ch1-3函数限的概念
三角函数的解析式与值域
三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。
一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。
正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。
三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。
然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。
对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。
反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。
五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。
也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。
正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。
六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。
正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。
七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。
另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。
总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。
- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。
函数的值域知识点总结
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
ch1-3(1)_函数限的概念101023
n
离散自变量
自变量变化过程 只有一种
函数极限
连续自变量
自变量变化过程的六种形式:
2009年10月18
南京航空航天大学 理学院 数学系
4
3.1
函数极限的概念
1 自变量x趋于∞时函数的极限
2 自变量x趋于有限值x0时函数的极限
2009年10月18
南京航空航天大学 理学院 数学系
5
1、自变量x趋于∞时函数的极限
充分大时有
0, M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) a ,
则称当x趋向于无穷时, f (x)的极限是a, 记作
lim f ( x ) a 或 f ( x ) a( x ).
x
lim f ( x ) a
x
0, M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x ) a .
0, 0,当0 x x0 时, 恒有 f ( x) a .
1
1
x
o
1
x
注意: 研究函数极限与f (x )在点x0是否有定义无关！
13
2、自变量x趋于有限值x0时的函数极限
问题 : 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 a.
0，f ( x ) a 表示f ( x )与a的接近程度 ;
9
例1 证
sin x 证 明 lim 0. x x
y
sin x x
0, 要使 sin x 0
1 只须 x
取 X 1
x
即x
1
sin x 故 lim 0. x x
ch1-3,4,5,6-基础知识
Tg = 53℃，室温硬韧。
聚异戊二烯有六种有规异构体：
CH3
顺式
nH2C CH C CH2 CH3
1，4加成 1，2加成 3，4加成
CH2 CH C CH n
CH2 CH n CH3 C CH2
反式 全同 间同 无规
CH3 CH2 C n
CH CH2
全同 间同 无规
3．分子构造 〔几何形状〕
分子构造指的是高分子链的几何形状。一般高分子链 为线形〔线型高分子〕，也有支化或交联构造〔体型 高分子〕。
聚合度 DP = n
构造单元、单体单 元、重复单元
主链
H2C CH2
n
Cl
侧基 〔或侧链〕
聚合度
如果高分子是由两种或两种以上单体缩聚而成的，其 重复单元由不同的单体单元组成。例如尼龙：
重复单元：－NH(CH2)6NH－CO(CH2)4CO－。
构造单元: －NH(CH2)6NH－和－CO(CH2)4CO －
O O CO
CH3
C n
CH3
碳酸根
(4)译名、商品名或俗称 合成纤维在我国称之为“纶〞(来自-lon的译音):
涤纶(聚对苯二甲酸乙二醇酯)、腈纶(聚丙烯腈) 等; 聚酰胺常用其商品名的译名尼龙(Nylon)。 其他商品名还有特氟隆(聚四氟乙烯)、赛璐珞(硝酸纤 维素)等。而俗名有机玻璃(聚甲基丙烯酸甲酯)、电木 (酚醛树脂)、电玉(脲醛塑料)等也已被广泛采用。
N 1 N 2 N 3 N n
N i
重均分子量
M w W 1 M 1 W W 1 2 M W 2 2 W W 3 3 M 3 W n W n M n W W iM ii
W i NiM i
Ww
ch1-3条件概率及全概率公式
条件概率与全概率公式的区别
条件概率关注的是一个事件在另一个事件发生的前提下的发生概率，而全概率公式关注的是多个事件 中某一事件发生的总概率。
条件概率通常用于描述两个事件之间的概率关系，而全概率公式可以用于描述多个事件之间的概率关系。
条件概率通常用于计算在已知某些条件下某一事件发生的概率，而全概率公式用于计算某一事件发生的 总概率。
05
总结与展望
总结
条件概率：条件概率是指在某一事件 B已经发生的情况下，另一事件A发 生的概率。公式表示为$P(A|B)$。条 件概率是概率论中的重要概念，它在 决策理论、统计学、经济学等领域有 广泛应用。
全概率公式：全概率公式用于计算复 杂事件A的概率，通过将事件A分解为 若干个互斥且完备的事件B1, B2, ..., Bn，然后计算每个事件发生的概率， 最后将这些概率相加。公式表示为 $P(A) = sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)$。全概率公式是概率论 中的基本公式之一，它在概率论、统 计学、决策理论等领域有广泛应用。
在决策理论中的应用
风险评估
条件概率和全概率公式在决策理论中常用于风险评估，以确定不同决策方案的风险和收益。例如，在 投资决策中，可以使用条件概率和全概率公式来评估不同投资项目的风险和回报率。
决策树分析
条件概率和全概率公式也常用于决策树分析，以确定最优的决策路径。在决策树中，每个节点表示一 个事件，条件概率和全概率公式可用于计算每个节点的成功概率和失败概率，从而确定最优的决策路 径。
计算概率
根据每个事件的概率和它们之间的互斥关系，计算出 整个事件集合的概率。
全概率公式的应用场景
1 2 3
风险评估
全概率公式可以用于评估风险发生的可能性，通 过分析不同风险因素的概率和影响程度，计算出 整体风险水平。
三角函数的性质
三角函数的性质三角函数是数学中重要的概念和工具之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
掌握三角函数的性质对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括周期性、界限、奇偶性和函数图像。
1. 周期性三角函数的周期性是指在一定的区间内，函数值呈现重复的规律。
在正弦函数和余弦函数中，其周期均为2π，即在区间[0, 2π]内，函数值会重复出现。
在切线函数和余切函数中，其周期为π，即在区间[0, π]内，函数值重复。
2. 界限三角函数的界限是指函数值的上下限。
在正弦函数和余弦函数中，其函数值的范围在[-1, 1]之间。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值也为1，最小值也为-1。
切线函数和余切函数的函数值没有界限。
3. 奇偶性三角函数的奇偶性是指函数关于坐标轴的对称性。
正弦函数和正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而余弦函数和余切函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
这意味着正弦函数和正切函数关于原点对称，而余弦函数和余切函数关于y轴对称。
4. 函数图像三角函数的函数图像能够反映其性质和变化规律。
正弦函数的图像呈现周期性的波浪形，具有对称轴和最值点；余弦函数的图像也呈现周期性的波浪形，与正弦函数的图像相位差π/2；切线函数的图像是递增的曲线，其值范围不受限制；余切函数的图像类似于切线函数的图像，但在x轴上有无穷多个奇点。
5. 三角函数的基本关系三角函数之间存在一些基本的关系。
例如，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，即tan(x) = sin(x)/cos(x)；余切函数等于余弦函数除以正弦函数，即cot(x) = cos(x)/sin(x)。
利用这些关系可以在计算过程中进行简化和转化。
总之，三角函数的性质包括周期性、界限、奇偶性和函数图像，这些性质对于理解三角函数的规律以及解决各类数学问题具有重要的作用。
掌握三角函数的性质和基本关系，有助于提高数学问题的解决能力和分析能力。
三角函数值域
三角函数值域三角函数是数学中常见的一个重要概念，描述了一个角度与其对应的正弦、余弦、正切等数值之间的关系。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要深入研究它们的值域。
三角函数的值域是指函数所有可能取到的值的集合。
在这篇文章中，我们将探讨三角函数的值域，并深入讨论正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的反函数。
首先，让我们来了解正弦函数的值域。
正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在-1和1之间，即[-1,1]。
这是因为正弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，而且它在区间内是连续的。
接下来，我们来探讨余弦函数的值域。
余弦函数也是一个周期函数，它的取值范围也在-1和1之间，即[-1,1]。
与正弦函数相似，余弦函数在定义域内可以取到最大值1和最小值-1，并且也是连续的。
正切函数是三角函数中的另一个重要的函数。
它的定义域是所有实数除去所有的奇倍数π/2，值域是整个实数集。
这是因为正切函数在定义域内是连续的且无界的，可以取到正无穷和负无穷。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有它们的反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
这些函数的取值范围与对应函数的定义域相同。
例如，反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
这是因为反正弦函数的作用是将正弦函数的值映射回[-π/2,π/2]的范围内。
总结起来，三角函数的值域可以归纳如下：- 正弦函数的值域是[-1,1]。
- 余弦函数的值域是[-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集。
- 反正弦函数的值域是[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是[0,π]。
- 反正切函数的值域是(-π/2,π/2)。
需要注意的是，这里提到的值域仅仅是三角函数单独的值域，而在实际问题中，多个函数可能组合使用，进而限制函数的取值范围。
综上所述，三角函数的值域对于研究三角函数的性质和应用非常重要。
通过深入了解值域的特点，我们能够更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
《高中数学教学与测试》(总复习)学生用书-课后练习B册Ch1-3
櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐櫐殾殾殾殾练习巩固思考运用拓展探究犅册班 级姓 名学 号２ 充要条件与量词 班级： 姓名： 学号：１．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）Ａ．任意一个有理数，它的平方是有理数Ｂ．任意一个无理数，它的平方不是有理数Ｃ．存在一个有理数，它的平方是有理数Ｄ．存在一个无理数，它的平方不是有理数２．下列命题是假命题的是（ ）Ａ． 狓∈犚，ｌｏｇ２狓＝０Ｂ． 狓∈犚，ｃｏｓ狓＝１Ｃ． 狓∈犚，狓２＞０Ｄ． 狓∈犚，２狓＞０３．（２０１８·上海卷）已知犪∈犚，则“犪＞１”是“１犪＜１”的（ ）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件４．（２０１９·全国Ⅱ卷）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）Ａ．α内有无数条直线与β平行Ｂ．α内有两条相交直线与β平行 Ｃ．α，β平行于同一条直线Ｄ．α，β垂直于同一平面５．（多选）下列结论正确的有（ ）Ａ．若犪＞犫＞０，则犪犮２＞犫犮２Ｂ．命题“ 狓＞０，２狓≥狓２”的否定是“ 狓＞０，２狓＜狓２”Ｃ．“三个连续自然数的乘积是６的倍数”是存在性命题Ｄ．“狓＜１”是“狓－１２＜１２”的必要不充分条件６．（多选）使不等式１＋１狓＞０成立的一个充分不必要条件是（ ）Ａ．狓＞２Ｂ．狓≥０Ｃ．狓＜－１或狓＞１Ｄ．－１＜狓＜０［］，ｔａｎ狓≤犿”是真命题，则实数犿的最小值为．７．若“ 狓∈０，π４８．（２０１８·北京卷）能说明“若犳（狓）＞犳（０）对任意的狓∈（０，２］都成立，则犳（狓）在［０，４４７２］上是增函数”为假命题的一个函数是．９．已知集合犃＝｛狓１４＜２狓≤８｝，犅＝｛狓｜狓２－２犿狓＋犿２－１＜０｝，犆＝｛狓｜｜狓－犿｜＜２｝．（１）若犿＝２，求集合犃∩犅．（２）在犅，犆两个集合中任选一个，补充在下面的问题中，并解答：条件狆：狓∈犃，条件狇：狓∈，求使狆是狇的必要非充分条件的犿的取值范围．１０．设命题狆：实数狓满足狓２－４犪狓＋３犪２＜０，命题狇：实数狓满足｜狓－３｜＜１．（１）若犪＝１，且狆，狇同为真命题，求实数狓的取值范围；（２）若犪＞０且狇是狆的充分不必要条件，求实数犪的取值范围．４４８１１．下列命题是真命题的是（ ）Ａ． 狓０∈犚，ｅ狓０≤０Ｂ． 狓∈犚，２狓＞狓２Ｃ．犪＋犫＝０的充要条件是犪犫＝－１Ｄ．犪＞１，犫＞１是犪犫＞１的充分条件１２．（多选）下列命题正确的是（ ）Ａ． 狓＞０，ｌｎ狓＋１ｌｎ狓≤２Ｂ．命题“ 狓∈（０，＋∞），ｌｎ狓＝狓－１”的否定是“ 狓∈（０，＋∞），ｌｎ狓≠狓－１”Ｃ．设狓，狔∈犚，则“狓≥２且狔≥２”是“狓２＋狔２≥４”的必要不充分条件Ｄ．设犪，犫∈犚，则“犪≠０”是“犪犫≠０”的必要不充分条件１３．已知狆：｜狓｜≤犿（犿＞０），狇：－１≤狓≤４，若狆是狇的充分条件，则犿的最大值为；若狆是狇的必要条件，则犿的最小值为．１４．命题狆：实数犿满足不等式犿２－３犪犿＋２犪２＜０（犪＞０）；命题狇：实数犿满足方程狓２犿－１＋狔２犿－５＝１表示双曲线．（１）若命题狇为真命题，求实数犿的取值范围；（２）若狆是狇的充分不必要条件，求实数犪的取值范围．４４９ １５．已知函数犳（狓）＝３狓２＋２狓－犪２－２犪，犵（狓）＝１９６狓－１３，若对任意狓１∈［－１，１］，总存在狓２∈［０，２］，使得犳（狓１）＝犵（狓２）成立，求实数犪的取值范围．（１）已知实数集犃＝｛狓｜犪１狓＝犫１，犪１犫１≠０｝，犅＝｛狓｜犪２狓＝犫２，犪２犫２≠０｝，证明：犃＝犅的充要条件是犪１犪２＝犫１犫２；（２）已知实数集犃＝｛狓｜犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝０，犪１犫１犮１≠０｝，犅＝｛狓｜犪２狓２＋犫２狓＋犮２＝０，犪２犫２犮２≠０｝，问犪１犪２＝犫１犫２＝犮１犮２是犃＝犅的什么条件？请给出说明过程．４５０ ４ 基本不等式 班级： 姓名： 学号：１．函数犳（狓）＝狓２＋４｜狓｜的最小值为（ ）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８２．若狓＞０，狔＞０，则狓＋２狔＝２２狓槡狔的一个充分不必要条件是（ ）Ａ．狓＝狔Ｂ．狓＝２狔Ｃ．狓＝２且狔＝１Ｄ．狓＝狔或狔＝１３．若正数犿，狀满足２犿＋狀＝１，则１犿＋１狀的最小值为（ ）Ａ．３＋２槡２Ｂ．３＋槡２Ｃ．２＋２槡２Ｄ．３４．已知正数狓，狔满足３狓狔＋狔２－４＝０，则３狓＋５狔的最小值为（ ）Ａ．１Ｂ．４Ｃ．８Ｄ．１６５．（多选）下列函数的最大值是１２的是（ ）Ａ．狔＝狓２＋１１６狓２Ｂ．狔＝狓１－狓槡２，狓∈［０，１］Ｃ．狔＝狓２狓４＋１Ｄ．狔＝狓＋４狓＋２，狓＞－２６．（多选）设正实数狓，狔满足狓＋２狔＝３，则下列说法正确的是（ ）Ａ．狔狓＋３狔的最小值为４Ｂ．狓狔的最大值为９８Ｃ．槡狓＋２槡狔的最小值为槡６Ｄ．狓２＋４狔２的最小值为９２７．已知正实数狓，狔满足狓＋狔＝１，则狔狓＋２狓狔的最小值为．８．（２０１９·天津卷）设狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝５，则（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔的最小值为．４５１ ９．已知狓＞３，求狔＝狓＋４狓－３的最小值，并说明狓为何值时狔取得最小值．下面是某位同学的解答过程：解：因为狓＞３，所以４狓－３＞０，根据均值不等式有狔＝狓＋４狓－３≥２狓·４狓－３槡，其中等号成立当且仅当狓＝４狓－３，即狓（狓－３）＝４，解得狓＝４或狓＝－１（舍），所以狔＝狓＋４狓－３的最小值为２４×４４－３槡＝８．因此，当狓＝４时，狔＝狓＋４狓－３取得最小值８． 该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程．１０．若犪＞０，犫＞０，且１犪＋１犫＝槡犪犫．（１）求犪３＋犫３的最小值；（２）是否存在犪，犫，使得２犪＋３犫＝６？请说明理由．１１．在△犃犅犆中，犃＝π６，△犃犅犆的面积为２，则２ｓｉｎ犆ｓｉｎ犆＋２ｓｉｎ犅＋ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆的最小值为（ ）Ａ．槡３２Ｂ．槡３３４Ｃ．３２Ｄ．５３４５２１２．（多选）设狓，狔∈（０，＋∞），犛＝狓＋狔，犘＝狓狔，以下四个命题正确的是（ ）Ａ．若犘＝１，则犛有最小值２Ｂ．若犛＝２犘，则犛有最小值４Ｃ．若犛２＝犘＋１犘，则犛２有最小值２Ｄ．若犛＋犘＝３，则犘有最大值１１３．若实数狓，狔满足狓＞狔＞０，且ｌｏｇ２狓＋ｌｏｇ２狔＝１，则２狓＋１狔的最小值是，狓－狔狓２＋狔２的最大值为．１４．已知实数狓＞０，狔＞０，且２狓狔＝狓＋狔＋犪（狓２＋狔２）（犪∈犚）．（１）当犪＝０时，求狓＋４狔的最小值，并指出取最小值时狓，狔的值；（２）当犪＝１２时，求狓＋狔的最小值，并指出取最小值时狓，狔的值．第１５题图１５．某校学生处为了更好地开展高一社团活动，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报．该海报含有大小相等的三个矩形栏目，这三栏的面积之和为６００００ｃｍ２，四周空白的宽度为１０ｃｍ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为５ｃｍ．（１）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；（２）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的２倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小？并求最小值．４５３在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即犱＝犿犽，其中犱是弹簧拉伸的距离（单位：ｃｍ），犿是物体的质量（单位：ｇ），犽是弹簧弹性系数（单位：ｇ／ｃｍ）．弹簧弹性系数分别为犽１，犽２的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数犽满足１犽＝１犽１＋１犽２，并联时得到的弹簧系数犽满足犽＝犽１＋犽２．已知物体质量为２０ｇ，当两个弹簧串联时拉伸距离为１ｃｍ，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ）Ａ．１４ｃｍ Ｂ．１２ｃｍＣ．１ｃｍＤ．２ｃｍ４５４ ６ 函数的概念及表示 班级： 姓名： 学号：１．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为狔＝２狓２＋１、值域为｛５，１９｝的“孪生函数”共有（ ）Ａ．１个Ｂ．５个Ｃ．９个Ｄ．１２个２．（２０１８·全国Ⅰ卷）设函数犳（狓）＝２－狓，狓≤０，１，狓＞０，烅烄烆则满足犳（狓＋１）＜犳（２狓）的狓的取值范围是（ ）Ａ．（－∞，－１］Ｂ．（０，＋∞）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（－∞，０）３．若函数狔＝犳（狓）的定义域是（０，１），则狔＝犳（狓２）的定义域是（ ）Ａ．（－１，０）Ｂ．（－１，０）∪（０，１）Ｃ．（０，１）Ｄ．［０，１］４．设犳（狓）＝槡狓，０＜狓＜１，２（狓－１），狓≥１，烅烄烆若犳（犪）＝犳（犪＋１），则犳（１犪）＝（ ）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８５．（多选）下面各组函数是同一函数的是（ ）Ａ．狔＝－２狓槡３与狔＝－２槡狓Ｂ．狔＝狓槡２与狔＝｜狓｜Ｃ．狔＝狓槡＋１·狓槡－１与狔＝（狓＋１）（狓－１槡）Ｄ．犳（狓）＝狓２－２狓－１与犵（狋）＝狋２－２狋－１６．（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“孪生函数”．例如，函数狔＝狓２，狓∈［１，２］与函数狔＝狓２，狓∈［－２，－１］即为“孪生函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“孪生函数”的是（ ）Ａ．狔＝［狓］（［狓］表示不超过狓的最大整数，如［０．１］＝０）Ｂ．狔＝狓＋狓槡＋１Ｃ．狔＝１狓－ｌｏｇ３狓Ｄ．狔＝狓＋１狓＋１４５５７．（２０１８·江苏卷）函数犳（狓）＝ｌｏｇ２狓槡－１的定义域为．８．已知函数犳（狓）＝２－狓，狓≤－１，狓＋１，狓＞－１，烅烄烆则犳［犳（－２）］＝，不等式犳（狓）≥２的解集为．９．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ０．５（狓２－２犪狓＋３）的定义域为（－∞，１）∪（３，＋∞）．（１）求实数犪的值；（２）求函数犳（狓）在［５，＋∞）上的值域．１０．已知函数犳（狓）＝狆狓２＋１狓的图象经过点（２，５２）．（１）求函数犳（狓）的解析式；（２）写出函数犳（狓）的定义域；（３）当狋＞１２时，试直接写出函数犳（狓）在区间１２，狋［］上的最小值犵（狋）．１１．已知函数犳（狓）＝１＋狓１－狓的定义域为犃，函数狔＝犳［犳（狓）］的定义域为犅，则（ ）Ａ．犃∪犅＝犅Ｂ．犃 犅Ｃ．犃＝犅Ｄ．犃∩犅＝犅１２．（多选）已知犳（狓）是一次函数，若犳［犳（狓）］＝６狓＋３＋犳（狓），则犳（狓）的解析式可以是（ ）Ａ．犳（狓）＝－３狓＋１Ｂ．犳（狓）＝３狓＋１Ｃ．犳（狓）＝２狓－３２Ｄ．犳（狓）＝－２狓－３２４５６ １３．已知函数犳（狓）＝４｜狓｜＋２－１的定义域是［犪，犫］（犪，犫为整数），值域是［０，１］，则满足条件的一个整数对（犪，犫）为，这样的整数对一共有个．１４．已知命题狆：函数狔＝ｌｇ（犪狓２＋２狓＋犪）的定义域为犚，命题狇：函数犳（狓）＝２狓２－犪狓在（－∞，１）上单调递减．（１）若“狆∧（瓙狇）”为真命题，求实数犪的取值范围；（２）设关于狓的不等式（狓－犿）（狓－犿＋２）＜０的解集为犃，当命题狆为真命题时，犪的取值集合为犅，若犃∩犅＝犃，求实数犿的取值范围．１５．（１）已知犳（狓＋１狓）＝狓２＋１狓２，求犳（狓）的解析式；（２）已知犳（狓）是二次函数，且犳（０）＝０，犳（狓＋１）＝犳（狓）＋狓＋１，求犳（狓）的解析式；（３）已知函数犳（狓）满足犳（－狓）＋２犳（狓）＝２狓，求犳（狓）的解析式．４５７对定义域分别是犇犳，犇犵的函数狔＝犳（狓），狔＝犵（狓）．规定：函数犺（狓）＝犳（狓）犵（狓），狓∈犇犳，狓∈犇犵，犳（狓），狓∈犇犳，狓 犇犵，犵（狓），狓 犇犳，狓∈犇犵．烅烄烆（１）若函数犳（狓）＝１狓－１，犵（狓）＝狓２，写出函数犺（狓）的解析式；（２）求问题（１）中的函数犺（狓）的值域；（３）若犵（狓）＝犳（狓＋α），其中α是常数，且α∈［０，π］，请设计一个定义域为犚的函数狔＝犳（狓）及一个α的值，使得犺（狓）＝ｃｏｓ４狓，并予以证明．４５８８ 函数的奇偶性、对称性与周期性 班级： 姓名： 学号：１．已知函数犳（狓）＝狓２－犪狓，狓≤０，犪狓２＋狓，狓＞０烅烄烆为奇函数，则犪＝（ ）Ａ．－１Ｂ．１Ｃ．０Ｄ．±１２．设函数犳（狓）＝１ｅ狓－１＋犪，若犳（狓）为奇函数，则不等式犳（狓）＞１的解集为（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．（－∞，ｌｎ３）Ｃ．（０，ｌｎ３）Ｄ．（０，２）３．已知犳（狓）为定义在犚上的奇函数，且满足犳（狓＋４）＝犳（狓），当狓∈（０，２）时，犳（狓）＝２狓２，则犳（３）＝（ ）Ａ．－１８Ｂ．１８Ｃ．－２Ｄ．９４．函数犳（狓）满足３犳（狓）犳（狔）＝犳（狓＋狔）＋犳（狓－狔）（狓，狔∈犚），且犳（１）＝１３，则犳（２０２０）＝（ ）Ａ．２３Ｂ．－２３Ｃ．－１３Ｄ．１３５．（多选）若定义在犚上的增函数狔＝犳（狓－１）的图象关于点（１，０）对称，且犳（２）＝２，令犵（狓）＝犳（狓）－１，则下列结论一定成立的是（ ）Ａ．犵（１）＝０Ｂ．犵（０）＝－１Ｃ．犵（－１）＋犵（１）＜０Ｄ．犵（－１）＋犵（２）＞－２６．（多选）已知犳（狓）是定义在犚上的奇函数，犳（狓＋１）是偶函数，且当狓∈（０，１］时，犳（狓）＝－狓（狓－２），则（ ）Ａ．犳（狓）是周期为２的函数Ｂ．犳（２０１９）＋犳（２０２０）＝－１Ｃ．犳（狓）的值域为［－１，１］Ｄ．犳（狓）的图象与曲线狔＝ｃｏｓ狓在（０，２π）上有４个交点７．（２０１９·全国Ⅱ卷）已知犳（狓）是奇函数，且当狓＜０时，犳（狓）＝－ｅ犪狓．若犳（ｌｎ２）＝８，则犪＝．８．已知犳（狓）是犚上最小正周期为２的周期函数，且当０≤狓＜２时，犳（狓）＝狓３－狓，则４５９函数狔＝犳（狓）的图象在区间［０，４］上与狓轴的交点的个数为．９．设犳（狓）是定义域为犚的周期函数，最小正周期为２，且犳（１＋狓）＝犳（１－狓），当－１≤狓≤０时，犳（狓）＝－狓．（１）判断犳（狓）的奇偶性；（２）试求出函数犳（狓）在区间［－１，２］上的表达式．１０．函数犳（狓）的定义域为犇＝｛狓｜狓≠０｝，且满足对于任意狓１，狓２∈犇，有犳（狓１狓２）＝犳（狓１）＋犳（狓２）． （１）求犳（１）的值；（２）判断犳（狓）的奇偶性并证明你的结论；（３）如果犳（４）＝１，犳（狓－１）＜２，且犳（狓）在（０，＋∞）上是增函数，求狓的取值范围．４６０１１．已知犳（狓）是定义在犚上的函数，且满足犳（狓＋２）犳（狓）＝－１，当２≤狓≤３时，犳（狓）＝狓，则犳（－１１２）＝（ ）Ａ．５２Ｂ．－５２Ｃ．３２Ｄ．－３２１２．（多选）已知偶函数犳（狓）满足犳（狓）＋犳（２－狓）＝０，下列说法正确的是（ ）Ａ．函数犳（狓）是以２为周期的周期函数Ｂ．函数犳（狓）是以４为周期的周期函数Ｃ．函数犳（狓＋２）为偶函数Ｄ．函数犳（狓－３）为偶函数１３．（２０１９·北京卷）设函数犳（狓）＝ｅ狓＋犪ｅ－狓（犪为常数），若犳（狓）为奇函数，则犪＝；若犳（狓）是犚上的增函数，则犪的取值范围是．１４．设函数犳（狓）是定义在犚上的奇函数，对任意实数狓，有犳（３２＋狓）＝－犳（３２－狓）成立． （１）求证：狔＝犳（狓）是周期函数，并指出其周期；（２）若犳（１）＝２，求犳（２）＋犳（３）的值；（３）若犵（狓）＝狓２＋犪狓＋３，且狔＝｜犳（狓）｜犵（狓）是偶函数，求实数犪的值．４６１ １５．已知函数犳（狓）在犚上满足犳（４－狓）＝犳（狓），犳（１４－狓）＝犳（狓），且在闭区间［０，７］上，只有犳（１）＝犳（３）＝０．（１）求证：犳（狓）既不是奇函数，也不是偶函数；（２）试求函数犳（狓）在区间［－１００，１００］上的零点个数．设犳（狓）是定义在犚上的周期为３的函数，当狓∈［－２，１）时，犳（狓）＝｜犿狓＋１｜，－２≤狓＜０，ｌｎ（狓＋狀），０≤狓＜１，烅烄烆其中犿，狀∈犚．若犳（－６）＝０，且函数犳（狓）的值域为［０，２］，求犿与狀的值．４６２１０ 指数与对数 班级： 姓名： 学号：１．已知犿１０＝２，则犿＝（ ）Ａ．１０槡２Ｂ．－１０槡２Ｃ．２槡１０Ｄ．±１０槡２２．已知犪犿＝４，犪狀＝３，则犪犿－２槡狀的值为（ ）Ａ．２３Ｂ．６Ｃ．３２Ｄ．２３．若ｌｏｇ犪３＝犿，ｌｏｇ犪５＝狀，则犪２犿＋狀的值是（ ）Ａ．１５Ｂ．７５Ｃ．４５Ｄ．２２５４．下列等式正确的是（ ）Ａ．ｌｏｇ犪（狓·狔）＝ｌｏｇ犪狓·ｌｏｇ犪狔Ｂ．ｌｏｇ犪（狓＋狔）＝ｌｏｇ犪狓＋ｌｏｇ犪狔Ｃ．ｌｏｇ犪（狓÷狔）＝ｌｏｇ犪狓÷ｌｏｇ犪狔Ｄ．ｌｏｇ犪狓－ｌｏｇ犪狔＝ｌｏｇ犪（狓狔－１）５．（多选）在下列各式中，一定成立的有（ ）Ａ．（狀犿）７＝狀７犿１７Ｂ．１２（－３）槡４＝３槡３Ｃ．４狓３＋狔槡４＝（狓＋狔）３４Ｄ．３槡槡９＝３槡３６．（多选）在下列命题中，真命题是（ ）Ａ．若ｌｏｇ１８９＝犪，ｌｏｇ１８５４＝犫，则１８２犪－犫＝３２Ｂ．若ｌｏｇ狓２７＝３（ｌｏｇ３１８－ｌｏｇ３２），则狓＝±槡３Ｃ．若ｌｏｇ６［ｌｏｇ３（ｌｏｇ２狓）］＝０，则狓－１２＝槡２４Ｄ．若狓２＋狔２－４狓－２狔＋５＝０，则ｌｏｇ狓（狔狓）＝０７．２７２３＋１６－１２－（１２）－２－（８２７）－２３＝．８．如果狓，狔∈犚，且２狓＝１８狔＝６狓狔，那么狓＋狔的值为．４６３ ９．已知犪１２＋犪－１２＝４，求下列各式的值：（１）犪＋犪－１；（２）犪２＋犪－２．１０．（１）已知ｌｏｇ狓８＝６，求狓的值；（２）已知ｌｏｇ３（狓２－１０）＝１＋ｌｏｇ３狓，求狓的值．１１．历史上，许多伟大的数学家都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位．正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“２狆－１（狆是质数）”的质数称为梅森数．迄今为止共发现了５１个梅森数，前４个梅森数分别是２２－１＝３，２３－１＝７，２５－１＝３１，２７－１＝１２７，３，７是１位数，３１是２位数，１２７是３位数．已知第１０个梅森数为２８９－１，则第１０个梅森数的位数为（参考数据：ｌｇ２≈０．３０１）（ ）Ａ．２５Ｂ．２９Ｃ．２７ Ｄ．２８１２．（多选）已知正数狓，狔，狕满足３狓＝２狔＝１２狕，下列结论正确的有（ ）Ａ．６狕＞２狔＞３狓Ｂ．１狓＋２狔＝１狕Ｃ．狓＋狔＞（槡３＋２２）狕 Ｄ．狓狔＞８狕２４６４ １３．已知犿＝（１２）２３狀＝４狓，则ｌｏｇ４犿＝；满足ｌｏｇ狀犿＞１的实数狓的取值范围是．１４．某药厂生产一种口服液，按药品标准要求，其杂质含量不能超过０．０１％．若初始时该药品含杂质０．２％，每次过滤可使杂质含量减少１３，问至少应过滤几次才能使得这种液体达到要求？（已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１）１５．尽管目前人类无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量犈（单位：焦耳）与地震里氏震级犕之间的关系为ｌｇ犈＝４．８＋１．５犕．２０１１年３月１１日，日本东北部海域发生里氏９．０级地震，它所释放出来的能量是２００８年５月１２日我国汶川发生的里氏８．０级地震的多少倍？（精确到１，参考数据：槡１０≈３．１６）４６５（多选）拉普拉斯称赞对数是一项使天文学家寿命倍增的发明，对数可以将大数之间的乘、除运算简化为加、减运算．２０１７年５月２３日至２７日，围棋世界冠军柯洁与ＤｅｅｐＭｉｎｄ公司开发的程序“ＡｌｐｈａＧｏ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围棋复杂度的上限约为犕＝３３６１．而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为犖＝１０８０．若两数常用对数之差的绝对值不超过１，则称两数“可相互替代”．下列数值与犕犖的值“可相互替代”的有（参考数据：ｌｇ２≈０．３０１，ｌｇ３≈０．４７７）（ ）Ａ．１０９１ Ｂ．１０９２Ｃ．１０９３Ｄ．１０９４４６６ １２ 对数函数 班级： 姓名： 学号：１．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ犪（狓＋２），若图象过点（６，３），则犳（２）的值为（ ）Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．１２Ｄ．－１２２．已知函数犳（狓）＝２ｌｏｇ１２狓的值域为［－１，１］，则函数犳（狓）的定义域是（ ）Ａ．槡２２，槡２熿燀燄燅Ｂ．［－１，１］Ｃ．１２，２［］Ｄ．（－∞，槡２２燄燅∪［槡２，＋∞）３．已知犪，犫＞０，且犪≠１，犫≠１．若ｌｏｇ犪犫＞１，则（ ）Ａ．（犪－１）（犫－１）＜０Ｂ．（犪－１）（犪－犫）＞０Ｃ．（犫－１）（犫－犪）＜０Ｄ．（犫－１）（犫－犪）＞０４．已知函数狔＝ｌｏｇ２（狓２－２犽狓＋犽）的值域为犚，则犽的取值范围是（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．［０，１）Ｃ．（－∞，０］∪［１，＋∞）Ｄ．｛０｝∪［１，＋∞）５．（多选）已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ５（狓２－２狓－３），则下列结论正确的是（ ）Ａ．函数犳（狓）的单调递增区间是［１，＋∞）Ｂ．函数犳（狓）的值域是犚Ｃ．函数犳（狓）的图象关于狓＝１对称Ｄ．不等式犳（狓）＜１的解集是（－２，－１）∪（３，４）６．（多选）设函数犳（狓）＝ｌｏｇ１２狓，下列四个命题正确的是（ ）Ａ．函数犳（｜狓｜）为偶函数Ｂ．若犳（犪）＝｜犳（犫）｜，其中犪＞０，犫＞０，犪≠犫，则犪犫＝１Ｃ．函数犳（－狓２＋２狓）在（１，２）上为单调递增函数Ｄ．若０＜犪＜１，则｜犳（１＋犪）｜＞｜犳（１－犪）｜７．１６世纪末至１７世纪初，在自然科学（特别是天文学）领域经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数．由课本知识可知，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０且犪≠１）与指数函数狔＝犪狓（犪＞０且犪≠１）互为反函数．若函数狔＝４６７犳（狓）是函数狔＝犪狓（犪＞０且犪≠１）的反函数，且函数狔＝犳（狓）的图象经过点（犪，２犪），则犪＝． 第８题图８．如图，已知犃，犅是函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（１６狓）图象上的两点，犆是函数犵（狓）＝ｌｏｇ２狓图象上的一点，且直线犅犆垂直于狓轴．若△犃犅犆是等腰直角三角形（其中犃为直角顶点），则点犃的横坐标为．９．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ１２（狓＋２）－ｌｏｇ１２（２－狓）．（１）判断犳（狓）的奇偶性；（２）解关于狓的不等式犳（狓）≥ｌｏｇ１２（３狓）．１０．设犇是函数狔＝犳（狓）定义域内的一个子集，若存在狓０∈犇，使得犳（狓０）＝－狓０成立，则称狓０是犳（狓）的一个“准不动点”，也称犳（狓）在区间犇上存在准不动点．已知犳（狓）＝ｌｏｇ１２（４狓＋犪·２狓－１），狓∈［０，１］．（１）若犪＝１，求函数犳（狓）的准不动点；（２）若函数犳（狓）在区间［０，１］上不存在准不动点，求实数犪的取值范围．４６８１１．已知函数犳（狓）＝ｌｎ１＋狓１－狓＋狓＋１，且犳（犪）＋犳（犪＋１）＞２，则犪的取值范围是（ ）Ａ．（－１２，＋∞）Ｂ．（－１，－１２）Ｃ．（－１２，０）Ｄ．（－１２，１）１２．（多选）关于函数犳（狓）＝｜ｌｎ｜２－狓｜｜，下列描述正确的有（ ）Ａ．函数犳（狓）在区间（１，２）上单调递增Ｂ．函数狔＝犳（狓）的图象关于直线狓＝２对称Ｃ．若狓１≠狓２，但犳（狓１）＝犳（狓２），则狓１＋狓２＝４Ｄ．方程犳（狓）＝０有且仅有两个解１３．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（狓２＋槡犪－狓）是犚上的奇函数，则实数犪的值为；已知函数犵（狓）＝犿－｜２狓－犪｜，若犳（狓）≤犵（狓）对狓∈－３４，２［］恒成立，则犿的取值范围为．１４．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ４（４狓＋１）＋犽狓（犽∈犚）为偶函数．（１）求犽的值；（２）若方程犳（狓）＝ｌｏｇ４（犿２狓－１）有解，求实数犿的取值范围．４６９ １５．设函数犳（狓）的定义域为犇，若存在狓０∈犇，使得犳（狓０＋１）＝犳（狓０）＋犳（１），则称狓０为函数犳（狓）的“旺点”．（１）求函数犳（狓）＝２狓＋３狓在犚上的“旺点”；（２）若函数犵（狓）＝ｌｏｇ２犪１＋狓２在（０，＋∞）上存在“旺点”，求正实数犪的取值范围．对于函数犳１（狓），犳２（狓），犺（狓），如果存在实数犪，犫使得犺（狓）＝犪犳１（狓）＋犫犳２（狓），那么称犺（狓）为犳１（狓），犳２（狓）的生成函数．（１）设犳１（狓）＝ｌｏｇ４狓，犳２（狓）＝ｌｏｇ１４狓，犪＝２，犫＝１，生成函数犺（狓）．若不等式２犺２（狓）＋３犺（狓）＋狋＜０在狓∈［４，１６］上有解，求实数狋的取值范围．（２）函数犵１（狓）＝ｌｏｇ３（９狓－１＋１），犵２（狓）＝狓－１是否能生成一个函数犺（狓），同时满足：①犺（狓＋１）是偶函数；②犺（狓）在区间［２，＋∞）上的最小值为２ｌｏｇ３１０－２？若能，求函数犺（狓）的解析式；若不能，请说明理由．４７０ １４ 函数与方程 班级： 姓名： 学号：１．函数犳（狓）＝｜狓－２｜－ｌｎ狓在定义域内的零点的个数为（ ）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３２．已知函数犳（狓）＝２狓，狓≥２，（狓－１）３，狓＜２，烅烄烆若关于狓的方程犳（狓）＋犽＝０有两个不同的实根，则实数犽的取值范围是（ ）Ａ．（０，１）Ｂ．［０，１］Ｃ．（－１，０）Ｄ．［－１，０］３．偶函数犳（狓）满足犳（狓－１）＝犳（狓＋１），且在狓∈［０，１］时，犳（狓）＝２狓，则关于狓的方程犳（狓）＝（１２）狓在狓∈［０，４］上解的个数是（ ）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５４．已知函数犳（狓）＝３｜狓－１｜，狓＞０，－狓２－２狓＋１，狓≤０，烅烄烆若关于狓的方程［犳（狓）］２＋（犪－１）犳（狓）－犪＝０有７个不等的实根，则实数犪的取值范围是（ ）Ａ．（－２，１）Ｂ．［２，４］Ｃ．（－２，－１）Ｄ．（－∞，４］５．（多选）已知函数犳（狓）＝－狓２－３狓，狓＜０，犳（狓－３），狓≥０，烅烄烆以下结论正确的是（ ）Ａ．犳（狓）在区间［４，６］上是增函数Ｂ．犳（－２）＋犳（２０２０）＝４Ｃ．若函数狔＝犳（狓）－犫在（－∞，６）上有６个零点狓犻（犻＝１，２，３，４，５，６），则∑６犻＝１狓犻＝９Ｄ．若方程犳（狓）＝犽恰有１个实根，则犽＜０第６题图６．（多选）定义域和值域均为［－犪，犪］（常数犪＞０）的函数狔＝犳（狓）和狔＝犵（狓）的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）Ａ．方程犳［犵（狓）］＝０有且仅有三个解Ｂ．方程犵［犳（狓）］＝０有且仅有三个解４７１Ｃ．方程犳［犳（狓）］＝０有且仅有九个解Ｄ．方程犵［犵（狓）］＝０有且仅有一个解７．设函数狔＝狓３与狔＝（１２）狓－２的图象的交点为（狓０，狔０），若狓０∈（狀，狀＋１），狀∈犖，则狀＝．８．已知函数犳（狓）＝２狓，狓≤０，｜ｌｏｇ２狓｜，狓＞０，烅烄烆则方程犳［犳（狓）］＝２的根的个数是．９．已知函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０），满足犳（０）＝２，犳（狓＋１）－犳（狓）＝２狓－１．（１）求函数犳（狓）的解析式；（２）若函数犵（狓）＝犳（狓）－犿狓的两个零点分别在区间（－１，２）和（２，４）内，求犿的取值范围．１０．已知函数犳（狓）＝１狓＋１－３，狓∈（－１，０］，狓，狓∈（０，１］，烅烄烆且犵（狓）＝犳（狓）－犿狓－犿在（－１，１］内有且仅有两个不同的零点，求实数犿的取值范围．４７２１１．定义在犚上的函数犳（狓）＝ｌｇ｜狓－２｜，狓≠２，１，狓＝２，烅烄烆若关于狓的方程犳２（狓）＋犫犳（狓）＋犮＝０恰好有５个不同的实数解狓１，狓２，狓３，狓４，狓５，则犳（狓１＋狓２＋狓３＋狓４＋狓５）等于（ ）Ａ．ｌｇ２Ｂ．ｌｇ４Ｃ．ｌｇ８Ｄ．１１２．（多选）设函数犳（狓）＝｜狓｜狓＋犫狓＋犮，则下列结论正确的是（ ）Ａ．当犫＞０时，函数犳（狓）在犚上有最小值Ｂ．当犫＜０时，函数犳（狓）在犚上有最小值Ｃ．对任意的实数犫，函数犳（狓）的图象关于点（０，犮）对称Ｄ．方程犳（狓）＝０可能有三个实数根１３．设函数犳（狓）＝２狓－犪，狓＜１，４（狓－犪）（狓－２犪），狓≥１．烅烄烆若犪＝１，则犳（狓）的最小值为；若犳（狓）恰有２个零点，则实数犪的取值范围是．１４．已知函数犳（狓）＝｜ｌｏｇ２狓｜，狓＞０，狓２＋２狓＋２，狓≤０，烅烄烆方程犳（狓）－犪＝０有四个不同的实根并分别记为狓１＜狓２＜狓３＜狓４．（１）若将狓４的所有取值记为集合犇，求犇；（２）设犵（狓）＝犳（狓）－犽狓（狓∈犇）有两个零点，求实数犽的取值范围．４７３ １５．已知函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（２狓＋１）＋犪狓，狓∈犚．（１）若犳（狓）是偶函数，求实数犪的值；（２）当犪＞０时，关于狓的方程犳［犳（狓）－犪（１＋狓）－ｌｏｇ４（２狓－１）］＝１在区间［１，２］上恰有两个不同的实数解，求实数犪的取值范围．已知狓∈犚，符号［狓］表示不超过狓的最大整数，若函数犳（狓）＝［狓］狓－犪（狓≠０）有且仅有３个零点，则实数犪的取值范围是．４７４。
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x x0
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Hale Waihona Puke 22证:当 x( 0 ,
2
) 时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积 即
1 2
1 x A o C
BD
sin x
1 2 tan x
当x
2
时 显然有 sin x 1 x
x
0
lim 当0 x x0 时, 就有 x x0 , x x
x0 .
更一般地,设 f (x)在 x0 的某去心邻域取正值,且
x x0
lim f ( x ) A 0 ，证明: lim
x x0
f ( x)
A
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即2 x 1
取 / 2,
当0 x 1 时,
2 x2 3 x 1 lim 1. x 1 x 1
2 x2 3 x 1 就有 1 , x 1
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例5 证明 lim sin x sin x0 , lim cos x cos x0 .
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20
例4
2 x2 3 x 1 证明 lim 1. x 1 x 1
证
函数在点x =1处没有定义.
0,
2 x2 3 x 1 f ( x) a 1 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) a ,
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lim f x a的几何意义 : 任意给定正数, 作平行于x轴
x
的两条直线y a 和y a - , 介于这两条直线是一带形 区域, 由定义知存在一正数M 0, 使当x -M或x M时, 函 数y f x 的图形落在这一区域内.
(1)将 f (x) a 化简或适当放大成( x ),即 : f (x) a ( x );
(2)令( x ) ，解出 x M();
(3)取M M( ) 0;
(4)由 M语言的叙述可得到证明.
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注意：另两种情形
第1章 函数、极限、连续
第 1节 第 2节 第 3节 集合、映射与函数 数列的极限 函数的极限
第 4节
第 5节
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无穷小量及无穷大量
连续函数
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第3节
函数的极限
3.1 函数极限的概念
3.2 函数极限的性质 3.3 两个重要极限 3.4 函数极限的存在准则
0, 0,当0 x x0 时, 恒有 f ( x) a .
注意: 与任意给定的正数 有关.
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几何解释
当x在x0的去心 邻 域时, 函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y a为中心线, 宽为2 的带形区域内.
a
a
M
a
M
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例1
sin x 证 明 li m 0. x x
y
sin x x
证
0, 要使 sin x 0
1 只须 x
取 X 1
x
即x
1
sin x 故 lim 0. x x
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在函数极限 lim f x A的定义中,x x0是指x既从x0
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1、自变量x趋于∞时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
sin x y x
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通过上面演示实验的观察:
sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应函数值
将上述思想一般化后,可考虑所谓的函数极限问题,即讨论 在自变量x的某个变化过程中,函数y=f x 的极限.
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事实上, 我们主要讨论自变量的两种变化过程:
1自变量x的绝对值 | x | 无限增大 记为x 时, 对 应函数值f x 的变化趋势.
f ( x ) a 表示 f ( x ) 与 a 的接近程度 ;
0 x x0 表示x x0的过程 .
x0
点x0的去心邻域,
x0
x0
x
体现x接近x0程度.
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定义2( " " 定义 )设 f (x)在x0的附近有定义 （在点x0处可能没有定义），a是一个常数.若
例7
证明 : 当x0 0时, lim x x0 .
x x0
证 f ( x ) a x x0
0,
x x0 x x0 , x x0 x0
要使 f ( x ) a ,
只要 x x 0
x 0 且不取负值.
取 min{ x0 , x0 },
x x0 x x0
证
先建立如下不等式: sin x x , x R
x x0 x x0 sin x sin x 0 2 cos sin x x0 2 2
0,
要使 sin x sin x 0 ,
取 ,
当0 x x 0 时, 就有 sin x sin x 0 ,
小结
用 方 法 证 题 ， 也 是 由 找， 一 般 步 骤 为 : (1)将 f ( x ) A 化 简 或 适 当 放 大 成 ( x x0 )； ( 2)令 ( x x0 ) ， 解 出x x0 ( )； ( 3)令 ( )， 或m in ； (4)由 语 言 的 叙 述 可 下 结 论 .
0, 0,当0 x x0 时, 恒有 f ( x) a .
则称当x趋向于x0时, f (x)的极限是a, 记作
x x0
lim f ( x ) a 或 f ( x ) a(当x x0 )
x x0
" " 定义
lim f ( x ) a
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2008年10月15日
实际上,数列极限可以看作是函数极限的特殊情况, 因为数列x n 可以看作自变量为n的函数xn f n ,n N . 所以数列x n 的极限为a就是指当n取正整数且无限增大
即n 时, 对应的函数值x n f n 无限接近于常数a.
充分大时有
0, M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x ) a ,
则称当x趋向于无穷时, f (x)的极限是a, 记作
lim f ( x ) a 或 f ( x ) a( x ).
x
lim f ( x ) a
x
0, M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x ) a .
f ( x ) 无限趋近于确定值 a.
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) a 表示 f ( x ) a 任意小 ; x M 表示x 的过程.
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定义1 ( M 定义 )设 f (x)在x 定义,a是一个常数.若
即 ( x - 2)( x 2)
限制 x - 2 1
则
x2 x2 4 5
只须 5 x 2 .
当0 x 2 时,
x2
取 min{1, }, 5
就有 x 2 4 ,
lim （x 2 1） 5.
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x x x
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2、自变量x趋于有限值x0时的函数极限
设函数f x 在点x 0的某一去心邻域内有定义(在x 0处 可以无定义)
问题: 1 当x任意地接近于x0 ,即x x0时, 对应函数值 f x 是否会无限接近于常数a ?
2 如何用数学语言对上述过程加以描述?
2008年10月15日
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分析 : 设当x x0过程中, 对应函数值f x 无限接近 于常数a,
当x x0过程中, | f x a | 能任意地小
当x x0过程中, 对于任意给定的正数 0, f x a
注意到当x x0过程中, 只有充分接近x0的那些x, 才能使 f x A
充分接近x0的那些x : 存在一个很小的正数 0, 使得0 | x - x0 | , x x0 .
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问题 : 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 a.