ⋅=++⋅= ，所以22()1cos ,22a b a a a ba ab ++⋅==+ ，又因为,002,18a a b ︒⎡⎤∈⎣⎦+ ，所以,602a a b ︒+= .故答案为.60︒15．已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.【正确答案】14π【分析】令长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，由已知条件及2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++、外接球半径与各棱的关系得到2r =，应用球体面积公式求面积即可.【详解】令长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则2()226ab bc ac a b c ++=⎧⎨++=⎩，由2222()22236a b c a b c ab bc ac ++=+++++=，则22214a b c ++=，而长方体外接球半径r =2r =，其表面积274π4π14π2r =⨯=.故14π16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知,A B 两点间的距离为2，点P 为 AB 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为______．【正确答案】10-【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为2322PE - ，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，则()()22()PA PB PC PA PD PE EA PE ED⋅+=⋅+=⋅+ ()()()2222PE EA PE EA PE EA =⋅-=-+ ，在正三角形ABC 中，AD ===所以AE DE ==所以()222()3222PA PB PC PE EA PE -==⋅+- ，因为CE =所以min222PECE =-=-，所以()PA PB PC ⋅+的最小值为：2233222104222PE ⎛-=--=- ⎝⎭.故答案为.10-四、解答题17．已知向量()1,2a x = ，(),3b x = ，()2,0c =-.(1)若()()22a b a c +-∥，求实数x 的值；(2)若()()22a b a c +⊥- ，求实数x 的值.【正确答案】(1)32x =-或2x =(2)42x -+=或42x -=【分析】（1）求出2,2a b a c +-的坐标，再利用向量平行的坐标公式列方程求解即可；（2）求出2,2a b a c +-的坐标，再利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可.【详解】（1）()1,2a x = ，(),3b x = ，()2,0c =-，()()212,26,24,4a b x x a c x ∴+=++-=，()()22a b a c+-∥ ()()412426x x x ∴+=+32x ∴=-或2x =；（2）由（1）知()()212,26,24,4a b x x a c x +=++-=，()()22a b a c +⊥- ，()()4124260x x x ∴+++=，解得x =x =18．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．(1)若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【正确答案】(1)3312m (2)当1PO =时，正四棱柱侧面积最大，最大为2m 【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；（2）设1m PO x =，正四棱柱侧面积用x 表示，利用基本不等式求最大值.【详解】（1）∵12m PO =，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍，∴18m O O =．所以仓库的容积22316268312m3V =⨯⨯+⨯=（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，设1m PO x =，则14m O O x =，11m A O =，11m A B =．∴正四棱柱侧面积)4406S x x =⋅⋅<<，∴222xS+=≤当且仅当x，即x=2maxmS=．所以当1mPO=时，正四棱柱侧面积最大，最大为2m．19．如图，在平面四边形ABCD中，1BC=，CD=AB BD DA==．(1)若AB=cos ABC∠的值；(2)求四边形ABCD面积的最大值．【正确答案】；(2)【分析】（1）由题可得cos6CBD∠=，然后根据同角关系式及和差角公式求解；（2）根据余弦定理得到24BDθ=-，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，可得π3ABCDSθ⎛⎫=-⎪⎝⎭四边形.【详解】（1）因为1BC=，CD=AB BD DA===，所以在BCD△中，122cos6BCCBDBD∠=，sin6CBD∠=，所以πππcos cos cos cos sin sin333ABC CBD CBD CBD⎛⎫∠=+∠=∠-∠⎪⎝⎭1262612-=⨯-⨯；（2）设BCDθ∠=，()0,πθ∈，在BCD △中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅22121θ=+-⨯4θ=-，∵BCD BAD ABCD S S S =+ 四边形11πsin sin 223BC CD BA BD θ=⋅+⋅=21sin 24BC CD BD θ⋅+3cos2θθ=+π3θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,πθ∈，当5π6θ=时，四边形ABCD 面积的最大值20．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AB AA ，的中点．(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点P ；(2)在（1）的结论中，G 是1D E 上一点，若FG 交平面ABCD 于点H ，求证：P ，E ，H 三点共线．【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）连接1A B ，1CD ，可得到1//EF CD 且1EF CD ≠，则EC 与1D F 相交，设交点为P ，则能得到P ∈平面ABCD ，P ∈平面11ADD A ，结合平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =，即可得证；（2）可证明P ，E ，H 都在平面1PCD 与平面ABCD 的交线上，即可得证【详解】（1）证明：连接1A B ，1CD ，EF正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AB AA ，的中点，∴1//EF A B 且1EF A B ≠，∵11//CD A B 且11CD A B =，∴1//EF CD 且1EF CD ≠，∴EC 与1D F 相交，设交点为P ，∵P ∈EC ，EC ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面ABCD ；又∵1P FD ∈，1FD ⊂平面11ADD A ，∴P ∈平面11ADD A ，∴P 为两平面的公共点，∵平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =，∴P AD ∈，∴1CE D F DA 、、三线交于点P ；（2）在（1）的结论中，G 是1D E 上一点，FG 交平面ABCD 于点H ，则FH ⊂平面1PCD ，∴H ∈平面1PCD ，又H ∈平面ABCD ，∴H ∈平面1PCD ⋂平面ABCD ，同理，P ∈平面1PCD ⋂平面ABCD ，E ∈平面1PCD ⋂平面ABCD ，∴P ，E ，H 都在平面1PCD 与平面ABCD 的交线上，∴P ，E ，H 三点共线．21．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min 012345水温/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从100℃开始，经过min x 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①y kx b =+0k <0x ≥；②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）；③log ()a y x k b =++（1a >，0k >，0x ≥）．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈．）【正确答案】(1)理由见解析，800.920x y =⨯+(2)刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min 能达到最佳饮用口感(3)乌龙茶所在实验室的室温约为20℃【分析】（1）根据题意，结合一次函数，指数函数以及对数函数的特点，分析判断即可得到结果，然后将点的坐标代入即可得到解析式；（2）结合（1）中结论，然后代入计算，即可得到结果；（3）根据所选函数模型，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）选择②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）作为函数模型．由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．故应选择②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）将表中前2min 的数据代入，得21009284.8k bka b ka b =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得800.920k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以函数模型的解析式为：800.920x y =⨯+．（2）由（1）中函数模型，有800.92060x ⨯+=，即10.92x=，所以0.91log 2x =，即lg 2lg 20.3016.54lg 0.912lg 3120.477x -==≈--⨯，所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min 能达到最佳饮用口感．（3）由800.920x y =⨯+为减函数，且当x 越大时，y 越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．22．函数()(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为()f x 的图象与x 轴的交点，且ABC 为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若不等式2sin (2)33m x x m π--≤+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1()2g x x =（2）3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得4T =，再由2T πω=即可得ω，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得2cos cos 30m x m x ++≥在R 上恒成立，令cos ,[1,1]x t t =∈-，按照0m =、0m <、0m >分类，结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意点A ABC 为等边三角形，所以三角形边长为2，所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到1()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到121()sin 2332g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）由题意(2)sin cos 2g x x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以22sin (2)sin cos 3m x g x m x m x m π⋅-=-≤+恒成立，原不等式等价于2cos cos 30m x m x ++≥在R 上恒成立.令cos ,[1,1]x t t =∈-，即230mt mt ++≥在[1,1]t ∈-上恒成立，设2()3t mt mt ϕ=++，对称轴12t =-，当0m =时，()30t ϕ=≥成立；当0m <时，min ()(1)230t m ϕϕ==+≥，解得32m ≥-，此时302m -≤<；当0m >时，min 1()30242m mt ϕϕ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭，解得12m ≤，此时012m <≤；综上，实数m 的取值范围为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.。
河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷(A)
河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷（A)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·邯郸期末) “∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A . ∀x∈R，x2﹣2＜0B . ∀x∈R，x2﹣2≤0C . ∃x0∈R，﹣2＜0D . ∃x0∈R，﹣2≤02. （2分） (2019高三上·浙江期末) 若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为（）A .B .C .D .3. （2分）以O为中心，F1 ， F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）对于集合M和P，“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二下·昌平期中) 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A . 6n﹣2B . 8n﹣2C . 6n+2D . 8n+26. （2分）已知函数的导函数为 , ,如果 ,则实数x的取值范围为（）A .B . (0, )C . (-1, )D . (-1,1)7. （2分） (2018高二下·河北期末) 将函数图像绕点（1,0）顺时针旋转角得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x)，f'(x)0的解集为，若f（x)的极小值等于-115，则a的值是（）A .B .C . 2D . 59. （2分） (2016高一上·宜春期中) 函数y=x2+2x﹣4，x∈[﹣2，2]的值域为（）A . [﹣5，4]B . [﹣4，4]C . [﹣4，+∞）D . （﹣∞，4]10. （2分）若抛物线x2=2py的焦点为F（0，2），则p的值为（）A . -2B . 2C . -4D . 411. （2分） (2019高一上·安平月考) 已知函数，则使得的的范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·苏州模拟) 若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是________．14. （1分） (2016高二下·东莞期中) 下列四个命题中正确的有________（填上所有正确命题的序号）①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1②若z为复数，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值等于2③任意x∈（0，+∞），都有x＞sinx④定积分 dx= ．15. （1分） (2018高二下·邯郸期末) 不等式的解集是________．16. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高二上·西安期中) 设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．19. （10分） (2016高二下·静海开学考) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．20. （10分）(2020·武汉模拟)（1）研究函数f（x）在（0，π）上的单调性。
河南省信阳市高一下学期期中数学试卷
河南省信阳市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2020 高一下·辽宁期中) 已知角 的终边过点 （），则的值是A.B.C. 或 D . 随着 k 的取值不同其值不同2. （2 分） 得到的图象只需将A . 向左平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向右平移 个单位3. （2 分） (2019 高二上·宜春月考) 如果三点 则（ ）A. B. C. D.的图象（ ），，在同一条直线上，第 1 页 共 16 页4. （2 分） 已知向量 均为单位向量，若它们的夹角 ， 则||等于 （ ）A.B.C. D.45. （2 分） (2018·临川模拟) 将函数 后，所得函数图象关于原点对称，则 的取值可能为（ ）的图象向右平移 个单位A.B.C.D. 6. （2 分） (2016 高二上·河北开学考) 已知 =（3，4）， =（5，12），则 与 夹角的余弦为（ ）A. B.C. D.7. （2 分） 已知 a=sinl，b=tanl，c=tan ， 则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）A . c＜b＜aB . c＜a＜b第 2 页 共 16 页C . a＜v＜bD . a＜b＜c8. （2 分） (2019 高一上·公主岭月考)的大小关系为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） sin20°sin10°﹣cos10°sin70°=（ ）A.B.﹣ C.D.﹣10. （2 分） (2017·长春模拟) 已知向量，，若 m+n∈[1，2]，则的取值范围是（ ）（m＞0，n＞0），A.B.C.D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11. （1 分） (2016 高一下·昆明期中) 在△ABC 中，已知 a=7，c=5，B=120°，则△ABC 的面积为________．第 3 页 共 16 页12.（1 分）(2018 高二下·惠东月考) 已知，， 的夹角为 60°，则________.13. （1 分） 函数 y=的最大值是________．14. （1 分） (2015 高三上·上海期中) 若向量 与 夹角为 ，| |=4，（ +2 ）（ ﹣3 ） =﹣72，则| |=________．15. （1 分） (2019 高二下·深圳期中) 已知直线 l 的普通方程为 x+y+1=0，点 P 是曲线上的任意一点，则点 P 到直线 l 的距离的最大值为________．16. （1 分） (2019 高三上·达县月考) 已知函数图象的相邻两条对称轴的距离为 ，且，则三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)________.17. （10 分） (2018 高二上·会宁月考) 在已知，，且中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， .（1） 求 ；（2） 若，且，求 的值.18. （10 分） (2019 高二上·集宁月考) 已知函数.（1） 求的最小正周期；（2） 当时，若，求 的值.19. （10 分） (2017 高三下·武邑期中) 已知向量，．（1） 求函数 f（x）的单调递增区间；，函数（2） 已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，其中 A 为锐角，第 4 页 共 16 页，c=1，且 f（A）=1，求△ABC的面积 S． 20. （5 分） 已知点 A（3，﹣4）与 B（﹣1，2），点 P 在直线 AB 上，且|AP|=2|PB|，求点 P 的坐标．第 5 页 共 16 页一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：第 6 页 共 16 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 7 页 共 16 页答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：第 8 页 共 16 页解析： 答案：9-1、 考点：解析： 答案：10-1、 考点： 解析：第 9 页 共 16 页二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)答案：11-1、 考点：第 10 页 共 16 页解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
2023-2024学年河南省信阳市高一(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，若z =1+i ，则|−z |=( )A. 1B. 0C. 2D.22.若向量AB =(0,1),CD =(m ,−2),AB //CD ，则m =( )A. −1B. 2C. 1D. 03.已知A ，B ，C 是平面直角坐标系内的三点，若AB =(2,1)，AC =(3,−6)，则△ABC 的面积为( )A. 15B. 12C. 152D. 64.曲线y =f (x )与曲线y =cosx 关于x 轴对称，则( )A. f (x )=sinxB. f (x )=−sinxC. f (x )=cosxD. f (x )=−cosx5.若复数z 满足z =i (1+2i )，则z 在复平面上所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.若函数f (x )=cos(πx +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =13对称，则φ=( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π67.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sinα+f (α)=13，则sin 2α−cos 2α+11+tan α的值为( )A. 49B. −89C. 59D. −598.课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角ΔABC 中，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，因为AC +CB =AB ，所以j ⋅(AC +CB )=j ⋅AB 由分配律，得j ⋅AC +j ⋅CB =j ⋅AB ，即|j ||AC |cos π2+|j ||CB |cos(π2−C )=|j ||AB |cos(π2−A )也即asinC =csinA ．请用上述向量方法探究，如图2直线l与ΔABC的边AB，AC分别相交于点D，E.设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ.则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为( )A. acos(B−θ)+bcos(A+θ)=ccosθB. acos(B+θ)+bcos(A−θ)=ccosθC. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθD. asin(B+θ)+bsin(A−θ)=csinθ二、多选题：本题共3小题，共18分。
河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷
河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设，则之间的关系是（）A .B .C .D .2. （2分）设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝，则ab的值是（）A . －6B . －5C . 6D . 53. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A . 30°B . 45°C . 150°D . 30°或150°4. （2分）公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为（）A . 100B . 200C . 300D . 4005. （2分） (2016高一上·重庆期末) 已知α∈[ ， ]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A . 0B .C .D . 16. （2分）在等差数列中，，则等差数列的前13项的和为（）A . 24B . 39C . 52D . 1047. （2分） (2018高一上·陆川期末) 已知角在第三象限，且，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（）A .B .C .D .9. （2分）在△ABC中，已知，则三角形△ABC的形状一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n是（）A . 12B . 13C . 14D . 1511. （2分）如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形，则四边形ABCD中度数为（）A .B .C .D .12. （2分）已知等差数列中，，则的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 64二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知tan（α+β）=﹣3，tan（α﹣β）=2，则的值为________．14. （1分） (2016高二上·扬州开学考) 设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=________．15. （1分） (2017高一下·景德镇期末) =________．16. （1分） (2019高三上·吉林月考) 如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·益阳期中) 已知0＜α＜π，tanα=﹣2．（1）求sin（α+ ）的值；（2）求的值；（3）2sin2α﹣sinαcosα+cos2α18. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知向量，函数f（x）= • +2．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）设锐角△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=2，，求角A和边c的值．19. （10分）(2017·自贡模拟) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn ，求{cn}的前n项和Sn ．20. （10分） (2018高一下·苏州期末) 已知函数 .（1）当，时，求满足的的值；（2）若函数是定义在上的奇函数.①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.21. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且（1）若，求的值；（2）若是单元圆上在第二象限的一点，且 .过点作轴的垂线，垂足为，记的面积为，求函数的取值范围.22. （10分） (2017高一下·唐山期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且an是2与Sn的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2022-2023学年河南省信阳市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复平面内表示复数（）的点位于（ ）()z i a i =-a<0A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.z 【详解】表示的点为，()1z i a i ai=-=+()1,a 因为，所以点位于第四象限，a<0()1,a 故选：D.2．已知向量，且，则实数等于（ ）()()241a m b ==- ，，，()()a b a b-⊥+ mA ．2B ．C ．8D ．12【答案】D 【分析】根据，由求解.()()a b a b -⊥+()()a b a b +⋅-= 【详解】解：因为向量，()()241a m b ==- ，，，所以，()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-因为，()()a b a b -⊥+ 所以，()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=解得，即213=m m =故选：D3．“为第一象限角”是“”的（ ）αtan 0α>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；αtan 0α>反之，若，则为第一或第三象限角.tan 0α>α4．在中，若，，则形状为（ ）ABC3sin b B =cos cos A C =ABC A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出sin A A C =，进而可得正确选项.B ∠【详解】因为,3sin b B =所以,3sin sin B A B =因为0180B <<所以，sin 0B ≠所以或，sin A =60A =120 又因为，,cos cos A C =0180A <<0180C << 所以A C∠=∠所以，，，60A ∠= 60C ∠= 180606060B ∠=--=所以为等边三角形.ABC 故选：C.5．已知，，则（ ）3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=A ．B ．C ．D ．35-354535±【答案】B 【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.π4α+πsin(4α+()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦【详解】因为，所以，则，3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π44α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 04α⎛⎫+>⎪⎝⎭所以πsin 4α⎛⎫+==⎪⎝⎭所以，ππππππ3cos cos cos cos sin sin 4444445αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移()y f x =13个单位长度，得到函数的图象，则（ ）π4πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =A ．B ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4πππsin sin 4312y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.3()πsin 312x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中ACD O 间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）A B AB AO ⋅A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数()()·AB AO AD DB AD DO⋅=++ 据即可.【详解】如图所示：连接，OD因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，4ADO ODB π∠=∠=||OD = ||4AD = 2ADB π∠=则，()()··AB AO AD DB AD DO =++ 23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+.244214⎛=++= ⎝故选：C.8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，π3π2π(Z)42x k k ω+=+∈5π2π4(Z)k x k ω+=∈令时，有，，，，1,0,1,2k =-34πx ω=-5π4x ω=13π4x ω=21π4x ω=因为函数在内恰有两个最小值点，，()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭0ω>所以有：，π5π4413π7π1334477π21π44ωωωω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩故选：B二、多选题9．已知中，，若三角形有两解，则x 不可能的取值是（ ）ABC ,2,45a x b B ===︒A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解,sin 1a b A ><【详解】解：因为中，，且三角形有两解，ABC ,2,45a x b B ===︒所以，,sin 1a b A ><由正弦定理得，sin sin a bA B =所以，解得sin sin 1a B A b ===<x <因为，所以，a b >2x >所以，2x <<故选：ACD10．若复数，则（ ）z i =A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数iD ．z 24z =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.，故A 选项正确，B 选项错误.2=，C 选项正确.z i =，D 选项错误.)22232z ii ==-+=-故选：AC11．下列关于平面向量的命题正确的是( )A ．若∥，∥，则∥a b b c a cB ．两个非零向量垂直的充要条件是：,a b 0a b ⋅= C ．若向量，则四点必在一条直线上AB CD =,,,A B C D D ．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠b λb aλ= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ，根据向量垂直的性质判断B ，根据向量相等和向量概念判断C ，根据向量共线定理判断D ．【详解】对于，当时，不一定成立，A 错误；A 0b =∴对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B ,a b ,a b 0a b ⋅= 0a b ⋅= ,a b B 正确；∴对于C ，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，,AB CD AB = CD,,,A B C D 错误；C ∴对于D ，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠ bλD 正确．,b a λ=∴故选：BD ．12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）()()cos sin 0f x x a x a =+≠A ．对任意的都不是偶函数()0a f x ≠，B ．存在使是奇函数0a ≠，()f x C ．存在使0a ≠，()()πf x f x +=D ．若的图像关于对称，则()f x π4x =1a =【答案】AD【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.()f x【详解】因为，其中，，()()cos sin f x x a x x ϕ=+=+1tan a ϕ=ππ22ϕ-<<对于A ，要使为偶函数，则，且，则无解，()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<即对任意的a ，都不是偶函数，故正确；()f x 对于B ，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a ，使()f x π,k k ϕ=∈Z ππ22ϕ-<<1tan a ϕ=是奇函数，故错误；()f x对于C ，因为，故错误；()()()()ππf x x x f x ϕϕ+=++=+≠对于D ，若的图像关于对称，则，，()f x π4x =πππ42k ϕ+=+k ∈Z 解得，且，所以，即，故正确.ππ,4k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<π4ϕ=π1tan 114a a ==⇒=故选：AD三、填空题13．______．cos112.5︒=【答案】【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；cos 225︒【详解】解：因为()cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒=又()2cos 225cos 2112.52cos 112.51︒=⨯︒=︒-=所以2cos 112.5︒=cos112.5︒=因为，所以90112.5180︒<︒<︒cos112.5︒=故答案为：14．已知函数，若，则=__________________() ³sin 2022f x ax b x =++22021f =（）()2f -【答案】2023【分析】由条件可得，即可算出答案.()()4044f x f x -+=【详解】因为，所以，()3sin 2022f x ax b x -=--+()()4044f x f x -+=因为，所以，22021f =（）()22023f -=故答案为：.202315．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M 处（即），观测到山顶C 处的仰400MD =角为15°，山脚A 处的俯角为45°，则山高___________m.BC=【答案】600【分析】确定，，在中，利用正弦定理计算得到AM =45ACM ∠=︒75MAC ∠=︒MAC △答案.【详解】，则，,，45AMD ∠=︒AM ==451560CMA ∠=︒+︒=︒60CAB ∠=︒故，，18060MAC ∠=︒-︒4575-︒=︒180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得，即MAC △sin sin AC MA AMC ACM =∠∠sin60AC =︒解得.AC =sin60600BC AC =︒=故答案为：60016．在中，若，，则的最大值为__________．ABC ∆3B π=AC =2AB BC +【答案】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，最大值为2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭【解析】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式()sin cos a b θθθϕ+=+四、解答题17．已知复数满足：.z i 13iz z +=+(1)求复数；z (2)化简：.61i zz +--【答案】(1)34iz =+(2)97i 22+【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方()i ,z m n m n =+∈R 程组，求出，从而可得出答案；,m n （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，()i ,z m n m n =+∈R，()i i 13im n +=+，i 13i n m +=+则，41,33n n m m =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩；34i z ∴=+（2）解：由（1）得，34i z =+则34i 634i 61i 1i z z ++-=+----()()()()34i 1i 34i1i 1i ++=+---+17i 52-+=+.97i 22=+18．已知向量满足.,a b123a b a b ==-= ，，(1)求向量与向量的夹角；a b(2)求向量在向量方向上的投影的模.ba b - 【答案】(1)2π3【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；（2）根据投影向量的求解公式即可解出.【详解】（1）由可得，，3a b -=3a b -==229619a a b b -⋅+= 而，所以，，，而，12a b == ，1a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-0,πa b ≤〈〉≤所以，向量与向量的夹角为．a b2π3（2）向量在向量方向上的投影的模为：ba b - cos b b a-,=19．已知.22sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin cos cos 2ααα+(2)若，求的值.1(0,),(0,tan()23παπβαβ∈∈+=-2αβ+【答案】(1)15(2)74π【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.1tan 2α=-1tan 2α=-（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.tan(2=tan(++)1αβααβ+=-）2αβ+【详解】（1）由已知得，所以2sin cos αα=-1tan 2α=-所以2222sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos ααααααααα+-+=+.22tan 1tan 1tan 15ααα+-==+（2）因为tan +tan(+)tan(2=tan(++)11tan tan()ααβαβααβααβ+==--+）又，13tan ,0,24πααπαπ=-<<∴<< 同理33,2242ππαβπαβπ<+<∴<+<所以.724παβ+=20．在①，②这两个条件中任选一个，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-sin cos 2sin sin cos C C B A A =-补充在下面的横线上，并解答．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ______．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边BC 上的一点，且AD =3，，，求的面积．BD =AB ACD 【答案】(1)3C π=【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.ADB ∠DAC ∠【详解】（1）选①，因为，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-所以，2221sin (1sin )sin sin sin B C A A B ----=-即，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，222a b c ab +-=由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以；(0,)C π∈3C π=选②，因为，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-所以，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅所以，，sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C ⋅+⋅=⋅sin 2sin cos B B C =⋅因为，所以，所以，(0,)B π∈sin 0B ≠1cos 2C =因为，所以；(0,)C π∈3C π=（2）由第一问可知，作图如下：3C π=在 中，由余弦定理，ABD△222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-===⨯∠所以，，34ADB π∠=4ADC π∠=在中，由正弦定理，ADC △sinsin AC AD ADC C =∠∠=解得，，AC =54312DAC ππππ=--=∠，5sin sin sin sin cos cos sin 1243434343ππππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；11sin 322ADC S AD AC DAC =⨯⨯∠=⨯=△综上，，三角形ADC .3C π=21．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ (1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；),4(3c =- ()π,0,π4x θ=∈a c cos θ(2)若函数，求的最小值.π3θ=，()f x a b=⋅ ()fx 【答案】(1)；(1,(-⋃(2)12【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.cos θ（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.()f x【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角，π4x =)2cos a θ= a c 于是，且与不共线，0a c ⋅< a c则 ，解得，即，8cos 0a c θ⋅=-< cos θ<()0,πθ∈()cos 1,1θ∈-则有，又当与共线时，，解得1cos θ-<<a c 6cos 0θ=cos θ=因此与不共线时，，a c cos θ≠所以的取值范围是.cos θ(1,(-⋃（2）依题意，当时，π3θ=()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅，1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++令，则，πsin cos [4t x x x =+=+∈21sin cos 2t x x -=于是，而函数在上为增函数，()(2211222t f x t -=+=-(2122y t =+-t ⎡∈⎣则当y 有最小值，t =12所以的最小值为()f x 1222．已知函数的部分图像如图所示，若，()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭288AB BC π⋅=- B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x <<数m 的取值范围，并求出的值．123 cos (2)x x x ++【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，m ⎡∈⎣12【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T ，得到，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，再根据求解；,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 288AB BC π⋅=- （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦26t x π=+与求解；再由，，得到求解.2sin y t =y m =12t t π+=233t t π+=12324t t t π++=【详解】（1）解：，)()2cos cos 1f x x x x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设函数的周期为T ，则，，()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，228888T AB BC π⋅=-=- 所以．故，故，T π=22T ππω==1ω=所以．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，当时，．则，，26t x π=+130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，m ⎡∈⎣12t t π+=233t t π+=所以，即，12324t t t π++=12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，123523x x x π++=所以．12351cos(2)cos 32π++==x x x。
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河南省信阳市高一下数学期中考试试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 3 题；共 6 分)
1. （2 分） 若 A . 第一、三象限 B . 第二、三象限 C . 第一、四象限 D . 第二、四象限
，则 所在象限是（ ）
2. （2 分） 函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A. B. C. D. 3. （2 分） 在△ABC 中， A . 105° B . 60° C . 15° D . 105°或 15°
， c=10，A=30°，则 B=（ ）
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二、 填空题 (共 13 题；共 17 分)
4. （1 分） (2019 高一上·重庆月考) 函数
的最小正周期为________.
5. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 已知角 的终边在射线
，则
________.
6. （1 分） (2016 高一上·南京期末) 若扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为________cm2 ． 7. （1 分） (2019 高一上·江苏月考) 给出下列四个命题:
①函数
是奇函数;
②若角 C 是
的一个内角，且
，则
是钝角三角形;
③已知 是第四象限角，则
;
④已知函数
（ ） 在区间
单调递增，则
.
其中正确命题的序号是________.
8. （1 分） (2019 高一下·浦东期中) 化简：
9. （1 分）(2019 高一下·上海期中) 已知
且
________.
则
________(用 表示).
10. （1 分） (2017·新课标Ⅰ卷文) 已知 α∈（0， ），tanα=2，则 cos（α﹣ ）=________． 11. （1 分） 若函数 f（x）=log2（x2﹣ax+a2）的图象关于直线 x=1 对称，则 a=________
12. （ 1 分 ） (2019 高 一 下 · 鄂 尔 多 斯 期 中 ) 函 数
若
对
恒成立，则 的取值范围是________.
13. （1 分） (2018·吕梁模拟) 将函数
个单位得到函数
，若
，且
的图象向右平移 个单位后，再向下平移 1
，则
的最小值为________．
14. （1 分） 在矩形
中，
，
，动点 在以点 为圆心且与
，则
的最大值为________．
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相切的圆上，若
15. （1 分） (2019 高三上·上海月考) 已知函数 上单调递增，则实数 a 的取值范围为________.
是奇函数，若函数
在区间
16. （5 分） 半径为 3， 的圆心角所对弧的长度为（ ） A.3 B.
C. D.
三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)
17. （5 分） (2020 高一下·连云港期末) 已知
.
（1） 求 tanβ：
（2） 求 sin2α.
18. （10 分） 在△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 acosB＝bcosA ．
（1） 求
的值；
（2） 若 sin A＝ ，求 sin(C－ )的值．
19. （10 分） 已知
﹣π）]•
的值．
=3+2 ，求：[cos2（π﹣θ）+sin（π+θ）•cos（π﹣θ）+2sin2（θ
20. （ 10 分 ） (2017 高 三 下 · 武 邑 期 中 ) 已 知 向 量
，
．
（1） 求函数 f（x）的单调递增区间；
，函数
（2） 已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，其中 A 为锐角，
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，c=1，且 f（A）=1，求△ABC
的面积 S．
21. （15 分） 设 （1） 求 的值；
（2） 证明：
在区间
为奇函数， 为常数. 内单调递增；
（3） 若对于区间
上的每一个 值，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
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一、 单选题 (共 3 题；共 6 分)
1-1、 2-1、 3-1、
二、 填空题 (共 13 题；共 17 分)
4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
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16-1、
三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)
17-1、 17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
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20-1、
20-2、 21-1、
21-2、
21-3
、
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第8页共8页
。