数学建模实习报告

·数学建模实习报告:'姓名：；学号：院系：数学与信息科学专业：数学与应用数学|1.鱼在游动的时候通常不是作直线运动，而且也不是作水平游动，而是在不断锯齿状地向上游动和向下滑行，如下图所示，为什么鱼儿要这样游动呢可否从能量的角度建立数学模型加以分析呢%鱼的能量消耗是由生理活动和外界物理活动共同引起的，我们分析鱼的运动路线与能量消耗大小的关系，故不考虑鱼生理活动消耗的能量，只单独认为鱼能量的消耗与运动路线有关。

本文根据鱼在水中呈锯齿状游动方式，建立了鱼在水中游动的路线模型，并通过受力分析，建立了鱼的受力模型，解决了鱼在水中沿不同路线游动时能量消耗的问题。

首先，我们根据鱼在水中的游动方式建立了A-C-B的运动路线模型及鱼的受力模型。

其中，A-C为鱼向上游动过程，C-B为鱼向下滑动路线；然后我们假设鱼是以常速v运动的，分别对鱼向上游动及向下滑动两个过程进行受力分析，鱼在水中受到重力及水的浮力，合力为w，方向向下，鱼运动还受到沿运动方向相反的水的阻力f1，f2；接下来我们对鱼的受力进行分解，将鱼在水中的净重w沿鱼的运动方向分解，分析由于假设鱼是以常速v运动，所以鱼在向上游动的过程需要自身提供动力F1，鱼在向下滑动的过程不消耗能量，由此得到水的阻力f1与w的关系。

对于问题（1），根据受力平衡及题中给定力之间的关系，分别在建立的物理模型中标出了这些力；对于题（2）问，先假设鱼向上运动的垂直高度因鱼向下滑动过程不做功h，根据几何关系及夹角之间的关系，分别计算出AC，CB及AB 长度大小，然后根据物理做工公式W=F*S计算鱼运动所的做功，分别得出鱼在A-C-B运动过程和A-B过程所做的功W1，W2，由此证明了鱼沿在A-C-B运动过程和A-B过程消耗能量之比；对于题（3），因为鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角α，β的大小共同影响。

故令Q=w1/w2，因为A,B一定时，鱼水平运动所消耗的能量w2恒定不变，利用matlab求对Q关于β的偏导，并令偏导值为零，得出α与β的关系，因为tanα≈，所以对于不同的k值（,2,3），求出消耗能量最小时的β，分别为β≈37，β≈49，β≈59。

1.问题重述观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动的，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行，可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

针对这一现象，我们需要解决以下问题：为方便对该问题的分析，首先进行受力分析，将向下滑行时的阻力、向上游动时所需的力、水平游动时的阻力及水平游动时所需的力表示出来。

证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时，沿折线A-C-B运动消耗的能量与沿水平A-B路线运动消耗的能量之比为(k*sinα+sinβ)/[k*sin(α+β)]。

鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角α，β的大小共同影响。

根据实际观察，tanα≈，对不同的k值（,2,3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的β值。

《2.问题分析鱼在水中会受到重力，水的浮力（两者的合力即为鱼在水中的净重w）和运动时水的阻力共同作用，鱼在做锯齿状运动时，需要克服这些力做功。

其中，鱼在向上游动时，需要克服w沿鱼运动方向的分力及水的阻力做功；鱼向下滑动时，w沿鱼运动方向的分力与水的阻力大小相等，方向相反，相互抵消，故鱼本身不做功；水平游动时鱼需要克服水的阻力做功。

根据物理功的计算公式w=f*s分别计算出鱼在A-C-B运动过程和A-B过程所做的功W1，W2，由此证明出w1与w2的比值关系；因为A,B一定时，鱼水平运动所消耗的能量w2恒定不变。

所以要求鱼做A-C-B折线运动时的最小消耗能量，即可分析w1与w2的比值；观察w1与w2之间比值可得：鱼做锯齿状游动时，消耗能量的大小受k值及夹角α，β的大小共同影响。

根据实际观察，tanα≈，对于不同的k值，β的取值决定了鱼消耗能量的大小。

因此我们令Q=w1/w2，对Q分别求α，β的偏导，并分别令偏导等于零，得出α与β的关系cos(α+β)=1/k，由此根据不同的k值得到最佳的β值使鱼做A-C-B折线运动时消耗的能量最少。

3.模型假设与符号说明模型假设．假设鱼能量的消耗的大小只与鱼的运动路线有关。

.假设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重为w，向下滑行时的阻力等于w 在运动方向的分力。

假设鱼做折线运动时控制方向时不消耗能量。

}.假设鱼在水中运动时没有遇到突发状况。

.鱼向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和。

.鱼在游动时正面受到水的阻力比较小，而侧面受到的阻力较大，故鱼侧面受到的阻力可以与鱼自身重力的分力可相互抵消。

鱼游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。

符号说明】4.模型建立根据鱼在水中不同的运动方式及鱼做锯齿状游动时的受力分析，我们对其建立了鱼在水中的运动模型及鱼运动时的受力物理模型，如下图。

对于题（1）的要求，这些力已在模型上标出。

题（2）问解答：如图，设鱼一次折线游动的垂直高度为h ，水平游动的距离即为A 到B 的长度，AC 的长度即为鱼向上游动的距离。

《由题中已知条件及图中角与线的关系得，w1=w*sin α，故f 1=w1=w*sin αf 2=k* f 1=kw*sin α；根据鱼在水中匀速运动，受力平衡分析，得到F 1=w1+f 1=kw*sin α+w*sin β；F 2=f 2=kw*sin α；则鱼做锯齿状运动时需要做的功W 1=F 1*AC;鱼水平运动时需做的功W 2=F 2*AB 。

又由几何关系，AC=h/sin β，AB=h*（cot α+cot β），可得出AC/AB=sin α/sin(α+β)综上，即可得到鱼沿折线运动消耗的能量与沿水平运动消耗的能量之比W 1/W 2=(k*sin α+sin β)/[k*sin(α+β)]；题（3）问解答：令Q=w1/w2，利用matlab 对β求偏导，令0=∂∂βQ根据实际观察tan α≈，可求得最佳的β。

利用matlab 求解的到不同的k （,2,3）值对应的β值。

对于k=时，β≈37°；k=2时，β≈49°；k=3时β≈59°5附录·对Q 关于β求偏导及k 取不同值时β的值的matlab 程序。

此程序中为方便起见，分别将α，β用x ，y 代替 >> k=>> syms y x;>> f=diff((k*sin(x)+sin(y))/k*sin(x+y)) f =cos(x + y)*(sin(x) + (2*sin(y))/3) + sin(x + y)*cos(x) >> f1=simple(f) f1 = 《sin(x + 2*y)/3 + sin(2*x + y) - sin(x)/3 >> syms x y;>> [x,y]=solve('tan(x)=','sin(x+2*y)/3+sin(2*x+y)-sin(x)/3=0') x = y = +*i ！ >>2.四人追逐实验 （一）思路如下图所示,在正方形ABCD 的四个顶点各有一个人。

设在初始时刻0t =时，四人同时出发匀速以v 沿顺时针走向下一个人。

如果他们始终对准下一个人为目标行进，最终结果会如何。

作出各自的运动轨迹。

解：该问题可以通过计算机模拟来实现。

这需要将时间离散化。

设时间间隔为t ∆，j 时刻表示时间.t j t =∆设第i 个人j 时刻的位置坐标为：(,),(1,2,3,4;1,2,3,)ij ij x y i j == 对前面3个人表达式为：,1,,1,..cos (1,2,3)..sin i j i j i j i j x x v t x i y y v t x ++=+∆⎧⎪=⎨=+∆⎪⎩,其中cos x x x -=(1,2,3)i =sin y y x -=(1,2,3)i =对第4个人表达式为：4,14,4,14,..cos ..sin j j j j x x v t x y y v t x++=+∆⎧⎪⎨=+∆⎪⎩ 其中cos x x x -=sin y y x -=（二）过程Matlab 实现程序如下： }%模拟运动 n=2000; x=zeros(4,n); y=zeros(4,n); dt=; %时间间隔 v=30; %速度x(1,1)=1000; y(1,1)=0; %第1个人初始坐标 x(2,1)=0; y(2,1)=0; %第2个人初始坐标 ^x(3,1)=0; y(3,1)=1000; %第3个人初始坐标 x(4,1)=1000; y(4,1)=1000; %第4个人初始坐标for i=2:nfor j=1:3d=sqrt((x(j+1,i-1)-x(j,i-1))^2+(y(j+1,i-1)-y(j,i-1))^2); %第j+1个人和第j 个人距离 cosx=(x(j+1,i-1)-x(j,i-1))/d; %求cos 值 "sinx=(y(j+1,i-1)-y(j,i-1))/d; %求sin 值x(j,i)=x(j,i-1)+v*dt*cosx; %求新x 坐标 y(j,i)=y(j,i-1)+v*dt*sinx; %求新y 坐标 end %考虑第1,2,3人运动一步d=sqrt((x(1,i-1)-x(4,i-1))^2+(y(1,i-1)-y(4,i-1))^2); %第4个人和第1个人距离cosx=(x(1,i-1)-x(4,i-1))/d; %求cos 值sinx=(y(1,i-1)-y(4,i-1))/d; %求sin值—x(4,i)=x(4,i-1)+v*dt*cosx; %求第4点新x坐标y(4,i)=y(4,i-1)+v*dt*sinx; %求第4点新y坐标end%plot(x,y)for j=1:nplot(x(1,j),y(1,j),x(2,j),y(2,j),x(3,j),y(3,j),x(4,j),y(4,j)) %作点图hold on %保持每次作图,实现各次图行迭加end?执行结果见图13、舰艇追击实验某缉私舰雷达发现距d=10km处有一艘走私船正以匀速u=8km/h沿直线行驶，缉私舰立即以速度v=12km/h追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。

（一）理论求解该问题采用微分方程求解。

图2 坐标示意图 '如图建立坐标系，设开始时走私船位于坐标原点，沿Y 轴以u 米/秒运动，t 时刻位置为(0,.)A u t ,开始时缉私舰位于X 轴(,0)C d 处，沿走私船方向以v 米/秒运动，t 时刻位置为(,)B x y 。