沪科版二次函数与相似三角形综合测试题
最新九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．已知抛物线OPE 与x 轴的交点为点O 、点E 且4OE =，点A 是抛物线OPE 的一个动点(不与点O 、E 重合)，作AB x ⊥轴于点B ，线段AB 的最大值是4PM =．(1)求抛物线OPE 的解析式．(2)当点A 运动到什么位置时，图中的矩形ABCD 是正方形？并求出点A 的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点A 使得ABO 与PMO △相似？若存在，请求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式 ； (2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长 ；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得⊥BCO ＋2⊥PCN ＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值．3．如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M为该抛物线上直线BC下方一点，过点M作x轴的垂线，交线段BC于点N，线段MN是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；(3)连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当⊥PQE与⊥COE相似时点P的横坐标．4．如图，已知抛物线：22y x bx c与x轴交于点A，(2,0)B（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线12x ，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH 相似，求点P 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，⊥连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，求DEEB的最大值； ⊥过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的⊥DCF ＝2⊥BAC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）与x 轴交于A (−1，0)、B (4，0)，交y 轴于点C (0，−2)，顶点为P ．(1)求抛物线1C 对应的函数表达式；(2)抛物线2C ：()2y m ax bx c =++（m 为常数且0m ≠）的顶点为Q ，⊥当AQ CQ +的值最小时，点Q 的坐标为________； ⊥连接AC 、AQ ，若2BAQ ACO ∠=∠，求点Q 的坐标；⊥抛物线C 1上有一个点M ，且位于第一象限，若△PQM 与△ABC 相似，求点Q 的坐标．8．抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，顶点为C ．(1)求抛物线的表达式及点C 的坐标；(2)如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若DAC △是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作PEF CAB ∠=∠，边EF 交x 轴于点F ： ⊥求证：⋅=⋅AF CP AE CE⊥AF 的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使⊥CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．10．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．--与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M 11．如图所示，抛物线2y x x=23为抛物线的顶点．(1)求点C及顶点M的坐标．(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求BCN△面积的最大值．(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于(),3,0A B 两点，交y 轴于点()0,3C(1)求抛物线解析式及A 点坐标；(2)将抛物线2y x bx c =++向上平移3个单位长度，再向左平移()0m m >个单位长度，若新抛物线的顶点在ABC 内，求m 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一个动点，若ACB BAP ∠=∠，直接写出点P 的坐标．13．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知A （0，3），C （﹣3，0），点B 的纵坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB －MC |的值最大，求出M 点的坐标； (3)点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与⊥ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线2(0,0)y ax c a c =+>>，抛物线交y 轴于点C ，直线AB 与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0)D d ，．(1)若4d =，点(13)A -，，且满足2BD AD =，求点B 的坐标； (2)在（1）的条件下，作BE x ⊥轴，交x 轴于E ，试说明A 、C 、E 在同一条直线上； (3)过点B 作BE x ⊥轴，交x 轴于E ，若A 、C 、E 始终在同一条直线上，求d 、c 之间满足的数量关系．15．如图1，已知二次函数()2416133y x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．(1)求点A ，点C 的坐标；(2)如图2，连结AC ，DC ，过点C 作CE AB ∥交抛物线于点E ．求证：⊥DCE ＝⊥CAO ； (3)如图3，在（2）的条件下，连结BC ，在射线EC 上有点P ，使以点D ，E ，P 为顶点的三角形与⊥ABC 相似，求EP 的长．16．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，一2）三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与⊥OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点D（不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC，请直接写出点D的坐标．17．如图所示，抛物线2=++经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于y x bx c点C，点M为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式；(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN，CN．求⊥BCN面积的最大值及此时点N的坐标；(3)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与⊥ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线1C 的顶点坐标是()1,4D ，且经过点()2,3C ，又与x 轴交于点A 、(E 点A 在点E 左边)，与y 轴交于点B ．(1)抛物线1C 的表达式是______ ； (2)四边形ABDE 的面积等于______ ；(3)问：AOB 与DBE 相似吗？并说明你的理由；(4)设抛物线1C 的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线2C 经过点2(E C 与1C 不重合)，且顶点为(),M a b ，对称轴与x 轴交于点G ，并且以M 、G 、E 为顶点的三角形与以点D 、E 、F 为顶点的三角形全等，求a 、b 的值．(只需写出结果，不必写解答过程)．参考答案：1．(1)24y x x =-+(2)A 的坐标为()32 (3)存在，（2，4）或7724⎛⎫ ⎪⎝⎭，2．(1)222433y x x =-++ (2)22655PN m m =-+ (3)存在，741253．(1)224233y x x =-- (2)线段MN 存在最大值，最大值为32(3)点P 的横坐标为5或24．(1)2224y x x =-++(2)不能， (3)(1,4)或者(335,48)5．(1)12a =-，4c = (2)23y x =-(3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或 6．(1)213222y x x =--+ (2)⊥45；⊥存在，D （-2，3）7．(1)213222y x x =-- (2)⊥Q (32，-54)；⊥Q 的坐标为(32，103)或(32，103-)；⊥Q 的坐标为(32，398)或(32，558)．8．(1)223y x x =-++，顶点C (1，4)(2)P (73，209)(3)⊥证明见解析；⊥当x =AF 有最大值949．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)4810．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）11．(1)C 点坐标为（0，-3），顶点M 的坐标为（1，-4）； (2)278(3)P 点的坐标为39(,)44--或（-1，-2）．12．(1)抛物线的解析式为243y x x =-+，1,0A (2)513m << (3)75,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭13．(1)215322y x x =++(2)5122M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， (3)存在，点P （1，6）14．(1)B （2,6）；(2)见详解；(3)2d c =，15．(1)()30A -,，()0,4C (3)43或251216．(1)215222y x x =-+- (2)P （2，1）；(3)点D 的坐标为（3.32）17．(1)2=23y x x --(2)BCN S 有最大值为278，此时N 的坐标为(315,24-) (3)存在，P 点的坐标为39(,)44--或(1,2)--18．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)9(3)相似，(4)1154a b =⎧⎨=⎩，2254a b =⎧⎨=-⎩，3314a b =⎧⎨=-⎩，4472a b =⎧⎨=⎩，5572a b =⎧⎨=-⎩，6612a b =-⎧⎨=⎩，7712a b =-⎧⎨=-⎩．。
2023年中考数学考前强化复习 二次函数与相似三角形综合题 精选练习
2023年中考数学考前强化复习《二次函数与相似三角形综合题》精选练习1.抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(32，0)，且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求∠ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标.2.抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B.(1)直接写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx﹣k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.3.如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为D，对称轴交x轴于点E.(1)求该二次函数的解析式；(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N.是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接CE(如图2)，设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q.连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标.4.如图：已知二次函数y＝x2＋(1﹣m)x﹣m(其中0＜m＜1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线L设P为对称轴l上的点，连接P A、PC，PA＝PC.(1)∠ABC的度数为°；(2)求点P坐标(用含m的代数式表示)；(3)在x轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小，如果存在，求满足条件的Q的坐标及对应的二次函数解析式，并求出PQ的最小值；如果不存在，请说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P 的坐标.6.如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y 轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设点M是线段AC(不包括A、C两点)上一点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P，求线段PM的长的最大值，并写出此时点M的坐标；(3)过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设点Q是CE上方的抛物线上一点，连接CQ，过点Q作QF∥y轴，交CG于点F，若以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，求点Q的坐标．7.抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y=35x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．8.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．(1)求抛物线所对应函数的表达式；(2)在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数y=kx的表达式，若不存在，请说明理由；(3)在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.参考答案1.解：(1)当x＝0，y＝3，∴C(0，3).设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x﹣32 ).将C(0，3)代入得：﹣32a＝3，解得：a＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋x＋3.(2)过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N.∵OC＝3，AO＝1，∴tan∠CAO＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.∵AC⊥BM，∴BM的一次项系数为﹣1 3 .设BM的解析式为y＝﹣13x＋b，将点B的坐标代入得：﹣13×32＋b＝0，解得b＝12.∴BM的解析式为y＝﹣13x＋12.将y＝3x＋3与y＝﹣13x＋12联立解得：x＝﹣34，y＝34.∴MC＝BM＝3410.∴△MCB为等腰直角三角形.∴∠ACB＝45°.(3)如图2所示：延长CD，交x轴与点F.∵∠ACB＝45°，点D是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD＞45°.又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC＝∠DEC＝90°，∴∠CAO＝∠ECD.∴CF＝AF.设点F的坐标为(a，0)，则(a＋1)2＝32＋a2，解得a＝4. ∴F(4，0).设CF的解析式为y＝kx＋3，将F(4，0)代入得：4k＋3＝0，解得：k＝﹣3 4 .∴CF的解析式为y＝﹣34x＋3.将y＝﹣34x＋3与y＝﹣2x2＋x＋3联立：解得：x＝0(舍去)或x＝78.将x＝78代入y＝﹣34x＋3得：y＝. ∴D(，).2.解：(1)由题意知，解得：b＝2、c＝1，∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2＋2x＋1；(2)如图，∵y＝kx﹣k＋4＝k(x﹣1)＋4，∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为(1，4)，∵y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，∴点B(1，2)，则BG＝2，∵S△BMN ＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝12BG•xN﹣12BG•xM＝1，∴xN ﹣xM＝1，由得x2＋(k﹣2)x﹣k＋3＝0，解得：x＝＝，则xN ＝、xM＝，由xN ﹣xM＝1得＝1，∴k＝±3，∵k＜0，∴k＝﹣3；(3)如图2，设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2＋2x＋1＋m，∴C(0，1＋m)、D(2，1＋m)、F(1，0)，设P(0，t)，①当△PCD∽△FOP时，＝，∴＝，∴t2﹣(1＋m)t＋2＝0；②当△PCD ∽△POF 时， ＝，∴＝，∴t ＝13(m ＋1)；(Ⅰ)当方程①有两个相等实数根时，△＝(1＋m)2﹣8＝0，解得：m ＝22﹣1(负值舍去)， 此时方程①有两个相等实数根t 1＝t 2＝2， 方程②有一个实数根t ＝223，∴m ＝22﹣1， 此时点P 的坐标为(0，2)和(0，223)；(Ⅱ)当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19(m ＋1)2﹣13(m ＋1)2＋2＝0，解得：m ＝2(负值舍去)，此时，方程①有两个不相等的实数根t 1＝1、t 2＝2， 方程②有一个实数根t ＝1，∴m ＝2，此时点P 的坐标为(0，1)和(0，2)； 综上，当m ＝22﹣1时，点P 的坐标为(0，2)和(0，223)； 当m ＝2时，点P 的坐标为(0，1)和(0，2). 3.解：(1)设抛物线解析式为y ＝a(x ＋1)(x ﹣3)， 将点C(0，﹣2)代入，得：﹣3a ＝﹣2，解得a ＝23，则抛物线解析式为y ＝23(x ＋1)(x ﹣3)＝23x 2﹣43x ﹣2；(2)∵y ＝23x 2﹣43x ﹣2＝23(x ﹣1)2﹣83，∴顶点D(1，﹣83)，即DE ＝83，∵四边形DMEN 是菱形， ∴点M 的纵坐标为﹣43，则23x 2﹣43x ﹣2＝﹣43，得x ＝1±3，∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，∴x＜1，则x＝1﹣3，∴点M坐标为(1﹣3，﹣43 )；(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，∴OC＝2，OE＝1，如图，设P(m，23m2﹣43m﹣2)(m＞1)，则PQ＝|23m2﹣43m﹣2|，EQ＝m﹣1，①若△COE∽△PQE，，解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，此时点P坐标为(5，8)或(2，﹣2)；②若△COE∽△EQP，4.解：(1)令x＝0，则y＝﹣m，C点坐标为：(0，﹣m)，令y＝0，则x2＋(1﹣m)x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：(m，0)，∴OB＝OC＝m，∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；故答案为：45°；(2)如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x＝，设点P坐标为：(，n)，∵PA＝PC，∴PA2＝PC2，即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，∴(＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋()2，解得：n＝，∴P点的坐标为：(，)；(3)存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：(，)，∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋CD2＋PD2，＝(＋1)2＋()2＋(＋m)2＋()2＝1＋m2，∵AC2＝1＋m2，∴PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：(﹣m，0)若PQ与x轴垂直，则＝﹣m，解得：m＝13，PQ＝13，若PQ与x轴不垂直，则PQ2＝PE2＋EQ2＝()2＋(＋m)2＝52m2﹣2m＋12＝52(m﹣25)2＋110，∵0＜m＜1，∴当m＝25时，PQ2取得最小值110，PQ取得最小值1010，∵1010<13，∴当m＝25，即Q点的坐标为：(﹣25，0)时，PQ的长度最小.5.解：(1)在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝3，∴OB＝3OA＝3∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1.∴A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，代入解析式为，解得a＝-1,b＝-2,c＝3.抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，∴对称轴为l＝﹣1，∴E点坐标为(﹣1，0)，如图，①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，∴MP＝3ME，∵点P的横坐标为t，∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t＋3＝3(﹣1﹣t)，解得t1＝﹣2，t2＝3，(与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去)，当t＝﹣2时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3∴P(﹣2，3)，∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3).6.解：(1)将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；(2)直线AC：y=﹣x+3，设P(m，﹣m2+2m+3)，M(m，﹣m+3)，其中0＜m＜3，PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣(m﹣32)2+94，当m=32时，PM有最大值94，此时M(32，32)；(3)设Q(t，﹣t2+2t+3)，则F(t，3)，其中0＜t＜2，∴QT=﹣t2+2t，CF=t，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，B(﹣1，0)，当x=0时，y=3，即C(0，3)，∴OB=1，OC=3，∵∠BOC=∠QFC=90°，当△CFQ∽△BOC时， =，∴=13，∴t=﹣1(舍去)．当△QFC∽△BOC时， =，∴=13，∴t=53，由此可知，当以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，点Q的坐标为(53，359)．7.解：(1)∵抛物线y=ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． ∴⎩⎨⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y=35x 2－185x ＋3；(2)∵点P 是抛物线上的动点，且位于x 轴下方， ∴可设点P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 相交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)．①∵点C ，D 是直线与抛物线的交点， ∴令35x 2－185x ＋3=35x ＋3，解得x 1=0，x 2=7.当x=0时，y=35x ＋3=3，当x=7时，y=35x ＋3=365.∴点C(0，3)，D(7，365)．如图，分别过点C 和点D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E ，F ，则CE=t ，DF=7－t ，S ΔPCD =S ΔPCN ＋S ΔPDN =12PN ·CE ＋12PN ·DF=12PN(CE ＋DF)=72PN ，当PN 最大时，△PCD 的面积最大．∵PN=35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)=－35(t －72)2＋14720，∴当t=72时，PN取最大值为14720，此时△PCD的面积最大，最大值为12×7×14720=102940；②存在.∵∠CQN=∠PMB=90°，∴当NQCQ=PMBM或NQCQ=BMPM时，△CNQ与△PBM相似．∵CQ⊥PM，垂足为点Q，∴Q(t，3)．且C(0，3)，N(t，35t＋3)，∴CQ=t，NQ=(35t＋3)－3=35t.∴NQCQ=35.∵P(t，35t2－185t＋3)，M(t，0)，B(5，0)．∴BM=5－t，PM=－35t2＋185t－3.情况1：当NQCQ=PMBM时，PM=35BM，即－35t2＋185t－3=35(5－t)，解得t 1=2，t2=5(舍去)，此时，P(2，－95)；情况2：当NQCQ=BMPM时，BM=35PM，即5－t=35(－35t2＋185t－3)，解得t1=349，t2=5(舍去)．此时，P(349，－5527)．综上所述，存在点P(2，－95)或者P(349，－5527)，使得△CNQ与△PBM相似．8.解：(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；(2)如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为(﹣1，0)，∴AB=3﹣(﹣1)=4，且OC=3，∴S△ABC =12AB×OC=12×4×3=6，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为(x，x2﹣2x﹣3)，则M点坐标为(x，x﹣3)，∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x，∴S△PBC =12PM×OH+12PM×HB=12PM×(OH+HB)=12PM×OB=32PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣32)2+94，∴当x=32时，PM max=94，则S△PBC=32×94=，此时P点坐标为(32，﹣154)，S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+338=938，即当P点坐标为(32，﹣154)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为938；(3)如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GC N，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA)，∴ON=OA=1，∴N点坐标为(0，﹣1)，设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=13x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=13x﹣1．9.解：(1)∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，∵tan∠ACB=2，∴AB：BC=2∴OC：OA=2，则OC=2，∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，∴OF=2，则有A(﹣1，0)C(0，2)F(2，0)∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2，(2)存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM：DO=DO：DE.∴DM2=0.5,∴点M坐标为(0.5，1)，设经过点M的反比例函数表达式为y=kx，把点M代入解得k=0.5∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，(3)存在符合条件的点P，Q．∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，∵点P在抛物线上，设点P坐标为(m，2)，∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，∴点P坐标为P1(0，2)，P2(1，2)∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．∴当点P坐标为P1(0，1)时，点Q的坐标分别为Q1(2，2)，Q2(﹣2，2)；当点P坐标为P2(1，2)时，点Q的坐标分别为Q3(3，2)，Q4(﹣1，2)；(4)若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A(﹣1，0)，点C(0，2)代入得-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为(0.5，3)10.(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x2＋2x＋3．则点B(1，4)．(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE=32．在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=2．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE=13=tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－13)．(4)解：设直线AB的解析式为y=kx＋b．将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得∴y=－2x＋6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=1.5，∴F(1.5，3)．情况一：如图7，当0＜t≤1.5时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得AD:FM=HK:HL．即．解得HK=2t．∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=12×3×3－12(3－t)2－12t·2t=－32t2＋3t．情况二：如图，当1.5＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得AQ:FP=IQ:IP．即．解得IQ=2(3－t)．∴S阴=S△IQA－S△VQA=12×(3－t)×2(3－t)－12(3－t)2=12(3－t)2=12t2－3t＋4.5．综上所述：s=。
二次函数与相似三角形综合题
二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形例1 如图1，已知抛物线x x 41y 2+-=的顶点为A ，且经过原，与x 轴交于点O 、B 。
（1）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；点的坐标；（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. . 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、三角函数、三角函数、对称、对称、旋转等知识来推导边的大小。
识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
度，之后利用相似来列方程求解。
解:⑴如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==, ∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6 将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3, ∴D(6,－3); 例1题图题图 图1 OAByxOAByx图2 COABDyx图1 13E A'OAB Py x图2 （2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵A（3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣43x+4．∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，﹣43m+4）， ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线y=﹣x 2+x+4上，∴点P 的坐标为（m ，﹣ m 2+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m 2+m+4）﹣（﹣43m+4）=﹣m 2+73m ，即PM=﹣m 2+73m （0＜m ＜3）； （3）在（2）的条件下，连结PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=﹣m+4，CF=m ，PF=﹣m 2+m+4﹣4=﹣m 2+m ． 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF ：AE=FC ：EM ，即（﹣m 2+m ）：（3﹣m ）=m ：（﹣ m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM 为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3﹣m ）=（﹣m 2+m ）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3，yxEQP C B OA ∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解． 练习1、已知抛物线225333y x x =-+经过53(33)02P E æöç÷ç÷èø，，，及原点(00)O ，． （1）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．点的坐标；若不存在，说明理由．（2）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？之间存在怎样的关系？为什么？（1）存在．）存在．设Q 点的坐标为()m n ，，则225333n m m =-+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12232m m ==，．当123m =时，2n =，即为Q 点，所以得(232)Q ，要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12333m m ==，，当3m =时，即为P 点，点， 当133m =时，3n =-，所以得(333)Q -，． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．相似．Q 点的坐标为(232)(333)-，，，．（2）在Rt OCP △中，因为3tan 3CP COP OC Ð==．所以30COP Ð=． 当Q 点的坐标为(232)，时，30BPQ COP Ð=Ð=． 所以90OPQ OCP B QAO Ð=Ð=Ð=Ð=．因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．都是直角三角形．又在Rt OAQ △中，因为3tan 3QA QOA AO Ð==．所以30QOA Ð=． 即有30POQ QOA QPB COP Ð=Ð=Ð=Ð=． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ Ð=Ð=，所以OQA OQP △≌△．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）若直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO Ð与ACO Ð的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．的取值范围．（1）假设存在直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B \-，，，． 令0x =，得3y =．(03)C \，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．yCl xB A 1x = 练习3图yx B E A OC D1x =l点B的坐标为(30)，，点C的坐标为(03)，，点A的坐标为(10)-，．4345.AB OB OC OBC\===Ð=，，223332BC\=+=．要使BOD BAC△∽△或BDO BAC△∽△，已有B BÐ=Ð，则只需BD BOBC BA=，①或.BO BDBC BA=②成立．成立．若是①，则有3329244BO BCBDBA´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE△中，由勾股定理，得222229224BE DE BE BDæö+===ç÷ç÷èø．解得解得94BE DE==（负值舍去）．93344OE OB BE\=-=-=．\点D的坐标为3944æöç÷èø，．将点D的坐标代入(0)y kx k=¹中，求得3k=．\满足条件的直线l的函数表达式为3y x=．［或求出直线AC的函数表达式为33y x=+，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3y x=．此时易知BOD BAC△∽△，再求出直线BC的函数表达式为3y x=-+．联立33y x y x==-+，求得点D的坐标为3944æöç÷èø，．］若是②，则有342232BO BABDBC´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222(22)BE DE BE BD +===．解得解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE \=-=-=．\点D 的坐标为(12)，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =¹中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．\存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944æöç÷èø，或(12)，．（2）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+¹与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． \此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y \==-，．\点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO Ð=Ð．又二次函数的对称轴为1x =，\点C 关于对称轴对称的点C ¢的坐标为(23)，． \当5px>时，锐角PCO ACO Ð<Ð；当5p x =时，锐角PCO ACO Ð=Ð； 当25p x <<时，锐角PCO ACO Ð>Ð．OxBEA O C1x =PC ¢ ·3.如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ． 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ^x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．否则，请说明理由． 解：解： 假设存在假设存在A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ∵ÐPAB=ÐBAC =45 ∴P A ^AC ∵MG ^x 轴于点G ， ∴ÐMGA=ÐPAC =90 在Rt △AOC 中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt △PAE 中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时，有AG PA =MG CA∵AG=1m --，MG=21m -即211322m m ---=解得11m =-（舍去）（舍去） 223m =（舍去）（舍去）(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---=解得：1m =-（舍去）（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时有AG PA =MGCA∵AG=1m +，MG=21m -G M 图3 C B y P A oxG M 图2 C B y P A ox图1 C P B y A ox∴211322m m +-=解得11m =-（舍去）（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即211232m m +-=解得：11m =-（舍去）（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)4.4.（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线y=﹣x 2﹣3x+4．．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ．（1）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．的面积． （2）连接BE BE，，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点D 坐标；若不存在，说明理由．说明理由．考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），根据已知条件求出点E 坐标为（m ，8+m ）；由于点E 在抛物线上，则可以列出方程求出m 的值．在计算四边形CAEB 面积时，利用S 四边形CAEB =S △A CE +S 梯形OCEB ﹣S △BCO ，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴C E=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．5.5.（2013•绍兴压轴题）抛物线（2013•绍兴压轴题）抛物线y=y=（（x ﹣3）（x+1x+1））与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．为顶点．（1）求点B 及点D 的坐标．的坐标．（2）连结BD BD，，CD CD，抛物线的对称轴与，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①若线段BD 上一点P ，使∠DCP=∠BDE，求点P 的坐标．的坐标．②若抛物线上一点M ，作MN⊥CD，交直线CD 于点N ，使∠CMN=∠BDE，求点M 的坐标．的坐标．考点： 二次函数综合题．3718684分析： （1）解方程（x ﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1）与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），确定点B 的坐标为（3，0）；将y=（x ﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，即可确定顶点D 的坐标；（2）①根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1），得到点C 、点E 的坐标．连接BC ，过点C 作CH⊥DE 于H ，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD 为直角三角形．分别延长PC 、DC ，与x 轴相交于点Q ，R ．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q 的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ 的解析式为y=﹣x ﹣3，直线BD 的解析式为y=2x ﹣6，解方程组，即可求出点P 的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M 在对称轴右侧时．若点N 在射线CD 上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．解答：解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴==，∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=∠DCF=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN+NF=3a，∴MG=FG=a，∴CG=FG﹣FC=a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a，点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．6.6.（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线y=y=x x 2﹣4x+3过点B 、C 和D （3，0）． （1）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．的坐标． （2）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6=6？若存在，求出点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： （1）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M（2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N 1（0，0）；（II ）若BD 为直角边，B 为直角顶点，则点N 在x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 2=3，∴N 2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（2）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m 2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。
沪科版二次函数与相似三角形综合测试题
第二次月考试卷一选择题： （每题4分，共40分）1.给出下列的命题:A. 两个直角三角形是相似三角形.B. 两个等腰三角形是相似三角形.C. 两个等腰直角三角形是相似三角形.D. 两个等边三角形是相似三角形. 其中正确的命题个数有( ).(A) 1个 (B) 2个. (C)3个. (D) 4个. 2.如图,AB ∥CD,且AB:CD=32A B 若OB=1,则BD 等于( ) O (A)23 (B)32 (C)49 (D)25D C 3.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,53=AB AC , C 那么ACAD等于( ). (A) 35 (B) 53 (C)59 (D)169A D B12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）A 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1：3 5．下列每一组中两个图形相似的是 （ ）A 、两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为︒30B 、邻边的比都等于2的两个平行四边形C 、 底角为︒45的两个等腰梯形D 、有一个角是︒120的两个等腰三角形6、二次函数的图象上有两点(1，－3)和(4，－3)，则此拋物线的对称轴是（ ） A 、x ＝1 B 、x ＝2 C 、x ＝3 D 、x ＝2.57.两个相似等腰直角三角形的面积比是4.若较小的三角形斜边为2,则大三角形斜边是( ). (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 17、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：158、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个9、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有 （ ） A 、ΔADE ∽ΔAEF B 、ΔECF ∽ΔAEF C 、ΔADE ∽ΔECF D 、ΔAEF ∽ΔABF 10、函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、3k < B 、30k k <≠且 C 、3k ≤ D 、30k k ≤≠且 二、填空题：（每题5分，共20分） 11.若()().______2._____21,23=-==xy x x y y x 则 12.等边三角形的中线与中位线长的比值是________13、已知AB =cm 2，点C 是AB 的黄金分割点，则AC = ；14、已知二次函数2y ax bx c =++的图象，如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论①abc ＞0，②b ＜a c +，③42abc ++＞0，④2c ＜3b ，⑤a b +＞()m am b +（m ≠1）正确的是（填序号）：__________15题图三、解答题（第15、16、17、18题各8分，第19、20各10分，第21、22各12分，第23题14分）15、已知△ABC 中，点F 是BC 的中点，DE//BC ，求证：DG=GE ·16.已知如图,△ABC 中,说明△ABC ∽△DAC.A40° 60° 20° B D C17.如图,△ABC 中,DE ∥BC,EF ∥AB,试说明△ADE ∽△EFC. AD EB F C18.已知△ABC 和△DEF 的相似比为43,若△ABC 和△DEF 的面积之差为70,求△ABC 的面积.19. 24、如图，Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ，MN ⊥AB 交AC 于N ，若AM ＝3厘米，AB ：AC ＝5：4，求MN 的长。
二次函数与相似三角形问题(含答案)
yxEQ PC B OA 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
练习2、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习3 、如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．练习5、如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝_ _，c＝_ _；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．A B xyOQ HPC练习6、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C-，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．练习7、已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214yx =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．练习8、当x ＝2时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 取得最小值－1，并且抛物线与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ．（1）求该抛物线的关系式；（2）若点M （x ，y 1），N （x ＋1，y 2）都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小；（3）D 是线段AC 的中点，E 为线段AC 上一动点（A 、C 两端点除外），过点E 作y 轴的平行线EF 与抛物线交于点F ．问：是否存在△DEF 与△AOC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，则说明理由．A BC D OxyEF3练习11、如图，一次函数y=－2x 的图象与二次函数y=－x 2+3x 图象的对称轴交于点B.（1）写出点B 的坐标 ；（2）已知点P 是二次函数y=－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 .练习12、如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．O B C D练习13、已知：函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次．．函数y=ax 2+x+1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物线y=ax 2+x+1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．练习14、如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；Ax y O B（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N .① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标； ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.练习15、如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
中考数学复习《二次函数压轴题(相似三角形问题)》专项检测卷(附答案)
中考数学复习《二次函数压轴题（相似三角形问题）》专项检测卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线212y x bx c =＋＋与y 轴交于点()0,4C -，与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P 是AB 上的一动点，过点P 作PE AC ∥，交BC 于E ，连接CP ，求PCE 面积的最大值．(3)若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．2．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,C 连接BC ．点P 沿AO 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点О运动，到达点О后再以同样的速度沿y 轴正半轴运动，同时，点Q 沿CB 以每秒54个单位长度的速度由点C 向点B 运动，当点Q 停止运动时，点P 也随之停止运动，连接PQ ．过点P 作PM x⊥轴，与抛物线交于点,M 连接MQ ．设点P 的运动时间为0(t t >）秒，已知点A 、点B 的坐标分别为()()2,0,4,0-．（1）求抛物线的解析式．（2）①直接写出点Q 的坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）；①当点P 在线段AO 上运动，且满足PQ MQ =时，求t 的值．（3）试探究：在点,P Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得PQ 的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时t 的值与点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y ＝ax 2+c 交x 轴于A 、B 两点，P 是抛物线上一动点，平行于x 轴的直线l 经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y 轴上有点C （0，34-），连接PC ，设点P 到直线l 的距离为d ，PC ＝t ．童威在探究d ﹣t 的值的过程中，是这样思考的：当P 是抛物线的顶点时，计算d ﹣t 的值；当P 不是抛物线的顶点时，猜想d ﹣t 是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P 在第二象限，分别连接P A 、PB ，并延长交直线l 于M 、N 两点．若M 、N 两点的横坐标分别为m 、n ，试探究m 、n 之间的数量关系．4．如图，抛物线：2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 和()30B -，两点，与y 轴交于()03C -，，直线y x m =+经过点B ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．(1)求抛物线的解析式和E 点坐标；(2)在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与BOD 相似，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，试说明理由．5．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+2bx +c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），且与y 轴交于点C ，已知点A （3，0），O 为坐标原点(1)当B 的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，以A 为圆心，OA 长为半径画①A ，以C 为圆心，AB 长为半径画①C ，通过计算说明①A 和①C 的位置关系；(3)如果①BAC 与①AOC 相似，求抛物线顶点P 的坐标6．如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线212y x =上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE①y 轴于点E ，点B 坐标为（0，2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，①BED 的面积为S ．（1）当2m S 的值．（2）求S 关于()2m m ≠的函数解析式．（3）①若S 3AF BF 的值； ①当m ＞2时，设AF k BF=，猜想k 与m 的数量关系并证明．7．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，AB =8，BE =BC =10，动点P 在线段BE 上（与点B 、E 不重合），点Q 在BC 的延长线上，PE =CQ ，PQ 交EC 于点F ，PG ①BQ 交EC 于点G ，设PE =x .（1）求证：①PFG ①①QFC（2）连结DG .当x 为何值时，四边形PGDE 是菱形，请说明理由；（3）作PH ①EC 于点H .探究：①点P 在运动过程中，线段HF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求HF 的长度； ①当x 为何值时，①PHF 与①BAE 相似8．已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P ，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ①AO ，PQ=2AO ，求P ，Q 的坐标； （3）动点M 在直线y=x+4上，且①ABC 与①COM 相似，求点M 的坐标．9．已知抛物线21322y x x c =-+与x 轴有两个交点．(1)求实数c 的取值范围；(2)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21322y x x c =-+与x 轴交于A B 、两点(点A 在原点O 的左边，点B 在原点O 的右边)，与y 轴的负半轴交于点C ，连接AC BC 、，且满足ABC ACO ∠=∠，求抛物线的解析式；(3)如图2，在（2）的条件下，直线l BC ，直线l 交抛物线21322y x x c =-+于D E 、两点(点D 在点E 的左边)，直线AD 交y 轴于点M ，直线AE 交y 轴于点N ，设M N 、的纵坐标分别为M y 和N y ，试问M N y y +是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 和()3,0B 两点，与y 轴交于()0,2C -，对称轴为直线54x =，连接BC ，在直线BC 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线交二次函数的图像于点N ，交x 轴于点M(1)求抛物线与直线BC 的函数解析式；(2)设点M 的坐标为()0m ,，求当以PN 为直径的圆与y 轴相切时m 的值： (3)若点P 在线段BC 上运动，则是否存在这样的点P ，使得CPN △与BPM △相似，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请写出理由．11．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，点E 在x 轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F 在抛物线上并且和点E 关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH ，其中点G 、H 都在x 轴上．(1)用配方法求顶点D 的坐标；(2)设点F 横坐标为m①用含有m 的代数式表示点E 的横坐标为______（直接填空）；①当矩形EFGH 为正方形时，求点G 的坐标；①连接AD ，当EG 与AD 垂直时，直接写出点G 的坐标；(3)过顶点D 作DM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP AD ⊥于点P ，直接写出DFP △与DAM △相似时点F 的坐标．12．如图．在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，连接OD 、BD 、①BOD 的外心I 在中线BF 上，BF 与AD 交于点E ．（1）求证：①OAD①①EAB ；（2）求过点O 、E 、B 的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，其关于直线BF 的对称点在x 轴上？若有，求出点P 的坐标； （4）连接OE ，若点M 是直线BF 上的一动点，且①BMD 与①OED 相似，求点M 的坐标．13．在平面直角坐标系中，已知抛物线()2803y ax x c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,4C -．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PC ．①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；①直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E '落在y 轴上时，请直接写出四边形PECE '的周长．14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线2y x c =-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以,,B C Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC 与抛物线2y x c =-+交于,M N 两点（点N 在点M 的右侧），当x 轴上存在一点T ，能使以,,B N T 三点为顶点的三角形与ABC 相似时，请直接写出点T 的坐标．15．已知抛物线()230y ax ax c a =-+≠与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点C 是直线()0y x b b =+>上的一个动点．(1)求该抛物线的对称轴．(2)若点C 是抛物线的顶点，且34c b -=，求a ． (3)已知0c ，a 为大于0的常数，抛物线上有两点M 、N ，且90MBN ∠=︒，连接MN 交y 轴于点Q ，点Q 的位置是否发生变化，若不变，请求出Q 点坐标；若变化，请说明理由．参考答案：1．(1)2142y x x =+- (2)3 (3)()22--，或()13，--2．（1）233384y x x =--；（2）①33()4Q t t -+，；①当点Р在线段AO 上运动，且满足PQ MQ =时，t 的值是2；（3）存在．1t =时91,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；207t =时206,77Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．（1）y ＝x 2﹣1；（2）d ﹣t ＝34；（3）mn ＝﹣1 4．(1)223y x x =+- () 2E ，5(2)() 0，5或() 0，75．(1)2215y x x =--+(2)相离(3)P 425,39⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（1；（2）()0,?2S m m m =>≠；（3）①34；①21k m 4=．7．（1）证明略；（2）当x =4时，四边形PGDE 是菱形；（3）①不变化，HF ①当154x =或203x =时，①PHF 与①BAE 相似8．（1）2142y x x =-+（2）P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）（3）M 点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）9．(1)98c <； (2)213222y x x =--； (3)是定值，-2．10．(1)抛物线解析式为2410233y x x =--，直线BC 解析式为223y x =-(2)32或92(3)存在，51,23⎛⎫- ⎪⎝⎭或1113,812⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)点D 的坐标为()1,4；(2)①2m -；①()5,0；①G 117+，0）； (3)F 点坐标为（73，209）12．解：（1）11 （2） 22y 2x =（3） P （2，0） 222 （4） M （2-2，（12﹣1） 13．(1)248433y x x =+- (2)①1377,816P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①353或85314．(1)抛物线的解析式为24y x =-+(2)BCQ △是直角三角形(3)点T 的坐标125T ⎫+⎪⎝⎭或335⎫+⎪⎝⎭15．(1)抛物线的对称轴为直线32x =； (2)13a =-(3)点Q 的坐标不变，为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭。
二次函数与相似三角形测试题
二次函数与相似三角形测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列各组中得四条线段成比例的是（ ）． A ．4cm 、2cm 、1cm 、3cm B ．1cm 、2cm 、3cm 、5cm C ．25cm 、35cm 、45cm 、55cm D ．1cm 、2cm 、20cm 、40cm 2．给出下列四个命题，其中真命题有（ ）．（1）等腰三角形都是相似三角形 （2）直角三角形都是相似三角形（3）等腰直角三角形都是相似三角形 （4）等边三角形都是相似三角形A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3、抛物线23(1)1y x =-+的顶点坐标是（ ）A 、(1,1)B 、(1,1)-C 、(1,1)--D 、(1,1)-4．如果点D 、E 分别在ΔABC 的边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是…（ ）(A) AD AB = 23 ，DE BC = 23 ； （B ） AD BD = 23 ，CE AE = 23 ；（C ） AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD =34，AEEC = 34．5、下列四个函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ） A 、2y x = B 、1(0)y x x=> C 、1y x =+ D 、2(0)y x x =>6、抛物线24y x mx =--与坐标轴的交点个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、0个7、若二次函数25y x bx =++配方后为2(2)y x k =-+，则,b k 分别为（ ） A 、0，5 B 、0，1 C 、-4，5 D 、-4，18、已知点123(1,),(2,),(3,)y y y -在反比例函数21k y x--=的图象上，则下列结论正确的是（ ）A 、123y y y >>B 、132y y y >>C 、312y y y >>D 、231y y y >>9.在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y axbx =+的图象可能为（ ）10．在相似三角形中,已知其中一个三角形三边的长是4,6,8,另一个三角形的一边长是2,则另一个三角形的周长是 ( ) （A ）4.5; （B ） 6; （C ）9; （D ） 以上答案都有可能 二、填空题：（本大题共10题，每题4分，满分40分）11．两相似三角形面积比为1：3，则对应中线的比为 ___________ 12．如果线段c 是a 、b 的比例中项，且a = 2，b = 8，则c = . 13、若抛物线2(1)m m y m x -=-开口向下，则m =14．若43===f e d c b a , 则______3232=+-+-fd b ec a15.如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．16.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结第14题A14题论有_____________ (填序号)17. 如果先将抛物线()2234y x =-+向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的抛物线的表达式为__________18.如图，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）．19．如图，L 1//L 2//L 3，AB=3，BD=5， FG ：EG 的值是________20. 如图，双曲线()k y=k 0x≠上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的表达式为 。
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二次函数与相似三角形综合测试提高题
（本卷满分150分， 考试时间120分钟）
一选择题： （每题4分，共40分）
1、下列函数是二次函数的是：（ ）
A 、2(2)(2)(1)y x x x =+---
B 、y =
C 、21y x x
=+D 、20y x -= 2、已知2=a ，4=b ，c 5=，则a 、b 、c 的第四比例项为（ ）
A 、 10
B 、 5.2
C 、 8
D 、 22
3、把二次函数2
21y x x =--配方成顶点式为（ ）
A 、2(1)y x =-
B 、2(1)2y x =--
C 、2(1)1y x =++
D 、2(1)2y x =+- 4．下列每一组中两个图形相似的是 （ ）
A 、两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为︒30
B 、邻边的比都等于2的两个平行四边形
C 、 底角为︒45的两个等腰梯形
D 、有一个角是︒120的两个等腰三角形
5、二次函数的图象上有两点(1，－3)和(4，－3)，则此拋物线的对称轴是（ ）
A 、x ＝1
B 、x ＝2
C 、x ＝3
D 、x ＝2.5
6、函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A 、3k <
B 、30k k <≠且
C 、3k ≤
D 、30k k ≤≠且
7、直角坐标平面上将二次函数2y 2(x 1)2-＝－
－的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A 、(0，0)
B 、(1，－2)
C 、(0，－1)
D 、(－2，1)
8、二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
第8题 第9题 第10题
9、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有 （ ）
A 、ΔADE ∽ΔAEF
B 、ΔECF ∽ΔAEF
C 、ΔADE ∽ΔECF
D 、ΔAEF ∽ΔABF
10、如图，DC ∥AB ，则共有相似三角形对数 （ ）
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
二、填空题：（每题5分，共20分）
11、已知函数()2113m
y m x x +=-+，当m= ________时，它是二次函数. 12、二次函数243y x x =-+中y ＞0时，则x 的范围___________
13、已知AB =cm 2，点C 是AB 的黄金分割点，则
AC = ；
14、已知二次函数2
y ax bx c =++的图象，如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论①abc ＞0，②b ＜a c +，③42a b c ++＞0，④2c ＜3b ， ⑤a b +＞()m am b +（m ≠1）正确的是（填序号）：__________
三、解答题（第15、16、17、18题各8分，第19、20各10分，第21、22各12分，第23题14分）
O x
y
-1 1
15、计算：22cos 30sin 45tan 60+-·tan30
16、已知二次函数2(2)(3)2y m x m x m =-++++的图象过点（0，5）
（1）求二次函数关系式
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标
（3）当x 为何值时，y 随x 增大而减小
17、已知
a b b c c a k c a b
+++===，求k
18、已知△ABC 中CE 为AB 边上高，D 为AC 上一点，DG ⊥BC ，GD 的延长线与BA 延长线交于H 点，求证：GF ·GH= GB ·GC
19、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线1k y x =
与直线()21y x k =--+在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =32
. （1）求这两个函数的解析式;
（2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积。
（3）根据图像，写出反比例函数值大于一次函数值时，x 取值范围
20、某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
21．已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ． 求证：AB AE ＋CD
CG ＝1．
22、如图，P 是正△ABC 的一边BC 上任意一点，连接PA ，它的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点，求证：BP ·PC=BM ·CN
23、已知二次函数的图像开口向上且不过原点O，顶点坐标为（1，－2），与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且满足关系是|OC|2=|OA|·|OB| （1）求二次函数的解析式
（2）求△ABC的面积。