绍兴市柯桥区高2020届2019学年第一学期高三数学期末试题及答案
11． 3 + i ； 12． 15 、 2 ；
2
15 3
13． 1 、 5 ； 29
14． 3 10 、 2 5 10
15． 3 ；
16． 8 + 16 3 、 −16 3
3
3
17． 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
18．解：（1） f (3 ) = sin(3 − ) − 2 3 sin2 3
2019 学年第一学期期末教学质量检测 高三数学试题
注意事项：
1．本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题。 2．答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考 证号。 3．选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑。 4．试卷分为选择题和非选择题两部分，共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2
2
3
………………10 分
所以 f (x) 的最小正周期为T = ，
………………12 分
由 2k − 2x + 2k + 得， k − 5 x k + ，
2
3
2
12
12
所以函数 f (x) 的递增区间是[k − 5 , k + ](k z) ．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知全集U = {x x −1} ，集合 A = {x x 0}， B = {x −1 x 1}，则 ( U A) B =
A.{x −1 x 0}
B.{x 0 x 1}
（Ⅰ）求 f ( 3 ) 的值； 4
（Ⅱ）求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间.
19. （本题满分 15 分）如图，三棱锥 A − BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， CBD = 90 ，
E, F 分别是 BD,CD 的中点，且 AB = BE = AE = BC .
A
（Ⅰ）证明： AC ⊥ AD ；
A. (−1,3]
B. [0, 3]
C（. 3，8）
D（. 8，+）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. 已知复数 z1 = 1− i ， z1 z2 = 2 − i ，则复数 z2 =
.
12. 设直线 y = kx 与圆 C : (x − 2)2 + y2 = 1 相交于 A, B 两点，若 |AB |= 3 ，则 k =
①当 n = 1 时，左边=1，右边= 3 2 ，不等式成立， 4
………………8 分
②假设 n = k 时成立，即 c1 + c2 + 则当 n = k +1时，
+ ck
2 k(2k +1) ， 4
………………9 分
c + c2 +
+ ck + ck+1
2 k(2k +1) + 4
(k +1)(2k +1) =
，所以 1 Tn
= −n ，即Tn
=−1 n
，
−1, n = 1
所以 bn
=
Tn
− Tn−1
=
1 n(n −1)
(n
2)
，故 bn
=
1 n(n −1)
,n
2,
………………7 分
（2）由（1）知 cn = n(2n −1) ，用数学归纳法： c1 + c2 +
+ cn
2 n(2n +1) 4
………………15 分
20．解：（1）设首项为 a1
，公差为
d
，则
a1 + d = −3 4a1 + 6d = 2(a1
+
4d
+1)
，
解得 a1 = −1, d = 2，故 an = −2n +1，
………………3 分
由 bn+1
=
Tn
Tn+1 ，得
1 Tn+1
−
1 Tn
= −1 ，T1 = −1
则 cos A =
， AD =
.
15.
已知双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a,b 0) 的右焦点 F (c, 0）关于直线 y =
b x 的对称点在直线 a
x = − a2 上，则该双曲线的离心率为
.
c
16．已知正三角形 ABC 的边长为 4 ，P 是平面 ABC 内一点，且满足 APB = ，则 PB AC 3
（Ⅱ）求 AF 与平面 ACE 所成角的余弦值.
B
D E
F
C
高三期末考试数学试题3 / 4
20. （本题满分 15 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，a2 = −3 ，S4 = 2(a5 +1) ，数列{bn}
的前 n 项和为Tn ，满足 b1 = −1， bn+1 = TnTn+1(n N*) .
，
当 k 变化时，弦 AB 中点轨迹的长度是
.
高三期末考试数学试题2 / 4
13. 设随机变量 的分布列是
−1
0
1
P
a
1
b
3
若 E = 1 ，则 b =
， D =
.
3
14. 在 ABC 中， BC = 4 ， B = 135 ，点 D 在线段 AC 上，满足 BD ⊥ BC ，且 BD = 2 ，
数 x1 ，都有唯一的实数 x2 (x2 x1) ，使得 f (x1) = f (x2 ) ”的实数 t 的值
A.不存在
B.有且只有一个
C.有且只有两个
D.无数个
10．已知数列 {an } 满足
0
a1
1，
an+1
=
4an + t an + 2
(t
R)
，若对于任意
n
N*
，都有
0 an an+1 3 ，则 t 的取值范围是
C.{x 0 x 1}
D.{x −1 x 0}
y 0
2.
若实数
x,
y
满足约束条件
y
x
，则 z = x − 2 y 的最大值是
x + 2 y − 3 0
A. −1
B. 0
C. 2
D. 3
3. 双曲线 x2 − y2 = 1的焦点到其渐近线的距离是 24
A.1
B. 2
（Ⅰ）求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式；
（Ⅱ）记 cn =
an Tn
， n N * ，证明： c1 + c2 +
+ cn
2 n(2n +1) . 4
21.（本题满分 15 分）已知抛物线 C : x2 = 2 py( p 0) ，直线 y = x 截抛物线 C 所得弦长为 2 .
（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ）若直角三角形 APB 的三个顶点在抛物线 C 上，且直角顶点 P 的横坐标为 1，过点 A 、
B 分别作抛物线 C 的切线，两切线相交于点 Q .
① 若直线 AB 经过点 (0,3) ，求点 Q 的纵坐标； ② 求 SPAB 的最大值及此时点 Q 的坐标.
SQAB
y B
12
12
………………14 分
19．解：（1）因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，且 BC ⊥ BD ，所以 BC ⊥ 平面 ABD ，
A
所以 BC ⊥ AD ，
………………3 分
又由于 EA = EB = ED ，所以 AD ⊥ BC ，
BG
E
HF
C
所以 AD ⊥ 平面 ABC ，所以 AD ⊥ AC .………………7 分 D （2）取 BE 中点 G ，连接 GF 与 CE 相交于 H ，由于平面
2 [k(2k +1) + 4 4
(k +1)(k + 1)] 2
= 2 [k(2k +1) + 4 k 2 + 3 k + 1 ]
4
22
………………11 分
= 2 [2k 2 + k + 4 (k + 3)2 − 1 ] 2 (2k 2 + k + 4k + 3) = 2 (k +1)(2k + 3) ． ……13 分
4
23
4
= − cos − 2 3 sin2 = − 1 − 3 ．
3
42
………………6 分
（2） f (x) = sin 2x cos − cos 2x sin − 2 3 1− cos 2x
3
3
2
………………8 分
= 1 sin 2x + 3 cos 2x − 3 = sin(2x + ) − 3 ，
ABD ⊥ 平面 BCD ，且 AG ⊥ BD ，所以 AG ⊥ 平面 BCD ，
所以 AG ⊥ CE ，又 GF ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 AFG ，所以平面 ACE ⊥ 平面 AFG ，所以 AF 在平面 ACE 上的射影在直线 AH 上，则 FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角.………10 分
2020年1月学考选考浙江省绍兴一中2019学年第一学期高三期末教学质量检测数学试题
绍兴一中2019学年第一学期高三期末考试(数学)命题:高三数学备课组一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ππcos 2sin ，A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=x x ，x x B sin sin 2cos cos ,则A B I 为( ▲ ) A ． {0,1}- B ．{1,1}- C ．{1}- D ．{0} 2．若复数()()14i t i +-的模为52,则实数t 的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 2±D ．3±3．某几何体的三视图如下图所示,它的体积为( ▲ )A ． π192B ．π240C ． π384D ．π5764．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 5＝2 S 10,则5151052S S S S +=-( ▲ ) A ． 52 B ． 92- C ． 72 D ． 112- 5．已知A 、B 是抛物线x y 42=上异于原点O 的两点,则“·=0”是“直线AB 恒过定点(0,4)”的( ▲ ) A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件6．数列921,,,a a a ⋅⋅⋅中,恰好有6个7,3个4,则不相同的数列共有( ▲ )个A ．67CB ．49C C ．39CD ．36C 7．已知双曲线]2,2[)0,0(12222∈>>=-e b a by a x 的离心率,则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是( ▲ )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππD ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 8．已知函数()()242log ,041234(4)x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪-+>⎩，若方程()(=∈f x t t )R 有四个不同的实数 根1x ,2x ,3x ,4x ,则1x 2x 3x 4x 的取值范围为( ▲ )A ．(30,34)B ．(30,36)C ．(32,34)D ．(32,36)9．已知,x y 都是正实数,则44x y x y x y +++的最大值为( ▲ ) A ．32 B ．43 C ． 52 D ． 5410.已知在矩形ABCD 中,2AB =,4AD =,E ,F 分别在边AD ,BC 上,且1AE =,3BF =,如图所示, 沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB '',则在翻折过程中,二面角B CD E '--的大小为θ,则tan θ的最大值为( ▲ )A ．325 33B.5 32C.4 33D.4 非选择题部分二、填空题(本大题7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)11．已知函数()ln 2020f x x x =+,则()1f '= ▲ ,0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值等于 ▲ . 12．已知点P(x,y)满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为12, 则k = ▲ .13．如果x ＋x 2＋x 3＋……＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋……＋a 9(1＋x )9＋a 10(1＋x )10,则a 9＝______ _,10a = ▲ .14．已知A 袋内有大小相同的1个红球和3个白球,B 袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从A 、B 两个袋内各任取2个球,设取出的4个球中红球的个数为ξ,则(1)P ξ== ▲ ,ξ的数学期望为 ▲ .15．抛物线x y 22=顶点为O ,焦点为F ,M 是抛物线上的动点,则MF MO 取最大值时M 点的横坐标为 ▲ . 16.已知ABC ∆中,BC 中点为M,()⊥+,⋅=--2222, CA CN 31=3=AB ,则 B ∠= ▲ ,=MN ▲ . 17.已知函数()222sin 2,2cos 2a a f a a a θθθ++=++()0,,≠∈a R a θ,则函数(),f a θ的值域是 ▲ .三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18．(本题满分14分)在ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知3,b =2()4cos 23sin 23,f x x x =+- (Ⅰ)求()f x 单调递减区间和最大值M ；(Ⅱ)若(),f B M =求ABC ∆面积的最大值.19．(本小题满分15分)如图,ABEF 是等腰梯形, EF AB //,BF AF ⊥,矩形ABCD 和ABEF 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．(Ⅰ)求证：平面⊥DAF 平面CBF ；(Ⅱ)求直线AB 与平面CBF 所成角的正弦值.20、(本小题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()121--=n n a S ． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设11111n n n c a a +=++-,数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：123n T n >-．21、(本小题满分15分)已知圆S ：020422=-++y x x ,T 是抛物线x y 82=的焦点,点P 是圆S 上的动点,Q 为PT 的中点,过Q 作Q G ⊥PT 交PS 于G(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过抛物线x y 82—=的焦点E 的直线l 交G 的轨迹C 于点M 、N,且满足 364sin =∠⋅MON ON OM ,(O 为坐标原点),求直线l 的方程.22．(本小题满分15分) 对于定义在I 上的函数()y f x =,若存在0x I ∈,对任意的x I ∈,都有()()0f x f x m ≥=或者()()0f x f x M ≤=,则称0()f x 为函数()f x 在区间I 上的“最小值m ”或“最大值M ”． (Ⅰ)求函数2()ln(2)f x x x =-+在]1,0[上的最小值；(Ⅱ)若把“最大值M ”减去“最小值m ”的差称为函数()f x 在I 上的“和谐度G ”, 试求函数()23F x x x a a =-+>（0）在[1,2]上的“和谐度G ”；(Ⅲ)类比函数()f x 的“和谐度G ”的概念, 请求出(,)(1)(1)11x y x y x y y xϕ=--++++在{}(,),[0,1]I x y x y =∈上的“和谐度G ”．。
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y
y
y
y
1
1
1
1
O
1x
A
O
1x
B
O
1x
C
O
1x
D
7. 已知多项式 x6 = a0 + a1(1− x) + a2 (1− x)2 + + a6 (1− x)6 ，则 a4 =
A. −15
B. −20
C.15
D. 20
8. 斜三棱柱 ABC − A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形，侧面 ABB1A1 是矩形，且 2AA1 = 3AB ，
的前 n 项和为Tn ，满足 b1 = −1， bn+1 = TnTn+1(n N*) .
（Ⅰ）求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式；
（Ⅱ）记 cn =
an Tn
， n N * ，证明： c1 + c2 +
+ cn
2 n(2n +1) . 4
21.（本题满分 15 分）已知抛物线 C : x2 = 2 py( p 0) ，直线 y = x 截抛物线 C 所得弦长为 2 .
.
3
14. 在 ABC 中， BC = 4 ， B = 135 ，点 D 在线段 AC 上，满足 BD ⊥ BC ，且 BD = 2 ，
则 cos A =
， AD =
.
15.
已知双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a,b 0) 的右焦点 F (c, 0）关于直线 y =
b x 的对称点在直线 a
(t
R)
，若对于任意
n
N*
2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{|1}U x x =-…，集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-剟，则()(U A B =I ð )A ．{|10}x x -剟B ．{|01}x x 剟C ．{|01}x x <„D ．{|10}x x -<„2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．0C ．2D ．33．（4分）双曲线22124x y -=的焦点到其渐近线的距离是( )A ．1BC ．2D4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )（单位：3)cmA ．2B ．6C ．10D ．125．（4分）设a ，b 是实数，则“221a b +„”是“||||1a b +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>与1()x g x a +=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）已知多项式6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则4(a = ) A ．15-B ．20-C ．15D ．208．（4分）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A是矩形，且12AA =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<9．（4分）已知函数322221(2)1,1()3(1),1x t t x tx x f x t x t x x ⎧--+++<⎪=⎨⎪++⎩…，则满足“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”的实数t 的值( ) A ．不存在B ．有且只有一个C ．有且只有两个D ．无数个10．（4分）已知数列{}n a 满足101a <<，14()2n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是( )A ．(1-，3]B ．[0，3]C ．(3,8)D ．(8,)+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（6分）已知复数11z i =-，122z z i =-g ，则复数2z = ．12．（6分）设直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B 两点，若||AB =，则k = ，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是 ．13．（6分）设随机变量ξ的分布列是若13E ξ=，则b = ，D ξ= ． 14．（6分）在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC ⊥，且2BD =，则cos A = ，AD = ．15．（6分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线b y x a=的对称点在直线2a x c=-上，则该双曲线的离心率为 ．16．（6分）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC u u u r u u u rg 的最大值是 ，最小值是 ．17．（6分）设实数a ，b 满足：1b a 剟?，则221a b ab+-的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18．已知函数2()sin(2)3f x x x π=--．（Ⅰ）求3()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．19．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，且AB BE AE BC ===．（Ⅰ）证明：AC AD ⊥；（Ⅱ）求AF 与平面ACE 所成角的余弦值．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，452(1)S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，*11()n n n b T T n N ++=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12(21)n c c c n ++⋯++． 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线y x =截抛物线C（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直角三角形APB 的三个顶点在抛物线C 上，且直角顶点P 的横坐标为1，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ．①若直线AB 经过点(0,3)，求点Q 的纵坐标； ②求PABQABS S ∆∆的最大值及此时点Q 的坐标．22．设函数()2(0)ax f x e x a -=+≠． （Ⅰ）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当a >(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+，求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{|1}U x x =-…，集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-剟，则()(U A B =I ð )A ．{|10}x x -剟B ．{|01}x x 剟C ．{|01}x x <„D ．{|10}x x -<„【解答】解：由{|10}U A x x =-剟ð，可知(){|10}U A B x x =-I 剟ð． 故选：A ．2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．0C ．2D ．3【解答】解：先根据实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，画出可行域，由2z x y =-可得1122y x =- z ，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大， 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点B 时z 最大，由0230y x y =⎧⎨+-=⎩可得(3,0)B ，z 最大值为3．故选：D ．3．（4分）双曲线22124x y-=的焦点到其渐近线的距离是()A．1B C．2D【解答】解：双曲线22124x y-=中，焦点坐标为(，0)，渐近线方程为：y=，∴双曲线22124x y-=的焦点到渐近线的距离：2d==．故选：C．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积是()（单位：3)cmA ．2B ．6C ．10D ．12【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体的底面为直角梯形，高为2四棱锥体．故11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ．5．（4分）设a ，b 是实数，则“221a b +„”是“||||1a b +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设a ，b 是实数，则“221a b +„”推不出“||||1a b +„”， 例如220.70.60.851+=<，但0.70.6 1.31+=>， “||||1a b +„” ⇒ “221a b +„”，∴ “221a b +„”是“||||1a b +„”的必要不充分条件．故选：B ．6．（4分）在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>与1()x g x a +=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：01a <<Q 或1a >，∴当0x >时，幂函数()(0)a f x x x =>为增函数，排除B ，A 中，(0)1g a =>，函数()g x 为增函数，此时当01x <<时，a x x <，满足条件． C 中，(0)1g a =>，函数()g x 为增函数，此时当01x <<时，a x x <，此时不满足条件．D 中，(0)1g a =<，函数()g x 为减函数，此时当01x <<时，a x x >，不满足条件．故选：A ．7．（4分）已知多项式6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则4(a = ) A ．15-B ．20-C ．15D ．20【解答】解：多项式66[1(1)]x x =--2345616(1)15(1)20(1)15(1)6(1)(1)x x x x x x =--+---+---+- 260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋯+-， 则415a =． 故选：C ．8．（4分）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A 是矩形，且12AA =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<【解答】解：由最小角定理可得βα<，设2AB =，则1AA =，侧面11ABB A 是矩形，M 是AB 的中点， 12A M ∴=，设侧棱与底面所成的角为θ，斜三棱柱的高为1sin h AA θθ==g，∴sin β=取11A B 的中点N ，并连接MN ，1C N ，可得平面1C CMN ⊥底面ABC ， 过点1C 作1C O CM ⊥于点O ，OG AG ⊥于点G ，连接1C G ， 则1C GO γ=∠，可得OG θ，∴1C G ，∴111sin sin 2C O C O C G γβ=>==， 又β，γ均为锐角，所以γβ>． 故选：B ．9．（4分）已知函数322221(2)1,1()3(1),1x t t x tx x f x t x t x x ⎧--+++<⎪=⎨⎪++⎩…，则满足“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”的实数t 的值( ) A ．不存在B ．有且只有一个C ．有且只有两个D ．无数个【解答】解：2222(2),1()2(1),1x t t x t x f x t x t x ⎧--++<'=⎨++⎩…，当1x <时，22()2(2)f x x t t x t '=--++，对称轴为22172()124x t t t =-+=-+>，则()f x '单调递减，f '（1）212(2)t t t =--++，当1x …时，2()21f x t x t '=++单调递增，f '（1）221t t =++，而222211521[12(2)]4244()044t t t t t t t t ++---++=-+=-+>，所以不能保证“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”， 故这样的t 不存在， 故选：A ．10．（4分）已知数列{}n a 满足101a <<，14()2n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是( )A ．(1-，3]B ．[0，3]C ．(3,8)D ．(8,)+∞【解答】解：由题意易知，121402a ta a +=>+成立，故4t -…； 又21202n n n n n a a ta a a +-++-=>+，故只要220n n a a t -++>在(0,3)上有解，则1t >-； 又1432n n n a ta a ++=<+恒成立，即60n a t +-<，即6n t a <-，则3t „； 综上所述，实数t 的取值范围为(1-，3]． 故选：A ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（6分）已知复数11z i =-，122z z i =-g ，则复数2z =3122i + ．【解答】解：11z i =-Q ，122z z i =-g ，∴2122(2)(1)311(1)(1)22i i i i z i z i i i ---+====+--+． 故答案为：3122i +． 12．（6分）设直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B两点，若||AB =，则k =，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是 ． 【解答】解：直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B 两点，||AB =k =， 设AB 的中点为(,)M x y ，22(2)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩得22(1)430k x x +-+=，12241x x k +=+， AB 的中点M 坐标为22(1k +，22)1kk +， 由△21612(1)0k =-+…，即213k „，所以22312x k =+…， 设(,)M x y ，由yk x=，代入2222211x y k x==++， 化简得：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，弦AB 的中点为3[2x ∈，2]的一段弧长，长度为23π，故答案为：；23π．13．（6分）设随机变量ξ的分布列是若13E ξ=，则b = 12，D ξ= ． 【解答】解：由题设知：11311(1)0133a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得16a =，12b =， 2221111115(1)(0)(1)3633329D ξ∴=--⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：12，59． 14．（6分）在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC⊥，且2BD=，则cosA =，AD = ． 【解答】解：如图所示，ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，BD BC ⊥，且2BD=，则CD ==；所以sin C ==，cos C ==cos cos(135)cos135cos sin135sin (A C C C =-︒+=-︒+︒=-=sinA == sin sin135BC ACA =︒，=AC =AD AC CD =-==，15．（6分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线by x a =的对称点在直线2a x c=-【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为直线by x a=， 设(,0)F c 关于直线0bx ay -=的对称点为(,)A m n ，0m <，双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线by x a=的对称点在直线2a x c =-上，c ，且n am c b=--，解得：22a b m c -==，2ab n c =，右焦点(,0)F c 关于直线by x a=的对称点在直线直线2a x c =-，可得222b a ac c--=， 化简可得：223c a =，即有23e =，解得e =．16．（6分）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC u u u r u u u r g 的最大值是 8 ，最小值是 ．【解答】解：如图，作ABC ∆的外接圆，取优弧·ACB ，再作此圆弧关于直线AB 对称的优弧，即点P 的轨迹由这两段优弧组成，过点B 作直线AC 的垂线，垂足为B '，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为P '，设两圆的圆心分别为1O ，2O ，过1O ，2O 分别作AC 的平行线，与对应的优弧的交点分别为1P ，2P ，为使PB AC u u u r u u u rg 最大，则点P 应处于2P 的位置，注意到2O A AC ⊥，且由正弦定理可得两圆的半径均为2sin 3π=所以此时PB AC u u u r u u u r g 的值为42)8+=；同理，为使PB AC u u u r u u u r g 最小，则点P 应处于1P 的位置，则此时PB AC u u u r u u u r g 的值为4-=；故答案为：8，．17．（6分）设实数a ，b 满足：1b a 剟?，则221a b ab +-的取值范围为 [1， ．【解答】解：由1b 剟，1a剟可得13ab 剟，由1b 剟，1a 剟，b a „，11a 剟，1ba„， 1ba剟，则221111a b a b ab b a ab +-=+-=…，当且仅当1a b ==取得最小值1；又1a b t b a t+=+在1]递减，可得1t t ++=„a 1b =取得等号，① 113ab --„，当a b ==②由于①②的等号不同时成立，可得113a b b a ab +-<-，综上可得，221a b ab +-的取值范围是[1．故答案为：[1． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18．已知函数2()sin(2)3f x x x π=--．（Ⅰ）求3()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（1）由函数2()sin(2)3f x x x π=--，则223331()sin()cos 4234342f ππππππ=--=--=-； （Ⅱ）1cos21()sin 2coscos2sinsin 2sin(2)33223x f x x x x x x πππ-=--=++g ，所以()f x 的最小正周期为2T ππω==， 由222232k x k πππππ-++剟得，51212k x k ππππ-+剟， 所以函数()f x 的递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 19．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，且AB BE AE BC ===．（Ⅰ）证明：AC AD ⊥；（Ⅱ）求AF 与平面ACE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，且BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ， 所以BC AD ⊥，又由于EA EB ED ==，所以AD BC ⊥， 所以AD ⊥平面ABC ，所以AD AC ⊥． （2）取BE 中点G ，连接GF 与CE 相交于H ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，且AG BD ⊥，所以AG ⊥平面BCD ， 所以AG CE ⊥，又GF CE ⊥，所以CE ⊥平面AFG ， 所以平面ACE ⊥平面AFG ，所以AF 在平面ACE 上的射影在直线AH 上， 则FAH ∠即为AF 与平面ACE 所成角．设1BC =，AB BE AE BC ===．AG =，32DG =，DC =，GF =，AF =，HF GH ==AH ==，由余弦定理可得：222cos 2AH AF HF FAH AH AF +-∠==g ． 所以AF 与平面ACF 所成角的余弦值为470．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，452(1)S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，*11()n n n b T T n N ++=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12(21)n c c c n ++⋯++． 【解答】解：（Ⅰ）设首项为1a ，公差为d ，则1113462(41)a d a d a d +=-⎧⎨+=++⎩，解得11a =-，2d =-，故21n a n =-+， 由11n n n b T T ++=g ，得1111n n T T +-=-，11T =-，所以1n n T =-，即1n T n=-， 所以11(2)(1)n n n b T T n n n -=-=-…，故1,11,2(1)n n b n n n -=⎧⎪=⎨⎪-⎩…．（Ⅱ）证明：由（1）知n c =用数学归纳法证明：12(21)n c c c n ++⋯+<+， ①当1n =时，左边1=，右边=，不等式成立， ②假设n k =时成立，即12(21)k c c c k ++⋯+<+， 即当1n k =+时，21(21)(21)k k c c c c k k k +++⋯++<++=++22(21)43)1)(23)k k k k k k k k k =++=++<+++=++．即当1n k =+时，不等式也成立．由①，②可知，不等式12(1)n c c c n ++⋯+<+对任意*n N ∈都成立． 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线y x =截抛物线C（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直角三角形APB 的三个顶点在抛物线C 上，且直角顶点P 的横坐标为1，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ．①若直线AB 经过点(0,3)，求点Q 的纵坐标； ②求PABQABS S ∆∆的最大值及此时点Q 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）22y xx py =⎧⎨=⎩，解得两交点为(0,0)，(2,2)p p ．=12p =． （Ⅱ）①设点211(,)A x x ，222(,)B x x ，(,)Q m n ．切线211:2QA y x x x =-，222:2QB y x x x =-，由题设知2112n x m x =-，2222n x m x =-，即1x ，2x 是方程220x mx n -+=的两根，于是122x x m +=，12x x n =． 故直线:20AB mx y n --=．又因为直线AB 经过点(0,3)， 所以3n =-，即点Q 的纵坐标为3-． ②由题设知2APB π∠=，即0220PA PB m n =⇒++=u u u r u u u rg ．则22|21||46||2|4PAB QAB S m n n S m n n n ∆∆--+==--+，若460n +<，令23(0)t n t =-->，28812562526PAB QAB S t S t t t t∆∆==++++„， 若460n +>，令230t n =+>，2882256256PAB QAB S t S t t t t∆∆==-++-„，当且仅当5t =，1n =时，等号成立，此时点Q 的坐标为3(,1)2-．22．设函数()2(0)ax f x e x a -=+≠． （Ⅰ）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当a >(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当2a =时，函数2()2x f x e x -=+，2()22x f x e -'=-+， 由于(0)0f '=，且函数()f x '单调递增，所以当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故函数的单调递减区间是(,0)-∞，递增区间是(0,)+∞． （2）由（1）可知，2a =，函数()f x 在0x <是减函数，2a <<．因为22()(1)(2)1222ax a a af x x e x x >+⇔-+<， 令2()(2)22ax a a g x e x x =-+，则222()(2)22ax a a g x x ax e '=-+-，由2222022a a x ax -+-=，解得0x =故()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(x ，0)单调递减，所以01002()()()ax maxg x g x x e a ==-=2a <<11<，即1>，令3(1,)2t，即证1t e ->1t e -<，令()th t -=，2()0th t te-'=<，()h t 在区间3(1,)2单调递减，则1()(1)h t h e<=．2a <<时，对任意(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+．。
2019-2020学年浙江省绍兴市嵊州市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，2，3}，集合{2B =，4}，则()(U A B =I ð )A ．∅B ．{2}C ．{4}D ．{2，4}2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0402x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则2x y +的取值范围是( ) A ．[2-，4] B ．[2-，10] C ．[2，4] D ．[2，10]3．（4分）已知复数13z i =-，21z i =+（其中i 是虚数单位），则12(z z = ) A ．22i -B ．12i -C ．1i +D ．2i +4．（4分）函数22()21x x xf x -=+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）已知(0,)x π∈，则“6x π> “是“1sin 2x >“成立的____条件( ) A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要6．（4分）若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k 的值是( ) A ．34-B ．1C ．4D ．77．（4分）设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-0 1p1212p- 2p 则当p 在(0,1)内变化时，( ) A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小D ．()D ξ先减小后增大8．（4分）如图，在三棱锥D ABC -中，已知DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且DA AB BC ==，设P 是棱DC 上的点（不含端点）．记PAB α∠=，PBC β∠=，二面角P AB C --的大小为γ，则( )A ．γα>，且γβ>B ．γα>，且γβ<C ．γα<，且γβ>D ．γα<，且γβ< 9．（4分）已知a ，b R ∈，设函数2()f x x ax b =++，若函数(())y f f x =有且只有一个零点，则( )A ．0a „，且0b „B ．0a „，且0b …C ．0a …，且0b „D ．0a …，且0b … 10．（4分）已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，*n N ∈，若1102a <<，则( ) A ．8972a a a +<B ．91082a a a +>C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11．（6分）若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，则k = ，1l 与21之间的距离是 ． 12．（4分）学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有 种不同选法．13．（6分）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是 ，体积是 ．14．（6分）6()x x-展开式中，各二项式系数的最大值是 ，常数项是 ．15．（6分）在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =，3BC =，AC AD =，若3cos 5CAD ∠=，则sin C = ，ABC ∆的面积是 ． 16．（4分）已知单位向量a r，b r 满足|2||2|a b b -=r r r ，设向量(2)c a x b a =+-r r r r ，[0x ∈，1]，则||c a +r r的取值范围是 ．17．（4分）已知函数()2|||1|f x x x =--，若对任意的实数x 有|()()|1()f x t f x t R +-∈…成立，则实数t 的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（14分）已知函数()2sin()cos()cos(2)662f x x x x πππ=+++-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求()f x 的值域．19．（15分）如图，已知四棱锥P ABCD -，PCD ∆是等边三角形，//AB CD ，AB AD ⊥，12AB AD CD ==，PA PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：直线//BE 平面:PAD（Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 的所成角的正弦值．20．（15分）已知P 是圆22:(1)4C x y +-=上一点，(,0)A t ，(4,3)B t +，其中t R ∈．（Ⅰ）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程：（Ⅱ）若存在两个点P 使得PA PB ⊥，求实数t 的取值范围． 21．（15分）已知数列{}n a 满足12233(21)32n nn a a n a +++⋯⋯+-=-，*n N ∈，记12n n S a a a =++⋯⋯+．（Ⅰ）求n a 和n S ； （Ⅱ）证明：111(1)123n S lnn n+++⋯⋯+<+g ． 22．（15分）已知k R ∈，函数()x f x e kx =-（其中e 是自然对数的底数， 2.718..)e =． （Ⅰ）当1k =时，求曲线()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若当0x >时都有2()32(1)f x x x k >+++成立，求整数k 的最大值．2019-2020学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，2，3}，集合{2B =，4}，则()(U A B =I ð )A ．∅B ．{2}C ．{4}D ．{2，4}【解答】解：全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，2，3}，集合{2B =，4}， 则{4U A =ð，5}， 所以(){4}U A B =I ð． 故选：C ．2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0402x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，则2x y +的取值范围是( ) A ．[2-，4] B ．[2-，10] C ．[2，4] D ．[2，10]【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件0402x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩……„对应的平面区域如图： 设2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点(2,2)B -时，直线的截距最小， 此时z 最小，为422z =-+=-，当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的截距最大， 此时z 最大，由240x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(2,6)A ，此时22610z =⨯+=，即210z -剟， 故选：B ．3．（4分）已知复数13z i =-，21z i =+（其中i 是虚数单位），则12(z z = ) A ．22i -B ．12i -C ．1i +D ．2i +【解答】解：由13z i =-，21z i =+， 得123(3)(1)121(1)(1)z i i i i z i i i ---===-++-． 故选：B ．4．（4分）函数22()21x x xf x -=+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由()0f x =得220x x -=得0x =或2x =，排除A ，B ， 当2x >时，()0f x >，排除D ， 故选：C ．5．（4分）已知(0,)x π∈，则“6x π> “是“1sin 2x >“成立的____条件( ) A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【解答】解：(0,)x π∈，1sin 2x >⇔566x ππ<<． ∴ “6x π>“是“1sin 2x >“成立的必要不充分条件． 故选：B ．6．（4分）若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k 的值是( ) A ．34-B ．1C ．4D ．7【解答】解：圆的方程化为标准方程为：22(1)(1)2x y k -+-=+， 设圆心到直线100x y +-=的距离为d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为：d r +，最小距离为d r -，()()6d r d r ∴+--=，3r ∴=，229k r ∴+==，7k ∴=，故选：D ．7．（4分）设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内变化时，( ) A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小D ．()D ξ先减小后增大【解答】解：依题意，111()1012222p p p E ξ--=-++=g g g ， 2111()1012222p p p E ξ-+=++=g g g ， 所以22221(1)15()()()(2)2444p p D E E p ξξξ+-=-=-=--+，是关于p 的开口向下的抛物线，对称轴为2p =， 所以当(0,1)p ∈时，()D ξ单调递增，即当P 在(0,1)内增大时，()D ξ增大， 故选：A ．8．（4分）如图，在三棱锥D ABC -中，已知DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且DA AB BC ==，设P 是棱DC 上的点（不含端点）．记PAB α∠=，PBC β∠=，二面角P AB C --的大小为γ，则( )A ．γα>，且γβ>B ．γα>，且γβ<C ．γα<，且γβ>D ．γα<，且γβ< 【解答】解：若P 从D 到C 运动，0γ→，CAB α→∠， 若P 从C 运动到D ，则2πγ→，2πα→，从极限分析，得γα<；由BC AB ⊥，则二面角P AB C --等于BC 与平面PAB 所成的角， 由最小角原理，线面角„线线角， 所以γβ<， 故选：D ．9．（4分）已知a ，b R ∈，设函数2()f x x ax b =++，若函数(())y f f x =有且只有一个零点，则( )A ．0a „，且0b „B ．0a „，且0b …C ．0a …，且0b „D ．0a …，且0b … 【解答】解：由题意，2[()]()0f x af x b ++=有实数根， 则△240a b =-…． 解得24()a a b f x -±-=．0a b ==2244a a b a a b-+----=． 此时△0=，方程化为：20x =，函数(())y f f x =有且只有一个零点，满足条件．240a b ->．()f x ∴=必然无解，否则不满足条件．而且：()f x =有且只有一解，即有两个相等实数根．2(1)0x a x b +-+=．2(1)40a b ∴--=，可得0b …．由24a b -=，化为：240a a b =-+>，综上可得：0a …，且0b …． 故选：D ．10．（4分）已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，*n N ∈，若1102a <<，则( ) A ．8972a a a +<B ．91082a a a +>C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+【解答】解：数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，*n N ∈，1102a <<，1212121a a a +=>+，1312221n n a a +=++，2322121a a a +=<+，3432121a a a +=>+，同理，61a >，71a <，81a >，91a <， 并且奇数项为增数列，且小于1．偶数项为减数列，且大于1， 6978a a a a +>+故选：C ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11．（6分）若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，则k = 1 ，1l 与21之间的距离是 ．【解答】解：Q 直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，1k ∴=，1l 与21之间的距离是：22d ==．故答案为：1，2．12．（4分）学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有 35 种不同选法．【解答】解：根据题意，每一个学生从7门选修课中任意选择3门，则有3735C =种不同选法； 故答案为：3513．（6分）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是 1 ，体积是 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为三棱柱：该正视图为等腰直角三角形，且斜边上的高为1，则斜边长为2，故该“堑堵”的正视图的面积是12112⨯⨯=．体积121222V =⨯⨯⨯=．故答案为：1，214．（6分）6()x x-展开式中，各二项式系数的最大值是 20 ，常数项是 ．【解答】解：6()x x-展开式中，通项公式为36216(1)rr rr T C x-+=-g g ，故各二项式系数为6r C ， 故当3r =时，系数最大为20． 令3602r-=，求得4r =，可得常数项为15， 故答案为：20； 15．15．（6分）在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =，3BC =，AC AD =，若3cos 5CAD ∠=，则sin C = 255 ，ABC ∆的面积是 ．【解答】解：如图：因为在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =，3BC =，AC AD =，若3cos 5CAD ∠=， C ADC ∴∠=∠，3cos2cos()5C CAD π∴=-∠=-；22342512sin sin sin 55C C C ∴-=-⇒=⇒=；25cos 1C sin C ⇒=-=； Q310sin sin sin AB BC A C A =⇒=；210cos 1A sin A ⇒=-=； 2sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=， 112sin 223322ABC S BA CB B ∆∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=；故答案为：25；3．16．（4分）已知单位向量a r，b r 满足|2||2|a b b -=r r r ，设向量(2)c a x b a =+-r r r r ，[0x ∈，1]，则||c a +r r的取值范围是 15[2，6] ．【解答】解：如图所示，作OA a =u u u r r ，2OB b =u u u r r ，2BA a b =-u u u r rr ，单位向量a r，b r 满足|2||2|a b b -=r r r ， ||||OB BA ∴=u u u r u u u r ，(1,0)A ，1(2B ，15)． ∴(1,0)a =r ，12(2b =r ，15)．向量(2)(12x c a x b a =+-=-r r rr ，15)x ，[0x ∈，1]， ∴(22x c a +=-r r，15)x ，[0x ∈，1]，则2221511515||(2)()4()[2244x c a x +=-+=-+∈r r，6]．故答案为：15[，6]．17．（4分）已知函数()2|||1|f x x x =--，若对任意的实数x 有|()()|1()f x t f x t R +-∈„成立，则实数t 的取值范围是 1[3-，1]3【解答】解：函数1,0()2|||1|31,011,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=--=-<<⎨⎪+⎩„…，由()y f x t =+的图象由()y f x =的图象平移得到，不改变最值， 作出()y f x =的图象，可得()f x 的图象在(0,1)区间内变化最快， 则在(0,1)内，函数()()f x t f x +-的值的最大为|()(0)||3|f t f t -=， 由对任意的实数x 有|()()|1()f x t f x t R +-∈„成立，可得|3|1t „，解得1133t-剟． 故答案为：1[3-，1]3．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（14分）已知函数()2sin()cos()cos(2)662f x x x x πππ=+++-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求()f x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）1333()2sin()cos()cos(2)sin(2)sin 2sin 2sin 2sin 2662322f x x x x x x x x x x xππππ=+++-=++=+=313(2cos2)3sin(2)26x x x π=++， 则函数的最小周期为22T ππ==．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，2[0x ∈，]π，2[66x ππ+∈，7]6π，则当262x ππ+=时，函数取得最大值为3sin32y π==726x π=时，函数取得最小值7133sin3()62y π==-=， 即函数的值域为3[3]． 19．（15分）如图，已知四棱锥P ABCD -，PCD ∆是等边三角形，//AB CD ，AB AD ⊥，12AB AD CD ==，PA PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：直线//BE 平面:PAD（Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 的所成角的正弦值．【解答】解：()I 取PD 的中点G ，连接AG ，EG ，根据中位线定理，//EG CD ，且12EG CD =，又//AB CD ，且12AB CD =，所以//AB EG ，AB EG =，故平行四边形ABEG ，所以//BE AG ， 由BE ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以//BE PAD ；()II 以D 为原点，DA ，DC ，过D 垂直底面的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则(0D ，.0，0)，(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)，设(P x ，y ，)z ， 由2222DP x y z ++=，222(1)2AP x y z -++=，222(2)2CP x y z +-+=， 上面联立解方程组得12x =，1y =，11z =，故111(2P ，所以1311(,)42E ，得到3111(,424BE =-u u u r ，平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =r， 由2211664cos ,1311()()4216m BE <>==++u u u r r ，故直线BE 与平面ABCD 66．20．（15分）已知P 是圆22:(1)4C x y +-=上一点，(,0)A t ，(4,3)B t +，其中t R ∈． （Ⅰ）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程：（Ⅱ）若存在两个点P 使得PA PB ⊥，求实数t 的取值范围．【解答】解：因为P 是圆22:(1)4C x y +-=上一点，(,0)A t ，(4,3)B t +，其中t R ∈． （Ⅰ）∴圆心为(0,1)，半径2r =；303(4)4AB K t t -==+-；∴直线AB 的方程：3()34304y x t x y t =-⇒--=； Q 直线AB 与圆C 相切； 222|34|1023(4)t t ∴=⇒+=⇒=+-或143t =-； ∴直线AB 的方程：3460x y --=或34140x y -+=；（Ⅱ）因为(,0)A t ，(4,3)B t +，所以AB 得中点3(2,)2D t +；且22||345AB =+=；∴即以AB 为直径的圆的圆心为3(2,)2D t +；52R =； Q 存在两个点P 使得PA PB ⊥，所以两圆相交， 即221359||(2)(1)22222R r CD t R r =-<=++-<+=+=； 20(2)2052252t t ∴<+<⇒-<<且2t ≠-；∴实数t 的取值范围是{|25252t t -<<且2}t ≠-．21．（15分）已知数列{}n a 满足12233(21)32n nn a a n a +++⋯⋯+-=-，*n N ∈，记12n n S a a a =++⋯⋯+．（Ⅰ）求n a 和n S ； （Ⅱ）证明：111(1)123n S lnn n+++⋯⋯+<+g ． 【解答】解：()I 数列{}n a 满足12233(21)32n nn a a n a +++⋯⋯+-=-，*n N ∈， 2n …时，1211213(23)32n n n a a n a --+++⋯⋯+-=-，*n N ∈， 21(21)2n nn n a -∴-=，解得12n n a =． 1n =时，151322a =-=，对于上式也成立． 12n n a ∴=． 12211(1)11112211222212n n n n nS a a a -∴=++⋯⋯+=++⋯⋯+==--． （Ⅱ）证明：先证明1lnx x -„，(0)x >． 令()1f x lnx x =-+，11()1xf x x x-'=-=，可得1x =时取得极大值即最大值． 1lnx x ∴-„，(0)x >．1(0,1)lnx x x x ∴<->≠．令1n x n =+，则111n n ln n n <-++， 化为：1(1)1ln n lnn n +->+． 分别令1n =，2，⋯⋯，n ， 则：1212ln ln ->，1323ln ln ->，⋯⋯，1(1)lnn ln n n-->， 11123lnn n∴>++⋯⋯+． 1111123lnn n∴+>+++⋯⋯+． 1111111111(1)(1)(1)112323223n n S lnn n n n∴+++⋯⋯+=+++⋯⋯+-<+++⋯⋯+<+g ． 22．（15分）已知k R ∈，函数()x f x e kx =-（其中e 是自然对数的底数， 2.718..)e =．（Ⅰ）当1k =时，求曲线()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若当0x >时都有2()32(1)f x x x k >+++成立，求整数k 的最大值． 【解答】解：()1I k =时，()x f x e x =-，()1x f x e '=-， 根据题意可得，(0)1f =，f '（1）0=， 故曲线()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程1y =；()II 由0x >时都有2()32(1)f x x x k >+++成立可得，2(32(1)x e kx x x k ->+++，即2322x e x x k x ---<+在0x >时恒成立，令232()2x e x x g x x ---=+，0x >，则22(1)(2)()(2)x x e x g x x +-+'=+，令2()(1)(2)x h x x e x =+-+，0x >， 则()(2)(2)x h x x e '=+-，易得，当(0,2)x ln ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(2,)x ln ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，又h （1）290e =-<，h （2）23160e =->，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0h x =即0200(1)(2)x x e x +=+，故当0(0,)x x ∈时，()0h x <即()0g x '<，()g x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x >即()0g x '>，()g x 单调递增，故02000000000(2)(1)(2)(1)(2)1()()22x min x x x e x x x g x g x x x +-++-+++===++，0000021(1)1(1)11x x x x x +=-+=+-+++， 故02000000000(2)(1)(2)(1)(2)1()()22x min x x x e x x x g x g x x x +-++-+++===++，0000021(1)1(1)11x x x x x +=-+=+-+++， 令01t x =+，则(2,3)t ∈，1()1g t t t=+-在(2,3)上单调递减，所以51()(,)32g t ∈--，即51()32min g x -<<-，又0x >时，()k g x <恒成立， 从而()min k g x <， 故53k -…，故满足条件的2k =-．。
2020年1月学考选考浙江省绍兴市柯桥区2019学年第一学期高三期末教学质量检测数学试题参考答案
2
2
4
4
由余弦定理可得： cos FAH = AH 2 + AF 2 − HF 2 = 4
70
.
2AH AF
35
………………14 分
所以 AF 与平面 ACF 所成角的余弦值为 4 70 ． 35
………………15 分
20．解：（1）设首项为 a1
，公差为
d
，则
a1 + d = −3 4a1 + 6d = 2(a1
A
所以 BC ⊥ AD ，
………………3 分
又由于 EA = EB = ED ，所以 AD ⊥ BC ，
BG
E
HF
C
所以 AD ⊥ 平面 ABC ，所以 AD ⊥ AC .………………7 分 D （2）取 BE 中点 G ，连接 GF 与 CE 相交于 H ，由于平面
ABD ⊥ 平面 BCD ，且 AG ⊥ BD ，所以 AG ⊥ 平面 BCD ，
………………15 分
22．解：（1）当 a = 2 时， f (x) = −2e−2x + 2 ，
………………2 分
由于 f (0) = 0 ，且函数 f (x) 单调递增，
案 答 考 选 考 学 省 江 浙
所以当 x 0 时， f (x) 0 ，当 x 0 时， f (x) 0 ， 故函数的单调递减区间是 (−, 0) ，递增区间是 (0, +) ．
………………4 分 ………………5 分
（2）令 x = 0 ，得 a 2 ，所以 11 a 2 ． 2
因为 f (x) a (x2 +1) eax ( a x2 − 2x + a ) 1，
2
2019-2020年高三上学期期末考试数学理含答案
2019-2020年高三上学期期末考试数学理含答案xx．1 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页。
共150分，测试时间l20分钟。
注意事项：选择题为四选一题目。
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I卷(共60分)一、选择题：本大题共l2小题。
每小题5分，共60分。
把正确答案涂在答题卡上。
1．若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为A．B．C．D．2．设集合M={}，N={}，则MN=A．{} B．{}C．{} D．{}3．命题“，使得”的否定为A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有4．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是A．90 B．75 C．60 D．455．已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=A．8 B．6 C．6 D．86．某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为A．K>2 B．K>3C．K>4 D．K>57．已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是A．(5，5) B．(1，1)C．(5，+) D．(l，+)8．函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A．B．C．D．9．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是A．B．C．D．10．已知双曲线C 1：22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，若抛物线C 2：的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离是2，则抛物线C 2的方程是A ．B ．C ．D ．11．已知是实数，则函数的图象可能是12．没函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数，取函数，恒有，则A ．K 的最大值为B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．设满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若，则实数的取值范围为 ．14．二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是 ．15．已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．16．下列四个命题：①； ②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2x x x ∀∈+∞>；④． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分l2分)已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =(sinA ，1)，n =(cosA ，)，且m //n ．(I)求角A 的大小；(II)若a=2，b=2，求ABC 的面积．18．(本题满分l2分)设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线通过点(0，2a+3)，且在处的切线垂直于y轴．(I)用a分别表示b和c；(II)当bc取得最大值时，写出的解析式；(III)在(II)的条件下，g(x)满足4()6(2)()(2)3f x xg x x-=->，求g(x)的最大值及相应x值．19．(本题满分l2分)某中学经市批准建设分校，工程从xx年底开工到xx底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是，，．(I)求甲乙两公司均至少获得l期工程的概率；(II)求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望E(X)．20．(本题满分l2分)已知等差数列{}的首项a1=1，公差d>0，且a2，a5，a14分别是等比数列{}的b2，b3，b4．(I)求数列{}与{{}的通项公式；(Ⅱ)设数列{}对任意自然数n均有成立，求的值．21．(本题满分l3分)已知函数．(I)讨论的单调性；(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．22．(本题满分l3分)已知椭圆C：的两个焦点是F1(c,0)，F2(c，0)(c>0)。
绍兴市柯桥区2019学年第一学期高三数学期末试题参考答案
………………4 分
（2）①设点 A(x1, x12 ) ， B(x2, x22 ) ， Q(m, n) .切线 QA : y = 2x1x − x12 ， QB : y = 2x2x − x22 ，
由题设知 n = 2x1m − x12 ， n = 2x2m − x22 ，
………………5 分
即 x1 ， x2 是方程 x2 − 2mx + n = 0 的两根，于是 x1 + x2 = 2m ， x1x2 = n . ………………7 分
设 BC = 1，则 AF = 1 CD = 5 ， HF = GH = 2 ， AH = AG2 + GH 2 = 14 ，
2
2
4
4
由余弦定理可得： cos FAH = AH 2 + AF 2 − HF 2 = 4
70
.
2AH AF
35
………………14 分
所以 AF 与平面 ACF 所成角的余弦值为 4 70 ． 35
ABD ⊥ 平面 BCD ，且 AG ⊥ BD ，所以 AG ⊥ 平面 BCD ，
所以 AG ⊥ CE ，又 GF ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 AFG ，所以平面 ACE ⊥ 平面 AFG ，所以 AF 在平面 ACE 上的射影在直线 AH 上，则 FAH 即为 AF 与平面 ACE 所成角.………10 分
= −n ，即Tn
=−1 n
，
−1, n = 1
所以 bn
=
Tn
− Tn−1
=
1 n(n −1)
(n
2)
，故 bn
=
1
n(n −1)
,n
2,
2019届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试题(解析版)
柯桥区2018学年第一学期期末高中教学质量检测高三数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5A =，{}2,4.,6B =，则A B =I （ ）A. ∅B. {}2C. {}2,4D. {}2,4,6 【答案】C【解析】【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】解：{1A =Q ，2，3，4，5}，{2B =，4，6}，{2A B ∴⋂=，4}．故选：C ．【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 40x y ±=D. 40x y ±= 【答案】B【解析】【分析】 渐近线方程是2204x y -=，整理后就得到双曲线的渐近线．【详解】解：双曲线2214x y -=， 其渐近线方程是2204x y -=，整理得20x y ±=．故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐近线方程．3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原出几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体为底面为等腰梯形，高为3的直四棱柱，故：1(13)?3?3182V=+=．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：由三视图还原出几何体的直观图，棱柱的体积公式的应用，主要考查想象能力．4.复数52i-（i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出52i-在复平面上对应的点的坐标，则可求出答案．【详解】解：Q55(2)22(2)(2)iii i i+==+--+，∴复数52i-在复平面内对应的点的坐标为：(2,1)，在第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．5.函数()2ln 1sin 2y x x =+⋅的图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用代入特殊值判断在π的右侧函数值的符号，进行排除即可．【详解】解：22()(1)sin(2)(1)?sin 2()f x ln x x ln x x f x -=+-=-+=-，即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x π>时，则π的右侧，sin 20x >，则()0f x >，排除C ，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及特殊值法是解决本题的关键．6.已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论．【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．7.设01p <<，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P2p 12p - 12 则当p 在()0,1内增大时（ ）A. ()E ξ减小，()D ξ减小B. ()E ξ减小，()D ξ增大C. ()E ξ增大，()D ξ减小D. ()E ξ增大，()D ξ增大【答案】B【解析】【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是 1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-， 方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+， 当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．8.已知ABC ∆中，AC BC …，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，沿直线DE 将CDE ∆反折成△C DE '，设1C DA θ∠'=，2C EB θ∠'=，二面角C DE A '--的平面角为3θ，则( )A. 123θθθ厖B. 132θθθ厖C. 213θθθ厖D. 312θθθ厖【答案】A【解析】【分析】 过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为H ，交DE （或其延长线于)G ，找出二面角C DE A '--的平面角3θ，连接C C '，在△C GC '，△C DC '，△C EC '中，由已知结合三角形的边角关系可得C DC C EC C GC ∠'∠'∠'剟，从而得到123θθθ厖． 【详解】解：过C 作AB （或其延长线）的垂线，垂足为H ，交DE （或其延长线于)G ，则C GH ∠'为二面角C DE A '--的平面角为3θ，又1C DA θ∠'=，2C EB θ∠'=，连接C C '，在△C GC '，△C DC '，△C EC '中，C C C C '='Q ，CD CE CG 厖，C D C E C G '''厖， 则C DC C EC C GC ∠'∠'∠'剟， 123θθθ∴厖，故选：A ．【点睛】本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力．9.已知向量a r ，b r 满足1a =v ，2b =v ，若对于长度为2的任意向量c r 都有26a c b c ⋅+⋅≤v v v v ，则a b -v v 的最小值为（ ）A. 1 14 26 D. 3【答案】B【解析】【分析】由()?··a b c a c b c ++r r r r r r r 剟，可求2a b +r r „，结合向量数量积的性质可求a b r r g 的范围，然后由222||2?a b a b a b -=+-r r r r r r 即可求解．【详解】解：()?··a b c a c b c ++r r r r r r Q r 剟||2=r c ，a b ∴+r r „， ∴22132?2a ab b ++r r r r „， ||1a =r Q ，||2b =r ， ∴3·4a b r r „， 则2227||2?52?2a b a b a b a b -=+-=-r r r r r r r r …，a b ∴-r r 的最小值为2， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用．10.已知不等式()1ln x xe a x x -+≥对任意正数x 恒成立，则实数a 的最大值是（ ）A. 12B. 1 D. 2e 【答案】B【解析】【分析】分类参数，构造新的函数()g x ，求出零点，判断()g x 的单调性，求出()f x 的最小值，即可求出a ．【详解】解：0x >时，不等式(1)x xe a x lnx -+…可化为(1)xa x xe lnx +-„， 所以1x xe lnx a x -+„，设()1x xe lnx f x x -=+，其中0x >， 则221(1)1()(1)x x x e lnx x f x x ++--+'=+， 设21()(1)1xg x x x e lnx x=++--+，其中0x >， 则21()(1)[(2)]0x g x x x e x '=+++>恒成立， 则()g x 在(0,)+∞上单调递增，2211())(1)1(1)1x x x g x x x e lnx x e xe lnx x x==++--+=+---+， 令()0o g x =，得1o x oe x =， 所以()f x 在(0,)o x 单调递减，(o x ，)+∞单调递增，1()111o x o o o min o o ox e lnx x f f x x x -+====++， 对任意正数x 恒成立，即()1min a f x =…，故选：B ．【点睛】考查导数在求参数问题中的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的应用等．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一名纺织女工，在五天时间内共织了五尺布，后一天的织布量是前天的2倍，问每天的织布量分别是多少？若设第一天的织布量为1a 第五天织布量为5a ，则1a =_____，5a =_____.【答案】 (1).531 (2). 8031【解析】【分析】设这名女子第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比2q =的等比数列，由此利用等比数列的前n 项和公式能求出结果．【详解】解：设这名女子第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比2q =的等比数列， 由题意得515(12)512a S -==-， 1531a ∴=， 4558023131a ∴=⨯=， 故答案为：531，8031． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力．12.若,x y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______，最大值为_____.【答案】 (1). -6 (2). 10【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：画出x ，y 满足约束条件42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…可行域，如图所示，(2,2)A --，(6,2)B -，(2,2)C ，可知目标函数过点(2,2)A --时取得最小值，2(2)(2)6min z =⨯-+-=-，目标函数经过B 时，取得最大值：26210⨯-=，故答案为：6-；10．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．13.已知ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =o ，则b =___，C =_____． 【答案】 (1). 3 (2). 30o【解析】【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，可求得3b =1sin 2C =，根据c b <，即C B <，即可求解．【详解】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =o ，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=o ，所以3b = 又由正弦定理可得sin sin b c B C =，即sin 1sin 223c B C b ===o ， 又由c b <，所以C B <，所以30C =o ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.二项式91x x ⎫⎪⎭展开式中3x 项的系数是______. 【答案】9-【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中3x 项的系数．【详解】解：二项式91)x展开式的通项公式为： 93219·(1)?r r r r T C x-+=-， 令9332r -=， 可得1r =，∴展开式中3x 项的系数是199C -=-，故答案为：9-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．15.已知函数(),01,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()1f x ≤的解集为______，若实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==且a b c <<，则2a b c ++的取值范围是_______.【答案】 (1). ](,2-∞ (2). (),2-∞ 【解析】【分析】分类讨论，即可求出不等式的解集，画出函数()f x 的图象，如图所示，结合图象即可求出答案．【详解】解：当0x „时，0()1x f x e e ==„，解得0x „，当0x >时，()11f x x =-„，解得02x <„，综上所述，不等式()1f x „的解集为(-∞，2]，画出函数()f x 的图象，如图所示， ()()()f a f b f c ==Q ，且a b c <<，由图象知，0a <，01b <<，由于()af a e =，()1f b b =-，且()()f a f b =， 1a e b ∴=-，即1a b e =-，则有1a a b a e +=+-，由于0x ≠时，1x e x >+，可知10x x e +-<，而0a <，所以10a a b a e +=+-<，即：0a b +<，而2b c +=，所以()()2a b b c +++<，22a b c ∴++<.故答案为：(-∞，2]，(,2)-∞.【点睛】本题考查了分段函数，以及函数图象的应用，考查数形结合思想.16.有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】 由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种， 故答案为：144.【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..17.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上任意一点，直线2F M 垂直于OP 且交线段1F P 于点M ，若12F M MP =，则该椭圆的离心率的取值范围是______.【答案】1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设(,)P m n ，||m a <，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，运用向量共线的坐标表示，可得M 的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由P 的坐标满足椭圆方程，化简整理可得m 的方程，求得m ，由||m a <，解不等式结合离心率公式即可得到范围．【详解】解：设(,)P m n ，||m a <，又1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||2||F M MP =，∴12MF PM =u u u u v u u u u v，可得(M c x --，)2(M M y x m -=-，)M y n -， 可得2(3m c M -，2)3n ， 又(,)OP m n =u u u r ，22(3m c MF c -=-u u u u v ，2)3n -， 由2·0MF OP =u u u u vu u u v ， 可得222()033m c n m c ---=， 化为2(2)n m c m =-，由P 在椭圆上， 可得22221m n a b+=， 即有2222(1)m n b a =-，可得222(2)(1)m m c m b a -=-， 化为2222220c m mc a c a-+-=， 解得2a m a c =-，或2a m a c=+（舍去）， 由2a a a c-<， 可得2c a >，即有12c e a =>，又01e <<， 可得112e <<， ∴该椭圆的离心率的取值范围是1(,1)2， 故答案为：1(2，1)．【点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用向量的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，考查椭圆的范围，以及化简整理的运算能力．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知10sin cos 02252ααπα⎫-=<<⎪⎝⎭（1）求tan α的值；（2）若角β满足()12sin 213αβ+=，求()cos αβ+值. 【答案】（1）3tan 4α=（2）5665或1665【解析】【分析】（1）把已知等式两边平方，即可求得sin α，进一步得到cos α，则tan α可求；（2）由12sin(2)13αβ+=，得5cos(2)13αβ+=±，利用cos()cos[(2)]αβαβα+=+-，分类展开两角差的余弦求解.【详解】解：（1）将10sincos 22αα-=-两边平方， 可得212sin cos 225αα-=， 所以3sin 5α=， 又02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以4cos 5α=， 故sin 3tan cos 4ααα==， （2）由()12sin 213αβ+=， 得()5cos 213αβ+=±， 又因为()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=+++⎡⎤⎣⎦，若()5cos 213αβ+=-， 则5412316cos()13513565αβ+=-⨯+⨯=， 若()5cos 213αβ+=， 则5412356cos()13513565αβ+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，体现了分类讨论的数学思想方法．19.已知四面体ABCD 中，2AB BC AC CD ====，10AD =，120BCD ∠=︒，E 为BC 中点.（1）求证：AE ⊥平面BCD ；（2）求AD 与平面ABC 所成的角的正切值.【答案】（1）见解析（2）217【解析】【分析】（Ⅰ）连结DE ，推导出AE ED ⊥，AE BC ⊥，由此能证明AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，从而DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由此能求出AD 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】解：（1）连接DE ，在DCE V 中，由余弦定理得：22212212cos1207DE =+-⋅⋅︒= 在ABC V 中，3AE =，则有222AE DE AD +=，所以AE ED ⊥，E Q 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，DE BC E ⋂=Q ，所以AE ⊥平面BCD ，（2）由于AE ⊂平面ABC ，由（1）可得平面ABC ⊥平面BCD ，在平面BCD 内过D 作直线BC 的垂线，垂足为F ，则DF ⊥平面ABC ，则DAF ∠是直线AD 与平面ABC 所成的角，在Rt CDF V 中，sin603DF CD =︒，在Rt ADF V中，AF =AD ∴与平面ABC 所成的角的正切值：tan DF DAF AF ∠==. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想．20.已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，124,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，1n n n a b b +=，求证：121111n b b b ++⋅⋅⋅+≥. 【答案】（1）n a n =（2）见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式；（2）利用累加法和基本不等式的应用，即可求出结果.【详解】解：（1）设公差为d ，则由题设可得：()2113d d +=+，解得1d =或0d =（舍去），所以n a n =，（2）当2n ≥时，有1n n b b n +=，11n n b b n -=-，两式相减得：11()1n n n b b b +--=， 即111n n b b b+-=-， 所以()()()()3142311121111n n n n nb b b b b b b b b b b -+-++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-+-1121121n n nn b b b b bn b +=++--=++-≥，当1n =时，左边1=，右边1=，不等式也成立，综上所述，对于任意N n *∈都有121111n b b b ++⋅⋅⋅+≥. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．21.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．【答案】6π 【解析】【分析】由余弦定理直接进行计算即可得b 的值，根据正弦定理可求sin C ，结合大边对大角可求C 的值．【详解】解：4a =Q ，2c =，60B =︒， ∴由余弦定理得：22212cos 164242208122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=-=，则b = ∴由正弦定理sin sin b c B C=，可得：2·sin 1sin 2c B C b ===， c a <Q ，C 为锐角，6C π∴=．故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力．22.已知F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，A 是C 上异于原点的点，过A 作C 的切线与C 的准线l 相交于点P ，点B 满足BP l ⊥，AB l P .（1）求证：FB AP ∥；（2）设直线FB 与抛物线C 相交于M ，N 两点，求AMN V 面积的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2,2p ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）设0(A x ，0)y ，则点A 处的切线方程为000()x y y x x p-=-．故000((),)2p p B y y x -，00002()2FB p y x k p p py x -==-，即可得//FB AP ；（2）由（1）可知MN 的方程为02x p y x p =+，代入抛物线方程22x py =，得22020x x x p --=， 221202x x x p -=+，32222120000011·()?()22?()22222AMN PMN p p p S S PB x x y x p y py p p y ∆∆==-=++=++=+，即可求解． 【详解】解：（1）证明：设0(A x ，0)y ，则点A 处的切线方程为000()x y y x x p-=-． 令2p y =-，可得00()2p p x y x =-，故000((),)2p p B y y x -，∴00002()2FB p y x k p p py x -==-， FB k k ∴=切线，//FB AP ∴；（2）由（1）可知MN 的方程为02x p y x p =+，代入抛物线方程22x py =， 得：22020x x x p --=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y，则12x x -=，//AP MN Q ，∴12011·()?222AMN PMN p S S PB x x y ∆∆==-=+3200()22p p y y =+=+， 00y >Q ，∴22AMN p S ∆>， 所以AMN ∆面积的取值范围为：2,2p ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了圆锥曲线直线与曲线的位置关系，韦达定理，三角形面积计算，属于中档题．23.已知函数()()1R x f x x ae a =-+∈.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）试求函数()y f x =零点的个数，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得()1x f x ae ¢=-，分类讨论当0a ≤和0a >时，利用导函数研究函数()y f x =的单调性； （2）根据题意，当0a =时，()1f x x =+，函数()f x 有且只有一个零点1x =-；当0a <时，利用零点存在性定理，得出()f x 在R 上有且只有一个零点；当0a >时，根据零点存在性定理和单调性讨论零点个数，综合即可得出结论.【详解】解：（1）()1xf x ae ¢=-， 当0a ≤时，()()0,f x f x '>在(,)-∞+∞上单调递增，当0a >时，由()0f x >， 得1ln x a<， 所以()f x 在1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， （2）0a =时，()1f x x =+，函数()f x 有且只有一个零点1x =-，当0a <时，因为()010f a =->，()()1110a f a a e --=-<， 由根的存在定理可知，在()1,0a -上存在零点，又因为()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，从而()f x 在R 上有且只有一个零点.当0a >时，由（1）可知()f x 存在最大值，且()max 11ln ln f a a f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ①若1ln0a<，即1a >时，函数()f x 无零点， ②若1ln 0a =，即1a =时，函数()f x 有且只有一个零点0x =， ③若1ln 0a>，即01a <<时， 因为()1110,ln ln 0a f f e a a ⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-1 ⎪⎝⎭上存在零点， 由（1）可知()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零，下面寻找0x ，使得满足01ln x a>，且()00f x <， 先证明若0x >，则212x e x >， 令()212x g x e x =-，()0x g x e x '=->， 所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，所以()()010g x g >=>， 所以212x e x >， 所以当0x >时，()()22112222a f x x x ax x <-+=---， 令2220ax x --=，解得x =，取0x =， 则()()0220000011122022x f x x ae x a x ax x =-+<-⋅=---=，又因为111ln 1a a a <-<< 所以()fx 1ln a ⎛ ⎝⎭存在零点， 由（1）可知()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点， 所以()f x 有且只有两零点，综上，当0a ≤或1a =时函数()f x 有且只有一个零点，当01a <<时，函数()f x 有且只有两个零点，当1a >时，函数()f x 无零点【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性以及零点个数问题，还涉及零点存在性定理、函数的最值等，考查函数思想和转化思想以及解题分析能力.。
浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题(含答案解析)
浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】求出集合的补集，然后求解交集即可.【详解】解：由已知，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查.2 若实数，满足约束条件，则的最大值是（）A. －1B. 0C. 2D. 3【答案解析】 D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式，由图可知，当直线过点A时，直线在轴上的截距最小，最大，为.故选：D.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.3 双曲线的焦点到其渐近线的距离是（）A. 1B.C. 2D.【答案解析】 C【分析】求出双曲线的，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值. 【详解】解：双曲线的，焦点为，渐近线方程为，即，即有焦点到渐近线的距离为，故选：C.【点睛】本题考查双曲线的焦点和渐近线，考查运算能力，属于基础题.4 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）（单位：cm3）A. 2B. 6C. 10D. 12【答案解析】 A【分析】由三视图可得原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式求结果.【详解】解：由三视图可得原几何体为四棱锥，如图：则体积，故选：A.5 已知则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B试题分析：，其表示的是如图阴影圆弧部分，其表示的是如图阴影部分，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案选考点：命题的充分必要性.6 在同一坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据指数函数，幂函数的性质逐一判断，可得结果.【详解】解：对A，由图知中的，中的，符合；对B，由图知中的，的图没有过，不符；对C，由图知中的，中的，不符；对D，由图知中的，此时中的，不符；故选：A.【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质，是基础题.7 已知多项式，则（）A. －15B. －20C. 15D. 20【答案解析】 C【分析】令，原多项式转化为，利用通项公式求展开式第四项的系数即可.【详解】解：令，原多项式转化为，则，故选：C.【点睛】本题考查二项展开式的确定项的系数，利用换元法可简化原多项式，是基础题. 8 斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面是矩形，且，M是AB的中点，记直线与直线BC所成的角为，直线与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案解析】 B【分析】过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，表示出这些角然后比较大小即可.【详解】解：如图：过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，因为直线与平面所成的角为直线与平面内所有直线所成的角中最小的，故，又因为，故，故选：B.【点睛】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面所成角的大小及二面角的大小，考查空间想象能力及分析问题的能力，是一道难度较大的题目.9 已知函数，则满足“对于任意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”的实数的值（）A. 不存在 B. 有且只有一个C. 有且只有两个D. 无数个【答案解析】 A【分析】求出，然后将题目转化为直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，画出的图像，观察即可得结果.【详解】解：由已知得，“对于任意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”即直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，现在研究的图像，若，明显不可能；若，当时，完整的抛物线的图像其对称轴，与轴交点坐标，开口向上；当，单调递增，与轴交点坐标，图像如图：由图可知，不可能存在这样的直线一旦和的图像相交，必有两个交点，故选：A.【点睛】本题考查等式恒成立问题，关键是转化为图像的交点个数问题，是一道难度较大的题目10 已知数列{an}满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.【详解】解：用排除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选：B.【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.11 已知复数，，则复数______.【答案解析】【分析】设，根据条件利用复数相等列方程组求解即可.【详解】解：设，则，，解得，，故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的求解，关键是理解复数相等，是基础题.12 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则______，当变化时，弦AB中点轨迹的长度是______.【答案解析】；【分析】第一空：利用垂径定理列方程可求出的值；第二空：设，弦中点，联立，利用韦达定理通过消去参数可得弦中点轨迹，根据轨迹可得轨迹的长度.【详解】解：由垂径定理可得，解得；设，弦中点，则，联立，消去得，，解得，，，即，消去得，又由得，故弦中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的，如图：所以弦中点轨迹长度为，故答案为：；.13 设随机变量的分布列是-11P若，则______，______.【答案解析】；【分析】利用分布列以及期望列出方程，然后求解即可.【详解】解：由题意可得：，可得，解得, 所以,故答案为：；.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查计算能力.14 在△ABC中，，，点D在线段上，满足，且，则______，______.【答案解析】；【分析】先求出，然后由三角形内角和外角的关系得，利用两个差的余弦公式代入角的三角函数值计算即可；在中，利用正弦定理即可求得【详解】解：在中，，，，在中，，，故答案为：；【点睛】本题考查求解三角形的边与角，关键是对公式要熟悉，并能灵活应用，考查了计算能力，难度不大.15 已知双曲线C：的右焦点关于直线的对称点在直线上，则该双曲线的离心率为______.【答案解析】【分析】先求出点到渐近线的距离，在利用，得，代入数据整理计算即可得双曲线的离心率.【详解】如图：，由已知点到渐近线的距离，由对称性可得，由题得，所以，即，整理得，故，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要根据题目条件找到之间的等量关系，是中档题.16 已知正三角形ABC的边长为4，P是平面ABC内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______.【答案解析】不存在；【分析】根据题意可得点在正三角形的外接圆⊙O的优弧上，以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算计算，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：设正三角形的外接圆为⊙O，则⊙O的直径，，如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，，则点在的优弧上，设，又，，，，则，则的最大值不存在，最小值是.故答案为：最大值不存在，最小值是.【点睛】本题考查向量数量积的最值问题，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算去解决问题会方便许多，本题难度较大.17 设实数、满足，则的最大值为______.【答案解析】【分析】将的最大值问题转化的角最小的问题，数形结合，构造以的大小为边长的三角形，观察图像，利用对勾函数的性质，可得最大值.【详解】解：设，则的几何意义为以为长度构成的三角形中，长度为的边所对角的余弦值，要最大，则需要最大，即需要最小，分别以为圆心，以为半径作圆，会得到两个圆环，圆环的公共区域满足，又，当点在弧，弧，线段围成的封闭区域（包括边界）内时，，其中，要最小，则点必在弧上运动，此时，根据对勾函数的性质，当时，取最大值，最大值为，的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查最值的求法，注意运用不等式的性质和函数的单调性，考查运算能力，是一道难度较大的题目.18 已知函数.（1）求的值；（2）求f(x)的最小正周期和单调递增区间.【答案解析】（1）（2）最小正周期为，递增区间是.【分析】（1）直接将代入求值即可；（2）将变形为，然后即可求最小正周期和单调递增区间.【详解】解：（1）.（2），所以的最小正周期为，由得，，所以函数的递增区间是.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，是基础题.19 如图，三棱锥A﹣BCD中，平面平面BCD，，E，F分别是BD，CD的中点，且.（1）证明：；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案解析】（1）见解析（2）【分析】（1）先由已知得到平面，从而，再加上，可得线面垂直，进而可得线线垂直；（2）取中点，连接与相交于，可得即为与平面所成角，利用余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为平面平面，且，所以平面，所以，又由于，所以，所以平面，所以.（2）取中点，连接与相交于，由于平面平面，且，所以平面，所以，设，则，又，所以平面，所以平面平面，所以在平面上的射影在直线上，则即为与平面所成角.因为，则，所以，，由余弦定理可得：.所以与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，以及线面角的求解，关键是要找到线面角的平面角，考查学生空间想象能力和作图能力，是中档题.20 设等差数列{an}的前n项和为Sn，，，数列{bn}的前n项和为Tn，满足，.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记，，证明：.【答案解析】（1），.（2）见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程组求出和，进而可得的通项公式；由，得，可得，利用，可得的通项公式；（2）利用数学归纳法, ①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，证明当时，不等式也成立.【详解】解：（1）设首项为，公差为，则，解得，，故，由，得，即，，所以，即，所以，故.（2）由（1）知，用数学归纳法：，①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，即当时，.即当时，不等式也成立.由①，②可知，不等式对任意都成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及法求数列的通项公式，考查数列归纳法，是中档题.21 已知抛物线C：，直线截抛物线C所得弦长为.（1）求的值；（2）若直角三角形的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为1，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q.①若直线AB经过点(0,3)，求点Q的纵坐标；②求的最大值及此时点Q的坐标.【答案解析】（1）（2）①-3.②最大值见解析，【分析】（1）联立，求出交点，利用两点距离公式列方程求解即可；（2）①设点，，，切线：，：，化归为二次方程的根的问题，可得直线的方程，代入点，即可得点的纵坐标；②由题设知，即，利用面积公式表示出，利用函数的性质求其最值.【详解】解：（1），解得两交点为，.所以，.（2）①设点，，.切线：，：，由题设知，，即，是方程的两根，于是，.故直线：.又因为直线经过点，所以，即点的纵坐标为-3；②由题设知，即.则，若，令，，若，令，，当且仅当，时，等号成立，此时点的坐标为.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等知识，考查计算能力转化思想的应用，是中档题.22 设函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）当时，若对任意，均有，求的取值范围.【答案解析】（1）递减区间是，递增区间是.（2）【分析】（1）求出，利用导数知识即可得函数的单调区间；（2）令，缩小的范围，，，利用导数求出的最大值，令其小于1，研究的取值范围.【详解】解：（1）当时，，由于，且函数单调递增，所以当时，，当时，，故函数的单调递减区间是，递增区间是.（2）令，得，所以.因为，令，则，由，解得，故在单调递增，在单调递减，所以，下面证明当时，，即，令，即证，，令，，在区间单调递减，则.综上所述当时，对任意，均有.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。
2020届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试卷(解析版)
D. 12
）（单
5. 设 a，b 是实数，则“a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 在同一坐标系中，函数 f（x）=xa（x＞0）与 g（x）=ax+1 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知多项式 x6=a0+a1（1-x）+a2（1-x）2+…+a6（1-x）6，则 a4=（ ）
6.【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜1 或 a＞1，∴当 x＞0 时，幂函数 f（x）=xa（x＞0）为增函数，排除 B， A 中，g（0）=a＞1，函数 g（x）为增函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＜x，满足条件． C 中，g（0）=a＞1，函数 g（x）为增函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＜x，此时不满足条件． D 中，g（0）=a＜1，函数 g（x）为减函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＞x，不满足条件． 故选：A． 根据 a 的取值范围先判断幂函数的单调性，结合指数函数的单调性以及当 0＜x＜1 时，xa 与 x 的大小关系 进行判断即可， 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和幂函数的单调性是解决本题的关键．难度中等．
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8.பைடு நூலகம்答案】B
【解析】解：由最小角定理可得 β＜α，设 AB=2，则 形，M 是 AB 的中点， ∴A1M=2， 设侧棱与底面所成的角为 θ，斜三棱柱的高为
，侧面 ABB1A1 是矩 ，
∴
，
取 A1B1 的中点 N，并连接 MN，C1N，可得平面 C1CMN⊥底面 ABC， 过点 C1 作 C1O⊥CM 于点 O，OG⊥AG 于点 G，连接 C1G，