第二讲 四 渐开线与摆线

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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ， (φ 为参数) y＝rsin φ－φcos φ (1)圆的渐开线方程：__________________________________ ．
x＝rφ－sin φ， (φ 为参数) y＝r1－cos φ (2)摆线的参数方程：_____________________________ ．
如图， 一个宽为 a 的矩形木条沿着半径为 r 的定圆无滑动地滚动， 试求木
条外缘上某点 P 的轨迹方程．
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[解析] 以定圆圆心 O 为原点，O、F、P 共线时所在直线 为 x 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 设 P 点的坐标为(x， y)，取∠AOB＝φ 为参数， ∵|BF|＝l ＝rφ，
π π ＝ ， 2 2 π ＝1， 2
x＝cos 3π 当 φ＝ 时， 2 y＝sin
3π 3π ＋ · sin 2 2 3π 3π － · cos 2 2
3π 3π ＝－ ， 2 2 3π ＝－1， 2
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3π ∴B－ 2 ，－1.
AB
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→ → → → → → ∴ OP ＝ OF ＋ FP ＝ OB ＋ BF ＋ FP ＝ (rcos φ ， rsin φ) ＋
π rφcosφ－ ， 2 π rφsinφ－ 2 ＋
(acos φ，asin φ) ＝((r＋a)cos φ＋rφsin φ，(r＋a)sin φ－rφcos φ) ＝(x，y)．
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[解析] 由题意， 知
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x＝cos φ＋φsin φ， r＝1， 则圆的渐开线参数方程为 y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数)．
x＝cos π 当 φ＝ 时， 2 y＝sin
π ∴A2，1.
π π ＋ · sin 2 2 π π － · cos 2 2
π 解析：与渐开线的参数方程进行对照可知，r＝3，即基圆半径是 3，然后把 φ＝ 代 2 3π x＝ ， 2 入，可得 y＝3.
答案：3
3π ，3 2
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探究一
圆的渐开线的参数方程
[例 1] 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，B 对 π 3π 应的参数分别是 和 ，求 A，B 两点间的距离． 2 2
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→ → → 因此OM＝OB＋BM ＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． → 动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM＝(x，y)
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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3.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH„叫作 “正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，„的圆心依次 按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是 多少？
1 π 解析：根据渐开线的定义可知， AE 是半径为 1 的 圆周长，长度为 ，继续旋转可 4 2 1 1 3π FG 是半径为 3 的 圆周长， GH 得 EF 是半径为 2 的 圆周长， 长度为 π； 长度为 ； 4 4 2 1 是半径为 4 的 圆周长，长度为 2π.所以，曲线 AEFGH 的长是 5π. 4
∴|AB|＝
π 3π ＋ 2＋1＋12＝2 2 2
π2＋1.
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圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 φ 是指绳子外端 运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不 宜化为普通方程．
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x＝cos φ＋φsin φ， 2．已知圆的渐开线的参数方程 y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对
应基圆的面积是( A． 1 C． 2
) B．π D．2π
解析：由参数方程知基圆的半径为 1，∴其面积为 π.故选 B.
答案：B
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解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆， 只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同， 其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐 标轴的交点要看坐标系的选取．故选 C.
答案：C
解析：由摆线的图形知，圆的半径最大时，定点(2,0)就是(2πr,0)(如图所示)
1 ∴2πr＝2，∴r＝ . π 1 x＝πφ－sin φ， 代入，得圆的摆线的参数方程 y＝ 11－cos φ π
(φ 为参数)．
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探究三 [例 3]
渐开线与摆线参数方程的应用
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对圆的渐开线与摆线的概念理解不清致误 [典例] 已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．
[解析] 令r(1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1.
所以φ＝2kπ(k∈Z)，代入得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1， 1 所以r＝ .又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0. 2kπ 所以应有k＞0且k∈Z，即k∈N*.
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x＝4cos φ＋φsin φ， 1．已知渐开线 y＝4sin φ－φcos φ
x＝41－sin θ， π 上的点 A 对应 φ＝ ， 与 2 y ＝ 4 1 － cos θ
直线 x＝2 相交于点 B，求 A，B 两点间的距离．
x＝4cos φ＋φsin φ， x＝2π， π 解析：将 φ＝ 代入 得 ∴A(2π，4)． 2 y＝4sin φ－φcos φ， y＝4， x＝41－sin θ， 在 y＝41－cos θ
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1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定 点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指定 圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
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2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．
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探究二 圆的摆线的参数方程 [例 2] 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 α，(以弧度为单位)为参数)
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[解析]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的
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[随堂训练]
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同 的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状 就不同 )
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[双基自测]
返回参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线 的参数方程可以转化为普通方程， 但是转化后的普通方程比较麻烦， 且不容易看出 坐标之间的关系， 所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题； ③在求圆的摆线和渐 开线方程时， 如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同， 可能会得到不同的参数方 程；④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( A．①③ C．②③ ) B．②④ D．①③④
位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的长相等，它们的长 都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → 向量OB＝(2α，2)， → 向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)，
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所以所求摆线的参数方程是 1 x＝2kπφ－sin φ， y＝ 1 1－cos φ 2kπ
(φ为参数，k∈N*)．
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[错因与防范]
(1)若在求出cos φ＝1后，直接得出φ＝0，会导致答案不全面．
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x＝3cos φ＋3φsin φ， 3．给出某渐开线的参数方程 y＝3sin φ－3φcos φ
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(φ 为参数)，根据参数方程可
π 以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数 φ 取 时，对应的曲线上的点的坐 2 标是________．
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解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线 的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么 地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的 形式及图形在坐标系中的位置可能不同．