2015年考研数学二真题

0 x
由 f (0, y ) = y + 2 y 得 ( y + 1) + C = y + 2 y ，
2 2 2
解得 C = −1 ，即 f ( x, y ) = ( y + 1) e +
2 x
∫ ϕ ( x)dx − 1 ，
0
x
又由 f x′ ( x,0) = ( x + 1)e 得
x
e x + ϕ ( x) = ( x + 1)e x ，解得 ϕ ( x) = xe x ，
则f
(n)
(0) =
n(n − 1) ⋅ 2 ⋅ (ln 2) n − 2 = (ln 2) n − 2 n(n − 1) 。 2
（11） 2 。 【解答】 由 ϕ ( x) = x
x2
∫
x2
0
f (t )dt 得
ϕ ′( x) = ∫ f (t )dt + 2 x 2 f ( x 2 ) ，
0
再由 ϕ (1) = 1, ϕ ′(1) = 5 得
2 2 2
所以 A 的特征值为 λ1 = 2, λ 2 = 1, λ3 = −1 ，其对应的特征向量为 e1 , e2 , e3 ， 因为 e1 ,−e3 , e2 为特征值 λ1 = 2, λ 2 = −1, λ3 = 1 对应的特征向量， 所以 X = QY 下二次型的标准型为
2 2 ，应选 ( A) 。 2 y12 − y 2 + y3
因为
【解答】
sin t sin t f ( x) = lim[(1 + ) ] t →0 x
x
sin t x 2 ⋅ x t
= ex （ x ≠ 0 ） ，
显然 f ( x) 在 x = 0 处没有定义， 因为 lim f ( x) = 1 ，所以 x = 0 为可去间断点，应选 ( B) 。
x →0
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（5） D 。 【解答】
⎧x + y = u u uv ⎪ 令⎨y ，解得 x = ，则 ,y = v +1 v +1 =v ⎪ ⎩x
（6） B 。 【解答】 令⎨
⎧ x = r cos θ 1 1 π π ≤r≤ ， （ ≤θ ≤ ， ） ，则 4 3 2 sin 2θ sin 2θ ⎩ y = r sin θ
π
1 sin 2θ 1 2 sin 2θ 3
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫π dθ ∫
D 4
f (r cos θ , r sin θ )rdr ，应选 ( B) 。
(−2) 2 − (−2) + 1 = 7 ， 12 − 1 + 1 = 1 ，
故 | B |= 21 。 三、解答题 （15） 【解】 由 ln(1 + x) = x −
x2 x3 + + o( x 3 ) ， 2 3
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∫
1
0
f (t )dt = 1 ，
于是 5 = 1 + 2 f (1) ，解得 f (1) = 2 。 （12） e
−2 x
+ 2e x 。
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若 f ′( x) 在 x = 0 处连续，则 α > 1, α − β − 1 > 0 ，即 α − β > 1 ，应选 ( A) （4） C 。 【解答】
f ′′( x) = 0 左边的零点为 x = a ，右边的零点为 x = b ，
又 x = 0 处 f ′′( x) 不存在。 因为 x = a 得左右两侧 f ′′( x) 都大于零，所以 ( a, f ( a )) 不是拐点； 因为 x = 0 左右两侧 f ′′( x) 异号，所以 (0, f (0)) 为拐点； 因为 x = b 左右两侧 f ′′( x) 异号，所以 (b, f (b)) 为拐点， 故 y = f ( x) 有两个拐点，应选 (C ) 。
二、填空题 （9） 48 。 【解答】
dy dy / dt 3 + 3t 2 = = = 3(1 + t 2 ) 2 ， 1 dx dx / dt 1+ t 2
d dy ( ) d 2 y dt dx 12t (1 + t 2 ) = = = 12t (1 + t 2 ) 2 ， 2 1 dx dx dt 1+ t2
因为方程组有无数个解，所以 d = 1 或 d = 2 ， 应选 ( D ) 。 （8） A 。
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【解答】 因为 f ( x1 , x 2 பைடு நூலகம் x3 ) 经过正交变换 X = PY 化为标准型 2 y1 + y 2 − y 3 ，
A = 1, B = 0, C = 2 ，
因为 AC − B = 2 > 0 且 A > 0 ，所以 ⎨
2
⎧x = 0 为极小点， ⎩ y = −1
因为方程组有无数个解，所以 d = 1 或 d = 2 ； 当 a = 2 时，
1 ⎞ ⎛1 1 1 1 ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜1 2 2 d ⎟ → ⎜ 0 1 1 d − 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 d −1 ⎟ ， ⎜1 4 4 d 2 ⎟ ⎜ 0 3 3 d 2 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 d 2 − 3d + 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ 2e x 。
（13） − 【解答】
1 2 dx − dy 。 3 3
x = 0, y = 0 代入 e +2 y + 3 z + xyz = 1 得 z = 0 。
e +2 y +3 z + xyz = 1 两边 e +2 y +3 z + xyz = 1 分别对 x, y 求偏导得 ∂z ∂z ⎧ x + 2 y +3 z ⋅ (1 + 3 ) + yz + xy =0 e ⎪ ⎪ ∂x ∂x ， ⎨ ⎪e x + 2 y +3 z ⋅ (2 + 3 ∂z ) + xz + y ∂z = 0 ⎪ ∂x ∂x ⎩
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2015 考研数学二真题解析
一、选择题 （1） D 。 【解答】 因为 lim x ⋅
x → +∞ 1 2
1 x
= 1且
+∞ dx 1 发散，不选 ( A) ； < 1 ，所以 ∫ 2 2 x
+∞ ln 2 +∞ ln x +∞ ln x ln x ln 2 且∫ 所以 ∫ 即∫ 不选 ( B ) ； ≥ dx = +∞ ， dx = +∞ ， dx 发散， 2 2 2 x x x x x +∞ +∞ 1 1 +∞ 因为 ∫ ，所以 ∫ dx = ln ln x | 2 dx 发散，不选 (C ) ，应选 ( D) 。 2 2 x ln x x ln x （2） B 。
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sin x = x −
x3 + o( x 3 ) 得 6 ax 2 ax 3 a a + + bx 2 + o( x 3 ) = (1 + a) x + (b − ) x 2 + x 3 + o( x 3 ) ， 2 3 2 3
f ( x) = x + ax −
因为 f ( x) ~ g ( x) ，
⎧ ⎪1 + a = 0 ⎪ 1 1 a ⎪ 所以 ⎨b − = 0 ，解得 a = −1, b = − , k = − 。 2 2 3 ⎪ ⎪a =k ⎪ ⎩3
（16） 【解】 由题意， D 由曲线 y = A sin x(0 < x <
【解答】 特征方程为
λ2 + λ − 2 = 0 ，
特征值为 λ1 = −2, λ 2 = 1 ， 原方程通解为 y = C1e
−2 x
+ C2 e x ，
由 y (0) = 3, y ′(0) = 0 得 ⎨ 故y=e
−2 x
⎧C1 + C 2 = 3 ，解得 C1 = 1, C 2 = 2 ， ⎩− 2C1 + C 2 = 0
0 0
π
π
由 Vx = V y 得 A = （17） 【解】
8
π
。
′′ ( x, y ) = 2( y + 1)e 得 由 f xy
x
f x′ ( x, y ) = ( y + 1) 2 e x + ϕ ( x) ，
f ( x, y ) = ( y + 1) 2 e x + ∫ ϕ ( x)dx + C ，
（3） A 。 【解答】