沪科版九年级数学下册-相似三角形知识点梳理

合集下载

相似三角形的知识点总结

相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。

相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。

下面将逐一介绍这些知识点。

1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。

即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。

2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。

3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。

4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。

相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。

例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。

又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。

相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。

沪教版九年级数学下册

沪教版九年级数学下册一、知识点汇总。

1. 相似三角形。

- 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

- 相似三角形的判定定理。

- 两角分别相等的两个三角形相似。

- 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

- 三边成比例的两个三角形相似。

- 相似三角形的性质。

- 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

- 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

2. 锐角三角比。

- 锐角三角函数的定义。

- 在Rt△ABC中，∠C = 90°，正弦sin A=(a)/(c)（a为∠A的对边，c为斜边），余弦cos A=(b)/(c)（b为∠A的邻边），正切tan A=(a)/(b)。

- 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值。

- sin30^∘=(1)/(2)，cos30^∘=(√(3))/(2)，tan30^∘=(√(3))/(3)；- sin45^∘=(√(2))/(2)，cos45^∘=(√(2))/(2)，tan45^∘=1；- sin60^∘=(√(3))/(2)，cos60^∘=(1)/(2)，tan60^∘=√(3)。

3. 二次函数。

- 二次函数的表达式。

- 一般式y = ax^2+bx + c(a≠0)。

- 顶点式y=a(x - h)^2+k(a≠0)，顶点坐标为(h,k)。

- 二次函数的图象性质。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴为x =-(b)/(2a)（一般式）或x = h（顶点式）。

- 顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})（一般式）或(h,k)（顶点式）。

4. 圆。

- 圆的基本概念。

- 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

- 圆心、半径、直径等概念。

- 圆的性质。

- 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

九年级数学下册相似三角形知识点总结

九年级数学下册相似三角形知识点总结第17讲相似三角形一、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例比例线段是四条线段中的两组成比例的线段，常用的比例等式是ac=bd。

在列比例等式时，需要注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱。

已知比例式的值，可以通过基本性质ad=bc（b、d≠0）来求相关字母代数式的值。

常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一参数的式子表示，再求代数式的值。

另外，合比性质和等比性质也是比例线段的重要性质。

知识点二：相似三角形的性质与判定两角对应相等的两个三角形相似（AAA）。

如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形也相似（SAS）。

如果一个三角形的一个角和另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形也相似（AAS）。

如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形也相似（SSS）。

在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例，相似三角形的比值是一个定值。

知识点三：黄金分割黄金分割是指将一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

这个比例值约等于1:0.618，即黄金比。

在数学、艺术等领域中都有广泛的应用。

知识点四：平行线段成比例如果两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

如果一条直线平行于三角形的一边，与另外两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。

在利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，需要注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解。

二、例题解析例1：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于多少？解析：根据题意，可以列出比例等式XXX因为DE∥AB，所以有BD/DC=BE/EA=5/2.代入比例等式中，得到BC/CD=5/3.例2：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为多少？解析：根据黄金分割的定义，设较长线段为x，较短线段为y，则有x/y=y/(x-y)=0.618.解得x=5.18cm，所以较长线段长为5(5.18-1)cm。

九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)

.
（ 5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例
.
（ 6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在
另一条直线上截得的线段也相等 .
这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之
, 有比例可得到平行线 . 首先要弄清三个基本图形：
九年级数学相似三角形知识点汇总参考
一、比例线段及比例的性质
1.比例线段：（ 1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段
a， b 的长度分别是 m， n，那么就说这两条线段的比是
a:b=m:n ，或写成
, 其中 a 叫做比的前项 ;b 叫做比的后项 .
（ 2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比
（ 3）向量平行的判定定理： a 是一个非零向量，若存在一个实数 m ，使 b ma ，则向量 b 与非零向量 a 平行 .
（ 4）向量平行的性质定理：若向量 b与非零向量 a 平行，则存在一个实数 m ，使 b ma .
（ 5） A、 B、 C 三点的共线
AB// BC 若存在实数 λ ，使 AB λBC .
3
诠释：（ 1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（ 2）实数与向量不能进行加减运算；
（ 3） ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，
面；
（ 4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系
.
3.实数与向量相乘的运算律
设 m 、 n 为实数，则：
注意不要将表示向量的箭头写在数字上
, 所截得的三角形的
三边与原三角形三边的对应成比例 .

相似三角形知识点整理精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质相似基本定理推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

上海初三相似三角形总结

相似三角形知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：adc b =．知识点3 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点5 黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．知识点6 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点7 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是： BC DE // ，ADE ∆∴∽ABC ∆．知识点8 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆．知识点9 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第17讲相似三角形
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
1. 比例
线段
在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
a c
b d
=，
那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. @
2.比例
的基
本性质
(1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）
(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c d
d ±；（b 、d ≠0）
(3)等比性质：a c b d =＝…＝m
n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔
......a c m
b d n
++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若
35a b =，则a b b +=85
. 、
3.平行
线分线
段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则
AB DE
BC EF
=
. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，
要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于5
3
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则
OA OB
OD OC
=
. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.
4.黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC
AB ＝=5－12
≈0.618，
那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．
知识点二：相似三角形的性质与判定
》
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
《
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，
AC AB DF DE
=
，则△ABC ∽△DEF. <
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BC
DE DF EF
==
，则△ABC ∽△DEF. F E D C
B A l 5
l 4
l 3l 2
l 1O
D
C
B
A
E
D
C
B
A
F
E
D
C B A
F
E
D
C B
A
F
E
D
C B A
6.相似
三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长
为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF
的面积之比为9：4.
？
(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,
已知S△ADE:S△ABC=1:4，
则AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结
果.。