正弦余弦的诱导公式
正弦、余弦的诱导公式3
探究： 探究：
π − α 与α
的终边有何关系
y
P(x,y)
sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α
将
P(-x,y)
α看成第一象限角，
π −α 是第二象限
负 带 负 带
o
x 则
sin(π − α ) cos(π − α ) tan(π − α )
sin( −α) = −sin α cos(−α) = cosα tan( −α) = − tan α
判断
(1) cos(π − α ) = cos α
(2) cos(−α) = cosα (3) cos(π +α) = cosα
(4) tan(π +α) = − tan α
(5) sin(π − α ) = − sin α
31π (3) sin 36
(4) sin 324 32
(6) cos100 21
0
0 '
0
'
3π (5) cos 5
31π (7) cos 36
(8) cos 324 32
'
利用公式求下列三角函数值
(1) cos 225
0
11π (2) sin 3
16π (3) sin( − ) 3
(4) cos(−2040 )
郑州市12中 郑州市 中
sin(α + 2kπ ) = sin α cos(α + 2kπ ) = cos α tan(α + 2kπ ) = tan α
（其中
k ∈Z
）
诱导公式一: sin(α + k ⋅ 360°) = sin α cos(α + k ⋅ 360°) = cos α tan(α + k ⋅ 360°) = tan α
正弦余弦的诱导公式
正弦余弦的诱导公式正弦和余弦的诱导公式是三角函数中非常重要的两个公式，它们描述了两个角的正弦和余弦之间的关系。
通过这些公式，我们可以使用已知角的正弦或余弦来求解其他角度的正弦和余弦值，从而在三角函数中起到了非常关键的作用。
首先，我们先来看正弦的诱导公式。
对于一个角度为θ的三角形，假设角θ的对边长度为b，斜边长度为c。
根据三角形的定义可以知道：sin(θ) = b/c接下来我们使用勾股定理，即c²=a²+b²，其中a表示角度为θ的三角形的邻边长度。
将c²=a²+b²代入上式，可以得到：sin(θ)= b/√(a² + b²)我们知道，正弦函数是一个周期性函数，且满足-sin(θ) = sin(180° + θ)。
因此，对于角度大于90°的情况，可以通过此公式来计算正弦值。
根据逆三角函数的定义，我们还可以推导出：sin(180° - θ) = sin(θ)这就是正弦的诱导公式，它描述了正弦函数的周期性和对称性。
接下来，我们来看余弦的诱导公式。
同样考虑一个角度为θ的三角形，对于角度大于90°的情况，我们可以使用余弦函数来表示。
余弦函数定义为：cos(θ) = a/c假设角θ的邻边长度为a，斜边长度为c。
利用勾股定理可以得到：cos(θ) = a/√(a² + b²)由余弦函数的周期性和对称性，我们可以推导出：cos(-θ) = cos(θ)cos(180° - θ) = -cos(θ)cos(180° + θ) = -cos(θ)这些公式描述了余弦函数的周期性和对称性。
通过正弦和余弦的诱导公式，我们可以求解其他角度的正弦和余弦值。
例如，对于sin(30°)，我们可以使用sin(90° - 30°) = sin(60°) = √3/2来求解。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全1.正弦函数诱导公式：正弦函数的诱导公式是通过余弦函数定义和平方性质得到的。
sin^2A + cos^2A = 1根据这个公式，我们可以得到以下诱导公式：sin(-A) = -sinAsin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBsin2A = 2sinAcosAsin3A = 3sinA - 4sin^3A2.余弦函数诱导公式：余弦函数的诱导公式是通过正弦函数定义和平方性质得到的。
sin^2A + cos^2A = 1根据这个公式，我们可以得到以下诱导公式：cos(-A) = cosAcos(A ± B) = cosA cosB - sinA sinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Acos3A = 4cos^3A - 3cosA3.正切函数诱导公式：正切函数的诱导公式是通过正弦函数和余弦函数诱导公式得到的。
tanA = sinA / cosA根据正弦函数和余弦函数诱导公式，我们可以得到以下诱导公式：tan(-A) = -tanAta n(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)tan3A = (3tanA - tan^3A) / (1 - 3tan^2A)4.余切函数诱导公式：余切函数的诱导公式是通过正切函数的诱导公式得到的。
cotA = 1 / tanA根据正切函数的诱导公式，我们可以得到以下诱导公式：cot(-A) = -cotAcot(A ± B) = (cotA cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)cot2A = (1 - tan^2A) / 2tanAcot3A = (3cotA - cot^3A) / (cot^2A - 3)5.正割函数诱导公式：正割函数的诱导公式是通过余弦函数的诱导公式得到的。
正弦余弦诱导公式
角
函数
sin
cos
小结：
奇变偶不变； 符号看象限。
五组诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五
的奇数倍，如： 2
1 3 7 2， 2 ，2
…
BACK
函数名发生改变： sin( ) cos 2 cos( ) sin
注：因为是 的奇数倍 2
BACK
返回诱导公式
卫浴网 http://www.wyw.so/ 中国洁具卫浴网 0 坱罔牁
sin(2k ) sin cos(2k ) cos
tan(2k ) tan
BACK
sin( ) sin
cos( ) cos
§4.5 正弦、余弦的诱导公式
图一：
y
180
P(x,y)
N
o P’ (-x,-y)
M (1,0) x
图二：
P(x,y) M
y
o
(1,0) x
P’ (x,-y)
2k sin cos 2k sin cos
sin cos sin cos sin cos
BACK
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin( ) sin
cos( ) cos
BACK
sin( ) sin
cos( ) cos
BACK
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
BACK
END
2
BACK
的偶数倍，如： 2
2 4 ( ) (2 ) ，2 … 2
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们之间存在一个非常重要的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正弦函数，得到的结果是对应角的余弦函数。
通过这个公式，我们可以推导出一些其他的三角函数的诱导公式。
2.正切函数的诱导公式：正切函数是正弦函数和余弦函数的商：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正切函数，得到的结果是对应角的余切函数的倒数。
3.余切函数的诱导公式：余切函数是正切函数的倒数：cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到余切函数的诱导公式：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 1 / [cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)] = sin(π/2 - θ) / cos(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入余切函数，得到的结果是对应角的正切函数的倒数。
4.正弦函数和余弦函数的平方和差公式：sin(θ ± ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) ± cos(θ)sin(ϕ)cos(θ ± ϕ) = cos(θ)cos(ϕ) ∓ sin(θ)sin(ϕ)这两个公式称为正弦函数和余弦函数的平方和差公式，它们揭示了正弦函数和余弦函数的和角和差角的关系。
通过这两个公式，我们可以将任意两个角的和、差转化为正弦函数和余弦函数的乘积，从而进行更复杂的运算。
这里的正弦函数和余弦函数的平方和差公式可以通过三角函数的诱导公式和欧拉公式来证明。
正弦余弦公式总结
1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(2π-a)=cos(a)cos(2π-a)=sin(a)sin(2π+a)=cos(a)cos(2π+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinAcosA2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了)sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b)=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]5.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)6.半角公式2sin2(a/2)=1-cos(a)2cos2(a/2)=1+cos(a)tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)]tan2(a/2)=[1-cos(a)]/[1+cos(a)]7.万能公式sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)]cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)]tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)]8.其它公式(推导出来的)a*sin(a)+b*cos(a)=sin(a+c)其中tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)=cos(a-c)其中tan(c)=a/b1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))2sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))2三、正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中R是三角形外接圆半径正弦定理可以解决下列三角问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
正弦和余弦的诱导公式
①sin(180°+α)=sinαcos(180°+α)=cosα②sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．如左图，由定义，都有：sinα= y cosα= x1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．如左图，由定义，都有：sinα= y cosα= x2,诱导公式一及其用途sin(α+k·360°) = sinαcos(α+k·360°) = cosαtan(α+k·360°) = tanα 其中k ∈Z任意角的三角函数值公式一的用途0 °~ 360 °角的三角函数值本单元的内容0 °~ 90 °角的三角函数值（1）0 °~ 90 °角的正弦值、余弦值用何法可求得？（2）90 °~ 360 °的角β能否与锐角α相联系？设0°≤α≤90 °，那么，对于90°~ 180 °间的角，可表示成：180 °-α;180°~ 270 °间的角，可表示成：180 °+α;270°~ 360 °间的角，可表示成：360 °-α;（1）锐角α的终边与180 °+α角的终边，位置关系如何？（2）任意角α与180 °+α呢？yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．α180 °+α的终边180 °+α的终边．P’．P’由分析可得：角α180 °+α终边关系关于原点对称点的关系P(x,y)P’(-x,-y)函数关系sinα= ycosα= xsin(180 °+α)= -ycos(180 °+α)= -x因此，可得：sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二2，同理可研究-α与α的三角函数值的关系yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．-α的终边．P’角α-α终边关系关于X 轴对称点的关系P(x,y)P’(x,-y)函数关系sinα= y cosα= xsin(-α) = -y cos(-α) = x因此，可得：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosα公式三sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二：公式二与公式三的成立条件，以及它们的特点，用途。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。
诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。
一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。
利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。
现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。
根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。
然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。
利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。
二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。
根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。
将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。
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正、余弦函数的图象和性质检测题 总分１５０分
一、选择题（每小题5分，共50分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)3
2sin(2π
+=x y 的图象
（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于点（－6
π，0）对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x =6
π对称
2．函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
（ ）
A ．]3,0[π
B ．]
127,12[ππ C ．]6
5,3[ππ
D ．],65[ππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为（ ）
A ．12+a
B ．12-a
C ．12--a
D ．2
a
4．函数)2
5
2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）
A ．2
π-=x
B ．4
π-=x
C ．8
π
=
x
D ．π4
5=x
5．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是
（ ）
A ．3,1πϕω==
B ．3
,1π
ϕω-==
C ．6,21πϕω==
D ．6
,21π
ϕω-==
6．下列函数中，以π为周期的偶函数是
（ ）
A ．|sin |x y =
B ．||sin x y =
C ．)32sin(π
+
=x y D ．)2
sin(π
+=x y 7．如果函数y=sin2x +αcos2x 的图象关于直线x=－8
π
对称，那么α的值为 （ ）
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1 8．函数y=2cos 2x +1(x ∈R )的最小正周期为
（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4 9．已知函数1)2
sin()(--=π
πx x f ，则下列命题正确的是
（ ）
A ．)(x f 是周期为1的奇函数
B ．)(x f 是周期为2的偶函数
C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数
D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数
10．函数x x y cot cos +-=的定义域是
（ ）
A ．]23,[ππππ+
+k k
B ．]2
3
2,2[ππππ++k k
C ．2
2]232,2(π
πππππ+=++k x k k 或 D ．]232,2(ππππ++k k
二、填空题（每小题5分，共25分，答案填在横线上） 11．已知函数)0(sin 21>+=A A
x y π
的最小正周期为3π，则A= . 12．在0≤x ≤
2
π
条件下，则y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值为 13．已知方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 . 14．函数y ＝
2
cos 1
cos 3++x x 的值域是__________ ______________.
15．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]
2
,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(
π
f 的值为 三、解答题（本大题共75分，16—19题每题12分，20题13分，21题14分）
16．已知函数)(32
5
cos 35cos sin 5)(2
R x x x x x f ∈+
-⋅= （1）求)(x f 的最小正周期;（2）求)(x f 的单调区间; （3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心.
1
0 y
x 3
π
- 3
2π
17．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω． （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
18．已知函数y ＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x. x ∈R ． (1)求函数的最小正周期．
(2)函数的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象经过怎样的变换得出？
19．已知函数y ＝a －b sin （4x －3
π
）（b >0）的最大值是5，最小值是1，求a ，b 的值.
20．函数f(x)＝1―2acosx ―2a ―2sin 2x 的最小值为g(a)，(a ∈R)．求： (1)g(a)；
(2)若g(a)＝1
2，求a 及此时f(x)的最大值．
21．已知函数f （x ）=2a sin （2x －
3π）+b 的定义域为［0，2
π］，值域为［－5,1］，求a 和b 的值．
答案
一、选择题
1．B 2．C3．B 4．C 5．C6．A7．D 8．B 9．B10．C 二、填空题
11．2
312．23 13．43 14．)4,4[- 15．－2≤y ≤3
4
三、解答题
16．解析： （1）T=π；
（2）)(]125
,12[x f k k 为πππ
π+
-
的单增区间，
)(]12
11
,125[x f k k 为ππππ++的单减区间；
（3）对称轴为,.26
k x k Z ππ
=+∈
17． 解析：（Ⅰ）由图示知，这段时间的最大温差是
201030=-（C
）………2分
（Ⅱ）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴
614221-=⋅ωπ，解得8
π
ω=………5分 由图示，10
)1030(2
1
=-=
A
20)1030(2
1
=+=b ………7分
这时20)8
sin(
10++=ϕπ
x y
将6=x ，10=y 代入上式，可取4
3π
ϕ=………10分 综上，所求的解析式为
20)4
38sin(10++=π
πx y ，]14,6[∈x ．………12分
18．y ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2sin(2x ＋π
4)＋2．
(1)T ＝π，
(2)将y ＝2sin2x 的图象向左平移π
8
个长度单位，再向上平移2个单位长度即得．
19．解析： 由y ＝a －b sin （4x －
3
π
）的最大值是5，最小值是1及b >0知： ⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧=+=-23
51b a b a b a 解得 20．解：f(x)＝2cos 2
x ―2acosx ―2a ―1＝2(cosx ―a 2)2―a 2
2
―2a ―1．
(1)当a
2
＜－1即a ＜－2时．g(a)＝1 . (此时cosx ＝－1)．
当－1≤a 2≤1即－2≤a ≤2时．g(a)＝―a 22―2a ―1． (此时cosx ＝a
2)．
当a ＞2时，g(a)＝2―2a ―2a ―1＝1－4a ． (此时cosx ＝1)． ∴g(a)＝⎩
⎨⎧1．(a ＜－2)
―a 2
2―2a ―1 (―2≤a ≤2)1－4a (a ＞2)．
．
(2)∵g(a)＝1．显然a ＜－2和a ＞2不成立．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧―a 2
2―2a ―1＝12．
－2≤a ≤2． ⇒a ＝－1或－3(舍)．
∴f(x)＝2cos 2x ＋2cosx ＋1＝2(cosx ＋12)2＋12．
∴当cosx ＝1时，f(x)max ＝5．
21．解析： ∵0≤x ≤
2
π, ∴－
3π≤2x －3π≤π－3π=32π. ∴－23≤sin （2x －3
π）≤1.
当a >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.5312b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.312233612b a
当a <0时，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+,135
2b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.
312193612b a。