波动光学习题解答

第15章 波动光学习题解答15-1 分析：因双缝干涉是等间距的，故可用条纹间距公式λdd x '=∆求入射光波长。

应注意两个第 5 条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？），故mm 97822.=∆x 。

解： 屏上相邻暗纹（或明纹）间距'd x dλ∆=，把322.7810m 9x -∆=⨯，以及d 、d ′值代入，可得λ＝632.8 nm 。

15-2 解析：双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx ，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x 5－x -5 ＝10Δx 可求出Δx 。

再由公式Δx ＝d ′λ／d 即可求出双缝间距d 。

解：Δx ＝（x 5 －x -5）/10 ＝1.22×10-3 m 双缝间距 d ＝d ′λ／Δx ＝1.34 ×10-4 m15-3 解：玻璃片插入后，对于原中央明纹所在点O ，光程差为∆=(r 2-t +tn 2)-( r 1-t +tn 1)=( n 2-n 1)t =5λ0.8512=-=n n t λμm15-4 分析：洛埃德镜可看作双缝干涉，光源S 0和虚光源S 0′是相干光源。

但是洛埃德镜的反射光有半波损失，故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补，即屏上的明暗位置互换。

解：cm D mmd 50,2== 由明纹条件：λλλθδk D x dd =+=+=22sin 代入1=k ，mm dD x 21105.82-⨯==λ15-5 分析：在应用劈尖干涉公式L nbd 2λ=时，应注意相邻条纹的间距b 是N 条条纹的宽度Δx 除以（N －1）．对空气劈尖n ＝1．解：由分析知，相邻条纹间距1-∆=N xb ，则细丝直径为 ()m 107552125-⨯=∆-==.xn N L nbd λλ15-6 分析：置于玻璃上的薄膜AB 段形成劈尖，求薄膜厚度就是求该劈尖在A 点处的厚度．由于25Ta O 对激光的折射率大于玻璃，故从该劈尖上表面反射的光有半波损失，而下表面没有，因而两反射光光程差为Δ＝2ne ＋λ/2。

由反射光暗纹公式2ne k ＋λ/2 ＝（2k ＋1）λ/2，k ＝0，1，2，3，…，可以求厚度e k 。

又因为AB 中共有11 条暗纹（因半波损失B 端也为暗纹），则k 取10即得薄膜厚度。

解：根据分析，有2ne k ＋λ/2 ＝（2k ＋1）λ/2 （k ＝0，1，2，3，…）取k ＝10，得薄膜厚度 e 10 ＝10λ/2n ＝1.4 ×10-6m15-7 分析：因为 n 1＜n 2＜n 3 ，劈形膜上下表面都有半波损失，所以二反射光之间没有附加相位差，光程差为2n 2e 。

解：第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e 5，2n 2e 5 =(2k +1)λ/2 k =4()522241/49/4e n n λλ=⨯+=明纹的条件是2n 2e k =kλ相邻二明纹所对应的膜厚度之差e =e k+1－e k =λ/(2n 2)。

15-8 分析：牛顿环装置产生的干涉暗环半径λkR r =，其中k ＝0，1，2…，k ＝0，对应牛顿环中心的暗斑，k ＝1 和k ＝4 则对应第一和第四暗环，由它们之间的间距λR r r r =-=∆14，可知λ∝∆r ，据此可按题中的测量方法求出未知波长λ′．解：根据分析有λλ'=∆'∆r r 故未知光波长 λ′＝546 nm15-9 分析：当透镜与平板玻璃间充满某种液体（n 2＞1），且满足n 1＞n 2 ，n 2＜n 3或n 1＜n 2 ，n 2＞n 3 时，在厚度为d 的地方，两相干光的光程差为222λ+=∆d n 。

由此可推导出牛顿环暗环半径2n kR r λ=和明环半径221n R k r λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，这里明、暗环半径和充入的介质折射率n 2 有关。

有兴趣的读者可自行推导。

必须指出，在牛顿环中，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环半径的公式与教材中的公式是不同的，不能随意套用。

解：当透镜与玻璃之间为空气时，k 级明纹的直径为λR k r d k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2122当透镜与玻璃之间为液体时，k 级明纹的直径为22122λR k r d k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-='='解上述两式得22122.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=k k d d n15-10 分析：本题也是一种牛顿环干涉现象，由于n 1 ＜n 2 ＜n 3 ，故油膜上任一点处两反射相干光的光程差Δ＝2n 2d 。

（1）令d ＝0，由干涉加强或减弱条件即可判断油膜周边是明环。

（2）由2n 2d ＝（2k ＋1）λ/2，且令d ＝d m 可求得油膜上暗环的最高级次（取整），从而判断油膜上完整暗环的数目。

解：（1）根据分析，由()()(),...,,210 1222=⎩⎨⎧+=k k k d n 暗条纹明条纹λλ油膜周边处d ＝0，即Δ＝0 符合干涉加强条件，故油膜周边是明环．（2）油膜上任一暗环处满足()(),...,,/21021222=+==∆k k d n λ令d ＝d m ，解得k ＝3.9，可知油膜上暗环的最高级次为3，故油膜上出现的完整暗环共有4 个，即k ＝0，1，2，3。

15-11 解：因为有半波损失，所以反射光干涉加强的条件为λ∆k nd ==24602.1212⨯⨯⨯==kk nd λ 当k =2时，λ=552nm 的可见光反射最强。

15-12 分析：这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长。

解：根据分析对反射光加强，有(),...,/2122==+k k ne λλ()124-=k ne /λ在可见光范围，k ＝2 时，nm 8668.=λ（红光）k ＝3 时，nm 3401.=λ（紫光）故正面呈红紫色。

同理，对透射光加强，有2ne ＝kλ （k ＝1，2，…）在可见光范围仅有k ＝2 时，λ＝501.6 nm （绿光）。

即背面呈绿色。

15-13 分析：迈克耳孙干涉仪的一条臂上的反射镜2M 移动2λ，则在该臂上的光程将改变一个波长λ，由此将引起一条条纹的移动。

解：由2λN d =得nm Nd9.5342==λ 15-14 分析：迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况。

在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动。

解：插入厚度为d 的介质片后，两相干光光程差的改变量为2(n －1)d ，从而引起N 条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2(n －1)d ＝Nλ，得d ＝Nλ()m 101545126-⨯=-=.n N d λ15-15 解：设第一级暗纹的衍射角为θ1，则λθ=1sin a因而中央明纹的角宽度为3101046.52arcsin22-⨯=≈==aaλλθθrad 设第k 级和第k +1级暗纹的衍射角为θk 和θ k +1，则第k 级明纹的角宽度为)arcsin())1(arcsin(1ak a k k k k λλθθθ∆-+=-=+ 在衍射角很小时，311073.2)())1((-+⨯=-+=-=ak a k k k k λλθθθ∆（rad ） 15-16 分析：夫琅禾费衍射的明纹公式为2)12(sin λθ+=k a ，由题意0λ的第三级明纹与波长nm 600=λ的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角θ。

解：设未知波长为0λ由单缝衍射明纹条件：2)12(sin λθ+=k a可有： 2)132(s i n 0λθ+⨯=a 和 2)122(s i nλθ+⨯=a 即可得 nm 6.428750==λλ 15-17 分析：单缝衍射中的明纹条件为()212sin λθ+±=k a ，在观察点P 确定（即θ确定）后，由于k 只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值。

此外，如点P 处的明纹级次为k ，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k ＋1），它们都与观察点P 有关，θ越大，可以划分的半波带数目也越大。

解：（1）透镜到屏的距离为f ，由于f ＞＞a ，对点P 而言，有fx≈θsin 。

根据单缝衍射明纹条件()212sin λθ+=k a ，有()212λ+=k f ax 将a 、d （d ≈f ）、x 的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有272nm 760754nm 400max max max min .,.,====k k 时时λλ因k 只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k =4和k =3，它们所对应的入 射光波长分别为λ2＝466.7 nm 和λ1＝600 nm 。

（2）点P 的条纹级次随入射光波长而异，当λ1 ＝600 nm 时，k ＝3；当λ2 ＝466.7 nm 时，k ＝4。

（3）当λ1＝600 nm 时，k ＝3，半波带数目为（2k ＋1）＝7；当λ2＝466.7 nm 时，k ＝4，半波带数目为9。

15-18 分析：两物体能否被分辨，取决于两物对光学仪器通光孔（包括人眼）的张角θ 和光学仪器的最小分辨角θ0 的关系．当θ≥θ0 时能分辨，其中θ＝θ0 为恰能分辨．在本题中Dλθ2210.=为一定值，而dl≈θ，式中l 为两灯间距，d 为人与车之间的距离．d 越大或l 越小，θ 就越小，当θ ＜θ0 时两灯就不能被分辨，这与我们的生活经验相符合．解：当θ ＝θ0时，Dd l λ221.=，此时，人与车之间的距离为m 4918221==λ.Dld15-19 解：根据上题的分析：θ0 ＝1.22λ／D 。

这里D 是鹰的瞳孔直径。

而θ ＝L /h ，其中L 为小鼠的身长， h 为老鹰飞翔的高度。

恰好看清时θ ＝θ0， 则由L /h ＝1.22λ/D ，得飞翔高度：h ＝LD /（1.22λ）＝409.8 m 。

15-20 解：（1）光栅常数为69100.620.0106002sin --⨯=⨯⨯==+k k b a θλm（2）根据缺级条件/kk a b a =+ 取k /=1，得 65105.14100.64--⨯=⨯=+=b a a m （3）在光栅公式中取sin θ≤1得1010600100.696=⨯⨯=+=--λba k 即k =0,±1, ±2, ±3, ±4, 5, ±6, ±7, ±8, ±9, ±10时出现明条纹，共有21条。