含绝对值的函数的图像
在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。
、三点作图法
三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人
步曝是E①先画出站型图顶点,石；
—)
②在顶点两侧各找出一点；卩
③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+?
I???≠ 0)的图彖*
例1作出下列各函数的圏象.
(1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ?
解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示.
圏b
<2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示.
I 2 j
图2
注
I
当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口
翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法.
注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称"
制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法.
二爾转作IS
二詡转作l?
步麋是
* ?5t
作出
P = /(x)
的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数
I y=I I/(Λ)∣的图家?
例t作出下列各函数的图讓.
U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n
C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±?
⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得
到图3.图&就是婪画的1S数图象?
三、分段破作图法
分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法.
例1作出下列函数的图家U
(I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h
图4
图9就是所要画的函数图蒙.
u≤-l)
(2) 尹=| 忙+11
+1 ;T-Il= $ 2 (-1 < <
1)
(E
圏5就是所要画的函数圈家-
(3) y?[x 2-2x-3?
_ ?2-2τ-3(x i -Ξx -3≥0)
^ -X 2 +Ξx + 3(x 3 -2x^3 <0)
Λ2 - 2Λ- 3(Λ ≤ -1?S Λ ≥ 3)
-X 2 +2^+3(-1 ffl Ii 就是所ι≡ιfflι≥5数图象B 解 I (1) I y = X J — 21 x I +1= Λ -2z+l(x> O) X a ÷2x + l(x 图11 S io a：分段函数作图法是画含绝对值函数的图家的常规之法.三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第(引小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试. 四、应用 把数化为形是"数形结合?v思想.利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之憩，简洁明快之感? 1.求函数值?L 例丄求函数＞=μ+ι∣+∣;C-IlSg值域. 解：由图10知函数的值域为［?+∞) β 2求函数的单调区间. 例丄求函^=IX a"2X~3∣的单调谨増区间? 解：由图6知函数单调谨増区间为［一打叮Y［3,+∞)β 3.求育程解的个数. Vi 6求方程√-2μ∣+l =∣?(x + 3)∣解的个数. B：赛程√-2∣x∣+l=∣?tx+3)∣W的亍数就是函数j = √ -2∣Λ∣+1的图象与函数I ymIg(X+ R I的图象在同一坐标系中交点的个亂由≡ 12M两个函数图象荷5个交点，所UA肓程X2- 2∣ X I +1 =∣?(^+3)∣W 5个解Il 图1； 在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。 、三点作图法 三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人 步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j 图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口 翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l? 步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得 到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法 分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需 For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 首先要从简单的绝对值函数画起。 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。 或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于复杂的图像的画法。 22 1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。 最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。 122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerzie llen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文 含绝对值函数的图象 【基础内容与方法】 1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像； 2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像； 3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1 +12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象， 直接写出1 +2+12 k x b x +＞的解集． 类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上 2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m＝． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函 数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是． 3．写出函数1 x x f在什么范围内，y随x的增大而增大，y随x的 =x 2 ) (2+ - 增大而减小？ （二）绝对值在解析式上 4．探究函数 22y x x =-的图象与性质. (1)下表是y 与x 的几组对应值. x 其中m 的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________； (4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 绝对值函数图象的速画法 高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。 一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象 )0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都 是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。 例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是 。 分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性； 当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a 因为?? ? ??>+-≤≤-<++-=-+-=) ()(2)() ()(2)(b x b a x b x a a b a x b a x b x a x x f ，可见其图象是由一条水平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。又联立以上分段函数 两侧解析式???+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，??? ?? =+=0 2y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上 的点 )0,2( b a +。据此，可以三点)0,2 ()),(,()),(,(b a b f b a f a +确定函数)()(b a b x a x x f <-+-=的图形，称为“三点定形法” 。 例：作函数31)(-++=x x x f 的图象 解：先确定此函数的两个绝对值代数式的零点为：－1和3 12 3 1, 4)3(,4)1(=+-==-f f ， 所以在平面直角坐标系中先作出1,4)、B(3,4)、C(1,0)三点；连接线段AB ，再作射线CA ，CB 线段CA 、CB 部分可以不画出，也可以作作成虚线(如图4)。 以上方法仅适用于绝对值中自变量x 的系数为1 三、用“两点定形法”作双绝对值差式函数x a x x f --=)(当a-≤-+<-=---=)((2)()(b x a b x a b a x a x b a b x a x x f 端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。当a>b 时同理。据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图 象。 例：作函数13)(---=x x x f 解：先确定两个绝对值代数式的零点为：1和3。因为)1(=f 含绝对值的函数图象的画法及其应用 河南 曹少云 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ??- c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-121 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ??-121，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图4就是要画的函数图象。 作一次含有的绝对值函数的图像 我们知道一次函数的图像是一条直线，若函数中含有绝对值，它的图像又会是怎样的呢？下面我们一起来进行探究。 根据绝对值的概念：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数。我们把使绝对值式子为零的字母（自变量）的值叫做绝对值的零点。 例1：作函数33--=x y 的图像。 分析：由绝对值的概念知，3-x 的零点为3=x 。当3≥x 时，6+-=x y ；当3 解：由题可知：绝对值的零点有1,0,1-=x 。 可将函数分成三段。 函数???? ???-+-+--=1 111x x x x y ) 1()10() 01() 1(>≤<≤<--≤x x x x 与2=y 的图像如图所示： 所求面积可以看作一个等腰直角三角形挖去一个小正方形。 因此，该图形的面积为：729222 1 3621=-=??-??。 作含有绝对值的一次函数的图像，首先要找出其零点；然后根据零点将函数化为分段函数；再分段画出其对应的函数图像。我们进一步还能利用其图像解决一些问题。 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 含绝对值的函数问题专练 1．画出函数y ＝ 31x －的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 31x －＝k 无解？有一个解？有两个解？ 【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0 对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。 ①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值： ； ③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值： ； ⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值： 。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： ①对自变量取绝对值： 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ②对应变量取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ③对全都取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 函数b a x k y +-=图象与性质 【问题提出】 将函数 ()f x k x a b =-+去掉绝对值符号后，写成分段函数 (),()(),k x a b x a f x k x a b x a ?-+≥?=? --+时，可知函数图象开口向上，顶点(最低点)为(,)a b . 同理可知，0k <时， ()f x k x a b =-+的图象开口向下，顶点(最高点)为(,)a b .事实上，可以直接从 函数图象平移的角度去分析，即函数()f x k x a b =-+可看成()f x k x =平移而得. 【探究拓展】 探究1：设函数142)(+-=x x f ，若不等式ax x f ≤)(的解集非空，则实数a 的取值范围是___________. 2- ． 提示： ?? ? ??--++--++--=, )(,)(,)()(111111bx ax x b a bx ax x b a bx ax x b a x f ，结合图像得， 0,0>-=+b a b a ，即0,0a b a +=>． 探究3.（2020年） 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”． （1）如果定义域为[)+∞-,1上的函数2)(x x f =是[)+∞-,1上的k 型增函数，则实数k 的取值范围是______；2>k （2）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是___________. 解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增 函数， 故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成 立． 若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象向左平移k 个 单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，f (x +2011)>f (x )，所以此时00时，22)(a a x x f --=, 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是： ①先画出V 型图顶点?? ? ??-c a b ，；------为什么是这个坐标？ ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-121 ，，两点（0，0），（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ??-121，，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 --- 比较一下，两个函数有什么关系，各自的图像又有什么联系？ 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象； ②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的 图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 （2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。 图5 图6 （3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图 8。图8就是要画的函数图象。 图6 图7 三、分段函数作图法 分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。 例3. 作出下列函数的图象。 （1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）|32|2--=x x y 。 解：（1）?????<++≥+-=+-=)0(12)0(121||2222 x x x x x x x x y 图9就是所要画的函数图象。 （2）?? ???><<--≤-=-++=) 1(2)11(2 )1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。 （3）|32|2--=x x y 3、简单绝对值函数的图像与性质 一、作图 1、作出下列各函数的图象． （1）1|12|--=x y ； （2）|2|-=x x y 2、已知函数32)(2--=x x x f ，分别作出|)(|x f y =，|)(|x f y = 的图象 二、性质 3、函数q px x x x f ++=)(是奇函数的条件是___________． 函数f (x )＝???? ??x －1x ＋1的单调递增区间为___________． 函数21)(2+-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则a 的取值范围是___________． 设函数f (x )＝????1－1x (x >0)．若0 3、简单绝对值函数的图像与性质 1、已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图像对应的函数为 ( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝|f (x )| C ．y ＝f (－|x |) D ．y ＝－f (|x |) 2、已知函数f (x )＝||x a 在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3) 苏州市学案 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数图象 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ??-c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-121 ，，两点（0，0），（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ??-121，，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 （2）先作出322 --=x x y 的图象，如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到含绝对值的函数的图像
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