洪水超定量系列频率分析_王善序

定量计 算的设 计洪水结 果几乎 没有 什么差 别 。再 以(1)、(2)与
图 1 超定量发生次数分布(PO ISS ON)
3 抽样原则
根据统 计学原理以及上 述概率 模型 , 作为频 率分析依 据的 样本应满足独 立 、同分 布(independent identically distributed , 即 iid)条件 。 对超定量样n(1 - Pmax)] 其中 P max 为年最大超定量频率 。
(10)
2 .4 洪水超定量重现期
记 y(Pe)为超定量 频率曲线上频率为 Pe 的纵坐标 , 即频率
为 Pe 的 超 定 量 , 根 据 Poisson 过 程 的 稀 疏 定 理 , 事 件 {Y ≥
本文首先介绍国外文献中 PDS 理 论的基本 概率模型 、并采 用长江中游某支流 C 站 资料作 为实 例 。 对 上述 实际 工作 中可 能遇到的技 术关键进行探索 , 为今 后可能 采用洪 水超定 量系列 估计设计洪水作必要的技术准备 。
由于国外文献中的 PDS 与我国水 文界所指 的超定量系 列 ,
在抽样和样本构成方面并无实 质性区别 , 因此 , 本报告以后通称 它们为洪水超定量系列或超定 量洪水系列 , 简称超定量系列 , 或 超定量 。
2 概率模型
设 X 表示洪水随 机变量(如洪峰 流量 、各 种时段 洪量 等);
正实数 y 0 为出于某种考虑而设定的门限值(或称 base flow), 则 洪水超定量 Y 定义为 :
发生率的数学期望 。 显 然 , 这里把年 超定量 发生次 数看作 为泊
松计数过程 。
2 .2 超定量频率曲线(分布)
假定超定量服从 指数分布 , 它的概率密 度(pdf)和频率 曲线
分别为 :
f e(y)=
1 b
exp(-
y b
)
(4)
Pe(y)= Pr{Y
≥ y |y
≥
y
0}=
∞
∑ F max(y max)=
F
k e
·
e-r
r k/
k
!
k =0
= exp[ - r(1 - Fe)]
= exp[
-exp(-
y b
max)+ln
r
]
(8)
式中 Fe = 1 - Pe 为超定量分布 。 类似地 , 由式(8)可 得年最大
超定量频率曲线纵坐标 :
y max = b(z +ln r)
可知参数 r 为 K 的数学 期望 。 它表示 单位 时间(年)内洪
水超定量平均发生次 数 。
在随机点过程理论 中 , 通 常把一 个事件 的发生 看作为 一个
(随机)“ 点” 的发生 , 并称单位 时间内 发生的 点数为发 生率(rate
of occurrence)或强度(intensity)。 因此 , 参 数 r 即为 洪水超 定量
(3) 19 800 17 800 16 600 15 600 14 600 13 300 12 200 11 200 9 720 8 560
(1) 43 .5 41 .0 37 .5 35 .0 32 .4 29 .0 26 .4 23 .8 20 .4 17 .8
3 日洪量(亿 m3) (2) 43 .5 41 .0 37 .5 35 .0 32 .4 29 .0 26 .4 23 .8 20 .4 17 .6
(1) 21 600 20 300 18 600 17 400 16 100 14 400 13 200 11 900 10 200 8 960
洪峰流量(m3/ s) (2)
21 600 20 300 18 600 17 400 16 100 14 400 13 200 11 900 10 200 8 860
对式(5)两边取对数 , 即得 y =-bln(Pe(y))
此即为超定量频率曲线的纵坐标公式 。
(6) (7)
2 .3 年最大超定量分布
记 Y max 为一年内发生 的若干超 定量中 数值最 大的那 个超
定量 , 即年最大超定量 。 根据概率基本定理和前面的假 定 , 可得
年最大超定量 Y max 分布 :
长期以来 , 水文学家通常把洪水频率分析归结为极 值统计 , 在一年的观测资料中只采用最大一次洪水(如最大洪峰 流量 、最 大时段洪量 , … …)作为样 本进行分析 , 而摒 弃年内发 生的其它 洪水 , 尽管它们 之中 有 一些 也是 大 、或比 较大 的洪 水 。 这 也使 “ 资料短暂” 问题变得更为严峻 。
exp(-
y b
)
(5)
· 23 ·
V ol.30 No .8 人民长江 YANG T ZE RIV ER August 1999
其中 b 为参数 。 由式(4)可得洪水超定量的数学期望为 :
∞
∫ E(Y)= tf e(t)d t = b 0
连续洪峰过程 , 只取其中最大一次洪峰的 峰或洪量 ; 在前后 两次洪峰取样时 , 它们 的时差 必须大 于流域汇 流时 间 ;而且 , 在两 次洪水过程 之间 , 前次洪水应 己明显退 落到其起 涨流量之下 , 或接近汛期平时流量 。 不同年分的洪水可以认为是相互独立的 。
图 2 洪水超定量频率曲线(Exponential)
DO I :10.16232/j .cnki .1001 -4179.1999.08.010 第 30 卷 第 8 期 人民长江 REN M IN CHANG JIA NG 1999 年 8 月
◎ 水 文
洪水超定量系列频率分析
王善序
摘 要 扩大使用信息量是提 高设计洪水计算精度和促进洪水频率分析技术发展的关键之一 。 在现有研 究工作的基础上 , 首先介绍国外文献中 PDS(Partial Dura tio n Series)理论的基本概率模型 , 并采用长江中游某支 流 C 站资料作为实例 , 对实际工作中可 能遇到 的技术 关键进行 探索 , 结果 表明 , 采用 Poisson 标 值过程 模拟 C 站洪峰流量 、3 日洪量 和 7 日洪 量超定量是合适的 。 采用超定量系列不仅可充分 利用实测资 料中的洪水 信息 ; 而且 , 能提供所有对工程有影响洪水的频率特性 , 满足 各方面的要求 。 进行超定量洪水频率分析要选择合适的 门限值 。 超定量频率曲线采用指数分布 , 形式简单 , 特别是超定 量系列要比年最大系列长得多 , 如在本 例中 , 35 年实测资料得超定量 100 ～ 250 个 , 极大地缓和了频率分析中资料不足矛盾 。 主题词 洪水频率 洪水计算 设计洪水 概率模型 洪峰径流
4 实例计算及分析
4 .1 实例计算 选择长 江中游某 支流 C 站 资料 作为 实际 例子 。 该站 以上
流域面积约 15 000 km2 , 洪水 涨落 明显 , 属 山溪 性 河流 。 现有 35 年实 测流量 资料 。 另 据调 查 、考 证有 一历 史 洪水 , 为 近 150 年以 来最大 。 洪峰(日平 均)流量 、3 日洪 量和 7 日洪量 3 个超 定量系列的主要参数如表 1 。
目前公开发表的 PDS 学术论文 、研究报 告往往局限 于理论 性的探讨 , 而对许多实际应用 中的问题却 研究甚少 。 如 PDS 的 独立性保持 、门限值选取等重要问题极少涉及 。而且 , 研究都局 限于洪峰流 量超过值的频率 分析 , 但对时 段洪量 超定量 尚未见 有研究报导 。因此 , 有必要在现有研究工作的基 础上 , 对上述问 题作一次比较全面的分析和研究 。
Y = X -y 0
(1)
由于世界各国在 工程设计和防洪调度中都采以年为单位的
重现期作为防洪标准 , 在本文以下各部分 , 一律采用年作为时间
单位 。
2 .1 超定量发生次数概率模型
由于洪水固有的随机特性 , 可以认为 , 洪水超定量的发生也
是随机的 , 它在单位时间内发生次数 K 也是随机变量 。 假定 K
随着现 代水文观测站网 的发展 和完善 , 大多 数水文站 的观 测系列超过 30 年 。 有的 已超过 50 ～ 80 年 。 从 本世 纪 60 年代 以来 , 越来越多的水文学家 考虑如 何从有 限的观 测系列 中获取 更多的信息 呢 ? 于 是 , PDS(Par tial Duration Series)研 究应 运而 生 , 并吸引越来越多的水文学家的兴趣 , 发表了一系列的研究成 果 。 研究的对象(即样本)为所有洪水观测值减去事先选定的门 限值(base flow)后的超 过部份(ex ceedance), 并已 建立了 一套比 较完整的理论 。 据报 导 , 有些国 家已 采用 PDS 计 算设 计洪 水 。 实际上 , PDS 与我国 水文 界在 60 年代 初提 出的 超定 量抽 样相 似 。 遗憾的是 , 此后在我国 水文界 并未引 起广泛 的注意 和深入 研究 。
1 概 述
通过洪 水频率分析估计 工程设 计洪水已 有近百 年的历 史 。 但它一直是 水文学中最 具争论的 热点之 一 。 其中 , 最大 的困惑 是可供使用 的洪水信息 不足 , 即观测 资料系 列短暂 。 只 有几十 年(有时甚至不足 20 年), 却要求估计百年 、甚至数千年 、万年一 遇的洪水 , 任务十分艰难 。 因此 , 扩大使用信息量一直是提高设 计洪水计算精度和促进洪水频率分析技术发展的关键之一 。
洪峰流量模型拟合情况可见图 1 ～ 图 3。 上述各图均 显示 :
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图 3 年最大洪水超定量频率曲线
第 30 卷 第 8 期 人民长江 REN M IN CHANG JIA NG 1999 年 8 月
表 2 C 站设计洪水值
重现期 (年) 1 0000 5 000 2 000 1 000 500 200 100 50 20 10
y(Pe)}构成强度为 rpe 的泊松过程 。