洪水频率计算规范方法

洪水频率计算规范方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】附录A 洪水频率计算A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定 参数估计法A1.1.1 矩法。

对于n 年连序系列，可采用下列公式计算各统计参数: 均值 ∑==ni i X n X 11（A1）均方差 ∑=--=ni i X X n S 12)(11或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i n i i i X n X n S 1212)(111（A2）变差系数 XSC v =（A3）偏态系数 3313)2)(1()(vni i sCX n n X X n C ---=∑=或 3313112132)2)(1()(23vni ni i n i i ni i i s CX n n n X X X n X n C --+⋅-=∑∑∑∑====（A4）式中 X i ——系列变量（i=1，…，n ）； n ——系列项数。

对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。

如果在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水（其中有l 个发生在n年实测或插补系列中），假定（n-l ）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a ）年系列的相等，即l n a n l n a N S S X X ----==,，可推导出统计参数的计算公式如下：)(111∑∑+==--+=nl i i a j j X l n a N X N X （A5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--=∑∑++==n l i i a j jv X X l n a N X X N XC 1212)()(111（A6）331313)2)(1()()(vn l i ia j j s C X N N X X l n a N X X N C --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∑∑+==（A7）式中 X j ——特大洪水变量（j=1，…，a ）；X i ——实测洪水变量（i=l +1，…，n ）。

A1.1.2 概率权重矩法。

概率权重矩定义为⎰=10)(dF x xF M j j j=0,1,2,…（A8）皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。

但经推导有：o M X =（A9）)21(01-=M M H C v （A10）2/3/0102M M M M R --=（A11）式中，H 和R 都和C s 有关，并已有近似的经验关系如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=++-=)431()3/4(154.9472.1051.1341.1612.0432R R R u u u u u C s （A12）⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=++-+=)341()3/4()1(60938.36315.2985.29545.314.02432R R R V V V V V H（A13）为保证C v 和C s 有二位小数准确，要求在用式（A11）计算R 时，M 0、M 1和M 2的计算值至少达到5位有效数字。

1 根据连序系列计算概率权重矩。

将洪水系列按从大到小顺序排列，样本概率权重矩按下式计算：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-----=--==∑∑∑===n i in i in i i on n i n i n X n M n in X n M X n M 12111)2)(1()1)((1111 （A14）2 根据含历史洪水特大值的不连序样本计算概率权重矩。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------+-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=∑∑∑∑∑∑=-==-==-=a j l n i i j a j l n i i j a j l n i i j o X l n l n i l n i l n l n a N C X N N j n j N N M X l n i l n l n a N C X N j N N M X l n a N X N M 1122111111)2)(1()1)(()2)(1()1)((11111 (A15) 式中，C 1，C 2都是对不连序系列中实测洪水概率权重的修正系数。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=2211111N a N C N a N C(A16)A1.1.3 双权函数法。

均值仍用矩法，如式（A1）计算。

而C v 和C s 的计算公式为111112121H E D A H k E Xh C v +--=（A17）)1(2112hD A C X C C v v s +-= （A18）式中，k 、h 是待优选的系数，可采用未加权的、数值积分计算的C v ，按下式选定：h=C v ，K=1/C v 。

⎰∞Φ-=δdx x f x X X E )()()(11（A19）⎰∞Φ-=δdx x f x X X H )()()(121（A20）⎰∞=δψdx x f x A )()(11（A21）⎰∞-=δψdx x f x X X D )()()(11（A22）第一权函数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Φ2222)(exp 2)(X X X k X kx π （A23）第二权函数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=X X X h x )(exp )(1ψ（A24）积分式（A19）~式（A22）可用数值积分公式计算。

例如，当n 为奇数时，采用权积分系数：8，-4，8，1，4，2，4，2，…，2，4，1，8，-4，8，总权数=3（n+1）；当n=偶数时，采用64，-32，64，8，32，16，32，16，…，32，17，27，27，17，32，16，32，…，16，32，8，64，-32，64，总权数=24（n+1）。

A1.1.4 线性矩矩法。

1 线性矩的定义设随机变量为X ，其取值为x ，分布函数为F(x)，密度函数f(x)。

概率权重矩可定义为,)())(1(10x dF x F x r r -=⎰α（A25）)()(1x dF x F x r r ⎰=β（A26）在此基础上，定义线性矩?r (L-Moment)为 )())((*11x dF x F P x r r -⎰=λ（A27）其中： ∑=--+-=rk k k r ru k r k k r u P 02*)!()!()!()1()( (A28)一般地，这种定义的线性矩与概率权重矩的关系如下： ∑∑=-=-+-+-=-+--=rk k k r rk k k r r r k r k k r k r k k r 02021)!()!()!()1()!()!()!()1()1(βαλ （A29）线性矩与矩都可作为概率分布的位置、离散和形状特征的度量。

它们各自表示方法见表A1.1.4。

表A1.1.4 总体与样本线性矩与矩的表示符号2 线性矩与Pearson-III 分布统计分布参数关系 设P-III 分布密度函数如下：),0,()()()(0)(100a x e a x x f a x >>-=---βαατββαα（A30）由于?，?，a 0与线性矩关系复杂，故给出近似算法： ,201λβαλ+=a（A31）βααπλ/)(/)(212Γ+Γ= （A32）);1(122113322110321≥+++++≈------ααααααατB B A A A A (A33));1(1221133221104≥+++++≈-----αααααατD D C C C C（A34）)1(1133221332213<++++++≈ααααααατF F F E E E（A35）)1(1133221332213<++++++=ααααααατF F F G G G （A36）系数321321321321213210213210,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,H H H G G G F F F E E E D D C C C C B B A A A A 取值分别是：0.，0.，，，0.，0.，0。

2，，,，0.，0.,，，0.，，，,,,,,,。

3 连序系列时样本线性矩公式设样本为n n n n x x x ::2:1≤⋅⋅⋅≤≤，则线性矩4321,,λλλλ,对应的样本矩l 1，l 2，l 3,l 4计算公式由如下：l 1 =b 0 （A37）l 2 =2b 1-b 0 （A38）l 3 =6b 2-6b 1+b 0 （A39）l 4=20b 3-30b 2+12b 1-b 0 （A40）3τ= l 3 /l 2 （A41）4τ= l 4 /l 2 （A42）n j nj x n b :101∑==（A43）∑=--=n j n j x n j n b 2:1)1()1(1（A44）∑=----=nj nj x n n j j nb 3:2)2)(1()2)(1(1（A45）∑=------=n j n j x n n n j j j n b 3:3)3)(2)(1()3)(2)(1(1（A46）4 根据含历史洪水特大值的不连序样本计算的线性矩公式设水文样本最大重现期N ，历史洪水个数a ，实测期历史洪水个数为l ，实测期样本长度n ，且由小至大排列的样本为{}a l n m x m +-⋅⋅⋅=',2,1, ，则计算公式()⎥⎦⎤'---+-+--+-+-+⎢⎣⎡'--------------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--+-+-+'--------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'--=∑∑∑∑∑∑+-+-=-=+-+-=-=+-+-=-=al n l n m m l n m m al n l n m m l n m mal n l n m m l n m m x N N m a l n N m a l n N x N N a N a N l n l n m m l n a N N b x N m a l n N x N a N l n m l n a N N b x x l n a N N b 112111110)2)(1()2)(1()2)(1()2)(1()2(1)2)(1(111111111（A47）适线法适线法的特点是在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数。

一般地，可根据洪水系列的误差规律，选定适线准则。

当系列中各项洪水的误差方差比较均匀时，可考虑采用离（残）差平方和准则；当绝对误差比较均匀时，可考虑采用离（残）差绝对值和准则；当各项洪水（尤其是历史洪水）误差差别比较大时，以采用相对离差平方和准则为宜；或采用经验适线法。

A1.2.1 离差平方和准则。

也称最小二乘估计法。

频率曲线统计参数的最小二乘估计使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差（即离差或残差）平方和达到极小。