2018年中考数学特训方案(42份) 人教版39(免费推荐下载)
2018年中考数学特训方案(42份) 人教版6(免费推荐下载)
第讲二次函数．将抛物线＝平移得到抛物线＝(－)＋，下列平移正确的是()．先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度．先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度．(黔东南中考)如图，抛物线＝＋＋(≠)的对称轴为直线＝－，给出下列结论：①＝；②＞；③＞；④－＋＞，其中正确的个数有()．个．个．个．个．(徐州中考)若函数＝－＋的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是()．＜且≠．＞．＜＜．＜．(陕西中考)已知抛物线＝－－(＞)的顶点关于坐标原点的对称点为′，若点′在这条抛物线上，则点的坐标为()．(，－) ．(，－) ．(，－) ．(，－)．(威海中考)已知二次函数＝＋＋(≠)的图象如图所示，则正比例函数＝(＋)与反比例函数＝在同一坐标系中的大致图象是()．(乐山中考)已知二次函数＝－(为常数)，当－≤≤时，函数值的最小值为－，则的值是()或．－或．(临沂中考)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度(单位：)与足球被踢出后经过的时间(单位：)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线＝；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是.其中正确结论的个数是()．．．．．(河南中考)如图①，点从△的顶点出发，沿→→匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则△的面积是..若抛物线＝－＋与轴没有交点，则的取值范围是＞．．(上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(，－)，那么这个二次函数的解析式可以是＝－．(只需写一个).(陕西中考模拟)如图，抛物线＝＋＋过(，)，(，)两点．()求抛物线的函数解析式；()求抛物线与轴的交点的坐标及其对称轴．解：()∵抛物线＝＋＋过(，)，(，)两点，∴解得∴抛物线的函数解析式为＝－＋；()在＝－＋中，令＝可得＝，∴点坐标为(，)，又＝－＋＝(－)－，∴抛物线对称轴为直线＝.．(呼和浩特中考节选)在平面直角坐标系中，抛物线＝＋＋与轴交于点，其顶点记为，自变量＝－和＝对应的函数值相等．若点在直线：＝－＋上，点(，－)在抛物线上．求该抛物线的解析式．解：∵自变量＝－和＝对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为＝.∵点在直线：＝－＋上，∴＝－.设抛物线的解析式为＝(－)－.将(，－)代入得：－＝－，解得：＝.∴抛物线的解析式为＝(－)－，整理得：＝－＋.．(连云港中考节选)如图，已知二次函数＝＋＋(≠)的图象经过点(，)，(，)，且与轴交于点，连接，，.()求此二次函数的关系式；()判断△的形状；若△的外接圆记为⊙，请直接写出圆心的坐标．解：()把点(，)，(，)代入＝＋＋中，得解得∴所求函数关系式为：＝－＋；()△是直角三角形，过点作⊥轴于点，在＝－＋中，令＝可得＝，∴点的坐标为(，)，∴＝，∴∠＝°.又∵点的坐标为(，)，∴＝，∴∠＝°，∴∠＝°－°－°＝°，∴△是直角三角形，圆心的坐标为(，)．．(德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，水柱落地处离池中心.()请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；()求出水柱的最大高度．解：()如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数解析式为＝(－)＋(≤≤)．抛物线过点(，)和(，)，代入抛物线解析式得：解得∴抛物线的解析式为＝－(－)＋(≤≤)，化为一般形式为：＝－＋＋(≤≤)；()由()知抛物线的解析式为＝－(－)＋(≤≤)；当＝时，＝，∴抛物线水柱的最大高度为.。
[初中数学]2018年中考数学特训方案(42份) 人教版39
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题型7一次函数与反比例函数的图象与性质1．(2017佳木斯中考)如图，是反比例函数y1＝kx和一次函数y2＝mx＋n的图象，若y1＜y2，则相应的x的取值范围是(A)A．1＜x＜6 B．x＜1 C．x＜6 D．x＞12．(2017连云港中考)设函数y＝3x与y＝－2x－6的图象的交点坐标为(a，b)，则1a＋2b的值是__－2__．3．(2017天水中考)如图所示，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝mx的图象交于A(2，4)，B(－4，n)两点．(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．解：(1)将点A(2，4)代入y ＝mx ，得：m ＝8，∴反比例函数解析式为y ＝8x ，当x ＝－4时，y ＝－2，即n ＝－2；∴点B(－4，－2)，将点A(2，4)，B(－4，－2)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝－2，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝2，∴一次函数解析式为y ＝x ＋2； (2)由题意知BC ＝2， ∴S △ACB ＝12×2×6＝6.4．(2017辽宁中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y ＝kx 经过▱ABCD 的顶点B ，D.点D 的坐标为(2，1)，点A 在y 轴上，且AD ∥x 轴，S ▱ABCD ＝5.(1)填空：点A 的坐标为________； (2)求双曲线和AB 所在直线的解析式．解：(1)(0，1)； (2)∵双曲线y ＝kx 经过点D(2，1)， ∴k ＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x .∵D(2，1)，AD ∥x 轴， ∴AD ＝2.∵S ▱ABCD ＝5， ∴AE ＝52，∴OE ＝32，∴B 点纵坐标为－32.把y ＝－32代入y ＝2x 得，－32＝2x ，解得x ＝－43，∴B ⎝⎛⎭⎫－43，－32， 设直线AB 的解析式为y ＝ax ＋b ，代入A(0，1)，B ⎝⎛⎭⎫－43，－32得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，－43a ＋b ＝－32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝158，b ＝1.∴AB 所在直线的解析式为y ＝158x ＋1. 5．(2017河南中考)如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点A(m ，3)和B(3，1)．(1)填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________； (2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．解：(1)y ＝－x ＋4；y ＝3x；(2)由(1)得3m ＝3，∴m ＝1，则A(1，3)． 设P(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD·PD ＝12a(－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2.∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值2， 当a ＝1或3时，S 有最小值32，∴32≤S ≤2.。
[初中数学]2018年中考数学特训方案(42份) 人教版40
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题型8圆的证明与计算类型①与圆的基本性质有关的计算与证明1．(2017海南中考)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC 的度数为(B)A．25°B．50°C．60°D．80°2．(2017西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC ＝30°.则CD的长为(C)A.15 B．2 5 C．215 D．83．(2017荆州中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D 是圆上异于A，B，C的另一点，则∠ADC的度数是__60°或120°__．4．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC ︵的中点，AE ⊥AC 于点A ，与⊙O 及CB 的延长线交于点F ，E ，且BF ︵＝AD ︵.(1)求证：△ADC ∽△EBA ；(2)如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值．解：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠CDA ＝∠ABE.∵BF ︵＝AD ︵， ∴∠DCA ＝∠BAE.∴△ADC ∽△EBA ； (2)∵A 是BDC ︵的中点， ∴AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ＝8， ∵△ADC ∽△EBA ，∴∠CAD ＝∠AEB ，DC AB ＝ACAE ，即58＝8AE ，∴AE ＝645， ∴tan ∠CAD ＝tan ∠AEC ＝AC AE ＝8645＝58.5．(2017温州中考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，⊙O(圆心O 在△ABC 内部)经过B ，C 两点，交AB 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点F.延长CO 交AB 于点G ，作ED ∥AC 交CG 于点D.(1)求证：四边形CDEF 是平行四边形； (2)若BC ＝3，tan ∠DEF ＝2，求BG 的值．解：(1)连接CE，∵在△ABC中，AC＝BC.∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴∠COE＝90°，又EO＝EC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°.∵EF是⊙O的切线，∠FEO＝90°，∴∠FEC＝∠OCE＝45°，∴EF∥CD.又∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；(2)过G作GM∥AC于M.∴△GMB是等腰三角形，∴MB＝GM.∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠FCD＝∠FED.∵∠ACD＋∠GCB＝∠GCB＋∠CGM＝90°，∴∠CGM＝∠ACD＝∠FED.∵tan∠DEF＝2，∴tan∠CGM＝CMGM＝2，∴CM＝2GM，∴CM＋BM＝2GM＋GM＝BC＝3，∴GM＝1，∴BG＝2GM＝2，6．(2017贵州中考)如图，C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB ＝4，连接AD ，AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F.(1)求∠AFE 的度数；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)解：(1)连接OD ，OC ，∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵， ∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠COB ＝60°， ∴∠CAB ＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AEF ＝90°，∴∠AFE ＝90°－30°＝60°；(2)由(1)知，∠AOD ＝60°，∵OA ＝OD ，AB ＝4， ∴△AOD 是等边三角形，OA ＝2. ∵DE ⊥AO ，∴DE ＝3，∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝60π·22360－12×2×3＝23π－ 3.类型②与圆的切线有关的证明1．(2017张家界中考)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．解：(1)连接OD，∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD.∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°.∵DF⊥OD，∴∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∴OG＝2OD＝2×6＝12，∴DG＝3OD＝63，∴S阴影＝S△ODG－S扇形OBD ＝12×6×63－60π×62360＝183－6π.2．(2017咸宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．解：(1)连接OD ，作OG ⊥AC 于点G. ∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B. 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴OD ∥AC. ∵DF ⊥AC ， ∴DF ⊥OD.∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线； (2)AG ＝12AE ＝2，∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝AG cos A ＝225＝5，∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形，∴DF ＝OG ＝21.3．如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ；(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．解：(1)连接OD ，BD ， ∵AB 是半圆O 的切线，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°. ∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ， ∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ， ∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∵OD 是半圆O 的半径，∴AD 是半圆O 的切线；(2)由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD. ∵∠DOC ＝180°－∠BOD ， ∴∠A ＝∠DOC.∵AD 是半圆O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°. ∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°， ∴∠BDO ＝∠CDE ， ∵∠BDO ＝∠OBD ， ∴∠DOC ＝2∠BDO ， ∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE ； (3)∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°， ∵OB ＝2，∴lBD ︵＝126×π×2180＝75π.4．(2017遵义中考)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB ＝60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC ，BC.(1)求证：四边形ACBP 是菱形；(2)若⊙O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．解：(1)连接AO ，BO.∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠ACP ＝12∠AOP ＝30°，∴∠ACP ＝∠APC ，∴AC ＝AP. 同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP ，∴四边形ACBP 是菱形； (2)连接AB 交PC 于D.∴AD ⊥PC.∵OA ＝1，∠AOP ＝60°， ∴AD ＝OA·sin 60°＝32， ∴PD ＝AD tan 30°＝32，∴PC ＝2×32＝3，AB ＝2×32＝3，∴菱形ACBP 的面积＝12AB·PC ＝3 32.5．(2017永州中考)如图，已知AB 是⊙O 的直径，过O 点作OP ⊥AB ，交弦AC 于点D ，交⊙O 于点E ，且使∠PCA ＝∠ABC.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若∠P ＝60°，PC ＝2，求PE 的长．解：(1)连接OC.∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB. 又∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠PCA ＝∠OCB.∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∴∠ACO ＋∠PCA ＝90°， 即∠OCP ＝90°，∴PC 是⊙O 的切线； (2)在Rt △PCO 中，tan P ＝OCPC ，∴OC ＝PC tan P ＝2tan 60°＝23， sin P ＝OC OP，∴OP ＝OC sin P ＝2332＝4，∴PE ＝OP －OE ＝OP －OC ＝4－2 3.6．(2017荆门中考)已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝3，BC ＝4，求BE 的长．解：(1)连接OD ，在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心， ∴DO ＝AO ＝EO ＝12AE ，∴点D 在⊙O 上，且∠DAO ＝∠ADO.又∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAO ， ∴∠ADO ＝∠CAD ，∴AC ∥DO.∵∠C ＝90°，∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC. 又∵OD 为半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)∵在Rt △ACB 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5. 设OD ＝r ，则BO ＝5－r.∵OD ∥AC ，∴△BDO ∽△BCA ， ∴DO AC ＝BO BA ，即r 3＝5－r 5，解得：r ＝158， ∴BE ＝AB －AE ＝5－154＝54.错题重做 原因：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 更正：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________类型③ 与弧长、半径、阴影面积有关的计算1．(2017东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( C )A ．60°B ．90°C ．120°D ．180°2．(2017遵义中考)已知圆锥的底面积为9π cm 2，母线长为6 cm ，则圆锥的侧面积是( A )A ．18π cm 2B ．27π cm 2C ．18 cm 2D ．27 cm 23．(2017绥化中考)一个扇形的半径为3 cm ，弧长为2π cm ，则此扇形的面积为__3π__cm 2.(用含π的式子表示)4．(2017哈尔滨中考)已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为__90°__． 5．如图，⊙O 的半径为2，点A ，C 在⊙O 上，线段BD 经过圆心O ，∠ABD ＝∠CDB ＝90°，AB ＝1，CD ＝3，则图中阴影部分的面积为__53π__．6．如图，半圆O 的直径AB ＝2，弦CD ∥AB ，∠COD ＝90°，则图中阴影部分的面积为__π4__．7．(2017黔东南中考)如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．(1)求证：PT2＝PA·PB；(2)若PT＝TB＝3，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OT.∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO＝90°，∴∠PTA＋∠OTA＝90°.∵AB是直径，∴∠ATB＝90°，∴∠TAB＋∠B＝90°.∵OT＝OA，∴∠OAT＝∠OTA，∴∠PTA＝∠B，∵∠P＝∠P，∴△PTA∽△PBT，∴PTPB＝PAPT，∴PT2＝PA·PB.(2)∵TP＝TB＝3，∴∠P＝∠B＝∠PTA.∵∠TAB＝∠P＋∠PTA，∴∠TAB＝2∠B，∵∠TAB＋∠B＝90°，∴∠TAB＝60°，∠B＝30°，∴tan B ＝AT TB ＝33，∴AT ＝1.∵OA ＝OT ，∠TAO ＝60°， ∴△AOT 是等边三角形， ∴S 阴＝S 扇形OAT －S △AOT ＝60π×12360－34·12＝π6－34.8．(2017孝感中考)如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交CA 延长线于点E ，连接AD ，BD.(1)由AB ，BD ，AD ︵围成的曲边三角形的面积是________； (2)求证：DE 是⊙O 的切线； (3)求线段DE 的长． 解：(1)252＋25π4；(2)连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，∴∠AOD ＝90°，∴OD ⊥AB.∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；(3)∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB2－AC2＝8.过点A作AF⊥DE于点F.∵OD⊥DE，OD⊥AO，∴四边形AODF为矩形，又∵OA＝OD，∴矩形AODF为正方形．∴AF＝OD＝FD＝5，∴∠EAF＝90°－∠CAB＝∠ABC，∴tan∠EAF＝tan∠CBA，∴EFAF＝ACBC，即EF5＝68，∴EF＝154，∴DE＝DF＋EF＝5＋154＝354.。
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题型解答题压轴之函数与几何综合类型①线段“最值”问题探究．如图，已知点是抛物线＝上的一个点，点，的坐标分别为(，)，(，)，连接，，求＋的最小值．解：作点关于轴的对称点′，则过点′平行于轴的直线为＝－，过点作⊥于点，交抛物线于点，此时＝，则点，，三点共线，∴＋的最小值即为的长，∵(，)，⊥轴，∴(，－)．∴＋＝＋＝＝，∴＋的最小值为.．(温州中考)如图，过抛物线＝－上一点作轴的平行线，交抛物线于另一点，交轴于点，已知点的横坐标为－.()求抛物线的对称轴和点的坐标；()在上任取一点，连接，作点关于直线的对称点；①连接，求的最小值；②当点落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线的函数解析式．解：()∵的横坐标为－，代入抛物线解析式得＝，∴(－，)，对称轴＝－＝，∵点，关于对称轴对称，∴(，)；()①如答图①，由题意点在以为圆心，为半径的圆上，∴当，，共线时，的最小值＝－＝－＝－；②如答图②，当点在对称轴上时，在△中，＝＝，＝，∴＝＝＝，∴点的坐标为(，)．设＝＝，在△中，＝(－)＋，∴＝，∴.设直线的解析式为＝＋(≠)，代入(，)，得：解得∴直线的解析式为＝－＋.．如图，已知一次函数＝＋的图象与二次函数＝－＋＋的图象′都经过点(，)和点，且图象′过点(－，)．()求二次函数的最大值；()设使＞成立的取值的所有整数和为，若是关于的方程＋＝的根，求的值；()若点，在图象′上，长度为的线段在线段上移动，与始终平行于轴，当四边形的面积最大时，在轴上求点，使＋最小，求出点的坐标．解：()∵二次函数＝－＋＋经过点(，)与(－，)，∴解得∴：＝＋；′：＝－＋＋＝－(－)＋.∴＝；()联立与得：＋＝－＋＋，解得＝或＝，当＝时，＝×＋＝，∴.∴使＞成立的的取值范围为＜＜，∴＝＋＋＝.代入方程得×＋＝，解得＝，经检验，＝是方程的解；()∵点，在直线：＝＋上，∴设，，其中＞＞.如答图①，过点作⊥于点，则＝－，＝(－)．在△中，由勾股定理得：＋＝，即(－)＋＝()，解得－＝，即＝＋.∴＝，.当＝时，＝－＋＋，∴(，－＋＋)，∴＝(－＋＋)－＝－＋；当＝＋时，＝－(＋)＋(＋)＋＝－＋，∴(＋，－＋)，∴＝(－＋)－＝－－＋.四边形＝(＋)·＝×＝－＋＋＝－＋，∴当＝时，四边形的面积取得最大值，∴，.如答图②所示，过点关于轴的对称点′，则′；连接′，交轴于点.＋＝′＋＝′，由两点之间线段最短可知，此时＋最小．设直线′的解析式为：＝＋(≠)，把，代入解析式，得：解得∴直线′的解析式为＝－.令＝，得＝，∴.．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板的直角顶点在轴上，坐标为(，－)，另一顶点坐标为(－，)，已知二次函数＝＋＋的图象经过，两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边′′∥轴且经过点，直尺沿轴正方向平移，当′′与轴重合时运动停止．()求点的坐标及二次函数的解析式；()若运动过程中直尺的边′′交边于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值；()如图②，设点为直尺的边′′上的任一点，连接，，，为的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当＝时，线段，，之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点与抛物线的位置关系．(说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点在抛物线内，点在抛物线上，点′在抛物线外．)解：()如图①，过点作⊥轴于点.由题意得：＝，∠＝∠＝∠＝°，∴∠＋∠＝∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△≌△，∴＝＝，＝＝，∴＝＋＝，∴(－，－)．将(－，)，(－，－)代入抛物线解析式可得：解得∴抛物线的解析式为＝＋－；()设：＝＋，∵把(－，)，(－，－)代入可得：解得∴：＝－－，∴设(，－－)，＋()－)).∵＝(记为)，≥，∴线段长度＝－－－＝－＋(－≤≤－)，∴当＝－时，线段长度的最大值为；()当点在抛物线外时，＋≥；当点在抛物线上时，＋＝；当点在抛物线内时，＋≥.．(怀化中考)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线＝＋－(≠)与轴交于(－，)，(，)两点，与轴交于点.()求抛物线的函数解析式；()若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；()如图②，∥轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积；()若点为抛物线的顶点，点(，)是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．解：()∵点(－，)，(，)在抛物线＝＋－上，∴∴∴抛物线的解析式为＝－－；()令＝，则＝－，∴(，－)，∴＝，∴∠＝∠＝°，∴＝，＝，如图①，要使以，，为顶点的三角形与△相似，则有＝或＝，①当＝时，＝＝，∴(，)；②当＝时，∴＝，∴＝，∴.综上所述，的坐标为(，)或；()设(，－－)，∵∥轴，∴点的纵坐标为－，∵在抛物线上，∴－－＝－，∴＝(舍)或＝，∴(，－)，∴＝，设直线的解析式为＝＋(≠)，∵(，)，(，－)，∴直线的解析式为＝－，∴(，－)，∴＝－－(－－)＝－＋，∵∥轴，∥轴，∴⊥，∴四边形＝·＝－＋，当＝时，四边形的面积最大为.∴此时的坐标为；()如图，∵为抛物线的顶点，∴(，－)，∴关于轴的对称点′(－，－)，∵(，)在抛物线上，∴(，－)，∴点关于轴的对称点′(，)，连接′′，交轴于点，轴于点，则′′的长即为四边形周长的最小值．设直线′′的解析式为＝＋(≠)，∴直线′′的解析式为＝－，∴，.类型②图形面积存在性问题探究．(深圳中考)如图，抛物线＝＋＋(≠)经过点(－，)，(，)，交轴于点.()求抛物线的解析式；(用一般式表示)()点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使△＝△？若存在请直接给出点坐标；若不存在请说明理由；()将直线绕点顺时针旋转°，与抛物线交于另一点，求的长．解：()∵抛物线＝＋＋经过点(－，)，(，)，∴解得∴抛物线的解析式为＝－＋＋；()存在满足条件的点，其坐标为(，)或(，)或(，－)；()∵点为抛物线上一点，且在轴上，∴令＝，则＝.∴(，)．∵＝，＝，＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＋＝，∴△为直角三角形，即⊥.如图，设直线与直线交于点，过点作⊥轴于点，由题意可知∠＝°，∴∠＝°，∴＝＝，∴＝＋＝.∵⊥，⊥，∴∥.∴＝，即＝，解得＝，＝，即＝，解得＝，∴(，)，且(，)，设直线解析式为＝＋(≠)，则可得解得∴直线解析式为＝－＋，联立直线和抛物线解析式可得解得或∴(，－)，∴＝＝.．如图，抛物线＝＋－(≠)经过点(，－)，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且＝，抛物线的顶点为点.()求这条抛物线的解析式；()连接，，，，求四边形的面积；()如果点在轴的正半轴上，且∠＝∠，求点的坐标．解：()抛物线＝＋－与轴交于点.∴(，－)，∴＝.∵＝，∴＝.又点在轴的负半轴上，∴(－，)．∴抛物线经过点(，－)和点(－，)．∴解得∴抛物线的解析式为＝－－；()由＝－－，得顶点的坐标是(，－)．连接.∵(，－)，(，－)，∴＝，＝，∴△＝××＝，△＝××＝，∴四边形＝△＋△＝，()过点作⊥，垂足为点.∵(，－)，(，－)，∴＝＝.又∵△＝××＝，∴＝.在△中，∠＝°，＝＝，＝＝，∴∠＝＝.在△中，∠＝°，∠＝，∵∠＝∠，∴∠＝∠＝，∴＝，∴＝，∴点的坐标为.．如图①，在平面直角坐标系中，点(，－)，点(，)．△中，∠＝°，＝，＝.直角边在轴上，且点与点重合．△沿轴正方向平行移动．当点运动到点时停止运动．解答下列问题：()如图②，当△运动到点与点重合时，设交于点，求∠的度数；()如图③，在△的运动过程中，当经过点时，求的长；()在△的运动过程中，设＝，△与△重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式，并求出面积的最大值．解：()∵(，－)，(，)，∴＝，∴∠＝∠＝°.在△中，∠＝＝＝，∴∠＝°.∵∠＋∠＝∠，∴∠＝°；()由题意可知∥，∴∠＝∠＝°，在△中，∠＝°＝＝，∴＝，∴＝；()当≤≤时，如图④，作⊥轴于点，作⊥于点，∵＝，＝，＝，＝，∴＝－，＝＝＋－，∴△∽△，∴＝，∴＝，∴＝－，∴＝△－△＝××－(－－)×(－)＝－＋＋，最大＝－；当＜≤－时，＝△－△＝××－(＋)＝－＋，最大＝－；当－＜≤时，如图③，＝△＝×(－)×(－)＝(－)，∴最大＝－.类型③等腰三角形存在性问题探究．(昆明中考模拟)如图①，对称轴为直线＝的抛物线经过(，)，(，)两点，抛物线与轴的另一交点为.()求抛物线的解析式；()若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值；()如图②，若是线段上一动点，在轴上是否存在这样的点，使△为等腰三角形且△为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：()由对称性得(－，)，设抛物线的解析式为＝(＋)(－)(≠)，把(，)代入抛物线解析式，得＝－，＝－，∴＝－(＋)(－)，∴抛物线的解析式为：＝－＋＋；()如答图①，设点(，－＋＋)，过点作⊥轴，垂足为点，连接.∴＝梯形＋△＝(－＋＋＋)＋(－＋＋)(－)，＝－＋＋＝－(－)＋，∵－<，∴有最大值，且的最大值为；()存在点，使△为等腰三角形且△为直角三角形．分以下两种情况：①当∠＝°时，如答图②所示，∵∠＞°，∴只能＝.设直线的解析式为＝＋(≠)，把(，)，(，)代入直线的解析式，得解得∴直线的解析式为＝－＋.设点坐标为(，－＋)，则＝－＋，＝，＝－.在△中，＝＝＝.∵∥，∴△∽△，∴＝，即＝，∴＝(－)＝－.∴＝－＝－(－)＝.∵＝，∴＝－＋，∴＝＝－，∴(－，)．②当∠＝°时，如答图③所示，∵∠＝°，∴只能＝.设点坐标为(，－＋)．在△和△中，∵∠＝∠＝＝＝＝，由①知＝－，＝＝，∴∠＝＝＝，∴＝－，∴＝，∴，此时，＝－＝，＝，∴＝＝＝，∴＝－＝－＝，∴.综上所述，满足条件的点的坐标为(－，)或.．如图，抛物线＝＋＋(，，为常数，≠)经过点(－，)，(，－)，(，)．()求抛物线的解析式；()如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；()若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△为等腰三角形的点一共有几个？并求出其中某一个点的坐标．解：()设抛物线的解析式为＝(＋)(－)(≠)，把(，－)代入解析式得：(＋)(－)＝－，解得＝，∴抛物线的解析式为＝(＋)(－)＝－－；()存在．如答图①，分别过点，向轴作垂线和，垂足分别为点，，设(，－－)，四边形的面积为，则＝－＋＋，＝＋，＝－，＝－＝，＝，∴＝△＋梯形＋△＝(－＋＋)(＋)＋(－＋＋)(－)＋××＝－＋＋＝－(－)＋，∵－＜，∴有最大值，当＝时，有最大值为，这时－－＝－×－＝－，∴(，－)；()这样的点一共有个，如答图②，连接、，过点作⊥对称轴于点，抛物线对称轴交轴于点.＝－－＝－；∵在对称轴上，∴设(＜)．∵△是等腰三角形，且＝，∴由勾股定理得：＝＋，＝＋，即＋(－)＝(＋)＋，∴＝－，∴.．(南宁中考)如图，已知抛物线＝－－(≠)与坐标轴交于，，三点，其中(，)，∠的平分线交轴于点，交于点，过点的直线与射线，分别交于点，.()直接写出的值、点的坐标及抛物线的对称轴；()点为抛物线的对称轴上一动点，若△为等腰三角形，求出点的坐标．解：()＝－，(－，)，抛物线的对称轴为直线＝；()∵＝，＝，∴∠＝＝，∴∠＝°.∵为∠的平分线，∴∠＝°.∴＝°·＝＝.∴点的坐标为(，)．设点的坐标为(，)．依据两点间的距离公式可知：＝，＝＋，＝＋(－).当＝时，＝＋，方程无解．当＝时，＝＋(－)，解得＝或＝，∴点的坐标为(，)或(，)．当＝时，＋＝＋(－)，解得＝－.∴点的坐标为(，－)．综上所述，点的坐标为(，)或(，)或(，－)．类型④直角三角形存在性问题探究(枣庄中考)如图，直线＝＋与抛物线＝＋＋(≠)相交于和(，)，点是线段上异于，的动点，过点作⊥轴于点，交抛物线于点.()求抛物线的解析式；()是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；()求△为直角三角形时点的坐标．解：()∵(，)在直线＝＋上，∴＝＋＝，∴(，)，∵和(，)在抛物线＝＋＋上，∴解得∴抛物线的解析式为＝－＋；()存在．设动点的坐标为(，＋)，则点的坐标为(，－＋)，∴＝(＋)－(－＋)＝－＋－＝－＋，∵＞，－<，∴当＝时，线段有最大值为；()∵△为直角三角形，①若点为直角顶点，则∠＝°.由题意易知，∥轴，∠＝°，因此这种情形不存在；②若点为直角顶点，则∠＝°，即⊥.∵直线的解析式为＝＋，∴设直线的解析式为＝－＋，把代入，得－＋＝，解得＝，∴直线的解析式为：＝－＋.又抛物线的解析式为：＝－＋，联立直线和抛物线解析式，得－＋＝－＋，解得：＝或＝(与点重合，舍去)．∴(，)，即点，点重合．当＝时，＝＋＝，∴(，)；③若点为直角顶点，则∠＝°，∵，∴点的纵坐标为＝，代入抛物线解析式，得－＋＝，解得＝(舍去)或＝，当＝时，＝＋＝.∴.∴综上所述，点的坐标为(，)或.类型⑤相似三角形存在性问题探究．(渭滨一模)如图所示，抛物线＝＋＋经过，两点，，两点的坐标分别为(－，)，(，－)．()求抛物线的函数解析式；()点为抛物线的顶点，点为抛物线与轴的另一交点，点为轴上一点，且＝，求出点的坐标；()在第()问的条件下，在直线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与△相似，请你直接写出所有满足条件的点的坐标．解：()∵抛物线＝＋＋经过(－，)，(，－)，∴解得∴抛物线的函数解析式为＝－－；()令－－＝，解得＝－，＝，则点的坐标为(，)．∵＝－－＝(－)－，∴点坐标为(，－)．设点的坐标为(，)，作⊥轴于点，∵＝＋＝＋，＝＋＝(＋)＋，且＝，∴＋＝＋＋＋，解得＝－，∴点的坐标为(，－)；()满足条件的点共有个，其坐标分别为，，(－，)，(，－)．．(鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中，直线＝＋与轴交于点，与轴交于点.抛物线＝＋＋(≠)的对称轴是直线＝－且经过，两点，与轴的另一交点为点.()①直接写出点的坐标；②求抛物线解析式；()若点为直线上方的抛物线上的一点，连接，.求△的面积的最大值，并求出此时点的坐标；()抛物线上是否存在点，过点作垂直轴于点，使得以点，，为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：()①(，)；②抛物线的解析式为＝－－＋；()设.如图，过点作⊥轴交于点，∴(，＋)，∴＝－－＋－＝－－.∵△＝××＝＝－－＝－(＋)＋，∴当＝－时，△的面积有最大值是，此时(－，)；()存在．∵点，在直线＝＋上，且点在轴上，点在轴上，∴当＝时，＝，当＝时，＝－，∴(，)，(－，)，又∵(，)，∴＝－＋，∴×＝×(－)＝－，∴⊥，⊥轴．若以点，，为顶点的三角形与△相似，则＝，＝，设(，－－＋)，∴(，)，①＝，∴＝，∴＝或＝，∴(，)或(，－)；②＝，∴＝，∴＝或＝－，∴(，－)或(－，)．综上所述，点的坐标为(，)或(，－)或(，－)或(－，)．类型⑥全等三角形存在性问题探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝＋＋(≠)与轴的一个交点为(－，)，与轴的交点为，对称轴是直线＝，对称轴与轴交于点.()求抛物线的函数解析式；()经过，的直线平移后与抛物线交于点，与轴一个交点为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标；()若点在轴上，在抛物线上是否存在点，使得△≌△？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：()∵抛物线＝＋＋与轴的一个交点为(－，)，对称轴是直线＝，∴解得∴抛物线的函数解析式为＝－＋＋；()以，，，为顶点的四边形是平行四边形，应分∥，∥两种情况．如图．①当∥时．∵点和点(，)关于对称轴直线＝对称，∴点的坐标为(，)；②当∥时．∵点的纵坐标是－，点在抛物线上，∴－＋＋＝－，解得＝＋或－，∴点的坐标为(＋，－)或(－，－)，综上所述，点的坐标为(，)或(＋，－)或(－，－)；()存在，点的坐标为或或(－＋，－＋)或(－－，－－)．类型⑦平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＝－＋＋与轴交于，两点，点在这条抛物线上，点在轴上，如果以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．解：∵抛物线＝－＋＋与轴交于，两点，∴令＝则－＋＋＝，解得＝－或＝，∴(－，)，(，)．①如答图①，当是对角线时，＝＝，∵与互相平分，∴点与点关于的中点(，)对称，∴点的横坐标为，在＝－＋＋中令＝，则＝，∴(，)；如答图②，答图③，当为边时，∥，＝＝，∴点的横坐标为或－，∴(，－)或(－，－)，综上所述，点的坐标为(，)或(，－)或(－，－)．．(岳阳中考)如图，抛物线＝＋＋经过点(，)，(，－)，直线：＝－－交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点(不与，重合)．()求抛物线的解析式；()当点在直线下方时，过点作∥轴交于点，∥轴交于点.求＋的最大值；()设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．解：()把(，)，(，－)代入＝＋＋得，解得∴抛物线的解析式为：＝－－；()设(，－－)，∵∥轴，∥轴，点，在直线上，∴，，∴＋＝－＋＋－－－－＋＋＝－＋＋＝－＋.∵－<，∴当＝时，＋的最大值是；()能．理由：∵＝－－交轴于点，∴，∴＝，设，①以为边，∴∥，＝，∴，∴－－－＋＋＝，∴＝，＝(舍去)，∴；②如图以为对角线，连接交于，∴＝，＝，∴.设，则，∴×＝－，∵Δ＜，∴此方程无实数根．综上所述，点的坐标为。
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第讲直角三角形．如图，△中，∠＝°，∠＝°，＝，则＝()．．．．．如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度＝，∠＝°，则中柱(为底边中点)的长是()．°．°．°．°．如图，在△中，∠＝°，＝，＝.若是△的中位线，延长交△的外角∠的平分线于点，则线段的长为()．．．．．(绥化中考)某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为，∠约为°，则该楼梯的高度可表示为()．°．°．°．如图，在△中，∠＝°，＝，点，分别是直角边，的中点，则的长为()．．．＋．(年中考试题)如图，四边形中，∥，∠＋∠＝°，且＝.以，，为边向外作正方形，其面积分别为，，.若＝，＝，则的值为()．．．．．如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形和四边形都是正方形，△，△，△，△是四个全等的直角三角形，若＝，＝，则的长为．．(宿迁中考)如图，在△中，∠＝°，点，，分别是，，的中点．若＝，则线段的长是．．如图，在△中，∠＝°，，分别是，的中点，延长至点，使＝，连接，，.若＝，则＝．．(绥化中考)如图，顺次连接腰长为的等腰直角三角形各边中点得到第个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为.．如图，点是△内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形.()求证：四边形是平行四边形；()若为的中点，＝，∠和∠互余，求的长度．解：()∵，分别是，的中点，∴∥，＝，∵，分别是，的中点，∴∥，＝.∴＝，∥，∴四边形是平行四边形；()∵∠和∠互余，∴∠＋∠＝°，∴∠＝°.∵为的中点，＝，∴＝＝.由()有四边形是平行四边形，∴＝＝.．(眉山中考)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为.格点三角形(顶点是网格线交点的三角形)的顶点，的坐标分别是(－，)，(－，)．()请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；()请画出△关于轴对称的△；()请在轴上求作一点，使△的周长最小，并写出点的坐标．解：()如图所示；()如图，即为所求；()作点关于轴的对称点′，连接′交轴于点，则点即为所求．设直线′的解析式为＝＋(≠)，∵(－，－)，′(，)，∴解得∴直线′的解析式为＝＋，∴当＝时，＝，∴(，)．．(徐州中考)如图，已知⊥，垂足为，＝，＝，将线段绕点按逆时针方向旋转°，得到线段，连接，.()线段＝；()求线段的长度．解：()；()作⊥于点.∵△是等边三角形，∴∠＝°，又∵⊥，∴∠＝∠－∠＝°－°＝°，∴△中，＝＝，＝·°＝×＝，∴＝－＝－＝.∴△中，＝＝＝.．如图，在等腰△中，∠是直角，＝，把一个°角的顶点放在处，两边分别与交于，两点．()将所得△以为中心，按逆时针方向旋转到△，试求证：△≌△；()若＝，∶＝∶，求的长．解：()由旋转知：△≌△.∴＝，∠＝∠.∵∠＋∠＝°，∴∠＋∠＝°，即∠＝∠＝°，而为公共边，∴△≌△()；()连接.由△≌△知：∠＝∠＝°，∴∠＝∠＋∠＝°，由△≌△知：＝.设＝＝，＝，则在△中，＝，∴＝＝，∴＝＋＋＝，∴＝，∴＝＝.。
[初中数学]2018年中考数学特训方案(42份) 人教版33
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专项三压轴题题型1选择题、填空题类型①函数综合问题1．(2017威海中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b＋cx在同一坐标系中的大致图象是(C)2．(2017荆州中考)规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程x 2＋2x －8＝0是倍根方程；②若关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0是倍根方程，则a ＝±3；③若关于x 的方程ax 2－6ax ＋c ＝0(a ≠0)是倍根方程，则抛物线y ＝ax 2－6ax ＋c 与x 轴的公共点的坐标是(2，0)和(4，0)；④若点(m ，n)在反比例函数y ＝4x 的图象上，则关于x的方程mx 2＋5x ＋n ＝0是倍根方程．上述结论中正确的有( C )A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3．(2017威海中考)如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(－4.0)，点B 在y 轴上，若反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象过点C ，则该反比例函数的解析式为( A )A ．y ＝3xB ．y ＝4xC ．y ＝5xD ．y ＝6x4．在一条笔直的公路上有A ，B ，C 三地，C 地位于A ，B 两地之间，甲、乙两车分别从A ，B 两地出发，沿这条公路匀速行驶至C 地停止．从甲车出发至甲车到达C 地的过程，甲、乙两车各自与C 地的距离y(km )与甲车行驶时间t(h )之间的函数关系如图表示，当甲车出发__32__h 时，两车相距350 km . 5．(2017南京中考)函数y 1＝x 与y 2＝4x 的图象如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是__①③__．6．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为__16__cm2.类型② 动点问题1．(2017咸宁中考)在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为(1，0)，顶点A 的坐标为(0，2)，顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此点C 的对应点C′的坐标为( C )A .⎝⎛⎭⎫32，0B ．(2，0)C .⎝⎛⎭⎫52，0 D ．(3，0) 2．(2017济宁中考)如图甲，A ，B 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB ，点P 从点A出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束，设运动时间为x(单位：s )，弦BP 的长为y ，那么图乙中可能表示y 与x 函数关系的是( D )A ．①B ．③C ．②或④D ．①或③3．(2017兰州中考)如图①，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC ＝y ，如图②所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是( B )A .235B ．5C ．6D .2544．(2017贵港中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM ，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是( B )A ．4B ．3C ．2D ．15．(2017岳阳中考)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22 017的末位数字是( B )A ．0B ．2C ．4D ．66．(2017内江中考)如图，过点A 0(2，0)作直线l ：y ＝33x 的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：A 0A 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2 016A 2 107的长为( B )A .⎝⎛⎭⎫32 2 015B .⎝⎛⎭⎫32 2 016C .⎝⎛⎭⎫32 2 017D .⎝⎛⎭⎫32 2 0187．(2017连云港中考)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O 方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是(A)A．4 B．2 3 C．2 D．08．(2017海南中考)如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是2．类型③ 规律探究1．(2017重庆中考)下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，……，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为( B )A ．116B ．144C ．145D ．1502．(2017郴州中考)已知a 1＝－32，a 2＝55，a 3＝－710，a 4＝917，a 5＝－1126，…，则a 8＝__1765__．3．一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，且n 为整数)，则a 2 016＝__－1__．4．观察下列等式：第1个等式：a 1＝11＋2＝2－1， 第2个等式：a 2＝12＋3＝3－2， 第3个等式：a 3＝13＋2＝2－3， 第4个等式：a 4＝12＋5＝5－2， 按上述规律，回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝． 5．观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32n 2＋32n __.(用含n 的式子表示)6．(2017齐齐哈尔中考)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1＝A 1A 2＝1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 2 017A 2 018，则点A 2 017的坐标为__(0，21__008)__．错题重做原因：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________更正：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
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题型2解答题压轴之函数与几何综合类型①线段“最值”问题探究1．如图，已知点P是抛物线y＝14x2上的一个点，点D，E的坐标分别为(0，1)，(1，2)，连接PD，PE，求PD＋PE的最小值．解：作点D关于x轴的对称点D′，则过点D′平行于x轴的直线l为y＝－1，过点E作EH⊥l于点H，交抛物线于点P，此时PD＝PH，则点P，E，H三点共线，∴PD＋PE的最小值即为PH的长，∵E(1，2)，EH⊥x轴，∴H(1，－1)．∴PD＋PE＝PE＋PH＝EH＝3，∴PD＋PE的最小值为3.2．(2017温州中考)如图，过抛物线y＝14x2－2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为－2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连接BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数解析式．解：(1)∵A 的横坐标为－2，代入抛物线解析式得y ＝5，∴A(－2，5)，对称轴x ＝－－22×14＝4，∵点A ，B 关于对称轴对称， ∴B(10，5)； (2)①如答图①，由题意点D在以O为圆心，OC为半径的圆上，∴当O，D，B共线时，BD的最小值＝OB－OD＝52＋102－5＝55－5；②如答图②，当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD＝OC＝5，OE＝4，∴DE＝OD2－OE2＝52－42＝3，∴点D 的坐标为(4，3)．设PC ＝PD ＝x ，在Rt △PDK 中，x 2＝(4－x)2＋22， ∴x ＝52，∴P ⎝⎛⎭⎫52，5. 设直线PD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，代入D(4，3)，P ⎝⎛⎭⎫52，5得：⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝3，52k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧k ＝－43，b ＝253.∴直线PD 的解析式为y ＝－43x ＋253.3．如图，已知一次函数y 1＝12x ＋b 的图象l 与二次函数y 2＝－x 2＋mx ＋b 的图象C′都经过点B(0，1)和点C ，且图象C′过点A(2－5，0)．(1)求二次函数的最大值；(2)设使y 2＞y 1成立的x 取值的所有整数和为s ，若s 是关于x 的方程⎝⎛⎭⎫1＋1a －1x ＋3x －3＝0的根，求a 的值；(3)若点F ，G 在图象C′上，长度为5的线段DE 在线段BC 上移动，EF 与DG 始终平行于y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P ，使PD ＋PE 最小，求出点P 的坐标．解：(1)∵二次函数y 2＝－x 2＋mx ＋b 经过点B(0，1)与A(2－5，0)，∴⎩⎨⎧b ＝1，－（2－5）2＋（2－5）m ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，b ＝1.∴l ：y 1＝12x ＋1；C ′：y 2＝－x 2＋4x ＋1＝－(x －2)2＋5. ∴y max ＝5；(2)联立y 1与y 2得：12x ＋1＝－x 2＋4x ＋1，解得x ＝0或x ＝72，当x ＝72时，y 1＝12×72＋1＝114，∴C ⎝⎛⎫74，114.∴使y 2＞y 1成立的x 的取值范围为0＜x ＜72，∴s ＝1＋2＋3＝6.代入方程得⎝⎛⎭⎫1＋1a －1×6＋36－3＝0，解得a ＝17，经检验，a ＝17是方程的解；(3)∵点D ，E 在直线l ：y 1＝12x ＋1上，∴设D ⎝⎛⎭⎫p ，12p ＋1，E ⎝⎛⎭⎫q ，12q ＋1，其中q ＞p ＞0. 如答图①，过点E 作EH ⊥DG 于点H ， 则EH ＝q －p ，DH ＝12(q －p)．在Rt △DEH 中，由勾股定理得：EH 2＋DH 2＝DE 2，即(q －p)2＋⎣⎡⎦⎤12（q －p ）2＝(5)2，解得q －p ＝2，即q ＝p ＋2. ∴EH ＝2，E ⎝⎛⎭⎫p ＋2，12p ＋2. 当x ＝p 时，y 2＝－p 2＋4p ＋1，∴G(p ，－p 2＋4p ＋1)，∴DG ＝(－p 2＋4p ＋1)－⎝⎛⎭⎫12p ＋1＝－p 2＋72p ； 当x ＝p ＋2时，y 2＝－(p ＋2)2＋4(p ＋2)＋1＝－p 2＋5， ∴F(p ＋2，－p 2＋5)，∴EF ＝(－p 2＋5)－⎝⎛⎭⎫12p ＋2＝－p 2－12p ＋3. S四边形DEFG＝12(DG ＋EF)·EH ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－p 2＋72p ＋（－p 2－12p ＋3）×2＝－2p 2＋3p ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫p －342＋338，∴当p ＝34时，四边形DEFG 的面积取得最大值，∴D ⎝⎛⎭⎫34，118，E ⎝⎛⎭⎫114，198.如答图②所示，过点D 关于x 轴的对称点D′，则 D ′⎝⎛⎭⎫34，－118； 连接D′E ，交x 轴于点P. PD ＋PE ＝PD′＋PE ＝D′E ，由两点之间线段最短可知，此时PD ＋PE 最小．设直线D′E 的解析式为：y ＝kx ＋b(k ≠0)，把D ⎝⎛⎭⎫34，118，E ⎝⎛⎭⎫114，198代入解析式，得：⎩⎨⎧34k ＋b ＝－118，114k ＋b ＝198，解得⎩⎨⎧k ＝158，b ＝－8932， ∴直线D′E 的解析式为y ＝158x －8932. 令y ＝0，得x ＝8960，∴P ⎝⎛⎭⎫8960，0. 4．如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点A 在y 轴上，坐标为(0，－1)，另一顶点B 坐标为(－2，0)，已知二次函数y ＝32x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y 轴且经过点B ，直尺沿x 轴正方向平移，当A′D′与y 轴重合时运动停止．(1)求点C 的坐标及二次函数的解析式；(2)若运动过程中直尺的边A′D′交边BC 于点M ，交抛物线于点N ，求线段MN 长度的最大值；(3)如图②，设点P 为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA ，PB ，PC ，Q 为BC 的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ ＝102时，线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．(说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A 在抛物线内，点C 在抛物线上，点D′在抛物线外．)解：(1)如图①，过点C 作CD ⊥y 轴于点D.由题意得：BA ＝AC ，∠BAC ＝∠BOA ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABO ＋∠BAO ＝∠BAO ＋∠CAD ＝90°，∴∠ABO ＝∠CAD ，∴△CDA ≌△AOB ， ∴AD ＝BO ＝2，CD ＝AO ＝1， ∴OD ＝OA ＋AD ＝3， ∴C(－1，－3)．将B(－2，0)，C(－1，－3)代入抛物线解析式可得：⎩⎪⎨⎪⎧6－2b ＋c ＝0，32－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝－3，∴抛物线的解析式为y ＝32x 2＋32x －3；(2)设l BC ：y ＝kx ＋b ，∵把B(－2，0)，C(－1，－3)代入可得：⎩⎨⎧0＝－2k ＋b ，－3＝－k ＋b ， 解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝－6，∴l BC ：y ＝－3x －6，∴设M(x M ，－3x M －6)，N ⎝⎛⎭⎫x N ，32x 2N ＋32x N －3. ∵x M ＝x N (记为x)，y M ≥y N ，∴线段MN 长度＝－3x －6－⎝⎛⎭⎫32x 2＋32x －3＝－32⎝⎛⎭⎫x ＋322＋38(－2≤x ≤－1)， ∴当x ＝－32时，线段MN 长度的最大值为38；(3)当点P 在抛物线外时，BP 2＋CP 2≥PA 2；当点P 在抛物线上时，BP ＋CP ＝2AP ；当点P 在抛物线内时，BP 2＋CP 2≥PA 2.5．(2017怀化中考)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)与x 轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；(3)如图②，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；(4)若点K 为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点P ，Q ，使四边形PQKM 的周长最小，求出点P ，Q 的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)，B(5，0)在抛物线y ＝ax 2＋bx －5上，∴⎩⎨⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －5； (2)令x ＝0，则y ＝－5， ∴C(0，－5)， ∴OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°， ∴AB ＝6，BC ＝52，如图①，要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BCCD ，①当AB CD ＝BCBC 时，CD ＝AB ＝6，∴D(0，1)； ②当AB BC ＝BCCD 时，∴652＝52CD ，∴CD ＝253，∴D ⎝⎛⎭⎫0，103.综上所述，D 的坐标为(0，1)或⎝⎛⎭⎫0，103； (3)设H(t ，t 2－4t －5)，∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为－5， ∵E 在抛物线上，∴x 2－4x －5＝－5，∴x ＝0(舍)或x ＝4， ∴E(4，－5)，∴CE ＝4，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， ∵B(5，0)，C(0，－5)，∴直线BC 的解析式为y ＝x －5， ∴F(t ，t －5)，∴HF ＝t －5－(t 2－4t －5)＝－⎝⎛⎭⎫t －522＋254， ∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF ，∴S 四边形CHEF ＝12CE·HF ＝－2⎝⎛⎭⎫t －522＋252，当t ＝52时，四边形CHEF 的面积最大为252.∴此时H 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，－354； (4)如图，∵K 为抛物线的顶点，∴K(2，－9)，∴K关于y轴的对称点K′(－2，－9)，∵M(4，m)在抛物线上，∴M(4，－5)，∴点M关于x轴的对称点M′(4，5)，连接K′M′，交x 轴于点P ，y 轴于点Q ，则K′M′的长即为四边形PQKM 周长的最小值． 设直线K′M′的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， ∴直线K′M′的解析式为y ＝73x －133，∴P ⎝⎛⎭⎫137，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，－133.类型② 图形面积存在性问题探究1．(2017深圳中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(用一般式表示)(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC ＝23S △ABD ？若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点 A(－1，0)，B(4，0)，∴⎩⎨⎧a －b ＋2＝0，16a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)存在满足条件的点D ，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)；(3)∵点C 为抛物线上一点，且在y 轴上， ∴令x ＝0，则y ＝2.∴C(0，2)．∵AO ＝1，OC ＝2，OB ＝4，AB ＝5，∴AC＝12＋22＝5，BC＝22＋42＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC.如图，设直线AC与直线BE交于点F，过点F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC＝45°，∴∠CFB＝45°，∴CF＝BC＝25，∴AF＝AC＋CF＝3 5.∵FM⊥AB，OC⊥AB，∴FM∥OC.∴AOOM＝ACCF，即1OM＝525，解得OM＝2，OCFM＝ACAF，即2FM＝535，解得FM＝6，∴F(2，6)，且B(4，0)，设直线BE 解析式为y ＝kx ＋m(k ≠0)，则可得⎩⎨⎧2k ＋m ＝6，4k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－3，m ＝12，∴直线BE 解析式为y ＝－3x ＋12，联立直线BE 和抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋12，y ＝－12x 2＋32x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－3， ∴E(5，－3)，∴BE ＝（5－4）2＋（－3）2＝10.2．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)经过点A(4，－5)，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝5OB ，抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的解析式；(2)连接AB ，BC ，CD ，DA ，求四边形ABCD 的面积；(3)如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO ＝∠ABC ，求点E 的坐标．解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx －5与y 轴交于点C.∴C(0，－5)， ∴OC ＝5.∵OC ＝5OB ，∴OB ＝1.又点B 在x 轴的负半轴上，∴B(－1，0)． ∴抛物线经过点A(4，－5)和点 B(－1，0)．∴⎩⎨⎧16a ＋4b －5＝－5，a －b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －5；(2)由y ＝x 2－4x －5，得顶点D 的坐标是(2，－9)． 连接AC.∵A(4，－5)，C(0，－5)， ∴AC ＝4，OC ＝5，∴S △ABC ＝12×4×5＝10，S △ACD ＝12×4×4＝8，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝18，(3)过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H. ∵A(4，－5)，C(0，－5)， ∴AB ＝（4＋1）2＋52＝5 2.又∵S △ABC ＝12×AB ×CH ＝10，∴CH ＝2 2.在Rt △BCH 中，∠BHC ＝90°，BC ＝OB 2＋OC 2＝26，BH ＝BC 2－CH 2＝32， ∴tan ∠CBH ＝CH BH ＝23.在Rt △BOE 中，∠BOE ＝90°，tan ∠BEO ＝BOEO，∵∠BEO ＝∠ABC ，∴tan ∠BEO ＝tan ∠ABC ＝23，∴BO EO ＝23，∴EO ＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32. 3．如图①，在平面直角坐标系中，点A(0，－6)，点B(6，0)．Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，DE ＝43.直角边CD 在y 轴上，且点C 与点A 重合．Rt △CDE 沿y 轴正方向平行移动．当点C 运动到点O 时停止运动．解答下列问题：(1)如图②，当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时，设CE 交AB 于点M ，求∠BME 的度数；(2)如图③，在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，求BC 的长；(3)在Rt △CDE 的运动过程中，设AC ＝h ，△OAB 与△CDE 重叠部分的面积为S ，请写出S 与h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．解：(1)∵A(0，－6)，B(6，0)，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°.在Rt△CDE中，tan∠DEC＝DCDE＝443＝33，∴∠DEC＝30°.∵∠DEC＋∠BME＝∠OBA，∴∠BME＝15°；(2)由题意可知DE∥OB，∴∠OBC＝∠DEC＝30°，在Rt △OBC 中，cos ∠OBC ＝cos 30°＝OB BC ＝32，∴32＝6BC，∴BC ＝43；(3)当0≤h ≤2时，如图④，作MN ⊥y 轴于点N ，作MF ⊥DE 于点F ， ∵CD ＝4，DE ＝43，AC ＝h ，AN ＝NM ， ∴CN ＝4－FM ，AN ＝MN ＝4＋h －FM ， ∴△CMN ∽△CED ， ∴CN CD ＝MN DE， ∴4－FM 4＝4＋h －FM43， ∴FM ＝4－3＋12h ，∴S ＝S △EDC －S △EFM＝12×4×43－12(43－4－h)×(4－3＋12h) ＝－1＋34h 2＋4h ＋8，S 最大＝15－3；当2＜h ≤6－23时， S ＝S △AOB －S △EFM＝12×6×6－12h(h ＋3－12h) ＝－3＋34h 2＋18，S 最大＝15－3；当6－23＜h ≤6时，如图③， S ＝S △OBC ＝12×(6－h)×3(6－h)＝32(6－h)2， ∴S 最大＝143－36.类型③ 等腰三角形存在性问题探究1．(2016昆明中考模拟)如图①，对称轴为直线x ＝12的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x 轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值； (3)如图②，若M 是线段BC 上一动点，在x 轴上是否存在这样的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由对称性得A(－1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，把C(0，4)代入抛物线解析式，得4＝－2a，a＝－2，∴y＝－2(x＋1)(x－2)，∴抛物线的解析式为：y＝－2x2＋2x＋4；(2)如答图①，设点P(m，－2m2＋2m＋4)，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，连接PB.∴S＝S梯形CODP＋S△PDB＝12m(－2m2＋2m＋4＋4)＋12(－2m2＋2m＋4)(2－m)，S＝－2m2＋4m＋4＝－2(m－1)2＋6，∵－2<0，∴S有最大值，且S的最大值为6；(3)存在点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形．分以下两种情况：①当∠BQM＝90°时，如答图②所示，∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，把B(2，0)，C(0，4)代入直线BC 的解析式，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝4，∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4.设M 点坐标为(t ，－2t ＋4)，则MQ ＝－2t ＋4，OQ ＝t ，BQ ＝2－t. 在Rt △OBC 中，BC＝OB2＋OC2＝22＋42＝2 5.∵MQ∥OC，∴△BMQ∽△BCO，∴BMBC＝BQBO，即BM25＝2－t2，∴BM＝5(2－t)＝25－5t.∴CM＝BC－BM＝25－(25－5t)＝5t.∵CM＝MQ，∴5t＝－2t＋4，∴t＝45＋2＝45－8，∴Q(45－8，0)．②当∠QMB＝90°时，如答图③所示，∵∠CMQ ＝90°，∴只能CM ＝MQ. 设M 点坐标为(t ，－2t ＋4)． 在Rt △COB 和Rt △QMB 中， ∵tan ∠CBO ＝tan ∠MBQ ＝OC OB ＝MQ BM ＝42＝2， 由①知BM ＝25－5t ，MQ ＝CM ＝5t ， ∴tan ∠MBQ ＝MQ BM ＝5t25－5t ＝2，∴5t ＝45－25t ，∴t ＝43，∴M ⎝⎛⎭⎫43，43，此时，BM ＝25－5t ＝235，MQ ＝435，∴BQ ＝BM 2＋MQ 2＝1009＝103， ∴OQ ＝BQ －OB ＝103－2＝43，∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，0. 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(45－8，0)或⎝⎛⎭⎫－43，0. 2．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个？并求出其中某一个点Q 的坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －6)(a ≠0)， 把B(5，－6)代入解析式得：a(5＋1)(5－6)＝－6， 解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －6)＝x 2－5x －6； (2)存在．如答图①，分别过点P，B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为点M，N，设P(m，m2－5m－6)，四边形PACB的面积为S，则PM＝－m2＋5m＋6，AM＝m＋1，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6，∴S＝S△AMP＋S梯形PMNB＋S△BNC＝12(－m 2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m 2＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6 ＝－3m 2＋12m ＋36 ＝－3(m －2)2＋48，∵－3＜0，∴S 有最大值，当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m 2－5m －6＝22－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)；(3)这样的Q 点一共有5个，如答图②，连接Q 3A 、Q 3B ，过点B 作BH ⊥对称轴于点H ，抛物线对称轴交x 轴于点E.y ＝x 2－5x －6＝⎝⎛⎭⎫x －522－494； ∵Q 3在对称轴上，∴设Q 3⎝⎛⎭⎫52，y (y ＜0)． ∵△Q 3AB 是等腰三角形，且Q 3A ＝Q 3B ，∴由勾股定理得：Q 3A 2＝EA 2＋Q 3E 2，Q 3B 2＝Q 3H 2＋BH 2，即⎝⎛⎭⎫722＋(－y)2＝(6＋y)2＋⎝⎛⎭⎫522，∴y ＝－52，∴Q 3⎝⎛⎭⎫52，－52.3．(2017南宁中考)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a(a≠0)与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l 与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标． 解：(1)a ＝－13，A(－3，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝3；(2)∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝OCOA ＝3，∴∠CAO ＝60°.∵AE 为∠BAC 的平分线， ∴∠DAO ＝30°. ∴DO ＝tan 30°·AO ＝33AO ＝1. ∴点D 的坐标为(0，1)．设点P 的坐标为(3，t)．依据两点间的距离公式可知：AD 2＝4，AP 2＝12＋t 2，DP 2＝3＋(t －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋t 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(t －1)2，解得t ＝2或t ＝0，∴点P 的坐标为(3，2)或(3，0)．当AP ＝DP 时，12＋t 2＝3＋(t －1)2，解得t ＝－4.∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，2)或(3，0)或(3，－4)．类型④ 直角三角形存在性问题探究(枣庄中考)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A ⎝⎛⎭⎫12，52和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．解：(1)∵B(4，m)在直线y ＝x ＋2上， ∴m ＝4＋2＝6， ∴B(4，6)，∵A ⎝⎛⎭⎫12，52和B(4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧52＝⎝⎛⎭⎫122a ＋12b ＋66＝16a ＋4b ＋6解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－8，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6；(2)存在．设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则C 点的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)， ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6) ＝－2n 2＋9n －4 ＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋498， ∵PC ＞0，－2<0，∴当n ＝94时，线段PC 有最大值为498；(3)∵△PAC 为直角三角形，①若点P 为直角顶点，则∠APC ＝90°.由题意易知，PC ∥y 轴，∠APC ＝45°，因此这种情形不存在； ②若点A 为直角顶点，则∠PAC ＝90°，即AC ⊥AB. ∵直线AB 的解析式为y ＝x ＋2， ∴设直线AC 的解析式为y ＝－x ＋b ， 把A ⎝⎛⎭⎫12，52代入，得－12＋b ＝52，解得b ＝3， ∴直线AC 的解析式为：y ＝－x ＋3. 又抛物线的解析式为：y ＝2x 2－8x ＋6，联立直线和抛物线解析式，得－x ＋3＝2x 2－8x ＋6，解得：x ＝3或x ＝12(与点A 重合，舍去)．∴C(3，0)，即点C ，M 点重合． 当x ＝3时，y ＝x ＋2＝5， ∴P 1(3，5)；③若点C 为直角顶点，则∠ACP ＝90°，∵A ⎝⎛⎭⎫12，52，∴点C 的纵坐标为y ＝52，代入抛物线解析式，得2x 2－8x ＋6＝52，解得x ＝12(舍去)或x＝72， 当x ＝72时，y ＝x ＋2＝112.∴P 2⎝⎛⎭⎫72，112.∴综上所述，点P 的坐标为(3，5)或⎝⎛⎭⎫72，112.类型⑤ 相似三角形存在性问题探究1．(2017渭滨一模)如图所示，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点，A ，B 两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求出点D 的坐标；(3)在第(2)问的条件下，在直线DE 上存在点P ，使得以点C ，D ，P 为顶点的三角形与△DOC 相似，请你直接写出所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)， B(0，－3)，∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)令x 2－2x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， 则点C 的坐标为(3，0)．∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点E 坐标为(1，－4)．设点D 的坐标为(0，m)，作EF ⊥y 轴于点F ， ∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32， DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， 且DC ＝DE ，∴m 2＋9＝m 2＋8m ＋16＋1， 解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；(3)满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为⎝⎛⎭⎫－13，0，⎝⎛⎭⎫13，－2，(－3，8)，(3，－10)． 2．(鄂州中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y轴交于点C.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴是直线x ＝－32且经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式；(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC.求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)①B(1，0)；②抛物线的解析式为y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)设P ⎝⎛⎭⎫m ，－12m 2－32m ＋2. 如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴Q(m ，12m ＋2)，∴PQ ＝－12m 2－32m ＋2－⎝⎛⎭⎫12m ＋2 ＝－12m 2－2m.∵S △PAC ＝12×PQ ×4＝2PQ ＝－m 2－4m＝－(m ＋2)2＋4，∴当m ＝－2时，△PAC 的面积有最大值是4， 此时P(－2，3)； (3)存在．∵点A ，C 在直线y ＝12x ＋2上，且点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，∴当x ＝0时，y ＝2，当y ＝0时，x ＝－4， ∴C(0，2)，A(－4，0)，又∵B(1，0)，∴y BC ＝－2x ＋2， ∴k AC ×k BC ＝12×(－2)＝－1，∴AC ⊥BC ，MN ⊥x 轴．若以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则MN NA ＝AC BC ，MN NA ＝BCAC， 设M(2t ，－2t 2－3t ＋2)， ∴N(2t ，0)， ①|2t 2＋3t －22t ＋4|＝525，∴|2t －12|＝12，∴t ＝0或t ＝1，∴M(0，2)或(2，－3)； ②|2t 2＋3t －22t ＋4|＝255，∴|2t －12|＝2，∴t ＝52或t ＝－32，∴M(5，－18)或(－3，2)．综上所述，点M 的坐标为(0，2)或(2，－3)或(5，－18)或(－3，2)．类型⑥ 全等三角形存在性问题探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4(a ≠0)与x 轴的一个交点为A(－2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x ＝3，对称轴与x 轴交于点B.(1)求抛物线的函数解析式；(2)经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴一个交点为N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；(3)若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与x 轴的一个交点为A(－2，0)，对称轴是直线x ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋4＝0，－b 2a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－14，b ＝32，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，应分CM ∥BN ，CN ∥BM 两种情况．如图．①当CM ∥BN 时．∵点M 和点C(0，4)关于对称轴直线x ＝3对称， ∴点M 的坐标为(6，4)；②当CN ∥BM 时．∵点M 的纵坐标是－4，点M 在抛物线上，∴－14x 2＋32x ＋4＝－4， 解得x ＝3＋41或3－41，∴点M 的坐标为(3＋41，－4)或(3－41，－4)，综上所述，点M 的坐标为(6，4)或(3＋41，－4)或(3－41，－4)；(3)存在，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4＋26，－1＋262或⎝ ⎛⎭⎪⎫4－26，26－12或(－1＋41，－8＋241)或(－1－41，－8－241)．类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P ，M ，A ，B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，∴令y＝0则－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)．①如答图①，当PM是对角线时，PM＝AB＝4，∵PM与AB互相平分，∴点M与点P关于AB的中点(1，0)对称，∴点M的横坐标为2，在y＝－x2＋2x＋3中令x＝2，则y＝3，∴M(2，3)；如答图②，答图③，当PM为边时，PM∥AB，PM＝AB＝4，∴点M的横坐标为4或－4，∴M(4，－5)或(－4，－21)，综上所述，点M的坐标为(2，3)或(4，－5)或(－4，－21)．2．(2017岳阳中考)如图，抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B(3，0)，C(0，－2)，直线l：y＝－23x－23交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点．P为抛物线上一动点(不与A，D重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N.求PM ＋PN的最大值；(3)设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)把B(3，0)，C(0，－2)代入y ＝23x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧23×32＋3b ＋c ＝0，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2，∴抛物线的解析式为：y ＝23x 2－43x －2； (2)设P(m ，23m 2－43m －2)， ∵PM ∥x 轴，PN ∥y 轴，点M ，N 在直线AD 上，∴N ⎝⎛⎭⎫m ，－23m －23， M ⎝⎛⎭⎫－m 2＋2m ＋2，23m 2－43m －2， ∴PM ＋PN ＝－m 2＋2m ＋2－m －23m －23－23m 2＋43m ＋2＝－53m 2＋53m ＋103＝－53⎝⎛⎭⎫m －122＋154. ∵－53<0， ∴当m ＝12时，PM ＋PN 的最大值是154；(3)能．理由：∵y ＝－23x －23交y 轴于点E ， ∴E ⎝⎛⎭⎫0，－23， ∴CE ＝43， 设P ⎝⎛⎭⎫m ，23m 2－43m －2， ①以CE 为边，∴CE ∥PF ，CE ＝PF ，∴F ⎝⎛⎭⎫m ，－23m －23， ∴－23m －23－23m 2＋43m ＋2＝43， ∴m ＝1，m ＝0(舍去)，∴F ⎝⎛⎭⎫1，－43； ②如图以CE 为对角线，连接PF 交CE 于G ， ∴CG ＝GE ，PG ＝FG ，∴G ⎝⎛⎭⎫0，－43.设P ⎝⎛⎭⎫m ，23m 2－43m －2，则F ⎝⎛⎭⎫－m ，23m －23， ∴12×⎝⎛⎭⎫23m 2－43m －2＋23m －23＝－43， ∵Δ＜0，∴此方程无实数根．综上所述，点F 的坐标为。
[初中数学]2018年中考数学特训方案(42份) 人教版38
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题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质1．(2017怀化中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为(C)A．20 B．18 C．16 D．152．(2017荆州中考)如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E 处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是(A)A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．(2017哈尔滨中考)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为__125__°.4．(2017北京中考)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．解：(1)∵∠ABD ＝90°，E 为AD 中点，∴在Rt △ABD 中，AD ＝2BE.又∵AD ＝2BC ，∴BC ＝ED.∵AD ∥BC ，∴ED ∥BC ，∴四边形BCDE 是菱形；(2)∵AD ∥BC ，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝∠BCA ，∴BA ＝BC ＝1.∵AD ＝2BC ＝2，∴sin ∠ADB ＝12，∴∠ADB ＝30°， ∴∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°.∴∠ACD ＝180°－30°－60°＝90°.在Rt △ACD 中，∵AD ＝2，CD ＝1，∴AC ＝ 3.5．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x －3交于A ，B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为(－4，－5)，点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵直线y ＝12x －3与抛物线交于A ，B 两点，其中点A 在y 轴上， ∴A(0，－3)．∵B(－4，－5)，把A(0，－3)，B(－4，－5)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝－3，16－4b ＋c ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝92，c ＝－3，∴抛物线解析式为y ＝x 2＋92x －3； (2)存在，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 2＋92m －3(m ＜0)， ∴D ⎝⎛⎭⎫m ，12m －3，∴PD ＝|m 2＋4m|∵PD ∥AO ，∴当PD ＝OA ＝3时，就存在以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形，∴|m 2＋4m|＝3，①当m 2＋4m ＝3时，∴m 1＝－2－7，m 2＝－2＋7(舍)，∴m 2＋92m －3＝－1－72， ∴P ⎝⎛⎭⎫－2－7，－1－72， ②当m 2＋4m ＝－3时，∴m 1＝－1，m 2＝－3，ⅰ.m 1＝－1，∴m 2＋92m －3＝－132， ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－132； ⅱ.m 2＝－3，∴m 2＋92m －3＝－152， ∴P ⎝⎛⎭⎫－3，－152. ∴综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2－7，－1－72或⎝⎛⎭⎫－1，－132或⎝⎛⎭⎫－3，－152. 错题重做原因：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 更正：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
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题型一次函数与反比例函数的图象与性质
．(佳木斯中考)如图，是反比例函数＝和一次函数＝＋的图象，若＜，则相应的的取值范围是()
．＜＜．＜．＜．＞
．(连云港中考)设函数＝与＝－－的图象的交点坐标为(，)，则＋的值是－．
．(天水中考)如图所示，一次函数＝＋与反比例函数＝的图象交于(，)，(－，)两点．()分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
()过点作⊥轴，垂足为点，连接，求△的面积．
解：()将点(，)代入＝，得：＝，
∴反比例函数解析式为＝，
当＝－时，＝－，
即＝－；
∴点(－，－)，
将点(，)，(－，－)代入＝＋，
得解得
∴一次函数解析式为＝＋；
()由题意知＝，
∴△＝××＝.
．(辽宁中考)如图，在平面直角坐标系中，双曲线＝经过▱的顶点，.点的坐标为(，)，＝.
点在轴上，且∥轴，
▱
()填空：点的坐标为；
()求双曲线和所在直线的解析式．
解：()(，)；
()∵双曲线＝经过点
(，)，
∴＝×＝，
∴双曲线的解析式为＝.
∵(，)，∥轴，
∴＝.
＝，
∵
▱
∴＝，
∴＝，
∴点纵坐标为－.
把＝－代入＝得，－＝，解得＝－，
∴，
设直线的解析式为＝＋，
代入(，)，得
解得
∴所在直线的解析式为＝＋.
．(河南中考)如图，一次函数＝－＋与反比例函数＝(＞)的图象交于点(，)和(，)．
()填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
()点是线段上一点，过点作⊥轴于点，连接，若△的面积为，求的取值范围．解：()＝－＋；＝；
()由()得＝，∴＝，则(，)．
设(，－＋)(≤≤)，则
＝·＝(－＋)＝－(－)＋.
∵－＜，
∴当＝时，有最大值，
当＝或时，有最小值，
∴≤≤.。