福建省莆田一中2011期中考试高三数学理科
福建省莆田一中2010-2011学年高二上学期期中考试数学试题(文)
莆田一中2010-2011学年度上学期第一学段考试试卷高二数学文科试卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、命题“负数的平方是正数”的逆否命题是（ ） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是负数，则它是正数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2、抛掷一枚质地均匀的硬币1000次，第999次正面朝上的概率为 （ ）A.9991B.21 C ．32D ．无法确定3、甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示。
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数 ②甲同学的平均分比乙同学高 ③甲同学的平均分比乙同学低④甲同学的方差小于乙同学成绩的方差，上面说法正确的是（ ） A ．③④ B ．①②④ C ．②④ D ．①③④4、“|x |＜2”的（ ）条件是“260x x --<”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、运行如图所示的程序框图后，若输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）A.2B.3C.4D.56、在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A ．201B ．151C ．51D ．617、将参加军训的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则第Ⅱ营区被抽中的人数为（ ） A ． 16, B ．17 C ．18 D ．198、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A ．2160B ．2880C ．4320D ．8640 9、已知0x 是函数2()2log x f x x =+的一个零点.若1x ∈（0，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则（ ） Af(1x )＜0，f(2x )＜0 Bf(1x )＜0，f(2x )＞0 Cf(1x )＞0，f(2x )＜0 Df(1x )＞0，f(2x )＞010、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -= （ ）A ．-3 B.-1 C. 1 D. 3 11、已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是（）[来源:学*科*网]A ．916B ．932C ．716D ．233212甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ，对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当13a a >时，甲获胜，否则乙获胜。
理综试卷·福建省莆田一中2011届高三模拟考2011-6-2
莆田一中2011届高三模拟考理综试卷2011-6-2本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷为必考题，第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分满分300分，考试时间150分钟可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Cl-35.5Fe-56 Cu-64第Ⅰ卷（选择题 共108分）本卷共18题，每小题6分，共108分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 奶牛场每天排放大量的粪便、饲料残渣，如不处理会严重影响周边人、畜的饮水安全等。
下图是某奶牛场废水处理流程图。
下列叙述不正确．．．的是（ ）A ．输入此净化塘的能量有太阳能和化学能B ．净化塘中的风车草、圆田螺、莲共同构成生物群落C ．净化塘后部的溶解氧含量比前部的高D ．生态系统的自我调节能力有限，废水不能过量流入净化塘2．如图所示，甲图表示胚芽鞘受到单侧光的照射，乙图表示不同浓度生长素溶液对胚芽鞘生长的影响，如果甲图中b 处的生长素浓度为m ，设a 处的生长素浓度为X ，则（ ）A ．m<X<nB ．０<X< mC ．n<X<iD ．X>i 3． 小鼠精原细胞在含3H 标记的胸腺嘧啶脱氧核苷酸培养基中完成一个有丝分裂细胞周期，然后在不含放射性标记的培养基中培养至减数第一次分裂后期， 其染色体的放射性标记分布情况是（ ）A ． 每条染色体的两条单体都被标记B ． 每条染色体的两条单体都不被标记C ． 只有半数的染色体中一条单体被标记D ． 每条染色体中都只有一条单体被标记 4．下图所示为甲型H1N1病毒在人体细胞中的一些变化以及相关反应，有关叙述正确的是（ ）净化塘①图中②过程与细胞表面的蛋白质有关②C细胞表示效应T细胞③x细胞可以表示两种细胞即效应B淋巴细胞和记忆B淋巴细胞④图示说明侵入机体的病毒需要细胞免疫和体液免疫共同作用清除A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①③④5.右图是一个生态系统内成分的相互关系图，下列叙述错误的是（）A．由于长期使用DDT，c类群产生了对DDT的抗药性，c类群抗药性增强的主要原因是自然选择的结果B．如果大量捕杀e，d的数量变化是先增多后减少最后稳定C． f是分解者,硝化细菌属于 f, 可以用取样调查的方法测定b的种群密度。
福建省莆田一中高三上学期期中考试数学理试题
福建省莆田一中2015届高三上学期期中试数学理试卷命题人： 审核人：高三备课组第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A ={x |-2<x <3},B ={x |x ≤1或x ≥4}.若全集U =R ,则A ∩C U B = ( )A.{x |1<x ≤3}B.{x |1<x <3}C.{x |1≤x <3}D.{x |x ≤1或x ≥3} 2.若z =1-i(i 为虚数单位),则z (z -1)等于 ( )A.-1-iB.-1+iC.2iD.-2i3.下列函数f (x )中,满足“对定义域内的任意一个x 都有f (-x )+f (x )=0,且在区间(0,+∞)上恒有 f '(x )>0”的是 ( )A.f (x )=1x B.f (x )=x ² C.f (x )=x 3 D.f (x )=e x4.设函数f (x )=13x -ln x (x >0),则y =f (x )( )A 在区间(1e ,1),(1,e )内均有零点；B 在区间(1e ,1),(1,e )内均无零点；C 在区间(1e ,1)内有零点,在区间(1,e )内无零点；D 在区间(1e ,1)内无零点,在区间(1,e )内有零点. 5.给出下列结论,其中错误的是 ( )A.若命题p ：∃x 0∈R, x 0²+x 0+1<0,则¬p ：∀x ∈R, x 2+x +1≥0；B. ∀x ∈R,2x >x 2；C.“若am ²≤bm ²,则a ≤b ”是假命题；D.“a >1,b >1”是“ab >1”的充分条件.6.若函数f (x )与函数g (x )=2x 互为反函数,且f (a )+f (b )=4,则1a +1b 的最小值为 ( )A.1B.12C.13D.147.给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在(-π6,π3)上是增函数.则同时具有上述性质的一个函数是 ( )A.y =sin(x 2+π6)B.y =cos(x 2-π6)C. y =sin(2x -π6)D.y =cos(2x +π3)8.已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y -4≥0x +2y -7≤0ax -y -2≤0,且x ²+y ²的最小值为8,则正实数a 的取值范围是( )A.(0,5]B.[2,5]C.[3,+∞)D.(0,2]9.已知a 是实数,则函数f (x )=1|a ·2x +1|-2的图象不可能是( )A B C D10.一次研究性课常上,老师给出了函数f (x )=x1+|x |(x ∈R ),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f (x )的值域为(-1,1)； ②若x 1≠x 2,则一定有f (x 1)≠f (x 2)③若规定f 1(x )= f (x ), f n (x )=f (f n -1(x )),则f n (x )=x1+n |x |对任意的n ∈N *恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数是 ( )A.0个B.1个C.2个D.3个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)11.曲线y =x 3-x +3在点(1,1)处的切线方程为 .12.计算定积分⎠⎛-11(x ²+sin x )dx = 13.已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为 .14.设ΔABC 的三边长分别为a ,b ,c ,ΔABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c ,类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1, S 2, S 3, S 4,内切球半径为r ,四面体S -ABC 的体积为V ,则r =15.已知数列{a n }的通项公式为a n =sin 2n π3+n cos 2n π3,其前n 项的和为S n ,则S 3n = .三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.) 16.(本小题满分13分)已知在等差数列{a n }中,a 1=2,a 4=11,在等比数列{b n }中,b 1=a 32,b 4=a 11, (Ⅰ)求等比数列{b n }的通项公式b n ； (Ⅱ)求证数列{b n +1}不可能是等比数列.17.(本小题满分13分)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ²+4x +1， (x ∈[-4,0])A sin(ωx +ϕ)，( x ∈(0,5π3]))(其中|ϕ|<π2)在区间(0,5π3]上的图象如下图所示,则：(Ⅰ)求f (x )的在区间(0,5π3]上的解析式；(Ⅱ)若f (x )=m 恒有实数解,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分13分)已知向量→a =(1+sin2x ,sin x -cos x ),→b =(1,sin x +cos x ),函数f (x )=→a ·→b (Ⅰ)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(Ⅱ)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是三个内角A ,B ,C 所对边,若f (A2)=2,a =2,求△ABC 面积的最大值.(Ⅰ(Ⅱ20.(本小题满分14分)已知函数f (x )=ln(x +1a )-ax ,其中a ∈R 且a ≠0(Ⅰ)讨论f (x )的单调区间；(Ⅱ)若直线y =ax 的图像恒在函数f (x )图像的上方,求的取值范围;(Ⅲ)若存在-1a <x 1<0, x 2>0,使得f (x 1)=f (x 2)=0,求证：x 1+x 2>0.21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与点(0,-2), (Ⅰ)求矩阵M ；(Ⅱ)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m :x -2y =4,求直线l 的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t y =1+2t (t 为参数)和圆的极坐标方程ρ=22sin(θ+π4).(Ⅰ)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程为直角坐标方程； (Ⅱ)判断直线l 和圆C 的位置关系.(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲已知不等式x ²-5ax +b >0的解集为{x |x >4或x <1} (Ⅰ)求实数a ,b 的值；(Ⅱ)若0<x <1, f (x )=a x +b1-x ,求f (x )的最小值.莆田一中2014-2015学年度上学期第一学段考试卷答案2014-11高三数学理科一、选择题（共50分） BACD BBCD CD 二、填空题（共20分）11.2x -y +1=0 12.23 13.-24 14.3V S 1+S 2+S 3+S 415.3n2三、解答题：(共80分) 16.(本小题满分13分)解：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则 ∵a 1=2,a 4=11,∴d =a 4-a 14-1=3,∴a n = a 1+(n -1)d =3n -1,∴b 1=a 32=4,b 4=32∴q 3=8即q =2 ∴b n = b 1q n -1=4×2n -1=2n +1 .................................................. 6分 (Ⅱ)若{b n +1}是等比数列,则b 1+1, b 2+1, b 3+1是等比数列, 由(Ⅰ)可得b 1=4, b 2=8, b 3=16,显然{b n +1}的前3项依次为5, 9, 17, 由于5×17=85, 9²=81∴b 1+1, b 2+1, b 3+1不是等比数列,∴数列{b n +1}不可能是等比数列. ............................... 13分 证法二：假设{b n +1}是等比数列,则： (b n +1+1)(b n -1+1)=(b n +1)²(n ∈N *) ∴b n +1b n -1+b n +1+b n -1+1= b n ²+2b n +1 ∴b n +1+b n -1=2b n ∴q ²-2q +1=0解得q =1,这与已知矛盾,即假设不成立,∴数列{b n +1}不可能是等比数列. ............................... 13分17.解：(Ⅰ)由图象可知A =2,T =4(5π3-2π3)=4π,∴ω=2πT =12,∴f (x )=2sin(12x +ϕ), x ∈(0,5π3],又图象过点(2π3,2)即sin(π3+ϕ)=1,∵|ϕ|<π2,∴ϕ=π6,∴f (x )=2sin(12x +π6), x ∈(0,5π3], ........................................... 6分 法二：上同由图象知：(2π3,2)是五点法作图中的第二点, ∴12×2π3+ϕ=π2即ϕ=π6,∴f (x )=2sin(12x +π6), x ∈(0,5π3], ........................................... 6分(Ⅱ)方程f (x )=m 恒有实数解⇔m ∈{f (x )|x ∈[-4,5π3]},①当x ∈(0,5π3]时,由图象可知f (x )∈[0,2], ②当x ∈[-4,0]时,f (x )=x ²+4x +1=(x +2)²-3, ∴f (x )min =f (-2)=-3, f (x )max =f (-4)=f (0)=1, ∴此时f (x )∈[-3,1],综上所述,函数f (x )的值域为[-3,2],∴f (x )=m 恒有实数解时,实数m 的取值范围为[-3,2]. .. 13分解法二：方程f (x )=m 恒有实数解⇔m ∈{f (x )|x ∈[-4,5π3]}, 在同一坐标系中作出函数f (x )在x ∈[-4,0]上的图象如下,由图象可知函数f (x )的值域为[-3,2],∴f (x )=m 恒有实数解时,实数m 的取值范围为[-3,2]. .. 13分 18.(本小题满分13分) 解：(Ⅰ)∵→a =(1+sin2x ,sin x -cos x ),→b =(1,sin x +cos x ), ∴f (x )=→a ·→b =1+sin2x +sin²x -cos²x , ................................. 2分 =1+sin2x -cos2x ,=1+2sin(2x-π4), ............................................................... 4分∴当2x-π4=2k π+π2即x =3π8+k π,k ∈Z 时,函数取得最大值1+ 2. .......................................................................................... 6分(Ⅱ)由(I)知f (A 2)=2时,sin(A-π4)=22, ................................ 7分∴A -π4=2k π+π4或A -π4=2k π+3π4,即A =π2+2k π或A =π+2k π,k ∈Z , ......................................... 9分 ∵A 是三角形的一个内角,∴A =π2,即△ABC 是直角三角形. ∵a =2,∴b ²+c ²=4,∴S △ABC =12bc ≤b ²+c ²4=1(当且仅当b =c =2时,取得最大值), ∴△ABC 面积的最大值为1. ......................................... 13分分分分分分分 分 分分 分 Δ≤0或⎩⎨⎧Δ>0a 2≤2f '(2)=8-4a -2a ≥0,即-4≤a ≤0或⎨⎧a <-4或a >0a ≤4≤4,解：(Ⅰ)f (x )的定义域为(-1a ,+∞).其导数f '(x )=1x +1a-a =-a ²xax +1 .............................................. 1分①当a <0时, f '(x )>0,函数在(-1a ,+∞)上是增函数; .......... 2分②当a >0时,在区间(-1a ,0)上, f '(x )>0;在区间(0,+∞)上, f '(x )<0.所以f (x )在(-1a ,0)是增函数,在(0,+∞)是减函数. .............. 4分(Ⅱ)当a <0时,取x =e -1a ,则f (e -1a )=1-a (e -1a )=2-ae >ae -1=a (e -1a ),不合题意.当a >0时, 令h (x )=ax -f (x ),则h (x )=2ax -ln(x +1a ) ............. 6分 问题化为求h (x )>0恒成立时a 的取值范围.由于h'(x )=2a -1x +1a =2a (x +12a )x +1a ........................................... 7分∴在区间(-1a ,-12a )上, h'(x )<0;在区间(-12a ,+∞)上, h'(x )>0.∴h (x )的最小值为h (-12a ),所以只需h (-12a )>0,即2a ·(-12a )-ln (-12a +1a )>0∴ln 12a <-1即a >e2 ............................................................. 9分(Ⅲ)由于当a <0时函数在(-1a,+∞)上是增函数,不满足题意,所以a >0构造函数g (x )=f (-x )-f (x )( -1a <x <0)∴g (x )=ln(1a -x )-ln(x +1a )+2ax ............................................. 11分则g (x )= 1x -1a -1x +1a =2ax ²x ²-1a ²<0所以函数g (x )在区间(-1a ,0)上为减函数. ∵-1a <x 则g (x 1)>g (0)=0,于是f (-x 1)-f (x 1)>0-f (x ),又f (x 1)=0, f (-x 1)>0=f (x 2),由f (x )在(0+∞)上为减函数可知x 2>-x 1.即x 1+x 2>0 ........ 14分21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解：(Ⅰ)设矩阵M =⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ,则： ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫-21=⎝ ⎛⎭⎪⎫0-2， 即⎩⎨⎧a -b =-1c -d =-1-2a +b =0-2c +d =-2，解得⎩⎨⎧a =1b =2c =3d =4 ∴M =⎝⎛⎭⎪⎫1 23 4， .................................................................. 3分 (Ⅱ)设(x ,y )经M 的变换作用后变为(x',y')则： ⎩⎨⎧x'=x +2y y'=3x +4y 又x'-2y'=4∴(x +2y )-2(3x +4y )=4即l ：5x +6y +4=0 .......................... 7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为y =2x +1, .......................... 2分ρ=22sin(θ+π4)可化为ρ²=2ρsin θ+2ρcos θ∴x ²+y ²=2y +2x即圆C 直角坐标方程为(x -1)²+(y -1)²=2 ......................... 4分 (Ⅱ)圆心(1,1)到直线2x -y +1=0的距离为 d =|2-1+1|2²+1²=25<2,∴直线与圆相交 .............................................................. 7分 (3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)依题意可得⎩⎨⎧4+1=5a 4×1=b 即⎩⎨⎧a =1b =4 ........................... 2分(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=1x +41-x∵0<x <1,∴0<1-x <1, 1x >0,41-x >0, ∴1x +41-x =(1x +41-x )[x +(1-x )]≥(1x ×x +21-x×1-x )²=9当且仅当1x x =21-x 1-x即x =13时,等号成立。
福建省莆田市2011届高三高中毕业班质量检查试卷数学理
福建省莆田市2011届高中毕业班教学质量检查数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A 、B 互相独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅; 样本数据12,,,n x x x 的标准差；(n s x x =++-x 为样本平均数;锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题,共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的,把答案填写在试卷的指定位置。
1．复数(1)(z i i i =-+为虚数单位)在复平面内所对应的点位于( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“点*(,)()nnP n a n N ∈都在直线1y x =+上”是“数列{}na 为等差数列”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不必要条件3．已知函数()(0,1)xf x aa a =>≠是定义在R 上的单调递减函数，则函数4()log (1)g x x =+的图象大致是（ ）4．某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．的是（ ）5．一组数据由小到大依次为2，2，a ,b ，12，20。
已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则a ,b 的值分别为 （ ) A ．3，9B ．4，8C ．5，7D ．6,66．某程序框图如右图所示，若该程序运行后输出n 的值是4，则自然数0S 的值为( ）A ．3B ．2]C ．1D ．07．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局,乙共打了6局,而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了（ ）A ．9局B ．11局C ．13局D ．18局8．若双曲线22213x y a-=的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．69．已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是( ）A ．（1,2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞10．若1,a xdx b c ===⎰⎰⎰,则a ，b ，c 的大小关系是( ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分,把答案填写在试卷的指定位置。
2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则（ ）．A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈D ．2iS ∈ 【解】2i 1S =-∈．故选B ．2．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件【解】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 3．若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【解】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ． 4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ΔABE 内部的概率等于（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．23 【解】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ． 5．()10e 2x x dx +⎰等于（ ）．A ．1B ．e 1-C ．eD ．e 1+【解】()()112000e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=⎰．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于（ ）．A ．80B ．40C ．20D ．10D C BE A【解】15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）． A ．12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【解】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩所以12c e a ==． 若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）．A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,2-【解】设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+．作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅的取值范围是[]0,2．故选C ．9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c ∈Z )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能是（ ）．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【解】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数.故选D ．10．已知函数()e x f x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ΔABC 一定是钝角三角形②ΔABC 可能是直角三角形③ΔABC 可能是等腰三角形④ΔABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）．A ．①,③B ．①,④C ．②,③D ．②,④【解】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=-- 22a b a be e e ++=-2220a ba b a b e e e +++≥=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭， ()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ① 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作B FC P ⊥交CP 于F ． 因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2AC B x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部， 因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确；所以结论①，④正确．故选Ｂ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【解】3．123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______．【解2Δ1123334ABC V S PA =⋅=⨯⨯= 13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．【解】35． 所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 14．如图，ΔABC 中，2AB AC ==，BC =点D 在BC边上，45ADC ∠=︒，则AD 的长度等于______．【解．解法1．由余弦定理222cos 22AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅, 所以30C =︒.再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以AD = 解法2．作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC的中点，因为BC =，则EC =．D B C AE D B CA于是1AE ==，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以AD =15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V →R 满足：对任意向量()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，以及任意λ∈R ，均有()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f m x y m x y V→=-=∈R ； ② ()()222:,,,f V f m x y m x y V →=+=∈R ；③ ()()33:,1,,f V f m x y m x y V →=++=∈R ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）．【解】①，③．设()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλ． 对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλ()()()11221x y x y =-+--λλ， ()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλ，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，①是具有性质P 的映射； 对于②， ()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλ()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ， ()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，所以②不是具有性质P 的映射；对于③， ()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ， ()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλ()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，③是具有性质P 的映射． 因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A =+><<ϕϕπ在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解】（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =． 所以11211333n n n n a a q ---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值， 则sin 216⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭πϕ，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ． 函数()f x 的解析式为()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π． 17.（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m ∈R ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点P 的坐标为()0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则r MP === 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．解法2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,,m r r ⎧+==解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． （Ⅱ）解法1．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=，2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:ly xm '=--．设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-． 所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
福建省莆田一中2011届高三上学期期中试题数学文
莆田一中2010—2011学年度上学期第一学段高三数学（文科）试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在下列结论中,正确的是（ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件； ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件； ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件; ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件A 。
①② B. ①③ C 。
②④ D. ③④2.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，；则0x <时 （ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，3．在△ABC 中，关于x 的方程(1+22)sin 2sin (1)sin 0x A x B x C +⋅+-＝有两个不等的实数根，则角A 为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．不存在4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值,则 （ ）A ．0>bB 。
1<b C 。
10<<bD.21<b( ）A ．3B ．7C ．15D ．316．{}na 是等比数列,其中37,a a 是方程22350x kx -+=的两根,且23728()41a a a a +=+，则k 的值为（ ）A． BC ．23±D ．38 ±7．下列结论正确的是（ )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,1≥+>xx x C ．xx x 1,2+≥时当有最小值2D ．当xx x 1,20-≤<时有最大值328.设S n 是等差数列{}na 的前n 项和，若,159=S S=35a a（ ） A ．59B ．95C ．53D ．359。
福建省莆田第一中学2024届高三上学期期中考试数学试题
莆田一中2023-2024学年度上学期高三期中考试卷数学试题1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.1.设集合{}{24,A x x x B x y =≤==，则A B ⋂=Rð（）A.[)0,3 B.(]0,3 C.[]3,4 D.(]3,42.实数,x y 满足21,0x y x +=->，则yx x-的最小值为（）A.1B.2C.3D.43.设α是第二象限角，P （x ，1）为其终边上一点，且1cos 3x α=，则tan α=（）A.22-B.24C.22 D.244.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（）A.18B.69C.612D.635.已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '-<，()01f =，则（）A.()e 11f -< B.()1ef > C.1e 2f ⎛⎫<⎪⎝⎭D.()11e 2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭6.已知()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图象的一条对称轴是x =（）A.π6 B.π3C.2π3D.5π67.函数()(),01,21,20x x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的图象大致为（）A.B.C. D.8.在三棱锥-P ABC 中，6,2PA PB PC AC AB =====，且AC AB ⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.16πD.24π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列化简结果正确的是（）A.1cos22sin52sin22cos522︒︒-︒︒= B.tan24tan3631tan24tan36︒︒︒-︒+=C.cos15sin152︒-︒=D.1sin15sin30sin754︒=︒︒10.下列命题正确的是（）A.“1x >”是“2232xx +>”的充分不必要条件B.2log 211log 27lg25lg472+++=C.函数()[]2sin ,0,πf x x x x =-∈，则()πππ62f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.函数()21,1,2log ,1,xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩若()2f x ≤，则实数x 的取值范围是[]1,4-11.已知0ω>，函数()πcos 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数()2ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则（）A.若函数()()g x f x k =-有两个零点，则01k ≤≤B.当0x >时，()32f x x <恒成立C.若方程()()ff x a =有5个解，则实数a 的取值范围是1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭D.若过点(),(0)P a a a >与曲线()f x 相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是()e,+∞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()322f x ax bx x =-+是定义在[]21,3a a +-上的奇函数，则a b +=______.14.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cosα10=，则1sin2cos2αα-=______．15.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图像如右图所示，则()f x 在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域为______．16.已知实数,a b 满足32e e e ,ln e ab a b==，其中e 是自然对数的底数，则ab 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()()26cos 30f x x x ωωω=+->的最小正周期为8．（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）若()05f x =，且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值．18.已知函数()()32R f x x bx c x =++∈的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线330x y -+=垂直.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()y f x =的图象与抛物线213412y x x m =-+-恰有三个不同交点，求m 的取值范围.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，,PA PC AB AC ⊥⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，24AC PA ==．（1）证明：PB PC ⊥；（2）若三棱锥-P ABC 的体积为，求平面ABC 与平面PBC 所成角的余弦值．20.已知函数()sin xf x x=．（1）当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 的最小值；（2）若()33e xx g x x x a =-+-，且对1π0,2x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，都[]20,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≤成立，求实数a的取值范围．21.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为25，平局概率为15；甲、丙对局时，甲胜概率为13，平局概率为13；乙、丙对局时，乙胜概率为12，平局概率为16.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：（1）甲积分的期望；（2）甲、乙积分相同的概率22.已知函数()()ln f x x x k k =--（1）讨论函数()f x 在[]1,e 上的单调性；（2）若函数()()xf x kxg x +=在[]1,e 上单调递减，求实数k 的取值范围．。
福建省莆田一中高三数学上学期段考试试题 理(含解析)新人教A版
莆田一中2013–2014学年度上学期第一学段考试试卷高三 理科数学试卷满分 150分 考试时间 120分钟第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 1.已知集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{<-=x x x B ，则B A =( ) A ．}20|{≤<x x B ．}0|{<x x C ．2|{≤x x ，或}3>x D ．0|{<x x ，或}2≥x2.已知a 为常数，则使得e 11d a x x>⎰成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A ．0>a B ．0<a C ．e >a D ．e <a3.已知抛物线2x =的准线过双曲线2221x y m-=-的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.4B.2D.34.ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别,,a b c ，且c o s ,c o s ,o s a Cb Bc A 成等差数列，则角B 等于（ ） A .030B. 060C. 090D.01205.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2πϕ＜）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x=的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移6π个长度单位 B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位D.向左平移3π个长度单位6.已知O 为坐标原点，直线y x a =+与圆224x y +=分别交于,A B 两点．若2-=⋅OB OA ，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1±D ．2±7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ） A ．5 B ．52C ．32D ．1788.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ） A ．130B ．115C ．110 D ．15【答案】C ． 【解析】试题分析：由已知把第二个及第三个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共323323A A A 种方法，而三个学校的学生随便排有66A 种方法，有古典概型的概率计算公式得所求概率32332366110A A A P A ==，故选C ． 考点：古典概型的概率计算．9.设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m =，11(,sin )n x x =．点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（ ） A ．1,2π B ．2,π C ．1,42π D ．2,4π10.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数：①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x =()2g x x =+；③xx f -=e )(，1()g x x=-；④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是（ ） A ．①② B ．③④ C ． ②③ D ．①④第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.732x⎛⎝的展开式中常数项为 ．12.已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-= ．【答案】0.2． 【解析】试题分析：由正态分布曲线及其性质可得(2)(2)1(2)0.2P P P ξξξ<-=>=-<=． 考点：正态分布曲线及其性质．13.已知变量,x y 满足20230,0x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则2log (1)z x y =++的最大值是 ．试题分析：如图作出不等式组表示的可行域可知，当1,2x y ==时，z 取最大值，max 2log (121)2z =++=．考点：线性目标函数的最值问题．14.已知()41xf x =+，()4xg x -=，若偶函数()h x 满足()()()h x mf x ng x =+（其中m ，n 为常数），且最小值为1，则m n += ．【答案】23．【解析】试题分析：()h x 是偶函数，()()h x h x ∴-=，即()()414414xxx x m n m n --++⋅=++⋅，()()()()440,,441x x x x m n m n h x m --∴--=∴=∴=++．又()h x 的最小值为1，()()()112441131,,,333x x h x m m m m n m m n -∴=++≥==∴=∴==∴+=．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的最值；3．均值不等式．15.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②()11f =；③若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤都有()()()1212f x x f x f x +≥+ 成立；则称函数()f x 为ϖ函数． 下面有三个命题：（1）若函数()f x 为ϖ函数，则()00f =；（2）函数()[]()210,1xf x x =-∈是ϖ函数；（3）若函数()f x 为ϖ函数，假定存在[]00,1x ∈，使得()[]00,1f x ∈，且()00f f x x =⎡⎤⎣⎦， 则()00f x x =； 其中真命题．．．是________．（填上所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分13分）已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π． （I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，b =22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求B 的大小．（II ）,,.26A f a b A π⎛⎫=<∴= ⎪⎝⎭1,a b =由正弦定理sin sin b A B a == ,a b <∴4B π=或34B π=． 考点：1．三角恒等变换（倍角公式）；2．三角函数的周期和单调性；3．正弦定理．17.（本小题满分13分）已知函数()323f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行．(1)求a 的值和函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围．18.（本小题满分13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 ．(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.【答案】(I) 这次铅球测试成绩合格的人数为50； (II) X 的分布列为数学期望714()22525E X =⨯=； (III) 甲比乙投掷远的概率116． 【解析】218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===.从而得X的分布列，进而求得X 的数学期望值；(III) 设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，列出基本事件满足的区域：8109.510.5x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤，事件A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x y >，画出图形，利用几何概型公式()A P A =构成事件的区域的面积实验的全部结果所构成的区域的面积来求甲比乙投掷远的概率．试题解析：(I)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为7500.14=(人). …………（2分） ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)………（4分） (II)X 的可能取值为0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为1475025=,∴X ～7(2,)25B .…………（5分218324(0)()25625P X ===，12718252(1)()()2525625P X C ===，2749(2)()25625P X ===. …………（7分） 所求的X 的分布列为714()22525E X =⨯=…………（9分）19.（本题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点(4,3)P ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为22142x y +=；（Ⅱ）直线l 的方程为10x y --=．【解析】（Ⅱ）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； …………………6分②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x m y =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m y m y ++-=． 则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+． …………………8分又111x m y =+，221x m y =+， 所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=--12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++= 2232546m m m ++=+23414812m m +=++……………10分．令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅-+32254()2t t=++-1≤所以当且仅当5=t ，即1=m 时，取等号． 由①②得，直线l 的方程为10x y --=．……………13分．考点：1．椭圆方程的求法；2．直线和椭圆位置关系中最值问题；3．均值不等式．20.（本小题满分14分）已知函数32()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠）（Ⅰ）若函数()f x 存在极值点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）当0b =且0a >时，令(),1()(),1f x x F x g x x x <⎧=⎨-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线()y F x =上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上？请说明理由．y 轴上．则0OP OQ ⋅=且120x x +=．不妨设10x t =>．故(,())P t F t ，则32(,)Q t t t -+．232()()0OP OQ t F t t t ⋅=-++=，(*)该方程有解．下面分01t <<，1t =，1t >讨论，得方程(*)总有解．最后下结论，对任意给定的正实数a ，曲线上总存在,P Q 两点，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上．试题解析：（Ⅰ）2()32f x x x b '=-++，若()f x 存在极值点，则2()320f x x x b '=-++=有两个不相等实数根．所以4120b =+>， ……………2分解得13b >-……………3分21．（本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题记分．21.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 曲线221:1C x y +=在矩阵0(0,0)0a M a b b ⎛⎫=>>⎪⎝⎭的变换作用下得到曲线222:14x C y +=．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求矩阵M 的特征值及对应的一个特征向量． 【答案】（Ⅰ）矩阵2001M ⎛⎫=⎪⎝⎭；（Ⅱ）矩阵M 的特征值1λ=或2λ=．当1λ=时，对应的特征向量为101α⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2λ=时，对应的特征向量为210α⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先设曲线221:1C x y +=上的任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(),x y ''，则由0,0a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得,.x ax y by '=⎧⎨'=⎩再由点(),x y ''在曲线2C 上，21.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,(4x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为θθρcos 4sin2=．（Ⅰ）求曲线2C 直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，定点(0,4)P -，求PA PB +的值．21.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲. 若c b a ,,为正实数且满足236a b c ++=．（1）求abc 的最大值为43；（2的最大值．。
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莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在题后的括号内．1.“()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ ） A.充分不必要条件. B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.2．为了得到函数x y 2cos =的图象，可以将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 的图象（ ）A. 向右平移6πB. 向右平移3πC. 向左平移6πD.向左平移3π3．积分2112()e xdx x+⎰的值是（ ） A. 1 B. e C. e +1 D. e 2 4．定义运算()(){,12112x aa b a b b a b ≤*=*=*>例如：，则的取值范围是（ ）A ．(0, 1)B ．(-∞, 1)C ．(0, 1]D ．[1, +∞)5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A.y=x 1B.y=2-xC.y=lg xx +-11 D.y=-|x|6． 函数()1f x Inx x=-的零点所在的区间是（ ）A ()0,1B ()1,eC (),3eD ()3,+∞7．若2,3A B +=π则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）3131.1.,.1.,12222A B C D 8．点()0,02x M a b y x y ≥⎧⎪≥⎨+≤⎪⎩在由不等式组确定的平面区域内，则点()N a b a b +-，所在平面区域的面积是 （ ）A ． 1B ． 2C ． 4D ．89. 设命题P ：函数f(x)=ax x+(a>0)在区间(1, 2)上单调递增；命题Q ：不等式|x －1|－|x+2|<4a 对任意x ∈R 都成立。
若“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．43<a ≤1 B.43≤a<1 C ．0<a ≤43或a>1 D.0<a<43或a ≥110.若关于x 的不等式x 2＜2﹣∣x ﹣a ∣至少有一个负解，则参数a 的取值范围为（ ）A （-45 ，2 ）B （-49 ，2 ）C （-47 ，2 ） D.（-47，3 ）第Ⅱ卷（填空题和解答题，11小题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在题中横线上.．11．给出下面的3个命题：（1）函数|)3x 2sin(|y π+=的最小正周期是2π；（2）函数)23x sin(y π-=在区间)23,[ππ上单调递增； （3）45x π=是函数)25x 2sin(y π+=的图象的一条对称轴. 其中正确命题的序号是 ．12．平面向量,a b 的夹角为060，(2,0),||1,|2|a b a b ==+= 则13、若函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ω= ， ϕ= 。
14．已知函数3()3,f x x x x R =--∈，若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+-<恒成立，则实数m 的取值范围是15.已知函数()f x 对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，函数1()2f x +是奇函数，当01x ≤≤时，()21f x x =-，则方程1()3f x =-在区间[3,4]-内的所有根的和等于_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;(2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.17．（本小题满分13分）已知m R ∈，设P ：不等式2560m m --≥；Q ：函数6)34()(23++++=x m mx x x f 在(,)-∞+∞上有极值,求使P Q ∧为真命题的m 的取值范围。
19.(本题满分13分)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
B莆田一中2011-2012上学期期中考试题高三数学(理科)答案一选择题二填空题：11、①②12. 13.ω=12ϕ=6π14.4m >- 15. 113 三解答题：16．小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+ sin 2cos 2x x =+…… 1分22x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,其值为…6分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分∴1cos 23θ=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 9分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==∴22tan 1tan θθ=-. 10分2tan 0θθ+=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 12分2解法2: ∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴1cos 23θ=. ∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴cos θ=. ……10分∴sin θ==…… 11分∴sin tan cos θθθ==…… 13分 17、由已知不等式得1m ≤-或6m ≥………………………………2分 ∴对1m ≤-或6m ≥时，P 是正确的…4分对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f ……6分令0)('=x f ，即034232=+++m mx x当且仅当∆>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值…………8分 由0161242>--=∆m m 得1m <-或4m >，………………9分 因为，当1m <-或4m >时，Q 是正确的……………………11分综上，使P Q ∧为真命题时，实数m 的取值范围为(-∞,-1)⋃[)6,+∞……13分19．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭………………………4分②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+≤≤………………8分（Ⅱ）选择函数模型①，'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边3km 处。
…………………………………13分21.又0,2x π∃=2sin x x >成立．故存在最小的正整数2k =，使()f x 是为[0,]2π上的“２阶收缩函数”．………6分（2）()2()3632g x x x x x '=-+=--,令'()0g x =得0x =或2x =. 函数()g x ,'()g x 的变化情况如下：……………………7分ⅰ）2b ≤时，()g x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3g x g x x x ==-+，()1()00g x g ==. 因为32()3g x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数， 所以，①()()21()20g x g x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0g x g x x ->-成立. …………8分①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤. ……………10分综合ⅰ）ⅱ1b <≤. ……………14分注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已.。