河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)-word版含答案

高中数学竞赛试卷(高三年级组)(时间：8月30日上午8：30-11：30)一、填空题1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f )0(>a ，则=+)1(l n )(l n af a f ____________. 2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.3、若⎪⎭⎫⎝⎛<≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________. 4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________. 5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-x f mx f 恒成立，则正．实数．．x 的取值范围为____________.6、已知向量c ,b ,a 满足)(3::2||:||:||*N k k c b a ∈=，且)(2b c a b -=-，若α为c ,a 的夹角，则αcos 的值为____________.7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 二、解答题9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥.(Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值；(Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 22211+==+.(1)求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式; (2)若211++=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1<n S . 11.(本小题满分14分)设a ax e x f x--=)(.（e 是自然对数的底数） (Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)求证：211008)20162015(-<e .12.(本小题满分14分)已知：如图，两圆交于A 、B 两点，CD 为他们的一条外公切线，切点分别为C 、D .过A 任意做一条直线分别交两圆于E 、F ，EC 交FD 于P . 求证：PB 平分∠EBF .13.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+33，求使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.14.(本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)21,1(P ，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)求△ABC 的面积的最小值.P FE D CAB2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)答案1.【解析】22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f .2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围.，故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1. 3.【解析】()6tan 33tan 3tan 12tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πβββββαβαβ=≤+=+=+-=-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β，.6π=-∴βα4.【解析】由题意可知，4π=∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA 之和为2π. 如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1和DC B 2，且与侧面ADC 位于同一个平面上.则△BEF 周长的最小值即面C DB AB 21上两点21,B B 之间的线段长.由前面的分析可知，43422121πππC D B AD C DA B DB B =+=∠+∠+∠=∠，由余弦定理可得，.DB B D B D B D B D B B B 2222211cos 22121222121+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+=∠⋅⋅-+= 所以，△BEF 周长的最小值为22+. 5.【解析】x x x f 3)(3+=为奇函数且为增函数0)2()8(<+-x f mx f等价于)2()2()8(xx f f mx f -=-<- 即xmx 28-<-F EDC2B 1B BA即082<-+xmx 对任意的[]2,2-∈m 成立即⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-+08220822xxx x ，所以⎩⎨⎧<<<<4020x x ，即0<x <2 6.【解析】由)(2b c a b -=-得c a b 3231+=所以c a c a b ⋅++=949491222，又3::2||:||:||k c b a =，所以]964,916[cos 9249402∈+=αk ，又*N k ∈，所以k =2，所以αcos 的值为61-.7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为36，故容器棱长的最小值为62436324+=⨯⨯+. 8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为21；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为31；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为41；以此类推，可知将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为61； 法2：直接从10个小球入手分类讨论.9.【解析】(Ⅰ)由题意q p ⊥，所以，()()()0sin sin sin =-++-B a b C A c a . 由正弦定理，可得()()()0=-++-b a b c a c a . 整理得ab b c a =+-222.由余弦定理可得，212cos 222=-+=ab c b a C ，又()π，C 0∈，所以，3πC = ……6分 (Ⅱ)由()C C B A sin 2sin 2sin 2=++可得，()()A B A πB A A +=-++sin sin cos sin 4. 整理得，()()A B A B A B A A cos sin 2sin sin cos sin 4=-++=.当0cos =A 时，2πA =，此时，3323cot 2==πb . 所以△ABC 的面积为33221△==bc S ABC . ……10分当0cos ≠A 时，上式即为A B sin 2sin =，有正弦定理可得b =2a ，又422=-+ab b a ，解之得，332=a ，334=b ，所以△ABC 的面积为332sin 21==C ab S △ABC . 综上所述，△ABC 的面积为332sin 21△==C ab S ABC . ……14分10.【解析】(1)由已知得n n n a a a 221+=+，()2111+=++n n a a ，因为21=a ，所以11>+n a ，两边取对数得()()n n a a +=++1lg 21lg 1， 即()()21lg 1lg 1=+++n n a a ，故(){}1lg +n a 为以lg3为首项，2为公比的等比数列， 即()3lg 21lg 1-=+n n a ，即1312-=-n n a .……5分(2)法1：由n nn a a a 221+=+两边取倒数得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+2112111n n n a a a ， 所以12121+-=+n n n a a a ，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+1112n n n a a b ， ……10分故⎪⎭⎫⎝⎛--=1312122n n S ，故1<n S . ……14分法2：)131131(2133213113122222211---=-⨯=++-=--nn nn nnn b ，则11312122<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n S . 11.【解析】(Ⅰ)()()1110)(->+≤⇒≤+⇒≥x x e a e a x x f x， 令1)(+=x e x h x ，则2)1()(+='x xe x h x，由0)1()(2>+='x xe x h x得x >0. 所以h (x )在()∝+，0上单调递增，h (x )在(-1,0)单调递减. 所以()11)0()(->=≥x h x h ，由此得：1≤a .又x =-1时，()x e a x ≤+1即为10-≤⨯e a ，此时a 取任意值都成立.综上得：1≤a .……8分(Ⅱ)201612016121100820161120162015)20162015(---<-⇔<⇔<e e e . 由(Ⅰ)知，当a =1时0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，即1+≥x e x(x =0时取等号).取20161-=x ，得20161201611-<-e . 即证得：211008)20162015(-<e . ……14分 12.【证明】如图，连接BA ,BC ,BD .由A ,B ,E ,C 共圆有∠1=∠CBA ， 同理∠2=∠DBA ； ……5分 又∠1+∠2+∠EPF =180°，所以∠CBD +∠CPD =∠1+∠2+∠EPF =180°， 故P ,C ,B ,D 四点共圆.则∠CBP =∠3=∠4=∠DBF (弦切角等于圆周角). ……10分 同理∠CBE =∠5=∠DBP .所以∠EBP =∠EBC +∠PBC =∠DBP +∠FBD =∠FBP ， 此即为PB 平分∠EBF . ……14分13.【解析】由正数x ,y 满足y x y x -=+33，知0>>y x .令1>=yxt . 不等式122≤+λy x 等价于yx y x λy x -+≤+3322，……5分等价于 yx y y x x y x y x λy -+=--+≤322332， 等价于 ()232y y x y y x λ-+≤等价于 112222-+=-+≤t t y xy y x λ. ……10分因为22212)1(2212)1(211)(2+=-⋅-+≥-+-+=-+=t t t t t t t f ，等号仅当121-=-t t ，即21+=t 时成立， 所以，实数λ的最大值为222+.……15分5 3 P F ED C AB12414.【解析】(1)设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则12:11=+y y xx QA 过Q ，有120101=+y y x x ；……①12:22=+y y xx QB ，有120202=+y y x x ，……②故直线12:00=+y y x x AB 过点)21,1(P ，则有21220000=+⇒=+y x y x ……③ 故Q 的轨迹方程为 x +y =2.……5分(2)对直线AB ，当斜率不存在时，即为x =1，此时)0,2(),22,1(),22,1(Q B A - 221221△=⨯⨯=ABQ S 斜率存在时，设直线k kx y x k y AB -+=⇒-=-21)1(21:. ⎪⎩⎪⎨⎧-+==+kkx y y x 212222联立，消掉y 得0)2322()21(2)12(222=--+-++k k x k k x k . 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+12232212)12(22221221k k k x x k k k x x 又①-②，得到0200=+ky x 与③式联立，可解得)212,124(kk k Q --. ……10分。