差分约束
浅谈差分约束系统
例题1. 例题1.
FJ 有 N 头奶牛，它们排成一行，连续编号为 1..N。每个牛有一个正整数身 1..N。每个牛有一个正整数身 高 Hi 。你现在知道最高的牛是第 K 头牛的身高 是 H。FJ 还给你 R 个信息， 比如：“ 比如：“17 号牛可看见 34 号牛”。这表示 17 号牛” 号与 34 号之间的牛的身高一定小 于第 17 号牛，并且 34 号牛一定不比 17 号牛矮。 现在要你猜一下，其它每 头牛的最大可能高度。
qsort(1,tot); j:=1; for i:=1 to n do begin num[i]:=j; while (a[j]=i) do inc(j); end; num[n+1]:=tot+1; for i:=1 to n do if indu[i]=0 then begin f[i]:=hh;inc(h);dui[h]:=i;end; f[k]:=hh; t:=h;h:=1; repeat for i:=num[dui[h]] to num[dui[h]+1]-1 do num[dui[h]+1]begin dec(indu[b[i]]); if indu[b[i]]=0 then begin indu[b[i]]:=indu[b[i]]:=-1; f[b[i]]:=f[dui[h]]f[b[i]]:=f[dui[h]]-1; inc(t); dui[t]:=b[i]; end; end; inc(h); until t=n; for i:=1 to n do writeln(f[i]); close(input); close(output); end.
例题2 例题2
一、整数区间 【问题描述：】 问题描述：】 给你n个边界是整数的闭区间[ai，bi]，每个区间表示的范围是ai到bi范围内的连续的整数。 给你n个边界是整数的闭区间[ai，bi]，每个区间表示的范围是ai到bi范围内的连续的整数。 请你找到一个整数集合Z 请你找到一个整数集合Z，使得： 1、|Z|最小。即集合z内的整数个数最小。 |Z|最小。即集合z 2、z∩[ai，bi]>=2。 即z和每个集合至少有两个相交的不同整数。 [ai，bi]>=2。 【输入：】 输入：】 第一行：n 1<=n<=10000），表示整数区间的个数。 第一行：n（1<=n<=10000），表示整数区间的个数。 以下n行，每行两个数a 以下n行，每行两个数a和b，中间一个空格隔开，表示一个区间，0 <= a < b <= 10000。 ，中间一个空格隔开，表示一个区间，0 10000。 【输出：】 输出：】 一个正整数，z 一个正整数，z的个数。 【样例输入：】 样例输入：】 4 3 6 2 4 0 2 4 7 【样例输出：】 样例输出：】 4 说明：z={1 说明：z={1 ,2 ,4 ,5}或{1，2，4，6} ,5}或{1，
差分约束——精选推荐
while(hh != tt) {
int u = q[hh ++]; if(hh == N) hh = 0;
st[u] = false;
for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i]; if(dist[v] < dist[u] + w[i]) {
dist[v] = dist[u] + w[i]; if(!st[v]) {
Sb >= Sa-1 + c Si >= Si-1 + 0 Si-1 >= Si - 1 因为使用前缀和，所以需要将区间下标映射到[1 , 50001],将0空出来；同时由Si >= Si-1 + 0知，0可以作为源点，使得可以遍历所有的边 代码
#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int N = 50010 , M = N * 3; int e[M] , ne[M] , w[M] , h[N] , idx; int dist[N] , q[N]; bool st[N]; int n;
因此，可以将求不等式组的可行解转换成在对应图中求单源最短路
Part1.求不等式组的可行解
源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有的边（否则所求结果并未满足全部的约束条件）
步骤
先将每一个不等式xi ≤ xj + ck，转化成一条从xj走到xi,长度为ck的一条边
找一个超级源点，使得该源点一定可以遍历所有边
x = 5 B >= A
以及隐含条件“每个小朋友都能够分到糖果”:
cadence6.6差分约束规则
差分对的约束设置第一步，差分对的设置差分对的设置有很多方法，下面介绍两种最常用的方法。
1．点击菜单Logic→Assign Differential Pair... 弹出以下对话框。
点击你想要创建差分对的Net1和Net2,填入差分的名字，点击Add后就成功创建了差分对。
点击Auto Generate按钮后，弹出以下对话框：在第一个输入框填入Net的主要名字后，在下面的框中填入差分线的标志如N，P。
点击Generate即可自动产生差分对。
2.在约束管理器中设置差分对。
在DSN上点击右键，在菜单中选择Create→Differential Pair。
即可弹出下面的对话框。
和上一种方法的设置差不多，这里就不再叙述了。
第二步差分对约束规则的设置差分对各项约束可以在约束管理器中的Electric→Net→routing→Differential Pair中直接在各差分对上填入各项约束数值就可生效，但更好的方法是创建约束规则后赋给各个差分对。
在DSN上点击右键，在菜单中选择Create→Electrical CSet后，弹出下面的对话框;输入规则名后点Ok，在Electric→constraimt set→outing→Differential Pair中可以看到新规则。
在表格中输入各项数值即可完成新规则的设置。
如图所示差分对约束参数主要有以下几个：1coupling paramaters 主要包括了Primary Gap 差分对最优先线间距（边到边间距）。
Primary Width 差分对最优先线宽。
Neck Gap 差分对Neck模式下的线间距（边到边间距），用于差分对走线在布线密集区域时切换到Neck值。
Neck Width差分对Neck模式下的线宽，用于差分对走线在布线密集区域时切换到Neck值。
如图所示设置数值时在表格中右键菜单中选择change，会出现以下各层数值表格，可以在每一层上设置不同的数值。
算法总结---差分约束系统
Contents一、定义二、详解三、例题一、定义（百度百科）：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。
亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。
求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。
观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。
因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。
我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。
对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[ i]}即为一组可行解。
例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：x1-x2≤0x1-x5≤-1x2-x5≤1x3-x1≤5x4-x1≤4x4-x3≤-1x5-x3≤-3x5-x4≤-3该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x 中相应的元素大5。
引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。
则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。
bellman-ford算法伪代码：for each v V do d[v] <-- 无限大; d[s] <-- 0Relaxationfor i =1,...,|V|-1 dofor each edge (u,v) 属于E dod[v] <-- min{d[v], d[u]+w(u,v)}Negative cycle checkingfor each v 属于V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution在实际的应用中，一般使用SPFA(Shortest Path Fast Algorithm)算法来实现。
差分约束系统详解
差分约束系统在一个差分约束系统(system of difference constraints)中，线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，A的其他所有元素都为0。
因此，由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知量，对应的线性规划矩阵A为m行n列。
每个约束条件为如下形式的简单线性不等式：xj-xi≤bk。
其中1≤i,j≤n，1≤k≤m。
例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：x1-x2≤0x1-x5≤-1x2-x5≤1x3-x1≤5x4-x1≤4x4-x3≤-1x5-x3≤-3x5-x4≤-3该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。
引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。
则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。
约束图在一个差分约束系统Ax≤b中，m X n的线性规划矩阵A可被看做是n顶点，m条边的图的关联矩阵。
对于i=1,2,…,n，图中的每一个顶点vi对应着n个未知量的一个xi。
图中的每个有向边对应着关于两个未知量的m个不等式中的一个。
给定一个差分约束系统Ax≤b，相应的约束图是一个带权有向图G=(V,E)，其中V={v0,v1,…,vn}，而且E={ (vi,vj) : xj-xi≤bk是一个约束}∪{ (v0,v1) , (v0,v2) , … , (v0,vn) }。
引入附加顶点v0是为了保证其他每个顶点均从v0可达。
因此，顶点集合V由对应于每个未知量xi的顶点vi和附加的顶点v0组成。
边的集合E由对应于每个差分约束条件的边与对应于每个未知量xi的边(v0,vi)构成。
如果xj-xi≤bk是一个差分约束，则边(vi,vj)的权w(vi,vj)=bk（注意i和j不能颠倒），从v0出发的每条边的权值均为0。
allegro差分线分组约束规则设置
allegro差分线分组约束规则设置摘要：1.Allegro差分线分组约束规则简介2.设置差分线分组约束规则的步骤3.约束规则的应用场景及优势4.总结与建议正文：1.Allegro差分线分组约束规则简介Allegro软件是一款专业的印刷电路板（PCB）设计软件，其差分线分组约束规则是其中一项重要的功能。
通过这项功能，用户可以实现自动化布局，确保PCB上各个元件的正确位置和连接关系，从而提高整体设计的稳定性和可靠性。
2.设置差分线分组约束规则的步骤在Allegro软件中设置差分线分组约束规则，主要可以分为以下几个步骤：步骤一：创建差分线。
首先，在Allegro中创建差分线，它们用于定义分组约束规则。
步骤二：定义约束规则。
在创建差分线后，设置相应的约束规则，如最小间距、最大间距等。
步骤三：应用约束规则。
将设置好的约束规则应用于需要布局的元件，以确保它们在PCB上的位置和连接关系满足设计要求。
步骤四：检查与修复。
在布局过程中，不断检查PCB设计是否符合约束规则，如有问题，及时进行修复。
3.约束规则的应用场景及优势差分线分组约束规则在以下场景中具有显著优势：- 提高设计效率：通过自动化布局，设计者可以更快地完成PCB设计，减少重复性工作。
- 保证连接可靠性：约束规则确保了元件之间的正确连接，降低了故障风险。
- 优化电路性能：合理的布局可以降低信号干扰，提高电路性能。
- 易于维护：约束规则使得设计更加规范，便于后期维护和升级。
4.总结与建议差分线分组约束规则在Allegro软件中发挥着重要作用，能够帮助设计者实现自动化布局，提高PCB设计的质量。
在使用过程中，建议设计者熟练掌握约束规则的设置方法，并根据实际需求进行调整。
差分约束系统
(i 1 ,2,...,n )
那么如何找到满足要求的这样一组 S，且使其个数最少呢？ 我们需要寻找一个满足以下要求的 S 数组：
Sb i Sa i 1 c i (i 1 ,2,...,n ) Si Si 1 0(i 1 ,2,...,n ) Si -1 Si 1(i 1 ,2,...,n )
t
j a i
bi
j
c i (i 1,2,..., n)
建立不等式模型： 这样的描述使一个约束条件所牵涉的变量太多， 不妨设 约束条件即可用以下不等式表示
Si
t
j1
i
j
(i=1,2,„,n)
Sb i Sa i 1 c i (i 1,2,..., n )
值得注意的是，这样定义的 S 若仅仅满足约束条件的要求是不能完整体现它的意义的，S 中 的各个组成之间并不是相对独立的，他们存在着联系。 由于 T 数组要么为 1 要么为 0，则 Si 一定比 Si-1 大，且至多大 1 于是有
而 Bellman-Ford 每次的更新操作为
联想
If d[u] w[u,v] d[v] then d[v] d[u] w[u,v]
d[v] d[u] w[u,v]
d[u] - d[v] w [u,v]
INPUT 3 S4-S0>=2 142 S6-S2>=3 363 S3-S1>=1 231 于是做出如下的转化： 1.我们将 S0，S1。 。 。Sn 看作 n+1 个点 V0，V1， 。 。 ，Vn 2.对诸如 A-B>=C 的形式，我们从 A 向 B 连一条有向边，权值为 -C。 1)Sbi-Sai-1>=Ci
allegro差分线分组约束规则设置
allegro差分线分组约束规则设置摘要：I.简介- 什么是Allegro- 差分线分组约束规则的作用II.差分线分组约束规则设置- 设置规则概述- 具体设置步骤- 步骤1：定义分组- 步骤2：设置差分线属性- 步骤3：应用规则III.应用实例- 实例1：设置差分线分组约束规则- 步骤1：创建工程- 步骤2：添加元件- 步骤3：设置差分线分组约束规则- 实例2：使用差分线分组约束规则进行设计优化- 步骤1：发现问题- 步骤2：应用规则优化设计- 步骤3：验证优化结果IV.总结- 差分线分组约束规则的重要性- 在实际应用中的优势正文：I.简介Allegro 是一款广泛应用于PCB 设计领域的EDA 工具，可以帮助设计师快速、高效地完成电路板设计。
在Allegro 中，差分线分组约束规则设置是一项关键功能，它能够帮助设计师更好地管理差分线，提高设计效率和质量。
差分线分组约束规则主要用于对差分线进行分类和约束，以便在设计过程中更加方便地管理和调整。
通过设置差分线分组约束规则，可以确保差分线在设计中的正确性和一致性，避免因差分线问题导致的设计错误。
II.差分线分组约束规则设置在Allegro 中设置差分线分组约束规则主要包括以下几个步骤：1.定义分组：首先，设计师需要根据设计需求，定义差分线的分组。
分组可以根据差分线的功能、性能等特点进行划分，以便于后续的管理和调整。
2.设置差分线属性：在定义分组的基础上，设计师需要为每个分组设置差分线的属性。
这些属性包括差分线的宽度、间距、过孔等参数，可以根据设计规范和实际需求进行调整。
3.应用规则：设置好差分线属性后，设计师需要将规则应用到实际的设计中。
在Allegro 中，可以通过菜单命令或脚本语言等多种方式应用差分线分组约束规则，确保差分线在设计中的正确性和一致性。
III.应用实例以下是两个关于差分线分组约束规则设置的应用实例：实例1：设置差分线分组约束规则1.创建工程：首先，设计师创建一个新的Allegro 工程，并导入所需的元器件和设计文件。
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（本文假设读者已经有以下知识：最短路径的基本性质、Bellman-Ford算法。
）比如有这样一组不等式：X1 - X2 <= 0X1 - X5 <= -1X2 - X5 <= 1X3 - X1 <= 5X4 - X1 <= 4X4 - X3 <= -1X5 - X3 <= -3X5 - X4 <= -3不等式组(1)全都是两个未知数的差小于等于某个常数（大于等于也可以，因为左右乘以-1就可以化成小于等于）。
这样的不等式组就称作差分约束系统。
这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。
因为如果有一组解{X1, X2, ..., Xn}的话，那么对于任何一个常数k，{X1 + k, X2 + k, ..., Xn + k}肯定也是一组解，因为任何两个数同时加一个数之后，它们的差是不变的，那么这个差分约束系统中的所有不等式都不会被破坏。
差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。
即对于任何一条边u -> v，都有：d(v) <= d(u) + w(u, v)其中d(u)和d(v)是从源点分别到点u和点v的最短路径的权值，w(u, v)是边u -> v的权值。
显然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。
这个形式正好和差分约束系统中的不等式形式相同。
于是我们就可以把一个差分约束系统转化成一张图，每个未知数Xi对应图中的一个顶点Vi，把所有不等式都化成图中的一条边。
对于不等式Xi - Xj <= c，把它化成三角形不等式：Xi <= Xj + c，就可以化成边Vj -> Vi，权值为c。
最后，我们在这张图上求一次单源最短路径，这些三角形不等式就会全部都满足了，因为它是最短路径问题的基本性质嘛。
话说回来，所谓单源最短路径，当然要有一个源点，然后再求这个源点到其他所有点的最短路径。
那么源点在哪呢？我们不妨自已造一个。
以上面的不等式组为例，我们就再新加一个未知数X0。
然后对原来的每个未知数都对X0随便加一个不等式（这个不等式当然也要和其它不等式形式相同，即两个未知数的差小于等于某个常数）。
我们索性就全都写成Xn - X0 <= 0，于是这个差分约束系统中就多出了下列不等式：X1 - X0 <= 0X2 - X0 <= 0X3 - X0 <= 0X4 - X0 <= 0X5 - X0 <= 0不等式组(2)对于这5个不等式，也在图中建出相应的边。
最后形成的图如下：图1图中的每一条边都代表差分约束系统中的一个不等式。
现在以V0为源点，求单源最短路径。
最终得到的V0到Vn的最短路径长度就是Xn的一个解啦。
从图1中可以看到，这组解是{-5, -3, 0, -1, -4}。
当然把每个数都加上10也是一组解：{5, 7, 10, 9, 6}。
但是这组解只满足不等式组(1)，也就是原先的差分约束系统；而不满足不等式组(2)，也就是我们后来加上去的那些不等式。
当然这是无关紧要的，因为X0本来就是个局外人，是我们后来加上去的，满不满足与X0有关的不等式我们并不在乎。
也有可能出现无解的情况，也就是从源点到某一个顶点不存在最短路径。
也说是图中存在负权的圈。
这一点我就不展开了，请自已参看最短路径问题的一些基本定理。
其实，对于图1来说，它代表的一组解其实是{0, -5, -3, 0, -1, -4}，也就是说X0的值也在这组解当中。
但是X0的值是无可争议的，既然是以它作为源点求的最短路径，那么源点到它的最短路径长度当然是0了。
因此，实际上我们解的这个差分约束系统无形中又存在一个条件：X0 = 0也就是说在不等式组(1)、(2)组成的差分约束系统的前提下，再把其中的一个未知数的值定死。
这样的情况在实际问题中是很常见的。
比如一个问题表面上给出了一些不等式，但还隐藏着一些不等式，比如所有未知数都大于等于0或者都不能超过某个上限之类的。
比如上面的不等式组(2)就规定了所有未知数都小于等于0。
对于这种有一个未知数定死的差分约束系统，还有一个有趣的性质，那就是通过最短路径算法求出来的一组解当中，所有未知数都达到最大值。
下面我来粗略地证明一下，这个证明过程要结合Bellman-Ford算法的过程来说明。
假设X0是定死的；X1到Xn在满足所有约束的情况下可以取到的最大值分别为M1、M2、……、Mn（当然我们不知道它们的值是多少）；解出的源点到每个点的最短路径长度为D1、D2、……、Dn。
基本的Bellman-Ford算法是一开始初始化D1到Dn都是无穷大。
然后检查所有的边对应的三角形不等式，一但发现有不满足三角形不等式的情况，则更新对应的D值。
最后求出来的D1到Dn就是源点到每个点的最短路径长度。
如果我们一开始初始化D1、D2、……、Dn的值分别为M1、M2、……、Mn，则由于它们全都满足三角形不等式（我们刚才已经假设M1到Mn是一组合法的解），则Bellman-Ford算法不会再更新任合D值，则最后得出的解就是M1、M2、……、Mn。
好了，现在知道了，初始值无穷大时，算出来的是D1、D2、……、Dn；初始值比较小的时候算出来的则是M1、M2、……、Mn。
大家用的是同样的算法，同样的计算过程，总不可能初始值大的算出来的结果反而小吧。
所以D1、D2、……、Dn就是M1、M2、……、Mn。
那么如果在一个未知数定死的情况下，要求其它所有未知数的最小值怎么办？只要反过来求最长路径就可以了。
最长路径中的三角不等式与最短路径中相反：d(v) >= d(u) + w(u, v)也就是 d(v) - d(u) >= w(u, v)所以建图的时候要先把所有不等式化成大于等于号的。
其它各种过程，包括证明为什么解出的是最小值的证法，都完全类似。
用到差分约束系统的题目有ZJU 2770，祝好运。
标签: acm zju最短路径差分约束bellman-ford difference constraint相关文章:LCA-RMQ和TreeDP：PKU 3417今天做了若干题，不过Pku 3417是我记忆最深的一道题。
自恋地给一个通过数据：16 3556389 EZ_dla 21060K 516MS Pascal 3397B 2008-06-29 00:53:44首先概括题意，给你一棵树和若干“额外边”，求砍掉一个原树中的边和一个额外边能使这棵树分成至少两块儿的方法。
对于这题，首先对于每一个额外边（x,y），将其在树中的路径（x->y）的每一条的权值都加1。
当处理完毕后，我们观察该树，发现：1、如果有权值为0的边，证明该边是原图的桥；换言之就是一砍跟不加额外边砍树一样绝对会断的（因为没有额外边连接它），这个时候我随便找一个这样的边，再随便挑一个额外边砍就行。
方法数为（权值为0边数量)*(额外边数量）2、如果有权值为1的边，证明该边有且仅有一个额外边“保护”了它，砍掉它再砍掉那个“保护”它的额外边就行了。
方法数为（权值为1边数量）于是我们得出，总数量为（权值为0边数量）*（额外边数量）+（权值为1边数量）。
但是，我们怎么高效地执行“把每一条的权值都加1”这个操作呢？这个时候我们只能搬出大名鼎鼎的——TreeDP！设F[x]为x到root被加了多少的权值，则当连接一条额外边时，有inc(F[x]); inc(F[y]); dec(F[LCA(x,y),2);（因为在公共祖先上的边是没有被加两次的）。
DP方程为：Dp[now]=sum(Dp[now.son])+F[now]。
设一条边为（s->e），则Dp[e]为该边权值。
至此，该问题转化为如何高效地求LCA。
总所周知，LCA的离线可以用Tarjan解决；但是我觉得在线美（这句话被触手牛PIA了），于是我决定尝试使用LCA转化为RMQ。
转化方法可以参见2007年郭华阳神牛的国家集训队论文和黑书P56页。
值得一提的是，如果不需要O(n)-O(1)的复杂度的话，可以直接对遍历得到的序列进行RMQ。
如果需要O(n)-O(1)的复杂度，则需要额外记录一个深度数组，对深度数组做—+-1RMQ，得到的为序列中的下标。
我不会写+-1RMQ...囧另外就是，遍历层数巨大，需要使用模拟栈。
这道题让我学会了LCA-RMQ……收获很巨大，感觉很好很强大……推荐做做这题。
本文是Dai原创文，欢迎转载，但请保留原文（这句话在自恋么）感谢论文、黑书、触手牛（OTL您是救星啊……）、父母、电脑……（我SB了=.=）以上为口胡，没事请无视。
（有事？那也无视嘛）PointsTime Limit: 1000MS Memory Limit: 65536KTotal Submissions: 687 Accepted: 215DescriptionLet p1, p2, . . . , pn be n points on the plane. We have m rules of form pi rel pj , each inform us that the relation rel holds among the locations of points pi and pj on the plane. For example, “pi NE pj” indicates that point pj is located NorthEast of point pi. There are eight different relations {N, E, S, W, NE, NW, SE, SW}, corresponding to the eight directions on the plane. Let (xi, yi) and (xj , yj) be the coordinates of pi, and pj respectively. Then pi rel pj exactly means one of the following, depending on the value of rel:1.N stands for North. This means that xj = xi and yj > yi,2. E stands for East. This means that xj > xi and yj = yi,3.S stands for South. This means that xj = xi and yj < yi,4.W stands for West. This means that xj < xi and yj = yi,5.NE stands for NorthEast. This means that xj > xi and yj > yi,6.NW stands for NorthWest. This means that xj < xi and yj > yi,7.SE stands for SouthEast. This means that xj > xi and yj < yi, and8.SW stands for SouthWest. This means that xj < xi and yj < yi.The problem is to determine whether it possible to locate p1, p2, . . . , pn on the plane so that allgiven rules are satisfied.InputThe first line of the input contains a single integer t (1 ≤ t≤ 20) which is the number of test cases in the input. The first line of each test case contains two integers n (2 ≤ n ≤ 500) which is the number of points and m (1 ≤ m ≤ 10000) which is the number of rules. In each of the following m lines, there is one rule of the form i rel j which means that pi has relation rel with pj.OutputThe output contains one line per each test case containing one of the words POSSIBLE or IMPOSSIBLE indicating if the set of points in the test case can be located on the plane according to the given rules.Sample Input23 21 N 22 N 16 61 E 21 E 32 N 43 NW 54 SW 66 NE 5Sample OutputIMPOSSIBLE POSSIBLENetworkTime Limit: 2000MS Memory Limit: 65536KTotal Submissions: 1607 Accepted: 471 DescriptionYixght is a manager of the company called SzqNetwork(SN). Now she's very worried because she has just received a bad news which denotes that DxtNetwork(DN), the SN's business rival, intents to attack the network of SN. More unfortunately, the original network of SN is so weak that we can just treat it as a tree. Formally, there are N nodes in SN's network, N-1 bidirectional channels to connect the nodes, and there always exists a route from any node to another. In order to protect the network from the attack, Yixght builds M new bidirectional channels between some of the nodes.As the DN's best hacker, you can exactly destory two channels, one in the original network and the other among the M new channels. Now your higher-up wants to know how many ways you can divide the network of SN into at least two parts.InputThe first line of the input file contains two integers: N(1 ≤ N≤ 100 000), M(1 ≤ M≤ 100 000) — the number of the nodes and the number of the new channels. Following N-1 lines represent the channels in the original network of SN, each pair (a,b) denote that there is a channel between node a and node b.Following M lines represent the new channels in the network, each pair (a,b) denote that a new channel between node a and node b is added to the network of SN. OutputOutput a single integer — the number of ways to divide the network into at least two parts.Sample Input4 11 22 31 43 4Sample Output 3差分约束题意：给出n头牛输入中有ml行表示牛B至多离牛A D的距离md行表示牛B至少离牛A D的距离最后求牛n最多离牛1多少的距离这个题目是将x[1]定死为0 求x[n]-x[1] 建图后求最短路径即可；最短路径求出的解，所有未知数达到最大值。