计算方法引论课后答案.
黄云清版数值计算方法习题解答.docx
第一章引论（习题）2． 明 ：f ( x)x ，xx * x x * xx x * 1E r ( f )xx( x x * )xx *x2E r( x) .3． 明：令：(a b)fl (a b)fl (a b)可估 ： | fl (a b) |c 1（ c a b ），故：| |1c t c 11 1 t22于是：fl ( a b) (a b) (1) .4．解 (1)2x 2 (1 x) (1 2x) .(2)2 x.( x 1 xx 1 x )1 cos xsin 2 xsin x .(3) xx(1 cos x)1 cos x6．解a 的相 差：由于| E( x) | x a1 10 3 . E r ( x)x a ,2xE r (x)1 102 1 10 2 . （ Th1）2 918f (a) 于 f (x) 的 差和相 差 .| E( f ) | | 1 x1 a |=a x 2110 3 =10 3x1 a2 0.251| E r ( f ) | 10 3 1 a 4 10 3 .9．解 推关系： y n 1 100.01 y ny n 1(1)取初y 01， y 10.01 算可得：y 2100.01 10 2 1 1.0001 1 10 4y 310 6 ， y 4 10 8 ， y 5 10 10， ⋯(2) 取初值 y 0 1 10 5 ， y 1 10 2 ,记： ny ny n ,序列n，满足递推关系，且10 5 ， 1 0 n 1100.01 nn 1 ,于是：210 5 ,3100.01 10 5 , 4 (100.01) 210 5 10 5 ,5(100.01)3 10 5 200.02 10 5 ,可见随着n 的主项(100.01)n 2 10 5 的增长，说明该递推关系式是不稳定的 .第二章 多项式插值 ( 习 题)1.方法一 . 由 Lagrange 插值公式L 3 ( x) f 0 l 0 ( x) f 1 l 1 (x) f 2 l 2 ( x) f 3 l 3 ( x)l 0 (x)x(x 21 )( x 1) 1 1 1) ,( 1)(23)( 2)x( x2 )( x3(x 1)( x21)( x 1)2(x 21)( x21) ，l 1 (x)12l 2 (x)(x !1) x( x 1)8 21) x , l 3 ( x 1)x( x21)13 1 13 ( x( x)1( x 1)x( x 2 ) .2 2( 2 )2 1 2可得：L 3 ( x)x 2 ( x 1 2)方法二 . 令： L 3 (x) x( x 1 2) (AxB)由 L 3 (1)31， L 3 (1)， 定 A ， B （称之为待定系数法）222.证明 (1) 由于l i ( x j )i , j 故： L n ( x)nx i k l i (x)x k j ， j 0,1,i 0 ，当 x x j 时 有： L n ( x j ), nL n ( x) 也即为 x k 的插值多项式，由唯一性，有：nx i k l i (x)x k ，k0,1, , ni 0明 (2) ：利用 Newton 插 多 式N n ( x) f (x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] ( x x 0 )f [ x 0 , , x n ] ( x x 0 )(x x n 1 )f ( x)( x x 1 ) (x x n ) (x)(x 0 x 1 ) (x 0l 0x n )差商表：f(x)一二⋯n差商x 01x 11x 0 x 11( x 0x 2 ) ( x 0x 1 )x n1(x 0x 1 ) ( x 0 x n )代入 ( ) 式有： N n ( x)x x 0 (x x 0 ) ( x x n 1 )1( x 0 x 1 ) (x 0 x 2 ) ( x 0.x 0 x 1x n )l 0 ( x)n 次代数多 式，由插 多 式的唯一性：有l 0 ( x) N n (x) .4.解作 f ( x) 以 a, a , b 点的Lagrange 插 多 式，有：f ( x) L 2 ( x) R 2 (x) ，其中：L 2 ( x) ( x a) ( x b) f ( a) ( x a) (x b) f (a )( ) ( a b)( a b) ( x a) (x a )f (b) ，(b a) (b a)R 2 ( x)f ( )( x a) ( x a) ( x b) ， ab3!f ( ) (x令：0 有 R 2 ( x)R( x)a) 2 ( x b) ，x a6a又： L 2 ( x)(b x) [f (a)x (a)(b (b fa)a )xa( x a)(b a f ( a)(bf (a)])a)( x a) ( x a )f (b)(b a) (b a)(b x) ( x b 2a) f (a)(b x) ( x a) f ( a)(b a) 2(b a)( x a)2f (b)P( x)(b a) 2故当0 时，成立公式： f (x)P(x)R( x) .5.解：因为 f ' ( x)4x33， f '' (x)12x 2f ( x) 为凹函数.又从数值表可见：当 x [0.1,0.5] 时， f (x) 单调下降.有反函数 x f 1 ( y)x 于0.3及0.4之间有一个根y i0.700100.401600.10810-0.17440-0.43750f 1 ( y i )0.10.20.30.40.5作差商表：y i f1 ( y i )一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.700100.10.401600.2－ 0.335000.108100.3－ 0.340710.0096436-0.174400.4－ 0.353980.02304－ 0.01531－ 0.437500.5－ 0.380080.04784－ 0.029230.01225 f1( y)的 Newton 插值多项式：N 4 ( y) 0.10.33500( y 0.70010)0.0096436 ( y0.70010)( y 0.40160)0.01531( y0.70010)( y0.40160 )( y 0.10810)0.01225( y0.70010)( y0.40160)( y0.10810)( y0.17440)x*N 4 (0)0.337.7．解 f (x) x7x 31.有：f [ 20 , 21 ,, 27 ]f ( 7) ()=1, f [ 20 , 21 , , 28 ] f (8) ( )0 .7!8!9.证明： (1)( f i g i ) f i1gi 1fi g ifi 1gi 1figi 1figi 1figif ig i gi 1f i.(3)n( 1x )( 1)n n！ h nh)( x nh)x( x此题可利用数学归纳法：设 n k成立，证明n k 1 成立.又 n1时是成立的 . 10.证明：记： f (n)[n(n1) / 2]2， g(n)1323n3有： f (n)f ( n 1)f ( n) ( n 1)3n 1n 1故：g( n)f (k) [ f ( k 1)f (k)]k 0k 0f (n)f (0) [ n(n 1) / 2] 2 .13．解 作重节点差商的 Newton 插值公式P(x)f ( 1) f [ 1, 1] ( x 1) f [ 1, 1, 0] ( x1) 2f [ 1, 1, 0, 1] x(x 1) 2f [ 1, 1, 0, 1, 1] x( x 1) 2 ( x 1)重节点差商表：x if i一阶二阶三阶四阶x 0 1 1x 0 11 2x 1 0 1 0 -2x 2 1 1 0 0 1x 21 1221得 P( x) 12( x1) 2(x 1) 2 x(x 1) 2 x 3x 1 .17．证： 取 x 00,x 11 ， x2 1 ， h 122f 0 0 ， f 1 1 ，f 21记：M is ( x i )， i0, 1, 2有x 1 x x x 01S 1 ( x) M 0hM 1h2M 0 (2x) 2M 1 xS 2 ( x) 2M 1 (1 x) 2M 2 ( x1 )2又三弯矩方程为： (f [ x 0 , x 1 , x 2 ]2 )M 0 4M 1M 224， M 11(24 M 0 M 2 ) .41 [ s ( x)] 2dx121[ s 2 ( x)] 2dx2分段积分：[ s 1 (x)] dx121 21 x)] 2dx1[ M 1 (1 x) M 2 (x1)] 2dx4M 0 (0 [ M 1 x 4 1 22211x)] 2 dx 11 )]2 dx 4 1 [ M 1 ( x2) M 0 (1 4 1 [ M 1 (1 x)M 2 (x2221 ( x 1 ) 2dx1 1(1 x) 2dx 1由于2 ，， 224 1 22411( x 1 ) (1 x)dx12，于是： 2 48112dx1[ M 02M 0 M 12M 12M 1 M 2 M 22 ](S (x))6又： M 11(24 M 0M 2 )4记I (M 0 , M 2 )1 (S (x)) 2dx= 1[ M 02M 221(24 M 0M 2 ) ( M 0 M 2 )641( 24M 0M 2 ) 2 ]8由I0 ，I0 .7M 0 M 2 0M 0 M 2 得：M 0 7M 2即当：M 0M 2 0 时,I ( M 0 , M 2 ) 达最小1( x)) 2dx 1 1 (24) 212 ,由最小模原理：故：( S6 81(x)] 2dx 12[ f .20.解利用三弯矩方法M i s ( x i ) ， i 0, 1, 2x 0 1 ， x 22 ， x 232M 0 MM 0 4MM 1 2M161 M2 362 54解得：M 0 7 ， M 1 20 ， M 2 37x [1, 2]s 1 (x) 9 x 3 17x 2 43 x 72 2 x [ 2, 3]s 2 ( x)19 x 3 67x 2293 x105.22第三章 最佳逼近及其实现 ( 习 题)2.解 (1)( f , g )b (x) g ( x) dxc (a, b) 中的内积，f不是a事实上容易验证：( f , g ) (g,f ) ， (f ,g )( f , g )( fg, w)( f , w)( g, w)但是( f , f ) 0 当且仅当f (x)0.条件不满足，因为：b( f , f )f ( x) f ( x)dx 0a推出 f ( x) 0 ， f ( x) const 0. 因而 ( f , g ) 不是 C (a, b) 中的内积 . (2)( f , g) 是 C 01 [ a, b]f (x) : f (a)0, f (x) C [a, b]空间的内积，这是因为：( f , f ) 0 推出 f (x) 0 , f ( x) C ，又fC 01 [a, b] ，故 f (x) 0 .4.解：由于f c 2 [a, b], f ( x)0 ，则 f ( x) 于 [a, b] 上保号，由定理 5 的推论 2 可知： f (x) P 1 (x) 的交错点组恰有三个交错点，且 x 1a ，x 3b ，即：e( x 1 ) f (x 1 ) ( e( x 3 ) f (x 3 ) ( e( x 2 ) f (x 2 ) ( e ( x 2 ) f (x 2 )0 1x 1 ),1 x 3 ),1 f (x2 )f (b) f (a)1x 2 )故 ：b ，0 ,a1f (a) f (x 2 )f (b) f (a) ax 2 记x 2 c ，即证得 (1).b a22(2) 若 f (x) cos x ， [ a, b] [ 0,2]此时由f (b) f (a)f (c)得：b asin c2 ， c arc sin( 2) ， 12( 212 arc sin( 2 / )1 4) 22(22误差估计： E ( f )b f (b) 1(125.解：选取，使得：2 2arc sin( 2)4 ).arc sin(2)4)1I ( )max | x 2x | ，达到极小，1 x 1即要求 * (x)* x ，于 [ 0, 1] 上一致逼近于 x 2 ，如图应选* ，使得：( x)x 2* x ,于 [ 0, 1] 上有两个轮流为正负偏差点，其中之一为1，另一个假设为 于是： (1) () ,( )0 ， （为 (x) 的极值点）得：122解得： 2，22 10 ,1, 212取2 1 ，2 2 2 . 又：是唯一的 .6.证明：由最佳一致逼近的特征定理， P n * ( x) 为 f ( x) 的最佳一致逼近多项式，则存在 n2 个点ax 0x 1x n 1 b使得： e( x k ) f (x k ) P n * ( x k ) = ( 1) kfP n * .又由于 f ( x)C[ a, b] ，于 ( x i , x i 1 ) 中有一个点i， x iix i 1 ，使得：e( i ) f ( i) P n * ( i )0 , i0, 1, , n即： P n *( x) 为 f (x) 满足插值条件：P n * ( i )f ( i ) ， i 0, 1, , n的插值多项式 .7．解：求 C* ，使得：I (C*) min max f ( x) CC R a x b记e( x) f ( x) C , 依最佳一致逼近的特征定理：应取C*1[ max f (x) min f (x)]2[ a ,b][ a ,b]e(x) f (x) C *于 [a, b] 才有两个轮流正负的偏差点，（即f ( x) 于 [a, b] 上的最大值点和最小值点）x 1 ， x 2f ( x 1 ) max f ( x) ， f (x 2 )min f (x)[ a, b][ a, b]此时：e( x i ) ( 1) i max f (x)C *[ a, b]即 C * 为 f ( x) 的零次最佳逼近多项式 .8.解：f (x) 6 x 3 3x 2 x 46(3T 1T 3)43(T 0 T 2 ) 2T 1 4T 03311 112T32T22 T 12 T 0因为1T 3 (x) 与零偏差最小，故：4311 1111P 2 (x)3x2 x 42 T 22 T12 T2.为 f (x) 的最佳一致逼近多项式.9.证明：我们仅证明f (x) 是偶函数时， P n ( x) 亦是偶函数 .由于 P n ( x) 为 f ( x)的最佳一致逼近多项式，有：max f ( x) P n ( x)E n ( f )[ a,a ]和：max f ( x ) P n ( x ) E n ( f )[ a ,a ]即：max f ( x)P n ( x)E n ( f )[ a ,a ]P n ( x) 亦是 f ( x) 的最佳一致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的惟一性，有： P n ( x)P n ( x)即： P n ( x) 为偶函数 .11．解： 设P * ( x) a0 a x ， P * ( x) bb x b x 21121 2分别为 f ( x) 的一次、二次最佳平方逼近多项式。
98228-计算方法引论-第四章
计算方法引论：数值分析 误差插值法与数值微分 数据拟合法快速傅氏变换数值积分第四章快速傅氏变换•三角函数插值•三角插值函数的确定−DFT •FFT算法三角函数插值•已知f (x )在x l =2πl /N ,l =0,1,…,N -1上的值f l =f (x l ) ,l =0,1,…,N -1求满足即l =0,1,…,N -1(1)∑=-==Nj kxk c x 0i 1i ,e )(ϕ∑-===10/i 2e)(N k Nkl k l ll c f f x πϕ三角插值函数的确定−DFT•(1)的解k =0,1,…,N -1(2)(2)和(1)形式相似，分别称有限离散傅氏变换及其逆变换.∑-=-=1/i 2e1N l Nkl l k f Nc π正交性•记则•用e -2jlπi/N 乘(1)两边,对l 求和,交换求和次序,应用上边得到的正交性,就得到(2)式.1,,1,0,e e 1/i )1(2i/210-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-N j f f f f N N j N j πj Nπϕ⎩⎨⎧≠====∑∑-=-=--kj kj N N l N l Nl k j Nkl N jl k j ,0,eee),(1010/i )2(i/2/i 2πππϕϕ向量表示•用向量记号(1)即∑∑-=-===11N j jj N k k k c c f ϕϕ∑-=-==1/i 2e1),(1)2(N l Nkl l k k k f Nf N c ，πϕϕ利用正交性乃得作内积与DFT 计算•记k =0,1,…,N -1(3)它代表(1)或(2).(3) 大体上要(复数)N 2个乘法和N 2个加法.但是注意到ω=e ±2πi /N 是N 次单位根,它的幂只有N 个值不同，即1,ω,ω2,…,ωN -1.因此,可用交换律、结合律化简,得到一个只需要N log 2N 个乘法和N log 2N 个加法的算法,FFT .∑∑-=-===101/i 2eN k N k lk l Nkl l k a a c ωπFFT:递推关系N =2m时FFT 可按奇偶项分成两个N /2的FFT 之和.∑∑∑∑-=-=+-=-=+++=+=12/012/02122212/012/0)12(12)2(2)()(N l N l lkl klkl N l N l kl l kl l k aa aa c ωωωωωk =0,1,…,N -1由ωN /2= -1可以对k =N /2,N /2+1,…,N -1采用下式计算12/,,2,1,)()(12/012/021222/2-=-=∑∑-=-=++N k aac N l N l lkl klk lk N ωωω•分而治之FFT:递归算法procedure fft(a,c,n,ω)if n=1c(0)=a(0)elsefor k=0,1,…,n/2-1 {数据奇偶拆分两组}u(k)=a(2k)s(k)=a(2k+1)endfft(u,v,n/2,ω2) {递归FFT调用}fft(s,t,n/2,ω2)for k=0,1,…,n/2-1c(k)=v(k)+ωk t(k) {合成结果数据}c(k+n/2)=v(k)-ωk t(k)endend二进制整数•以N =23=8为例,k,l ≤8•二进制表示k=k 222+k 121+k 020=(k 2k 1k 0)2l=l 222+l 121+l 020=(l 2l 1l 0)2不妨略去括号外下标2.•利用ωN =1可得•(3)可因此表示如次)()0()00(0120112k k k l k k l k l klωωωω=FFT:Cooley-Tukey (N =8))()0()00(1010101280012012001102012]))(([)(k k k l k k l k l l l l l lk l k l l l a a c k k k c ωωωω∑∑∑∑=======∑∑∑=======1)(0102210310)0(010101021)00(012001010120120001221011202)()()()()()()()(l k k k l l k k l l k l l k k Ak k k A l l kA l k k A l l l Al l k A l l l a l l l A ωωω(续)•可见所得A3要按二进制数按位反转的次序重排方得ck•归纳起来,整个过程分四步:由输入数据A0算A1,由A1算A2,由A2算A3,最后按位反转重排得到输出结果ck•还可利用ω0=1,ω4=-1再行简化.•下面整理的公式可供N=2m时编程参考.A 0 、A 1、A 2、A 3•A 1(0l 1l 0)=A 0(0l 1l 0)+A 0(1l 1l 0)A 1(1l 1l 0)=A 0(0l 1l 0)-A 0(1l 1l 0),l 0,l 1=0,1•A 2(k 00l 0)=A 1(k 00l 0)+A 1(k 01l 0)A 2(k 01l 0)=A 1(k 00l 0)-A 1(k 01l 0),k 0,l 0=0,1•A 3(k 0k 10)=A 2(k 0k 10)+A 2(k 0k 11)A 3(k 0k 11)=A 2(k 0k 10)-A 2(k 0k 11),k 0,k 1=0,1)00(0k ω)00(0k ω)0(01k k ω)0(01k k ω计算量与存储量•A1,A2,A3每个数组需复数乘法N/2次,加法N次,共乘法N/2log2N次,加法N log2N次.合计实数乘法2N log2N次,加法3N log2N次.•A1,A2,A3每个数组的分量皆可成对计算,只需几个辅助单元和一个数组A.注意,第二项中ω的幂正好是所算左端量二进下标从红字起往前读三位(前零计入)所表示的数.•N次单位根、二进制数按位反转另行安排.01•A(000)=A0(000)+A0(100)a0=a0+a4 1A1(100)=A0(000)-A0(100)a4=a0-a4 A1(001)=A0(001)+A0(101)a1=a1+a5 A1(101)=A0(001)-A0(101)a5=a1-a5 A1(010)=A0(010)+A0(110)a2=a2+a6 A1(110)=A0(010)-A0(110)a6=a2+a6 A1(011)=A0(011)+A0(111)a3=a3+a7 A1(111)=A0(011)-A0(111)a7=a3-a712•A(000)=A1(000)+A1(010)a0=a0+a22A2(010)=A1(000)-A1(010)a2=a0-a2A2(001)=A1(001)+A1(011)a1=a1+a3A2(011)=A1(001)-A1(011)a3=a1-a3A2(100)=A1(100)+A1(110)ω2a4=a4+a6ω2 A2(110)=A1(100)-A1(110)ω2a6=a4-a6ω2 A2(101)=A1(101)+A1(111)ω2a5=a5+a7ω2 A2(111)=A1(101)-A1(111)ω2a7=a5-a7ω223•A(000)=A2(000)+A2(001)a0=a0+a13A3(001)=A2(000)-A2(001)a1=a0-a1A3(010)=A2(010)+A2(011)ω2a2=a2+a3ω2 A3(011)=A2(010)-A2(011)ω2a3=a2-a3ω2 A3(100)=A2(100)+A2(101)ωa4=a4+a5ωA3(101)=A2(100)-A2(101)ωa5=a4-a5ωA3(110)=A2(110)+A2(111)ω3a6=a6+a7ω3 A3(111)=A2(110)-A2(111)ω3a7=a6-a7ω3按位反转重排•A(000)→c(000)a0→c0 3A3(001)→c(100)a1→c4 A3(010)→c(010)a2→c2 A3(011)→c(110)a3→c6 A3(100)→c(001)a4→c1 A3(101)→c(101)a5→c5 A3(110)→c(011)a6→c3 A3(111)→c(111)a7→c7FFT算法(先按位反转重排) a0→a0a0=a0+a1a0=a0+a2a0=a0+a4a4→a1a1=a0-a1a1=a1+a3ω2a1=a1+a5ωa2→a2a2=a2+a3a2=a0-a2a2=a2+a6ω2a6→a3a3=a2-a3a3=a1-a3ω2a3=a3+a7ω3a1→a4a4=a4+a5a4=a4+a6a4=a0-a4a5→a5a5=a4-a5a5=a5+a7ω2a5=a1-a5ωa3→a6a6=a6+a7a6=a4-a6a6=a2-a6ω2a7→a7a7=a6-a7a7=a5-a7ω2a7=a3-a7ω3FFT算法(续)•所得算法有其特点更易编程先按位反转重排,结果是自然顺序ω的幂递增规律明显每列成对分量间隔r按2的幂递增1,2,…,2m-1. r对分量成一组.共2m-j 组程序如右将原数据按逆序重排，仍记为a k．r = 1for j=1, 2, , mN p=2rθ = –2π/N p= –π/r，w p=exp(iθ)w = 1 初始化for s=0, 1, , r–1 逐对算for k=s，s+N p, , N–1 逐组算l = k + rd = w*a la k= a k +da l= a k –dendw=w*w pendr = N pend。
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
计算方法_课后习题答案
L3 x 的最高次项系数是 6，试确定 y1 。
解： l0 (x)
x x1 x0 x1
x x2 x0 x2
x x3 x0 x3
x 0.5 0 0.5
x 1 0 1
x2 02
= x3
7 2
x2
7 2
x 1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
| R2 (x) ||
f
(3) ( 3!
)
21
(
x)
||
1 6
e
x(
x
1)(
x
0.5)
|
1 max | x(x 1)(x 0.5) |, (0,1) 6 0x1
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
x0 1 0
x2 1 2
x4 1 4
=
x3
6x2 3
8x
l2 (x)
x x0 x2 x0
i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x
n
n
j0 i0 i j
x xi x j xi
x
j
计算方法引论课后答案
第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 其中我们取前9项的乘积作为π的近似值,得这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限.解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2. 解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小. 证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==. 11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n nx nx x n xn x x xα-===. 12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅. 第二章 插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立y =的二次插值多项式,并用,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建立二次Lagrange 插值函数可得:()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以利用前两个节点建立线性插值函数可得:()111510.7143L ≈=.利用后两个节点建立线性插值可得:()111510.7391L ≈=.利用前后两个节点建立线性插值可得:()111510.6818L ≈=.与,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有 证明 证明: 由于且()0nk j j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510-,问函数表的步长最大能取多少?解: 记插值函数为p(x),则所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得又()()()[]12,0,2t t t t t ϕ=--∈的最大值为10.3849ϕ⎛= ⎝⎭,所以有 所以0.0538h ≤.5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:牛顿插值: 首先计算差商也可以利用等距节点构造,首先计算差分 可得前插公式 和后插公式6. 确定一次数不高于4的多项式()x ϕ,使()()()()()00,00,111,21ϕϕϕϕϕ''=====. 解: 利用重节点计算差商则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件: 解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成其中,基函数满足条件 (1)()()(),,,21n i n i h x h x P n ∈+;(2)()()()(),,,,,0;,0n i n i n ij ij n i j j ijj h x h x h x h x δδ''====则可由已知条件,可得()()()()2,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '⎡⎤=--⎣⎦;()()()2,,n i i n i h x x x l x '=-.所以可得8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件: 解: 计算重节点的差商马上可得9. 过给定数组(1) 作一分段线性插值函数.(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:其中, ()[][]076 75,76;0 75,76.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩()[][][]175 75,7677 76,77;0 75,77.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩ (2)把已知节点值带入M 关系式可得: 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式: (3)当75.5x =时,()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;()()()()()30.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.79966s ⎛⎫=-+-+--= ⎪⎝⎭当78.3x =时,()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I ll =+=;10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:用表上的数据和任一插值公式求: (1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得tan1.5695819.0342874999274≈;利用Lagrange 插值计算sin 得sin1.56950.99999917500000≈;利用Lagrange 插值计算cos 得cos1.56950.00129630000000≈;最后利用sin/cos 计算tan 得tan1.5695771.4257309264500≈.出现小除数,误差被放大.11. 求三次样条函数()s x ,已知和边界条件解: 把表中数据带入M 关系式可得由边界条件还可得到两个方程: 联立两个方程组可解得:带入M 表达式便可得所求三次样条函数.12. 称n 阶方阵()ij A a =具有严格对角优势,若 (1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆. (2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为令指标0i 使得00i x x∞=≠,则因此0000010n i i i i j j j i x a a =≠⎛⎫⎪-≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 即000010ni i i j j j i a a =≠-≤∑上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异. (2)方程组(2.62)由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.。
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +-⎫⎛-+-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()kk k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
计算方法 课后习题答案
，
正规方程组化为:
得 =2.43689 =0.291211
=2.43689所以 =11.45 = =0.291211
=2.43689所以 =11.45 1= =0.291211
12.求函数 在给定区间上对于 的最佳平方逼近多项式：
解：设
（1）
(2)
。
。
13. 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明：
而当 时
左侧：
右侧：
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1) ，（3） ，（4）
注意到这里 是三重零点， 是单零点，故插值余项为
20．求作次数 的多项式 ，使满足条件
并列出插值余项。
解法1：由于在 处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在 处有直到二阶导数值的插值条件所以 是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：
可以作出差商表
一阶
二阶
三阶
四阶
0
0
1
1
1
－1
－1
利用 的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由 式消去 得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
解（2）：令原式对于 准确成立，于是有
计算理论导引习题答案[第2版]CHAP9new
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9.1 证明TIME(2n)=TIME(2n+1).证明：2n=O(2n+1)TIME(2n)TIME(2n+1).2n+1=O(2n)TIME(2n+1)TIME(2n).所以TIME(2n)=TIME(2n+1).9.2证明TIME(2n)TIME(22n)。
注：这里“”是严格包含。
证明：令f(n)=22n,则f(n)/logf(n)=22n/2n, 由时间层次定理有TIME(o(22n/2n))TIME(22n).又由于2n=o(22n/2n)，TIME(2n)TIME(o(22n/2n))，所以TIME(2n)TIME(22n).9.3 证明NTIME(n)PSPACE.证明：NTIME(n)NSPACE(n)SPACE(n2)SPACE(n3)PSPACE.9.6 证明若A P，则P A＝P。
证明：首先P P A。
这是因为不带谕示即可。
下面证明P A P。
任取A P，则存在多项式图灵机T判定A。
设B P A，则存在带语言A的谕示的多项式时间图灵机M A判定B。
如下构造不带谕示的图灵机D：D=“对于输入串w:1)在w上运行M A。
2)每当M A要在谕示带上写下某个字符串x，则在x上运行T，若T接受，则代替谕示回答x属于A，否则代替谕示回答x不属于A。
3)若M A接受，则接受；否则，拒绝。
”设M A的运行时间是n a，T的运行时间是n b。
谕示带上写下的字符串的长度不会超过n a，询问谕示带的次数也不会超过n a。
D的运行时间是n a (n a)b=n a+ab，所以A P。
9.7 给出带指数的正则表达式，产生如下在字母表{0,1}上的语言：a.所有长为500的字符串. (01)500。
b.所有长度不超过500的字符串.(01)500.c.所有不少于500的字符串. (01)500(01)*.d.所有长度不等于500的字符串. (01)499(01)501(01)*.e.所有恰好包含500个1的字符串. 0*(10*)500.f.所有包含至少500个1的字符串. (01)*(1(01)*)500.g.包含至多500个1的字符串. 0*((1)0*)500.h.所有长度不少于500并且在第500个位置上是0的字符串. (01)4990(01)*.i.所有包含两个0并且其间至少相隔500个符号的字符串。
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第一章 误差1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式24A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:12222...q q π=⋅⋅⋅ 其中112,3,...n q q n +⎧=⎪⎨==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得3.141587725...π≈这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 2363. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字?解: 已知4311d 10,d 1022a b --<⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,()433211110100.551010222d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,所以a b +有三位有效数字;因为0.1047571410a b ⨯=⨯,()43321110.94710 1.1062100.600451010222d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯所以a b ⨯有三位有效数字.6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求1211,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211d ,d ,d =10,d 1022x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()44111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()42222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x xx x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭;()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2d d 2d 1s a a a ==≤,则要求211d 0.5102200a a -≤==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*''⎛⎫'''== ⎪⎝⎭.9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式212s gt =确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫=====⎪⎝⎭ d s 与t 成正比,d s s与t 成反比,所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x xδ==.11. 设x 的相对误差为%α,求nx 的相对误差.解: 1d d d %n n n n x nx x n xn x x xα-===.12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知343V R π=,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V ========,则11%3a =⋅.第二章 插值法与数值微分1.设y =在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立y =的二次插值多项式,,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,,并分析其结果不同的原因.解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,建立二次Lagrange 插值函数可得:()()()()()()()()()()()()()21211441001441011100121100144121100121144121100 12144121144100x x x x L x x x ----=+------+--()211510.7228L ≈=.误差()()()()()()2012012,,,,3!f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以20.00065550.001631R <<利用前两个节点建立线性插值函数可得:()()()()()11211001011100121121100x x L x --=+--()111510.7143L ≈=.利用后两个节点建立线性插值可得:()()()()()11441211112121144144121x x L x --=+--()111510.7391L ≈=.利用前后两个节点建立线性插值可得:()()()()()21441001012100144144100x x L x --=+--()111510.6818L ≈=.,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,插比外插效果好.2. 利用(2.9)式证明()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤证明: 由(2.9)式()()()()0101,2!f R x x x x x x x ξξ''=--<<当01x x x <<时,()()01max x x x f f x ξ≤≤''''≤,()()()01201101max 4x x x x x x x x x ≤≤--≤- 所以()()()0121001max ,8x x x x x R x f x x x x ≤≤-''≤≤≤3. 若()0,1,...,j x n 为互异节点,且有()()()()()()()()()011011............j j n j jj j j j j n x x x x x x x x l x xx x x x x x x -+-+----=----证明()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑证明: 由于() 1 ;0 .j i ij i j l x i j δ=⎧==⎨≠⎩ 且()0nk j j j x l x =∑和kx都为k 次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,k n =, 所以马上有()0,0,1,...,nk kj j j x l x xk n =≡=∑.4. 设给出sin x 在[],ππ-上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510-,问函数表的步长最大能取多少? 解: 记插值函数为p(x),则()()()()()11sin sin 3!i i i x p x x x x x x x ξ-+'''-=--- 所以()()()()11cos max sin 3!i i i x x p x x x x x x ππξ-+-≤≤--=---()cos 1ξ-≤;令()()()()11i i i g x x x x x x x -+=---,设1i x x th -=+,得()()()[]3112,0,2i g x th h t t t t -+=--∈又()()()[]12,0,2t t t t t ϕ=--∈的最大值为10.3849ϕ⎛= ⎝⎭,所以有 350.3849max sin 106x x p h ππ--≤≤-≤< 所以 0.0538h ≤.5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点()()()()3,1,0,2,3,2,6,10---的三次插值公式. 解: Lagrange 插值函数:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12302330101020310121301301223202123303132 31033101622731033 .2781/5x x x x x x x x x x x x L x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=+------------++--------+--=++-+-++牛顿插值: 首先计算差商3 10 2 13 2 1.333 0.38896 104 0.8889 0.1420-----()()()()()3130.38893 1.142033.N x x x x x x x =-++-+++-也可以利用等距节点构造,首先计算差分3 10 2 33 24 76 10 12 16 23-----可得前插公式()()()()3072313112;26N x th t t t t t t -+=-++-+-- 和后插公式()()()()3316231012112.26N x th t t t t t t +=++-+--6. 确定一次数不高于4的多项式()x ϕ,使()()()()()00,00,111,21ϕϕϕϕϕ''=====. 解: 利用重节点计算差商0 00 0 01 1 1 11 1 1 0 12 1 0 1 1/2 1/4---则可构造Hermite 插值函数满足题设条件:()()()()()()()()()()()44320001001001100114139.424H x x x x x x x x x x x x x x =+-+------+----=-+7. 寻找过1n +个点01,,...,n x x x 的21n +次多项式()21n H x +,满足条件:()()()()()()()()()()()()21002111212100211121,,...,,,,..,.n n n n n n n n n n H x f x H x f x H x f x H x f x H x f x H x f x ++++++===''''''===解: 和Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成()()()(),21,0nn i n n i i i i H x h x y h x y +='=+∑其中,基函数满足条件 (1)()()(),,,21n i n i h x h x P n ∈+;(2)()()()(),,,,,0;,0n i n i n ijijni j j ij j h x h x h x h x δδ''==== 则可由已知条件,可得()()()()2,,,12n i n i i i n i h x l x x x l x '⎡⎤=--⎣⎦;()()()2,,n i i n i h x x x l x '=-.所以可得()()()()()()()2221,,,012nn n i i i n i i i n i i i H x l x x x l x y x x l x y +=''⎡⎤=--+-⎣⎦∑8. 过0,1两点构造一个三次Hermite 插值多项式,满足条件:()()()()1101,0,12,122f f f f ''====解: 计算重节点的差商0 10 1 1/21 2 1 1/21 2 1/2 -1/2 1-马上可得()()()()()()()33211100010012231122H x x x x x x x x x x =+-+------=-+++9. 过给定数组(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3) 用两种插值函数分别计算75.5,78.3x x ==的函数值. 解: (1)做分段线性插值函数可得:()()()()()()()50123452.768 2.833 2.903 2.979 3.062 3.153I x l x l x l x l x l x l x =+++++ 其中, ()[][]076 75,76;0 75,76.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩()[][][]175 75,7677 76,77;0 75,77.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩ ()[][][]276 76,7778 77,78;0 76,78.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][][]377 77,7879 78,79;0 77,79.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][][]478 78,7980 79,80;0 78,80.x x l x x x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪∉⎩()[][]580 79,80;0 79,80.x x l x x ⎧-∈⎪=⎨∉⎪⎩(2)把已知节点值带入M 关系式可得:121232343451120.0152211 20.0182211 20.014221120.01622M M M M M M M M M M M M ⎧++=⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪++=⎩ 由边界条件可得050M M ==,所以上面方程组变为可求解方程组1212323434120.01521120.0182211 20.01422120.0162M M M M M M M M M M ⎧+=⎪⎪⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩ 解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071M M M M ====.所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式:()()()()()33111116666j jj j j j j j j j M M M M s x x x x x y x x y x x -----⎛⎫⎛⎫=-+-+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)当75.5x =时,()()()50175.5 2.76875.5 2.83375.5 2.8005I l l =+=;()()()()()30.00580.005875.575.576 2.7687675.5 2.83375.575 2.79966s ⎛⎫=-+-+--= ⎪⎝⎭当78.3x=时, ()()()53475.5 2.97978.3 3.06278.3 3.0039I l l =+=;()()()()()330.00360.007178.37978.378.378660.00360.0071 2.9797978.3 3.06278.378 3.0034.66s =-+-⎛⎫⎛⎫+--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 若给出sin ,cos ,tan x x x 的函数表:用表上的数据和任一插值公式求:(1) 用tan x 表格直接计算tan1.5695.(2) 用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因. 解: 利用Lagrange 插值直接用tan 表计算得tan1.5695819.0342874999274≈;利用Lagrange 插值计算sin 得sin1.56950.99999917500000≈;利用Lagrange 插值计算cos 得cos1.56950.00129630000000≈;最后利用sin/cos 计算tan 得tan1.5695771.4257309264500≈.出现小除数,误差被放大.11. 求三次样条函数()s x ,已知和边界条件()()0.25 1.0000,0.530.6868s s ''==解: 把表中数据带入M 关系式可得12123234592 4.3143141432 2 3.26435534 2 2.428677M M M M M M M M M ⎧++=-⎪⎪⎪++=-⎨⎪⎪++=-⎪⎩由边界条件还可得到两个方程:01342 5.52002 2.1150M M M M +=-⎧⎨+=-⎩ 联立两个方程组可解得:012342.0284, 1.4632, 1.0319,0.8062,0.6544M M M M M =-=-=-=-=-带入M 表达式便可得所求三次样条函数.12. 称n 阶方阵()ij A a =具有严格对角优势,若 1,1,2,...,nij ij j j i a a i n =≠>=∑(1) 试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆.(2) 证明:方程组(2.62)解存在唯一.证明: (1)设矩阵A 按行严格对角占优,如果A 奇异,则存在非零向量x 使得Ax=0,写成分量形式为10,1,2,...,n ijj j a x i n ===∑令指标0i 使得00i x x ∞=≠,则0000000000001111n n n ni i i i j j i j j i j i i j j j j j j i j i j i j i a x a x a x xa x a ∞====≠≠≠≠=-≤≤=∑∑∑∑因此 0000010n i i i i j j j i x a a =≠⎛⎫ ⎪-≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 即 000010n i i i j j j i a a =≠-≤∑上式与矩阵按行严格对角占优矛盾,因此矩阵非奇异.(2)方程组(2.62)()()()()0010101121212232121111 212 12 ............ 12 12n n n n n n n n M M M M M M M M M M M M M αβααβααβααβα------+=-++=-++=-++=-+n nβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪=⎩ 由于该方程组系数矩阵为严格对角占优的方阵,所以由克拉默法则可知方程组存在唯一解.。