信号与系统阶跃信号和冲激信号
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阶跃函数和冲激函数
பைடு நூலகம்
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
《信号与系统》管致中 ch2_8~9
东南大学 信息科学与工程学院
全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
et
1 2
e3t
(t)
零状态响应
1 2
et
(t)
1
1 2
e3t
(t)
自然响应
受迫响应
1 2
et
1 2
e3t
(t)
t
稳态响应
瞬态响应
东南大学 信息科学与工程学院
全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
的形式。将响应分为两部分： 1) 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，
由系统的自然属性产生 2) 受迫响应：即通解，由激励项引起，
东南大学 信息科学与工程学院
最后，将两部分解相加，带入初始条件确定其中的待 定系数，最终确定全响应。
经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确 定其特解。
东南大学 信息科学与工程学院
e
1t
(t
)
kl
1e
l1t
(t
)
kl
el
2
2t
(t
)
.
..
k
n
e
nt
(t
)
有关 m=n 和 m>n 的情况，也可以通过相似的过程得到。
东南大学 信息科学与工程学院
§2-9 线性系统响应的时域求解法
一、 近代时域法求解步骤 1、 求系统的转移算子 H(p) 2、 求系统的零输入响应
求解方法：经典法，等效源法 如果系统的初始条件为零，则本步可以省略。
件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题 2-4 中介绍了这种算法。 4） LT 变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法最简 单。在后面 Ch5 中介绍。 本节中重点介绍系统方程法。
全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
et
1 2
e3t
(t)
零状态响应
1 2
et
(t)
1
1 2
e3t
(t)
自然响应
受迫响应
1 2
et
1 2
e3t
(t)
t
稳态响应
瞬态响应
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全响应为
uC
(t)
et (t)
零输入响应
1
1 2
的形式。将响应分为两部分： 1) 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，
由系统的自然属性产生 2) 受迫响应：即通解，由激励项引起，
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最后，将两部分解相加，带入初始条件确定其中的待 定系数，最终确定全响应。
经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确 定其特解。
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e
1t
(t
)
kl
1e
l1t
(t
)
kl
el
2
2t
(t
)
.
..
k
n
e
nt
(t
)
有关 m=n 和 m>n 的情况，也可以通过相似的过程得到。
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§2-9 线性系统响应的时域求解法
一、 近代时域法求解步骤 1、 求系统的转移算子 H(p) 2、 求系统的零输入响应
求解方法：经典法，等效源法 如果系统的初始条件为零，则本步可以省略。
件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题 2-4 中介绍了这种算法。 4） LT 变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法最简 单。在后面 Ch5 中介绍。 本节中重点介绍系统方程法。
信号与系统2-2冲激响应与阶跃响应课件
8
举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为
信号与系统4-3冲激序列响应与阶跃序列响应课件
k =0 时
f1(k)
1
2 1 0 1 2 k
f2 (k )
3
f1(i)
2
1
1
0 12 3 k
2 1 0 1 2
i
0
f 2 (i)
3
3
5
2
y(k) 6
1
3
2 1 0 1 2 3 i
1 0
k 2 k 2 k 1 k 0,1, 2 k 3 k 4 k 4
9
有限长序列卷积和的规律
两个有限长度序列f(k)和h(k)的卷积y(k)长度也是 有限的。
定义：
f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
f2 (i) f1(k i) i
称离散卷积或卷积和
f (k)
1 0 1 2 3
f (i) (k i)
i
k
5
任意激励信号的零状态响应
A(k(k-(nk-i))
任意信号：
f (k) f (i) (k i) i f (k) (k)
3 13
[1 2k 1 3k ] (k)
2
2
4
4.6 离散卷积
卷积和的意义
任意离散信号可分解为(k)的线性组合：
f(k)=······+f(-1)(k+1)+ f(0)(k)+ f(1)(k-1)+
······+ f(i)(k-i)+······
f (i) (k i) f (k) (k) i
10
卷积和的计算
不进位乘法法
对于两个有限序列，可以利用一种“不进位乘法”较快地求出卷积结果。
例：求
y(k)= f1(k) f2(k)
信号与系统§2.2 冲激响应和阶跃响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ(t) f (t) af (t) f (t)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
通信与信息工程学院基础教学部
19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
通信与信息工程学院基础教学部
17
三、序列δ(k)和ε(k)
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
信号与系统§1.4 阶跃函数和冲激函数
= f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
■ 第 ▲1 页
■
第 23 页
取样性质举例
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
0
3
4
9
sin(t
) (t) d t
?
2
1
4
2
1
2 (
1
t) d
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
举例
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s(t )
■ 第 ▲1 页
■
第 23 页
取样性质举例
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
0
3
4
9
sin(t
) (t) d t
?
2
1
4
2
1
2 (
1
t) d
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
举例
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s(t )
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斜率为单位1 t 0 t 0
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(tt0)tt0
tt0 tt0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．锯齿（单边三角形）单脉冲
f(t)K R(t)
0
0t
其它
R (t) 1
45度角
O1
t
R(t t0) 1
O t0 t0 1 t
f (t) K
任意斜角
O
t
X
二．单位阶跃信号u(t)
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f(t)(t)f(0 )(t)
f(t)(t)dtf(0)
（5）卷积性质 ft tft
（6）冲激偶
(t)(t) 奇函数
（2）奇偶性：偶
(t)(t)
（3）比例性
(at) 1 t
a
（4）微积分性质
(t)dt 0
t (t)dt(t)
f(t)(t)dtf(0)
1. 定义
任意幅度呢？
u(t)
0 u(t)1
t0
0点
无
定1义
1
或
t0
2
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号
u(t t0 )
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
1
O
t0
t
0 u(tt0) 1
tt0, tt0
t00
u(t t0 ) 1
由宗量 t t0 0 可 t 知 t0,即 时 t0 O
间 为，t0时 函数有断点，跳变点 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
p(t)1ut2ut2
p(t )
1
0
O 2
t
2
面积1；当脉宽τ↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积保持为=1 三个特点： ★宽度为→0
物理意义：闪电， 瞬间放电
★幅度无 0 穷
t 0 t 0
X
描述（公式或图形表达）
(t)l i0p m (t)l i01 m u t2 u t2
f(0)
X
3.冲激偶（冲激的导数）
s(t )
1 1
o
求导
s(t )
பைடு நூலகம்
1
2 1
2
O
1 2
1
2
成为
t
0
成为
t
(t)
(1)
O
t
(t)
求导关系
t
O
X
冲激偶δ’(t)的性质
① (t)f(t)dtf(0)
结合时移，则：
(tt0)f(t)dtf(t0)
对t的k阶 导 数： (k)tftdt1kf(k)0
t X
3．用单位阶跃信号u(t)描述其它信号
门函数：也称窗函数(宽为τ)
f t
ftut2ut2G (t)
其他函数只要被门函数处理(即乘以门
2
1 O
Gτ t
t
2
函数)，就只留下该门内的部分。
符号函数：(Signum)
sgn t
1
sgnt)(11
t 0 t0
O
t
-1
st ) g u ( n t ) u ( ( t ) 2 u ( t ) 1 u(t)1[sgtn)(1] 2
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。
但由于 t 是一个广义函数，它还有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
X
1. 抽样性(筛选性)
如果某信号f(t)在t = 0处连续，且t0处处处f(有t0)界的，函则数有值
(t)f(t)f(0 )(t)
f (t)
(t)f(t)dtf(0)
f (0)
对于移位情况：
o
t
冲激抽样信号的表达式
(t t0 )f(t) f(t0 )(t t0 ) 筛出了t0点的函数值
(tt0)f(t)dtf(t0)
X
2. 奇偶性
(t)(t)
在t=0处偶 对称
冲激导数的抽样情况：利用分部积分运算
(t)f(t)dt
f(t)(t) f(t)(t)d t
f ( t)( t) f ( 0 )( t) f ( 0 )( t)
(t) du(t) t ()du(t)
dt
X
X
三．单位冲激δ(t)（难点）
概念引出 定义1 定义2 冲激函数的性质
X
定义1：狄拉克δ(t)函数 (Dirac)
(t)dt 1
(t) 0
t 0
(t)dt 0(t)dt
0
➢ 函数值只在t = 0时不为零，其他为0；
➢ 积分总面积为1；
➢ t =0 时，t，为无界函数。
3个特征
X
定义2 （极限法定义）
② 平均面积 (t)dt0, 单边面积 t (t)dtt
③ (t)(t), (t0t) (tt0)
所 以(t)是 奇函 数
④ f t ( t ) f 0 ( t ) f ( 0 ) t ， 和连续函数的乘积
（ 与 f ( t ) ( t ) f 0 t 不 同 ） X
§1.4 阶跃信号和冲激信号
集美大学信息工程学院 2010.4
本节介绍
信号（函数）本身有不连续点(跳变点)或其导 数与积分有不连续点的一类信号（函数）统称为 奇异信号或奇异函数。
主要内容： •单位斜变信号 •单位阶跃信号 •单位冲激信号 •冲激偶信号
X
一．单位斜变信号R(t)
1． 定义
0 R(t)t
(t)
强度值1
(1 )
(t t0 )
时移的单位冲激函数
(1 )
o
t
若面积为k，则强度为k。
o
t0
t
意义： 瞬间脉冲
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限下，都可以进化成单位冲激信号。
X
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
4. 对(t)的标度变换（scale尺度）
at 1 t
a
另外：冲激偶的标度变换
at 1 1t
aa
(k)at
1 a
1 ak
(k)t
X
四.总结： R(t)，u(t)，(t) 之间的关系
R(t )
45° u(t)
(t)
1 1
O1
t
O
(1)
t
t
O
R(t)
↓↑
求导
u(t) 积分
↓↑
(t)
(-<t< )